électricité

Au début des années 1880, la théorie de Maxwell était pratiquement une jungle sans piste. Dans la seconde moitié de la décennie, guidés par le principe du flux d'énergie. Poynting, FitzGerald, Hertz et surtout Heaviside avaient réussi à apprivoiser et à élaguer cette jungle et à la rendre presque civilisée.

Auteur: Hunt Bruce J.

Info: The Maxwellians (2008), 128

[ mathématiciens ] [ décrypteurs ] [ vulgarisateurs ] [ électromagnétisme ] [ équations reformulées ]

physique théorique

Paul Dirac a souvent dit qu'il était tourmenté par la peur lorsqu'il proposa sa nouvelle théorie... Il a vite découvert que sa peur était justifiée. L'électrodynamique quantique était certes un grand pas en avant, mais elle coûtait très cher. Dirac avait posé les bases de la théorie moderne de l'électromagnétisme - première pièce solide du modèle standard - mais il avait aussi involontairement libéré une avalanche de démons conceptuels qui allaient changer notre conception de l'espace et de la matière.

Auteur: Crease Robert P.

Info: Trésor mondial de la physique, de l'astronomie et des mathématiques. Incertitude et complémentarité (p. 69) Little, Brown & Company. Boston, Massachusetts, États-Unis. 1991. Co écrit avec Charles C. Mann

[ historique ]

électromagnétisme

Maxwell, comme tout autre pionnier qui ne vit pas pour explorer les terres qu'il a ouvertes, n'eut pas le temps d'étudier les moyens les plus directs d'accès au pays, ni la manière la plus systématique de l'explorer. Cette tâche fut réservée à Oliver Heaviside. Le traité de Maxwell est encombré des débris de ses brillantes percées d'assaut, de ses camps retranchés, de ses batailles. Oliver Heaviside les a enlevés, a ouvert une voie directe, a tracé une large route et a exploré une étendue considérable des contrées de ce pays.

Auteur: Fitzgerald George Francis

Info: Compte rendu des articles sur l'électricité de Heaviside dans The Electrician (11 août 1893). Recueilli dans Joseph Larmore (éd.), The Scientific Writings of the Late George Francis FitzGerald (1902), 294.

[ débroussaillé ] [ élagué ] [ modélisé mathématiquement ] [ historique ]

question

Un point d'une grande importance serait de savoir tout d'abord ceci : quelle est la capacité de la terre ? Et quelle est la charge qu'elle contient considérant qu'elle est électrifiée ? Bien que nous n'ayons aucune preuve positive de l'existence d'un corps chargé dans l'espace sans que d'autres corps électrifiés de manière opposée soient à proximité, il est assez probable que la terre se comporte comme tel, car quel que soit le processus par lequel elle fut séparée des autres corps - et c'est une opinion acceptée de son origine - elle doit avoir conservé une charge, comme cela se produit dans tous les processus de séparation mécanique.

Auteur: Tesla Nikola

Info: “The Nikola Tesla Treasury”, p.283, Simon and Schuster 2013

[ électromagnétisme ] [ gravitation ]

abstraction

Le concept physique de champ de forces repose à l’origine sur l’idée concrète d’une tension de l’ "éther" traversant l’espace. Cet état était utilisé pour expliquer la possibilité d’ "actions à distance" entre plusieurs corps (par exemple électriques et magnétiques). Le concept de champ s’est détaché (depuis Faraday) de ce contexte dans la mesure où l’on a attribué à cet état de tension une existence réelle même lorsqu’on ne pouvait pas la rendre visible à l’aide de marqueurs. On a ensuite abandonné l’image concrète et mécaniste de l’état de tension et du médium de l’éther pour une conception plus abstraite décrivant tout simplement mathématiquement l’état physique en question par des fonctions continues adéquates reliant les coordonnées spatiales et temporelles, sans passer par des représentations concrètes.

Auteur: Pauli Wolfgang

Info: Lettre à C. G. Jung du 24 novembre 1950

[ sciences physiques ] [ historique ] [ électromagnétisme ] [ réel formulé ] [ gravitation ]

dualité

Autrefois les physiciens se demandaient si la lumière est une onde électromagnétique ou un faisceau de particules. La mécanique quantique a révélé que cette question n'a tout simplement pas de sens puisque aucune des deux réponses n'est tout à fait correcte. La lumière, et toutes les autres formes d'électromagnétisme, présente parfois des propriétés semblables à celles de particules, sous forme de photons, et se comporte parfois comme une onde. Il en va de même pour l'électron qui est particulier dans le sens où il produit un éclair de lumière sur l'écran de télévision et ressemble à une onde lorsqu'il traverse le microscope électronique. Dans la vie de tous les jours, lorsqu'un caillou est jeté dans un étang, le caillou est la particule et l'ondulation la vague. Dans le monde de la mécanique quantique, il n'existe pas de distinction aussi nette. La dualité onde-particule est un attribut universel des systèmes matériels.

Auteur: Glashow Sheldon L.

Info: Interactions: A Journey Through the Mind of a Particle Physicist and the Matter of This World. Chapter 4 (pp. 87–88) Warner Books. New York, New York, USA. 1988

[ réalité quantique ]

nouveau paradigme

On demande parfois aux scientifiques s'ils entreprennent de nouvelles expériences en laboratoire ou s'ils continuent à reproduire les précédentes avec des résultats prévisibles. Si la plupart des scientifiques font la première chose, la croissance scientifique dépend également de la seconde et de la validation de ce que nous pensons savoir à la lumière de nouvelles informations.

Le National Institute of Standards and Technology (NIST) a examiné la structure et les propriétés du silicium, un matériau très étudié, dans le cadre de nouvelles expériences, et les résultats ont permis d'entrevoir une fenêtre possible pour détecter la "cinquième force". Ce qui pourrait nous aider à mieux comprendre le fonctionnement de la nature.

En termes simples, nous n'avons besoin que de trois dimensions de l'espace, à savoir nord-sud, est-ouest et haut-bas, et d'une dimension du temps, à savoir passé-futur, pour donner un sens au monde. Toutefois, comme l'a affirmé Albert Einstein dans sa théorie de la gravité, la masse déforme les dimensions de l'espace-temps.

Selon l'émission Science Focus de la BBC, dans les années 1920, Oskar Klein et Theodor Kaluza ont proposé l'hypothèse des cinq dimensions pour expliquer les forces de la nature, en plus de la gravité, seule force électromagnétique connue.

La découverte des forces nucléaires forte et faible a toutefois fait progresser l'hypothèse de Klein et Kaluza, qui fut fusionnée avec les forces électromagnétiques pour élaborer le modèle standard, qui explique la plupart des phénomènes naturels, mais pas tous.

Alors que les physiciens se tournent vers la théorie des cordes pour expliquer pourquoi la gravité est si faible, l'idée d'une vaste cinquième dimension refait surface, ce qui pourrait également expliquer la présence de matière noire.

Pour mieux comprendre la structure cristalline du silicium, les chercheurs du NIST l'ont bombardé de neutrons et ont évalué l'intensité, les angles et les intensités de ces particules pour tirer des conclusions sur la structure.

Des ondes stationnaires sont générées entre et au-dessus des rangées (ou feuilles) d'atomes lorsque les neutrons traversent la structure cristalline. Lorsque ces ondes se rencontrent, elles produisent de minuscules motifs connus sous le nom d'oscillations de pendellösung, qui fournissent des informations sur les forces rencontrées par les neutrons au sein de la structure.

Chaque force est véhiculée/représentée par des particules porteuses, dont la portée est proportionnelle à leur masse.

Par conséquent, une particule sans masse, telle qu'un photon, a une portée infinie et vice versa (dans les deux sens). En limitant la portée sur laquelle une force peut agir, on limite également sa puissance. Des expériences récentes ont permis de limiter la puissance de la cinquième force présumée sur une échelle de longueur allant de 0,02 à 10 nanomètres, indiquant ainsi une plage dans laquelle chercher la cinquième dimension où cette force opère.

La poursuite des recherches dans ce domaine pourrait bientôt conduire à la découverte de cette nouvelle dimension et, pour la première fois dans les écoles, les professeurs de physique, tout comme les étudiants, pourront se pencher sur un concept abstrait.

Auteur: Internet

Info: Nous sommes sur le point de découvrir la 5e dimension, ce qui va changer tout ce que nous savons de la physique.http://amazingastronomy.thespaceacademy.org/2022/09

[ interactions fondamentales unifiées ] [ gravitation - électromagnétisme ] [ univers quantique et matière condensée ] [ penta ]

théorie du tout

Une nouvelle "loi de la nature" qui englobe le vivant, les planètes et les étoiles

(Photo) Ammonite irisée trouvée près de Calgary, Canada. La diversité biologique (biodiversité) entraîne la diversité minérale, et vice versa.

Selon une équipe composée de scientifiques et de philosophes, la théorie de l'évolution formulée par Charles Darwin au 19e siècle n'est qu'un "cas particulier" d'une loi de la nature qui engloberait le vivant mais aussi les minéraux, les planètes et les étoiles. Attention, débats en perspective !

Et si l'évolution ne se limitait pas à la vie sur Terre ? C'est ce que suggère une équipe de neuf scientifiques et philosophes américains dirigés par la Carnegie Institution for Science, à travers un nouvel article publié dans la revue Proceedings of the National Academy of Sciences.

La publication énonce la "loi de l'augmentation de l'information fonctionnelle", selon laquelle tous les "systèmes naturels complexes" – qu'il s'agisse de la vie sur Terre ou des atomes, des minéraux, des planètes et des étoiles – évoluent vers des états "plus structurés, plus diversifiés et plus complexes".

Vivant, atomes, étoiles…

Concrètement, qu'est-ce que cela signifie ? Juste avant d'en venir aux exemples, il faut définir en quelques mots ce que les auteurs entendent par "évolution". Un terme qu'il faut ici comprendre comme "sélection pour la fonction". Restez concentré, c'est tout simple !

Si le naturaliste du 19e siècle Charles Darwin avait globalement assimilé la "fonction" à la survie des êtres, c'est-à-dire à la capacité de vivre assez longtemps pour produire une progéniture fertile, les auteurs vont plus loin en reconnaissant également comme fonctions la "stabilité" (capacité à perdurer) et la "nouveauté" (nouvelles configurations).

Pour illustrer la sélection de la "nouveauté", l'article évoque à la fois des cas qui concernent le vivant, à l'instar de la photosynthèse, de la vie multicellulaire (quand les cellules ont "appris" à coopérer jusqu'à ne former plus qu'un organisme) et des comportements animaux. Mais aussi des exemples au sein du règne minéral !

Ainsi, les minéraux de la Terre, qui étaient au nombre d'une vingtaine à l'aube de notre système solaire, sont aujourd'hui près de 6 000. Et c'est à partir de seulement deux éléments majeurs – l'hydrogène et l'hélium – que se sont constituées, peu après le big bang, les premières étoiles, au sein desquelles se sont ensuite formés une vingtaine d'éléments chimiques plus lourds, avant que la génération suivante d'étoiles ne s'appuie sur cette diversité initiale pour produire près d'une centaine d'autres éléments.

"L'évolution est partout"

"Charles Darwin a décrit avec éloquence la façon dont les plantes et les animaux évoluent par sélection naturelle, avec de nombreuses variations et caractéristiques des individus et de nombreuses configurations différentes. Nous soutenons que la théorie darwinienne n'est qu'un cas très particulier et très important au sein d'un phénomène naturel beaucoup plus vaste", résume dans un communiqué le Pr Robert M. Hazen, de Carnegie, qui a supervisé les travaux.

Et son collègue Michael L. Wong, astrobiologiste à Carnegie et premier auteur de l'étude, de compléter : "l'univers génère de nouvelles combinaisons d'atomes, de molécules, de cellules, etc. Les combinaisons qui sont stables et qui peuvent engendrer encore plus de nouveauté continueront à évoluer."

"C'est ce qui fait de la vie l'exemple le plus frappant de l'évolution, mais l'évolution est partout."

Cette nouvelle "loi de la nature" qui décrit une complexité croissante n'est pas sans en rappeler une autre : le deuxième principe de la thermodynamique. Celui-ci stipule en effet que "l'entropie" (autrement dit, le désordre) d'un système isolé augmente avec le temps – raison pour laquelle la chaleur circule toujours des objets les plus chauds vers les objets les plus froids.

Discussion ouverte

Forces et mouvement, gravité, électromagnétisme, énergie… La plupart des "lois de la nature", décrivant et expliquant les phénomènes observés en permanence dans le monde naturel, ont été énoncées il y a plus de 150 ans.

Nul doute que la nouvelle "loi de la nature" énoncée par l'équipe américaine – formée de trois philosophes des sciences, de deux astrobiologistes, d'un spécialiste des données, d'un minéralogiste et d'un physicien théorique – suscitera moult réactions au sein de la communauté scientifique.

"À ce stade du développement de ces idées, un peu comme les premiers concepts au milieu du 19e siècle pour comprendre "l'énergie" et "l'entropie", une discussion ouverte et large est maintenant essentielle", a d'ailleurs commenté dans le communiqué Stuart Kauffman, chercheur à l'Institut de biologie des systèmes (Seattle).

Pour rappel, une théorie n'est "scientifique" que si les principes qui la constituent conduisent à au moins une prédiction suffisamment précise pour pouvoir être testée par une expérience (ou une mesure) susceptible de la réfuter…

Auteur: Internet

Info: https://www.geo.fr, Nastasia Michaels, 16/10/2023

[ panthéisme ] [ panpsychisme ] [ complexification ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]