moi

Le fait fondamental que nous apporte l’analyse [...] c’est que l’ego est une fonction imaginaire. [...]

Si l’ego est une fonction imaginaire, il ne se confond pas avec le sujet. Qu’est-ce que nous appelons un sujet ? Très précisément, ce qui, dans le développement de l’objectivation, est en dehors de l’objet.

On peut dire que l’idéal de la science est de réduire l’objet à ce qui peut se clore et se boucler dans un système d’interactions de forces. L’objet, en fin de compte, n’est jamais tel que pour la science. Et il n’y a jamais qu’un seul sujet – le savant qui regarde l’ensemble, et espère un jour tout réduire à un jeu déterminé de symboles enveloppant toutes les interactions entre objets. [...]

Pendant l’analyse, par exemple d’un comportement instinctuel, on peut négliger un certain temps la position subjective. Mais cette position ne peut absolument pas être négligée quand il s’agit du sujet parlant. Le sujet parlant, nous devons forcément l’admettre comme sujet. Et pourquoi ? Pour une simple raison, c’est qu’il est capable de mentir. C’est-à-dire qu’il est distinct de ce qu’il dit.

Eh bien, la dimension du sujet parlant, du sujet parlant en tant que trompeur, est ce que Freud nous découvre dans l’inconscient.

Dans la science, le sujet n’est finalement maintenu que sur le plan de la conscience, puisque le x du sujet dans la science est au fond le savant. [...] Freud au contraire nous montre qu’il y a dans le sujet humain quelque chose qui parle, qui parle au plein sens du mot, c’est-à-dire quelque chose qui ment, en connaissance de cause, et hors de l’apport de la conscience. [...]

Du même coup, cette dimension ne se confond plus avec l’ego.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, Livre I", "Les écrits techniques de Freud (1953-1954)", éditions du Seuil, 1975, pages 301-302

[ discours de l'analyste ] [ discours scientifique ] [ différences ] [ sujet de l'inconscient ] [ subjectif-objectif ]

expérience du bouquet renversé

Pour que l’illusion se produise, pour que se constitue, devant l’œil qui regarde, un monde où l’imaginaire peut inclure le réel et, du même coup, le former, où le réel aussi peut inclure et, du même coup, situer l’imaginaire, il faut qu’une condition soit réalisée – je vous l’ai dit, l’œil doit être dans une certaine position, il doit être à l’intérieur du cône.

S’il est à l’extérieur de ce cône, il ne verra plus ce qui est imaginaire pour la simple raison que rien du cône d’émission ne viendra le frapper. Il verra les choses à leur état réel, tout nu, c’est-à-dire l’intérieur du mécanisme, et un pauvre pot vide, ou des fleurs esseulées, selon les cas.

Vous me direz – Nous ne sommes pas un œil, qu’est-ce que c’est que cet œil qui se balade ?

La boîte veut dire votre propre corps. Le bouquet, c’est instincts et désirs, les objets du désir qui se promènent. Et le chaudron, qu’est-ce que c’est ? Ça pourrait bien être le cortex. Pourquoi pas ? [...]

Au milieu de ça, votre œil ne se promène pas, il est fixé là, comme un petit appendice titilleur du cortex. [...]

L’œil est ici, comme très fréquemment, le symbole du sujet.

Toute la science repose sur ce qu’on réduit le sujet à un œil, et c’est pourquoi elle est projetée devant vous, c’est-à-dire objectivée. [...] Pour nous réduire un petit instant à n’être qu’un œil, il fallait que nous nous placions dans la position du savant qui peut décréter qu’il n’est qu’un œil, et mettre un écriteau à la porte – Ne pas déranger l’expérimentateur. Dans la vie, les choses sont toutes différentes, parce que nous ne sommes pas un œil. Alors, qu’est-ce que veut dire l’œil qui est là ?

Cela veut dire que, dans le rapport de l’imaginaire et du réel, et dans la constitution du monde telle qu’elle en résulte, tout dépend de la situation du sujet. Et la situation du sujet [...] est essentiellement caractérisée par sa place dans le monde symbolique, autrement dit dans le monde de la parole.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, Livre I", "Les écrits techniques de Freud (1953-1954)", éditions du Seuil, 1975, page 129-130

[ réel-symbolique-imaginaire ] [ schéma optique ] [ interprétation psychanalytique ] [ métaphore du fonctionnement psychologique ]

nœud borroméen

[à partir du schéma du bouquet renversé à deux miroirs ]

En effet, le sujet virtuel, reflet de l’œil mythique, c’est-à-dire l’autre que nous sommes, est là où nous avons d’abord vu notre ego – hors de nous, dans la forme humaine. cette forme est hors de nous, non pas en tant qu’elle est faite pour capter un comportement sexuel, mais en tant qu’elle est fondamentalement liée à l’impuissance primitive de l’être humain. L’être humain ne voit sa forme réalisée, totale, le mirage de lui-même, que hors de lui-même. [...]

Ce que le sujet qui, lui, existe, voit dans le miroir est une image, nette ou bien fragmentée, inconsistante, décomplétée. Cela dépend de sa position par rapport à l’image réelle. [...]

De l’inclinaison du miroir dépend donc que vous voyiez plus ou moins parfaitement l’image. Quant au spectateur virtuel, celui que vous vous substituez par la fiction du miroir pour voir l’image réelle, il suffit que le miroir plan soit incliné d’une certaine façon pour qu’il soit dans le champ où on voit très mal. De ce seul fait, vous aussi vous voyez très mal l’image dans le miroir. Disons que cela représente la difficile accommodation de l’imaginaire chez l’homme.

Nous pouvons supposer maintenant que l’inclinaison du miroir plan est commandée par la voix de l’autre. Cela n’existe pas au niveau du stade du miroir, mais c’est ensuite réalisé par notre relation avec autrui dans son ensemble – la relation symbolique. Vous pouvez saisir dès lors que la régulation de l’imaginaire dépend de quelque chose qui est situé de façon transcendante [...] – le transcendant dans l’occasion n’étant ici rien d’autre que la liaison symbolique entre les êtres humains.

Qu’est-ce que c’est que la liaison symbolique ? C’est [...] que, socialement, nous nous définissons par l’intermédiaire de la loi. C’est de l’échange des symboles que nous situons les uns par rapport aux autres nos différents moi – vous êtes, vous, Mannoni, et moi, Jacques Lacan, et nous sommes dans un certain rapport symbolique qui est complexe, selon les différents plans où nous nous plaçons, selon que nous sommes ensemble chez le commissaire de police, ensemble dans cette salle, ensemble en voyage.

En d’autres termes, c’est la relation symbolique qui définit la position du sujet comme voyant. C’est la parole, la fonction symbolique qui définit le plus ou moins grand degré de perfection, de complétude, d’approximation, de l’imaginaire. [...]

Un tel schéma vous montre que l’imaginaire et le réel jouent au même niveau. Pour le comprendre, il suffit de faire un petit perfectionnement de plus à cet appareil. Pensez que ce miroir est une vitre. Vous vous voyez dans la vitre et vous voyez les objets au-delà. Il s’agit justement de cela – d’une coïncidence entre certaines images et le réel.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, Livre I", "Les écrits techniques de Freud (1953-1954)", éditions du Seuil, 1975, pages 221 à 223

[ genèse du concept ] [ constitution de la structure psychologique ]

construction psychologique

[...] si l’on généralise à l’excès la notion de libido, [...] ce faisant, on la neutralise. N’est-il pas évident, de plus, qu’elle n’apporte rien d’essentiel à l’élaboration des faits de la névrose si la libido fonctionne à peu près comme ce que M. Janet appelait la fonction du réel ? La libido prend son sens, au contraire, de se distinguer des rapports réels ou réalisants, de toutes les fonctions qui n’ont rien à faire avec la fonction de désir, de tout ce qui touche aux rapports du moi et du monde extérieur. Elle n’a rien à voir avec d’autres registres instinctuels que le registre sexuel, avec ce qui touche par exemple au domaine de la nutrition, de l’assimilation, de la faim pour autant qu’elle sert à la conservation de l’individu. Si la libido n’est pas isolée des fonctions de conservation de l’individu, elle perd tout sens.

Or, dans la schizophrénie, il se passe quelque chose qui perturbe complètement les relations du sujet au réel, et noie le fond avec la forme. Ce fait pose tout d’un coup la question de savoir si la libido ne va pas beaucoup plus loin que ce qui a été défini en prenant le registre sexuel comme noyau organisateur, central. C’est là que la théorie de la libido commence à faire problème.

[...]

Jung [...] introduit la notion d’introversion qui est pour lui – c’est la critique que lui fait Freud – une notion ohne Unterscheidung, sans aucune distinction. Et il aboutit à la notion vague d’intérêt psychique, qui confond en un seul registre ce qui est de l’ordre de la conservation de l’individu et ce qui est de l’ordre de la polarisation sexuelle de l’individu dans ses objets. Il ne reste plus qu’une certaine relation du sujet à lui-même que Jung dit d’être d’ordre libidinal. Il s’agit pour le sujet de se réaliser en tant qu’individu en possession des fonctions génitales.

La théorie psychanalytique a été depuis lors ouverte à une neutralisation de la libido qui consiste, d’un côté, à affirmer fortement qu’il s’agit de libido, et de l’autre, à dire qu’il s’agit simplement d’une propriété de l’âme, créatrice de son monde. Conception extrêmement difficile à distinguer de la théorie analytique, pour autant que l’idée freudienne d’un autoérotisme primordial à partir de quoi se constitueraient progressivement les objets est presque équivalente dans sa structure à la théorie de Jung.

Voilà pourquoi, dans l’article sur le narcissisme, Freud revient sur la nécessité de distinguer libido égoïste et libido sexuelle. [...]

Le problème est pour lui extrêmement ardu à résoudre. Tout en maintenant la distinction des deux libidos, il tourne [...] autour de la notion de leur équivalence. Comment ces deux termes peuvent-ils être rigoureusement distingués si on conserve la notion de leur équivalence énergétique, qui permet de dire que c’est pour autant que la libido est désinvestie de l’objet qu’elle revient se reporter dans l’ego ? [...] De ce fait, Freud est amené à concevoir le narcissisme comme un processus secondaire. Une unité comparable au moi n’existe pas à l’origine, nicht von Anfang, n’est pas présente depuis le début dans l’individu, et l’Inch a à se développer, entwickeln werden. Les pulsions autoérotiques, au contraire, sont là depuis le début. [...] Dans le développement du psychisme, quelque chose de nouveau apparaît dont la fonction est de donner forme au narcissisme. N’est-ce pas marquer l’origine imaginaire de la fonction du moi ?

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, Livre I", "Les écrits techniques de Freud (1953-1954)", éditions du Seuil, 1975, pages 182 à 185

[ historique ] [ déviations ]

onirologie

Les rêves sont des portes d'accès au monde invisible pour de nombreuses civilisations, cette porte ouvre sur le royaume des morts, des entités célestes et chthoniennes. Ces êtres interagissent avec nous grâce aux rêves, et certains d'entres eux peuvent nous apporter des messages célestes, et d'autres des messages plutôt sombres et funestes. Dans la mystique juive, il est admis que le dormeur à la capacité d'entrer en contact avec différents êtres durant le sommeil, Moshé Idel nous dévoile certaines techniques onirologiques utilisées par des Maîtres Kabbalistes.

Dans la technique dite du she’elot halom, particulièrement présente chez les Kabbalistes, technique qui consiste à formuler des questions avant d’aller dormir, le praticien entre en dialogue avec le monde invisible. Le grand Besht, plus connu sous le nom de Ba'al Shem Tov, est dit avoir utilisé cette technique et que tout ce que savait le Besht provenait des réponses qu'il recevait en rêve. Dans certains cas, ces réponses prennent la forme d’un verset de la Bible comme une révélation personnelle, dans lequel la réponse était contenu. Par conséquent, on devait interpréter le verset comme la Thora est interprétée par les Maîtres.

R. Isaac ben Samuel d’Acre, un Kabbaliste du début du XIVème siècle, rapporte ce qui suit : "Moi, le jeune Isaac d’Acre, étais endormi dans mon lit, et à la fin de la troisième garde, une merveilleuse réponse par le rêve m’a été révélée, dans une véritable vision, comme si j’étais pleinement éveillé, et la voici [le verset] : - Sois entièrement avec l’Éternel ton Dieu…" Deutéronome, chapitre 18, verset 13

R. Isaac voit toutes sortes de combinaisons de mots et leurs équivalences numériques qui font allusion au nom divin YBQ, et "pense aux lettres du Tétragramme telles qu’elles sont prononcées (...). En une cogitation conceptuelle, méditative et intellectuelle… non pas d’une façon qui arrive du cœur à la gorge…".

Cette technique de permutation des lettres associée à une médiation est l'oeuvre d'Abraham Aboulafia (1240-1291), George Lahy définit cette permutation des lettres, le Tserouf, comme suit :

"La pratique du Tserouf, l’art combinatoire, ouvre les portes de la Kabbale extatique. Cette extase provoquée par le Kabbaliste est un ravissement de l’esprit fusionné par la méditation et détaché du monde sensible."

Dans son livre H’aye haOlam haBa, Abraham Aboulafia nous explique de quelle manière procéder :

"Il te faut t’apprêter pour l’union du coeur et la purification du corps. Un lieu particulier et préservé doit être choisi, d’où ta voix ne sera entendue de personne. Installe-toi complètement seul et retire-toi dans l’HITBODED (esseulement). Tu dois être assis en ce lieu préservé, qui peut être une pièce ou une cellule ; mais surtout ne révèle ce secret à personne. Si tu peux, applique la méthode le jour dans une maison, mais le moment le plus favorable est la nuit. Éloigne de ton esprit les vanités de ce monde, car c’est l’instant où tu vas parler avec ton Créateur, de qui tu souhaites connaître la Grandeur.

Enveloppe-toi dans ton châle de prière et place ta tête et ton bras tes tefillim car tu dois être rempli de révérence envers la Shekhinah qui t’enrobe maintenant. Vérifie que tes vêtements soient purs et de préférence blancs ; cette précaution invite avec force au recueillement…"

Un autre exemple de la pratique onirologique du she’elat halom découle de l’un des plus célèbres Kabbalistes, Rabbi Hayyim Vital, qui recommande ceci :

"Tu iras au lit pour dormir, prie : - Que Ta Volonté soit faite, et utilise l’une des prononciations des noms [divins] écrits devant toi, et dirige ta pensée vers les sphères mystiques qui y sont liées. Puis évoque ta question soit pour découvrir les problèmes liés à un rêve et les choses futures, soit pour obtenir quelque chose que tu désires, ensuite pose [la question]."

Ailleurs, ce Kabbaliste a recours à une technique de visualisation de la couleur pour obtenir une réponse à sa question, qu’il atteint dans un état similaire au rêve :

"Visualise qu’au-dessus du firmament des Aravot (des cieux), il y a un très grand rideau blanc, blanc comme la neige, sur lequel le Tétragramme est inscrit, en écriture assyrienne (il ne s’agit pas de l’écriture cunéiforme assyrienne, Hayyim Vital fait référence à une forme calligraphique traditionnelle de l’alphabet hébraïque : l’écriture carrée, dite ashourite (ktav ashuri), qui vient du nom Ashur. Ashur en hébreu désigne l’Assyrie), dans une certaine couleur…. et chacune des grandes lettres inscrites là sont aussi grandes qu’une montagne ou une colline. Et tu devras imaginer, dans tes pensées, que tu poses ta question à ces combinaisons de lettres écrites là, et elles répondront à ta question, ou elles feront résider leur esprit dans ta bouche, ou bien tu seras somnolent et elles te répondront, comme dans un rêve."

Une autre technique d’induction des rêves a été élaborée à partir de textes mystiques juifs, elle s’appelle "les pleurs mystiques" : il s’agit d’un effort pour atteindre un résultat direct par le biais des pleurs provoqués sur soi-même. Ce résultat recherché peut aller de la connaissance paranormale aux visions porteuses d’informations à propos de quelque secret. Nous trouvons quelques exemples dans la littérature apocalyptique, où la prière, les pleurs et les jeûnes sont utilisés pour induire le Parole de Dieu dans un rêve.

Le lien entre les pleurs et les perceptions paranormales qui se forme dans les rêves est également évident dans une histoire midrashique :

"L’un des étudiants de R. Simeon bar Yohaï avait oublié ce qu’il avait appris. En larmes, il se rendit au cimetière. Du fait de ses grands pleurs, il [R. Simeon] vint à lui en rêve et lui dit : - lorsque tu te lamentes, lance trois brindilles, et je viendrai... L’étudiant se rendit auprès d’un interprète des rêves et lui raconta ce qui s’était produit. Ce dernier lui dit : - répète ton chapitre [ce que tu as appris] trois fois, et il te reviendra... L’étudiant suivit ses conseils et c’est effectivement ce qui se passa."

La corrélation entre les pleurs et la visite d’une tombe semble faire allusion à une pratique destinée à induire des visions. Ceci, bien sûr, faisait partie d’un contexte plus étendu dans lequel les cimetières étaient des sites où il était possible de recevoir une vision. Tomber de sommeil en larmes, ce dont il est question ici, semble également être une part de l’enchaînement : la visite au cimetière, les pleurs, tomber de sommeil en larmes, le rêve révélateur.

La technique des pleurs pour atteindre la "Sagesse" est puissamment expliquée par R. Abraham ha-Levi Berukhim, l’un des disciples d’Isaac Louria. Dans l’un de ses programmes, après avoir spécifié le "silence" comme première condition, il nomme "la seconde condition : dans toutes tes prières, et dans toutes tes heures d’étude, en un lieu que l’on trouve difficile (le lieu où l’on étudie), dans lequel tu ne peux pas comprendre et appréhender les sciences propédeutiques ou certains secrets, provoque en toi d’amères lamentations, jusqu’à ce que des larmes mouillent tes yeux, et pleure autant que tu pourras. Et fais redoubler tes pleurs, car les portails des larmes n’étaient pas fermés et les portails célestes s’ouvriront à toi."

Pour Louria et Berukhim, pleurer est une aide pour surmonter les difficultés intellectuelles et recevoir des secrets. Ceci s’apparente à l’histoire de R. Abraham Berukhim qui est la confession autobiographique de son ami, R. Hayyim Vital :

"En 1566, la veille de Chabbath, le 8 du mois de Tevet, j’ai récité le Kiddush et me suis assis pour manger ; et mes yeux s’emplirent de larmes, j’avais signé et j’étais triste dès lors… J’étais lié par la sorcellerie… Et je pleurais également pour avoir négligé la Torah au cours des deux dernières années… Et à cause de mon inquiétude, je n’ai pas mangé du tout, et je me suis étendu, le visage contre mon lit, en pleurs, et je me suis endormi d’avoir trop pleuré, et j’ai fais un rêve extraordinaire."

Ces she’elot halom (les questions posées par le biais des rêves, la visualisation de couleur, les pleurs mystiques), comme d’autres techniques mystiques appartiennent à la littérature juive, mais également au quotidien des Kabbalistes. Moshé Idel affirme que cette technique suppose que le mystique peut prendre l’initiative et établir un contact avec d’autres royaumes, et qu’il peut induire certaines expériences en ayant recours à ces techniques.

Auteur: Shoushi Daniel

Info: Le she’elot halom, ou le processus d'induction spirituelle par les rêves chez les mystiques juifs, par Moshé Idel, 11 Avril 2018. Sources : Kabbale extatique et Tsérouf, Georges Lahy. Editions : Lahy. Astral Dreams in Judaism Twelfth to Fourteenth Centuries, Moshé Idel. Editions : Dream Cultures; Explorations in the Comparative History of Dreaming. Ed. by David Shulman and Guy G. Stroumsa. New York : Oxford University Press, 1999. Les kabbalistes de la nuit, Moshé Idel. Editions Allia

[ songes ] [ astralogie ] [ psychanalyse ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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