volatiles

Cette découverte scientifique est restée cachée dans un tiroir de musée pendant des décennies.  

Les oiseaux que nous allons rencontrer ne ressemblent à rien de ce que vous avez déjà vu.

Federico Degrange : Ils utilisent leur bec comme une hache pour tuer leurs proies.

Lichtman : Oh, mon Dieu.

Daniel Ksepka : Imaginez la plus grande chose que vous ayez jamais vue en vie en train de voler.

James Hansford : Ils sont colossaux. Ils pèsent environ 1 900 livres.

Alicia Grealy : Les œufs auraient été environ 150 fois plus gros qu'un œuf de poule.

Ksepka : Nous parlons donc de plumes d'environ deux pieds, ce qui est... c'est une grande plume.

Anusuya Chinsamy-Turan : La plupart des gens, vous savez, pensent à l'autruche - et ils pensent que c'est grand. Mais en fait, il y avait de vrais géants à une époque.

Lichtman : Nous parlons d'oiseaux qui pesaient autant qu'une voiture de sport, d'oiseaux qui étaient les plus grands prédateurs de leur époque, parcourant la jungle et dévorant des animaux de la taille d'un petit cheval, d'oiseaux si gargantuesques qu'on pouvait les confondre avec un avion.

Pourtant, ces oiseaux sont passés sous le radar de la paléontologie, en tout cas si on compare avec de nombreux dinosaures. Ces géants ailés sont mystérieux et les scientifiques en apprennent chaque jour un peu plus sur eux.

Au cours des quatre prochains épisodes de Science, vite fait, je vais vous les présenter. Nous partons à la recherche des oiseaux les plus extrêmes qui aient jamais existé. Bienvenue dans la première partie d'une série de quatre épisodes sur les vrais grands oiseaux.

- Bonjour, je m'appelle Daniel Ksepka.

Lichtman : Dan est un paléontologue aviaire.

Ksepka : Et je suis conservateur des sciences au Musée Bruce.

Lichtman : Quelle est votre relation avec les grands oiseaux disparus ?

Ksepka : Je les aime et ils m'aiment.

[CLIP : bruits d'océan]

Lichtman : Ok, je veux que vous fermiez les yeux. Dan va planter le décor du premier monstre que nous allons rencontrer.

Ksepka : Imaginez que vous vous trouvez en Caroline du Sud, il y a 27 millions d'années. Vous regardez la mer.

[CLIP : bruit de tempête]

Ksepka : C'est une mer agitée. Et puis, juste suspendu dans les airs, vous savez, bloquant le soleil... se déploie la plus grande chose que vous ayez jamais vue vivante en train de voler, comme un double albatros - avec une envergure de plus de 6 mètres. Elle est magnifique, et vous survole. C'est probablement un grand moment de votre vie, vous savez, l'émerveillement de voir ça.

Lichtman : Cet oiseau s'appelle Pelagornis sandersi. Il n'a pas de nom commun.

Ksepka : Oh, je l'appelle simplement Pelagornis. 

Lichtman : Dan a été le premier à décrire scientifiquement le fossile. Et nous verrons pourquoi il l'a appelé P. sandersi dans une minute. L'histoire commence lorsque ce fossile est entré dans sa vie, sans crier gare.

Ksepka : Pelagornis était un accident de chance et de fortune.

Lichtman : Dan n'a pas trouvé le fossile. Il avait été déterré en Caroline du Sud dans les années 1980, bien avant que Dan ne pose les yeux dessus.

Ksepka : Ils faisaient des fouilles à l'aéroport de Charleston et quelqu'un est tombé sur des os. Les travaux ont été interrompus.

Lichtman : Et il a fait appel à des renforts. Le regretté Al Sanders, paléontologue au musée local de Charleston.

Ksepka : Il est venu avec une équipe et ils ont ramassé ce qui avait été trouvé. Et puis, vous savez, j'aurais pensé que quiconque aurait trouvé cela se serait arrêté net et en aurait fait sa priorité parce que c'était, vous savez, le plus grand oiseau volant de tous les temps.

Lichtman : C'est du moins ce qu'aurait fait un paléontologue aviaire. Mais Al Sanders était plutôt un spécialiste des fossiles de baleines. Il a donc ramené le fossile au musée et l'a mis de côté.

Ksepka : Et Al l'a rangé dans un tiroir au fond de ce genre d'armoire dans le musée.

Lichtman : Et il est resté là pendant une trentaine d'années. Un jour, Al a parlé à Dan des ossements.  

Ksepka : Oui, et je ne m'attendais pas à voir le plus grand oiseau jamais vu dans un tiroir quand j'y suis allé. J'aurais été content avec un canard ou quelque chose comme ça.

Lichtman : Dans ce tiroir qui prenait la poussière se trouvait un fossile vieux d'environ 27 millions d'années qui ne ressemblait à rien de ce que Dan avait vu auparavant.

Ksepka : J'ai sorti l'os de l'aile, je l'ai posé sur le sol, je me suis allongé à côté et j'ai pris une photo avec mon téléphone portable parce qu'il était plus long que mon bras - c'était l'un des trois os.

Lichtman : Dan l'a baptisé Pelagornis sandersi en l'honneur d'Al Sanders, inconscient conservateur de cette découverte colossale. Dan a entrepris de comprendre tout ce qu'il pouvait sur cet oiseau. Et il s'est rendu compte que l'envergure de l'oiseau n'était pas la seule chose étonnante à son sujet. L'oiseau n'était pas seulement grand. Il était bizarre.

Ksepka : Je n'arrivais pas à croire le crâne. Il ne ressemble pas du tout à un oiseau. Il ressemble presque à un petit alligator. Avec un bec d'un pied et demi de long, contenant des mâchoires, avec des sortes de fausses dents.

Lichtman : Elles sont fausses parce qu'elles ne sont pas faites de ce dont sont faites nos dents : de la dentine et de l'émail. Mais elles ont toujours du mordant.

Ksepka : Oui, ce sont en fait des projections d'os, de petites pointes d'os dont la taille varie. Il y a donc une petite, une moyenne et une grande dans l'ordre, et elles ondulent selon ce schéma.

Lichtman : Et c'était probablement parfaits pour percer et retenir des objets glissants...

Ksepka : Donc, quelque chose comme un poisson ou un calmar une fois attrapé.

Lichtman : Outre les fausses dents de poisson, les os de l'épaule de l'oiseau étaient également étranges. Les omoplates de l'oiseau étaient minuscules. L'articulation de l'épaule et l'os qui s'y rattache avaient une forme inhabituelle.

Ksepka : Il ne semble pas qu'elle puisse vraiment fonctionner comme un oiseau normal. Cet oiseau ne pouvait donc pas lever son aile au-dessus du niveau de son dos. Il ne bat donc pas comme une mouette. Ou comme un oiseau chanteur.

Lichtman : Imaginez un cardinal décollant du sol, poussant ses ailes vers le haut et vers le bas, vite et fort. Ce mastodonte se contente probablement de déployer ses ailes de 20 pieds et de laisser le vent faire le travail.

Ksepka : C'est comme un cerf-volant géant. Il s'est donc probablement élevé dans les airs, soit en faisant face au vent, soit en prenant un départ un peu maladroit, soit en utilisant l'élévation à son avantage...

Lichtman : Et une fois que cet oiseau était en l'air, Dan pense qu'il pouvait probablement s'élever sur de grandes distances.

Ksepka : Je ne serais pas surpris que le Pelagornis puisse traverser l'Atlantique et s'arrêter en Afrique ou en Europe, puis revenir dans le cadre de sa migration saisonnière.

Lichtman : Cette espèce, Pelagornis sandersi, n'a été trouvée qu'à Charleston, mais ses proches - les autres oiseaux de cette bande de fausses dents - sont présents partout.

Ksepka : On les trouve partout dans le monde. Nous avons trouvé des fossiles en Antarctique, en Nouvelle-Zélande, dans l'État de Washington et dans l'Oregon, en Europe, en Afrique, en Amérique du Sud. On en trouve littéralement sur tous les continents.

Lichtman : Entre sa taille gigantesque et ses dents, Pelagornis est peut-être l'un des oiseaux les plus étranges de l'histoire de la Terre. Et la question qui me vient à l'esprit est la suivante : comment cet oiseau est-il apparu ? Dan pense que l'apparition de ce groupe - les pélagornithidés - est peut-être liée à la disparition d'autres créatures volantes étranges et géantes.

Ksepka : Dans le cas des pélagornithidés, ce rôle particulier serait rempli par des reptiles volants au Crétacé. Certaines de ces espèces sont bien plus grandes que Pelagornis et disparaissent lors de la même extinction que les dinosaures nonaviens, ce qui permet à un nouveau groupe d'explorer le rôle d'animal volant de très grande taille. Et les pélagornithidés sont le premier groupe à s'en emparer.

Lichtman : Ils se sont engouffrés dans une niche ouverte. C'est ce que m'ont dit de nombreux chercheurs spécialisés dans les grands oiseaux avec lesquels je me suis entretenu pour cette série : ces oiseaux géants sont entrés en scène en partie parce que l'extinction massive a éliminé la concurrence. Et il ne s'agit pas seulement des dinosaures : d'autres reptiles et les premiers oiseaux se sont également éteints. Les survivants ont donc eu accès à des ressources et à des écosystèmes qui n'existaient pas auparavant. Au fil des ans, j'ai beaucoup entendu parler de la radiation des mammifères, qui ont connu leur heure de gloire après la disparition des dinosaures. Mais dans un monde post-dinosaures, les oiseaux ont également déployé leurs ailes et se sont spécialisés.

Ksepka : Une spectaculaire diffusion des oiseaux s'est produite au cours des quelques millions d'années qui ont suivi cette extinction massive. Les ancêtres des oiseaux modernes ont donc la possibilité d'explorer des habitats arboricoles, prédateurs ou aquatiques pour la première fois. Et ils deviennent vraiment - ils deviennent un peu sauvages.

Lichtman : Pelagornis n'est qu'un début. Nous avons d'autres oiseaux sauvages à rencontrer dans les prochains épisodes : des oiseaux qui se sont élevés tel le phénix après l'extinction des dinosaures et qui sont devenus différents de tous les oiseaux encore en vie aujourd'hui.

Ksepka : Par exemple, les oiseaux-éléphants étaient peut-être les plus grands oiseaux qui aient jamais vécu.

Alicia Grealy : Oui, certains pouvaient peser jusqu'à une tonne. C'est pour cela qu'on les appelle les oiseaux-éléphants, n'est-ce pas ?

Lichtman : C'est ce que nous verrons dans le prochain épisode de cette série en quatre parties.

Auteur: Internet

Info: Flora Lichtman, 31 mai 2023. Emission de radio, repris par https://www.scientificamerican.com/

[ oryctographie ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]