cycles

Prenons par exemple un lacet. La meilleure représentation d'un lacet, pour un mathématicien, est un cercle avec un point qui fait une promenade le long d'un cercle, ou plus généralement d'une boucle fermée qui ressemble à un cercle. Quand je formule les choses ainsi, je fais de la géométrie. J'ai la notion de continuité, d'une promenade continue. Je pars d'un point, je me promène, je reviens sur ce point. Ce qui est important ici est qu'on pressent intuitivement qu'il s'est passé des choses terribles le long de cette boucle, parce qu'on a perdu de vue le point initial. On y revient pourtant à la fin, mais on n'y revient pas en revenant sur ses pas. On y revient un peu comme par-derrière, et il peut s'être passé des choses terribles dans l'intervalle - en fait, on sait qu'il se passe des choses terribles : c'est ce qu'on appelle l'action de monodromie. Pendant que je me promène sur mon lacet, une autre quantité se développe en spirale au-dessus. C'est ce qu'on appelle l'argument, l'angle correspondant à la fraction d'arc parcourue depuis le point de départ quand on se promène le long d'un cercle. Au départ, l'argument vaut zéro. Quand on se promène, on passe par π /4, π /3, π /2, et on progresse jusqu'à π , l'angle plat, qu'on atteint quand on a parcouru la moitié du cercle. Quand on a fait tout le tour du cercle, on est revenu au point initial, mais l'angle, lui, n'est pas revenu à 0, il est désormais 2 π . Voilà un exemple d'un phénomène dramatique qui se produit lorsqu'on se promène le long d'un lacet.

 

Auteur: Voisin Claire

Info: in "Faire des mathématiques", éd. cnrs, p.36-37

[ danger ] [ mystère ] [ dimension supplémentaire ] [ abstraction ] [ voyage au bout de la ligne ]