pays de cocagne

- Au Vanuatu, il y a de la nourriture partout. Nous n’avons jamais dû la produire. On tend les deux mains, il tombe dans l’une une noix de coco, dans l’autre un régime de bananes. On entre dans la mer pour se rafraîchir, et on ne peut éviter de ramasser d’excellents coquillages, des oursins, des crabes et des poissons à la chair raffinée. On se promène un peu dans la forêt, où il y a trop d’oiseaux : on est forcé de leur rendre service en enlevant de leurs nids les œufs excédentaires, et parfois de tordre le cou à l’un de ces volatiles qui ne s’enfuient même pas. Les femelles phacochères ont trop de lait, car elles sont suralimentées, elles aussi, et elles nous supplient de les traire pour les en débarrasser : elles poussent des cris stridents qui ne cessent que si l’on accède à leur demande.
Il se tut. Au terme d’un silence, il ajouta :
- C’est terrible.

Auteur: Nothomb Amélie

Info: Biographie de la faim

[ exagération ]

puberté

Dans l'une de ses tentatives pour endurcir [son fils] Frankie, [Jonathan] l'avait inscrit chez les scouts. C'était censé faire de lui un homme, l'habituer à la vie au grand air et à la saine camaraderie entre jeunes aventuriers. Baden-Powell* avait mis le doigt sur quelque chose. Un jour, cependant, ne trouvant rien à lire, Jonathan avait pris 'Le guide du scout'. Il avait passé la soirée dans son bureau [médical] à se tordre de rire. Le chapitre sur la puberté était particulièrement hilarant. " Tu te réveilleras peut-être avec un pénis en érection, lisait-on. Parfois, tu feras des rêves étranges, tu sentiras comme un chatouillement et ton caleçon sera humide parce que tu auras émis un fluide nocturne. " Le guide conférait à tout cela un côté tellement mystérieux, tellement compliqué. Et le terme de " fluide nocturne " avait quelque chose d'ésotérique. Qu'est-ce qu'ils s'imaginaient ? Quel était leur but en écrivant des inepties pareilles ? Les scouts étaient supposés faire de garçons des hommes, et non les amener à avoir peur de leur propre queue.

Auteur: Treuer David

Info: Et la vie nous emportera, p. 70,* fondateur du scoutisme

[ éjaculation ]

déclaration d'amour

Ton petit jeu de mains baladeuses m'a plu, ça m'a rendu chaud comme la braise... Tout ce que tu fais me rend chaud comme la braise... Quand tu jettes de l'argile au plafond... Toi la chienne, toi la mégère rouge et brûlante, toi la ravissante, ravissante femme... Tu as fait naître de nouveaux poèmes, de nouveaux espoirs, une joie nouvelle et de nouveaux tours chez un vieux chien, je t'aime, j'aime les poils de ta chatte que j'ai senti avec mes doigts, l'intérieur de ta chatte, mouillé, chaud, que j'ai senti avec mes doigts ; toi, debout contre le réfrigérateur - ton réfrigérateur est si merveilleux - tes cheveux lâchés, toi, là, sauvage, l'oiseau sauvage, la chose sauvage qu'il y a chez toi, brûlante, obscène, miraculeuse... Te tordre le cou, essayer d'attraper ta langue avec ma bouche, avec ma langue...
Nous étions à Burbank et j'étais amoureux, d'un amour d'outremer, ma bon dieu de maudite déesse, mon allumeuse, ma chienne, mon mon mon mon con de Paradis entouré de poils, battant, respirant, je t'aime... Et j'aime ton réfrigérateur - et quand on s'attrapait et qu'on luttait corps à corps, cette tête sculptée qui nous regardait avec son petit sourire lyrique, cynique, amoureux, ardent...
Je te veux,
Je te veux,
Je te veux TOI,
TOI TOI TOI TOI TOI TOI !

Auteur: Bukowski Charles

Info: lettre de 1972 à Linda King

[ sexe ] [ obsédé ] [ sincérité ]

historiographes

C'est sans doute là que se situe la différence majeure entre "les historiens de garde" et les tenants de toute forme de roman national et nous [les historiens "scientifiques"]. Nous fouillons le passé pour partir à la rencontre d'un Autre et tenter de le comprendre. Eux tentent de tordre le passé pour justifier leurs choix et leurs obsessions d'aujourd'hui. Loin d'apercevoir une altérité dans le passé, ils ne partent qu'à la recherche de leur propre reflet égocentrique.

Cette mise à distance de soi qui définit, bien plus qu'aucun titre universitaire, la pratique historienne, ne fait pas de ceux qui en font leur métier et leur passion des surhommes. Quiconque a fait des recherches historiques sait pertinemment à quel point nos recherches restent imparfaites. On ne peut reconstituer exactement le passé, notamment celui des sociétés où les sources sont rares, malgré l'apport précieux de l'archéologie. C'est encore plus vrai pour les catégories sociales les plus modestes qui, jusqu'à une date récente, ont laissé peu de traces. Et si nous pouvons parfois avancer quelques certitudes, celles-ci pèsent toujours bien peu face à la masse de notre ignorance.

Cet état de fait enseigne au pratiquant de l'histoire - car oui, l'histoire est avant tout une pratique qui ne nécessite en rien des grades académiques - la modestie et à considérer que le récit du passé n'est jamais clos. C'est pour cela que les affirmations péremptoires des "historiens de garde" qui prétendent en trois lignes analyser des phénomènes historiques complexes nous font réagir.

Auteur: Blanc William

Info: Les historiens de garde, postface à l'édition de 2016

[ honnêtes ] [ justifications nationalistes ]

savoirs

Ceux qui admirent que la nature se prête si bien aux vêtements du géomètre, méconnaissent deux choses. D'abord ils méconnaissent la souplesse et toutes les ressources de l'instrument mathématique, qui, par complication progressive, dessinera toujours mieux les rapports, orientera et mesurera mieux les forces, sans gauchir la ligne droite pour cela. C'est ce que n'ont pas bien saisi ceux qui remettent toujours les principes en questions, comme l'inertie ou mouvement uniforme, et autres hypothèses solides. Ce qui est aussi sot que si l'on voulait infléchir les trois axes pour inscrire un mouvement courbé, ou bien tordre l'équateur pour un bolide. Mais, comme disait bien Platon, c'est le droit qui est le juge du courbe, et le fini et achevé qui est juge de l'indéfini. Et ce sont les vieux nombres entiers qui portent le calcul différentiel. Par ces remarques, on voudra bien comprendre en quel sens toute loi est a priori quoique toute connaissance soit d'expérience. Mais, ici encore, n'oubliez pas de joindre fortement l'idée et la chose. La seconde méprise consiste à croire que la nature, hors des formes mathématiques, soit réellement quelque chose, et puisse dire oui ou non. Cette erreur vient de ce que nous appelons nature ce qui est une science à demi-faite déjà, déjà repoussée de nous à distance convenable. Car la perception du mouvement des étoiles, d'Orient en Occident, est une supposition déjà, et très raisonnable, mais qui ne s'accorde pas avec les retards du soleil et de la lune et les caprices des planètes. Et même les illusions sur le mouvement, comme on l'a vu, procèdent d'un jugement ferme, et d'une supposition que la nature n'a pas dictée ; nos erreurs sont toutes des pensées. La nature ne nous trompe pas ; elle ne dit rien ; elle n'est rien.

Auteur: Alain

Info: 81 chapitres sur l'esprit et les passions/Les Passions et la Sagesse, la Pléiade/Gallimard 1960, p.1136

[ théorique ]

orgasme

Pour cet ultime rendez-vous quotidien, ton visage disparaît, je me couche nue sur le dos, les mains croisées sur la poitrine - elles font ça d'elles-mêmes, ce n'est pas moi, c'est mon corps qui de lui-même s'arrange comme ça - Dans le noir mon voyage commence vers la lumière. J'appelle ça prier. Je ne récite aucune prière, je n'en connais pas, je ne demande rien non plus -, je n'aspire pas à un Ciel habité d'une sorte de Père Noël duquel je pourrais espérer tel ou tel bienfait, encore moins telle ou telle satisfaction. J'aspire simplement à gagner le Ciel, ici même en cette vie, jour après jour, nuit après nuit après nuit. A le gagner et à le perdre, pour le gagner de nouveau, le perdre encore et le retrouver toujours, le feu à l'âme. Mon âme en flammes m'allume le feu au ventre, je sais que j'atteins la prière réelle où je pourrais crier et me tordre de joie, même si je reste muette et immobile comme une morte j'aspire à être seule dans un dialogue qui est tour à tour de paix et de violence j'aspire à la question de l'amour qui est tour à tour gifle et joie, j'aspire à la gifle qui réveille reçue ou envoyée, et à la joie qui transporte et transfigure je n'aspire pas l'ataraxie mais au combat et à la jouissance, aux assauts toujours renouvelés. Je suis virile de ma relation à Dieu autant que féminine, je suis au-delà de l'homme et de la femme mais rien moins qu'asexuée avec Dieu, je suis toute sexe, de là où le sexe est si pur et absolu qu'il rejoint l'Amour, Eros uni à Agapè dans la même brûlure. Et je vénère Dieu de me permettre de repousser ainsi sans cesse les limites de ma liberté, avec Lui et par conséquence avec les hommes. Comment est-il possible de jouir autant ? A aller aussi loin, souvent je ne sais plus que faire de moi-même et comment je tiens encore ds mon corps, comment je n'en meurs pas d'épuisement et de plénitude. Je combats avec l'ange, Lui et moi à tout instant combattant derrière le rideau, et cette Lutte toujours renouvelée poursuit le but de vous livrer à toi, lecteur, lectrice, entremêlés et indécents comme nous sommes, ouvrir le rideau sur notre noble tragique et heureuse obscénité.
Je t'aime mon ange.

Auteur: Reyes Alina

Info:

[ pensée-de-femme ] [ plaisir ]

rêve

Sitôt après avoir bien déjeuné, le père Anselme rejoignit son potager. Il faisait encore trop chaud pour arroser. Il s'installa confortablement sur un banc, à l'ombre du figuier.

Les poireaux qui la veille étaient rangés comme de vaillants petits soldats, se mirent à se tordre dans tous les sens. Ils répétaient en chœur: Nous voulons marcher, courir, gambader et sauter dans les flaques quand il pleut.

— C'est impossible, vous n'avez qu'un seul pied, vous ne pourriez avancer qu'à cloche-pied, et croyez-moi, c'est très fatigant. Contentez-vous de grandir.

C'est alors qu'éclata un joyeux tumulte dans le carré des choux : Nous voulons qu'Anselme nous chante la chanson.

— Calmez-vous voyons, je ne sais pas chanter, et je ne connais aucune chanson.

— Tout le monde connaît cette chanson, elle est à la mode de chez nous. Tu dois savoir la chanter avec ton doigt, ton coude, ton genou, ton pied et ton nez.

— Bon, c'est d'accord, je m'en vais vous satisfaire, en essayant de ne point me rompre les os !

Le père Anselme se pencha, s'agenouilla et gesticula tant et si bien, que l'on crut voir dans le jardin, tourner le manège enchanté.

Le râteau enlaça la pelle en souriant de toutes ses dents, et l'entraîna dans un irrésistible pas de danse, tandis que la bêche marquait le tempo.

Les arrosoirs très excités, se prirent par la anse, faisant s'entrechoquer leurs corps d'acier, qui faillirent perdre leurs pommes!

Une sauterelle qui sautait dans l'herbette, s'écria: C'est jour de fête, faisons des galipettes, des bonds et des courbettes, de jolies pirouettes, sans pour autant perdre la tête !

Lili la tortue qui venait quémander une feuille de salade, fut tellement surprise de voir Anselme vagabonder à quatre pattes, qu'elle faillit tomber à la renverse.

Quand Anselme se releva, il crut naïvement avoir ramené la sérénité dans le potager.

C'était compter sans les carottes et les navets, qui se chamaillaient pour des broutilles sans intérêt, tandis que la terre bâillait d'ennui et se lamentait: Comment les faire taire, quelle galère ! Fort heureusement, il me reste mes chères pommes de terre qui se contentent de peu, et ne cessent de se multiplier sans rien demander.

Les carottes acceptaient les navets qui tournaient rond, mais détestaient ceux qui poussaient en long. De quel droit osez-t-ils imiter leur si gracieuse silhouette, alors qu'ils avaient cette peau blême, triste à pleurer !

Les navets accusaient les carottes de frivolité: Des coquettes dépourvues de jugeote, qui passaient la majeure partie de leur temps à peaufiner la beauté de leur teint, des prétentieuses ne songeant qu'à paraître afin d'occuper le devant de la scène !

Face à ces querelles de voisinage, Anselme se sentait impuissant et cela le rendait un peu triste. Mais une gentille coccinelle vint lui murmurer à l'oreille: Soyez sans crainte père Anselme, tout va bien, ce n'est pas la fin des haricots !

Justement, parlons-en des haricots ! C'est quoi cette manie qui les pousse à grimper toujours plus haut ! Impossible d'attraper les gousses qui pendent au sommet. Anselme aimerait voir ses bras s'allonger, devenir des rames capables d'accrocher les nuages.

Cela fit rire Zoé qui se balançait sur sa toile: Que tu es drôle père Anselme, que ferais-tu d'un nuage, cette chose molle, froide et mouillée ?

— Tu n'es qu'une minuscule araignée Zoé, qui ne voit pas plus loin que le bout de son fil !

— Peut-être, mais sur mon fil, je deviens funambule, tandis que toi sur tes deux pieds, tu es souvent bien ridicule ! Pourtant j'aime le bruit de ton pas, le son de ta voix, l'habileté de tes mains, et surtout ton regard quand il se perd dans les nuages.

— Je vais t‘expliquer pourquoi petite sorcière ? Quand je regarde les nuages, j'attrape des milliers de rêves qui me font la vie plus belle !

—Tu as parfois des idées bizarres père Anselme, si tu veux rêver, commence par dormir.

— C'est exactement ce que je vais faire. Rien de tel qu'une bonne sieste pour réconforter un vieux jardinier, dont les os commencent à rouiller.

Un bourdon curieux vint tournoyer autour du banc sur lequel Anselme s'était allongé, tandis qu'une fourmi intriguée lui chatouillait le menton, et qu'un lézard gris se promenait sur sa casquette.

Anselme sursauta, se redressa, se frotta les yeux et constata avec bonheur, que la paix régnait dans son jardin.

Auteur: Lacroix-Pesce Marie

Info: Chahut dans le potager !

[ conte ] [ historiette ] [ légumes ] [ comptine ]

écrivain-sur-écrivaine

" Je pouvais voir des enfants, des hommes et des jardins dans mes mains. " L B

Traitez-moi d'impatient, de paresseux, mais j'en ai marre de lire des histoires élaborées. Je veux que simplicité et efficacité – si j'ose – fassent le travail narratif. L'info-dump est, je pense, le meilleur moyen de rendre une histoire froide, c'est pourquoi je me tourne si souvent vers des auteurs qui écrivent des nouvelles extra-courtes ; pas nécessairement de la fiction flash, mais du genre de cinq pages bien abouties qui crépitent de vie et se déroulent presque entièrement dans le réel. Pensez à Denis Johnson et son Jesus' Son. Pensez à Lucia B.

Dans son " Angel's Laundromat ", par exemple, la narratrice est assise sur une chaise en plastique alors que son linge tourne dans une machine à laver publique. Elle remarque dans le miroir un homme – également assis dans la laverie automatique – qui étudie ses mains à elle. Soudain, elle se voit elle-même à nouveau et nous fait part d'une double conscience qui frappe : " Je pouvais voir des enfants, des hommes et des jardins dans mes mains. " Cette auto-caractérisation sobre et détournée est l’élément vital de l’histoire. Sans se plonger dans des flashbacks ou des anecdotes superflues, Berlin fait remonter à la surface l'histoire personnelle de son personnage, et elle le fait d'une manière reconnaissable à la fois humaine et complexe. Non seulement nous apprenons que cette femme a des enfants, a eu de nombreux amants, a entretenu des fleurs toute sa vie, mais on commence également à comprendre quelque chose de son processus psychologique : nous avons là un personnage très attentif qui utilise de petits détails pour construire un plus grand sentiment. Mosaïque d'une  compréhension de soi. On pourrait même pressentir une pointe de névrose, une hypersensibilité à l’existence ordinaire. Les prétendues cicatrices, rides et imperfections de ses mains lui reviennent – ​​et nous arrivent – ​​chargées de sens. Elle disent quelque chose.

Bien sûr, cette phrase présente une énigme si l’on considère le mantra classique de l’écriture créative, ne le dis pas. Berlin montre-t-elle ou raconte-t-elle ? Dans un sens, elle ne fait que raconter. Sans vraiment contextualiser quoi que ce soit, elle livre au lecteur une petite fiche : on sait désormais quelques trucs sur la vie amoureuse et familiale de ce personnage, son statut de mère. Nous ne voyons pas un bébé qui fait ses dents se mordre la main. Nous ne la voyons pas se tordre les mains alors qu'elle veille tard en attendant un amant indiscipliné. On ne la voit pas travailler dans un jardin. Au lieu de cela, nous la voyons – sans plus – contempler ses mains et se plonger de manière plutôt abstraite dans un processus de métonymie existentielle.

Et pourtant, la phrase est suffisamment évocatrice pour montrer effectivement ces choses. Peut-être que nous ne voyons pas – ne regardons pas – la protagoniste de Berlin accroupie dans un jardin, mais nous ressentons certainement l'histoire cachée de l'action. Le pouvoir réside dans la syntaxe ; " Je pouvais voir des enfants, des hommes et des jardins entre mes mains. " Pouvait voir. Le choix des mots est à la fois lointain et proche, volontairement. Il y a cette notion d'aptitude, l'idée que la mémoire est là pour être lue si seulement le protagoniste veut s'y adonner. Son histoire est donc disponible pour inspection même si elle n’envahit pas nécessairement le moment présent sous la forme d’une scène secondaire. Et, si d'un autre côté la protagoniste déclarait qu'elle voyait ces choses entre ses mains, le choix de Berlin de ne pas se lancer dans un flash-back semblerait trompeur car nous, en tant que lecteurs, serions mis à l'écart. Ce serait révélateur d'une dissimulation, le personnage arpentant finalement un monde caché et inaccessible. Au lieu de cela, Berlin intègre cette histoire – toute cette vie mystérieuse – dans le tissu du présent. Elle est à la fois précise et approximative, et les détails de la vie du protagoniste reviennent au premier plan de l'action présente sans détours historiques.

Pourtant, pour certains, cela peut sembler une phrase superficielle et jetable. L’histoire, après tout, se concentre principalement sur l’homme qui regarde. Dès la première phrase, le lecteur est orienté de manière laconique et fragmentaire vers le sujet présumé de l'histoire : " Un grand et vieil Indien en Levi's décoloré avec une fine ceinture Zuni. " Nous voilà ainsi encouragés à nous concentrer sur lui. Mais c'est vraiment cette présence – celle du narrateur – qui conduit l'histoire, pour s'éloigner vers certaines périphéries jusqu'à ce que elle fasse disparaitre facilement cet homme en disant : " Je ne sais plus quand j'ai réalisé que je ne reverrais jamais ce vieil Indien". Le lecteur doit alors réaliser qu'il a traqué le mauvais personnage. Et la seule chose qui reste à faire est de revenir aux mains du conteur et reconnaître qu’elles détiennent la véritable histoire.

Auteur: Lannamann Taylor

Info: https://tinhouse.com/ 11 janvier 2017, sur Lucia Berlin

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

[ ratatinement ] [ limite de conservation ] [ apparences ] [ topologie ] [ recherche ] [ densification ]