(Ur, En allemand préfixe permettant l'accentuation ou l'exagération d'un mot)

En théorie des ensembles, un ur-element (ou urelement) est quelque chose qui n'est pas un ensemble mais qui peut être élément d'un ensemble.

Ils partagent ainsi avec le seul ensemble vide le fait de ne posséder aucun élément, mais pour des raisons tout à fait différentes : rien ne peut appartenir à un ur-element parce que cela n'a pas de sens, alors que rien n'appartient à l'ensemble vide par définition.

Les ur-elements sont aussi appelés atomes, individus, éléments primitifs ....

La théorie des ensembles moderne a pu montrer que, pour développer l'ensemble des mathématiques, on pouvait complètement se passer d'atomes. Tous les ensembles utiles peuvent être construits à partir de l'abstraction mathématique qu'est l'ensemble vide. 

Néanmoins les théories des ensembles avec ur-elements gardent leur intérêt, pour des théories des ensembles faibles, ou tout simplement parce qu'elles peuvent apparaître plus naturelles au prime abord. De façon imagée, si on veut prouver que tout homme résidant à Paris réside en France, on va utiliser les propriétés de la relation d'inclusion telles qu'elles sont définies en théorie des ensembles. Pourtant, on ne va pas affirmer pour le prouver que tel homme (ur-element) qui vit à Paris donc en France est construit à partir de l'ensemble vide.

Adjoindre à l'ontologie ensembliste des objets qui ne sont pas des ensembles permet d'étendre son application à d'autres domaines. Mais il faut bien sûr formellement s'assurer que les théorèmes acquis sur les seuls ensembles peuvent s'exporter hors de ce domaine. D'où l'intérêt d'une théorie des ensembles avec ur-elements qui peut le garantir formellement.

Syntaxiquement, leur introduction consiste à enrichir le langage ensembliste (ne comprenant que les symboles de relation binaire d'appartenance et d'égalité) de constantes d'individus.

Les quantifications présentes dans les axiomes de la théorie des ensembles sont alors généralement relativisées aux seuls ensembles et ne s'appliquent pas aux ur-elements.

Dans des axiomatiques comme la théorie des ensembles typée, les objets de type 0, ou atomes, peuvent être considérés comme des ur-elements.

Résultats

L'adjonction d'ur-elements au système des New Foundations de  Quine (NF), a des conséquences surprenantes. En particulier, alors que l'on ne sait pas si la théorie NF est cohérente (relativement à ZFC et ses extensions), la théorie NF avec Ur-elements, notée NFU, se révèle cohérente relativement à l'arithmétique de Peano : une théorie bien plus faible que ZFC. De plus NFU plus l'axiome du choix est cohérente relativement à NFU, alors que NF démontre la négation de l'axiome du choix !

Je n'avais rien en moi. Je n'ai toujours rien en moi. Voilà ce qui est si intéressant et agréable. Je suis juste extrêmement disponible, pour autant que je puisse dire, pour tout problème qui se présente et me saisit.

Ce que nous voyons dans la nature n'est pas la nature en soi, mais la nature exposée à notre méthode d'interrogation.

Homère invoque les dieux pour rendre compte de l'idée selon laquelle une forme centrale de l'excellence humaine provient d'une certaine manière de l'extérieur. Un dieu, dans sa terminologie, est une disposition  qui nous syntonise avec ce qui est le plus important dans une situation, et nous permet d'y répondre de manière appropriée sans réfléchir.

La sphère publique promeut donc des commentateurs omniprésents, eux-mêmes détachés des pratiques locales à partir desquelles les questions spécifiques se développent et en fonction desquelles ces questions devront être résolues par une sorte d'action engagée. Par conséquent ce qui semble être une vertu selon la distanciée raison des Lumières apparaît comme un inconvénient désastreux pour Kierkegaard. La sphère publique est un monde dans lequel chacun a une opinion sur toutes les questions publiques et les commente sans avoir besoin d'une expérience de première main et sans avoir ou vouloir une quelconque responsabilité. Même les commentateurs les plus consciencieux n'ont pas besoin d'avoir une expérience de première main ou de prendre une position concrète. Ils justifient leurs opinions en citant des principes et, comme le note Kierkegaard avec réprobation, leur "capacité, leur virtuosité et leur bon sens s’emploient à parvenir à un jugement et à une décision sans jamais aller jusqu'à l'action". De plus, comme les conclusions auxquelles aboutit un tel raisonnement abstrait ne sont pas fondées sur les pratiques locales, leurs solutions sont tout aussi abstraites. On peut supposer que de telles propositions ne sauraient susciter l'engagement des personnes concernées et ne fonctionneraient donc pas  une fois mises en œuvre. Kierkegaard conclut que "ce que...  les orateurs d'une réunion comprennent parfaitement lorsqu'on leur présente une pensée ou une observation, ils sont incapables de le comprendre sous forme d'action.

En perdant son identité et en n'ayant pas de point de vue propre, Pip peut voir que toutes les significations du monde sont des significations prises d'un point de vue ou d'un autre. Il peut voir l'égoïsme qu'il y a à considérer ces significations comme ultimes ou finales, précisément parce qu'il peut voir qu'en fin de compte, chacune d'entre elles est un rendu perspectif de quelque chose qui n'a pas de vérité plus profonde. Cela devient clair dans le fascinant chapitre sur le doublon. 

Dire que le but des affaires est de produire du profit, c'est comme dire que le but du jeu de basket-ball est de faire autant de paniers que possible. On pourrait faire beaucoup plus de paniers en n'ayant pas d'adversaire. Le jeu et les styles de jeu sont ce qui importe, car ils produisent des identités qui intéressent les gens. 

De fait, Nietzsche pensait que la seule possibilité pour exister était que chacun de nous devienne un dieu lui-même.

L'homme n'est pas composé d'eau, comme on le dit habituellement, mais de soif, disait le petit homme à travers la pénombre, et il y a dans la vie d'autres énergies importantes, comme la peur, la chaleur, la faim, la douleur, etc. Elles forment quelque chose comme une langue oubliée. La mémoire des défunts n'est pas composée de souvenirs des choses physiques, car ils n'ont pas l'idée de ce que cela peut être, mais de souvenirs d' "énergies" qui les ont stimulés dans la vie. C'est pourquoi il existe ce lien entre les vivants et les morts. C'est le matériau immatériel commun aux uns et aux autres, où peuvent se joindre les deux mondes - celui-ci et celui-là. Notez donc sur un morceau de papier toutes vos énergies comme elles vous viennent à l'esprit et sans en changer l'ordre, marquez-les avec les lettres de l'alphabet de A à Z. N'oubliez pas l'amour, la haine, la joie et la tristesse, les parfums et la puanteur. C'est très important pour la suite...

[...] plus vous buvez de Coca-Cola, plus vous avez soif ; plus vous faites de profit, plus vous en voulez ; plus vous obéissez à l’injonction surmoïque, plus la culpabilité est grande. Dans ces trois derniers cas, la logique de l’échange équilibré est bouleversée au profit d’une logique de l’excès [...]. La clé de cette perturbation est bien sûr le plus-de-jouir, l’objet petit a, dont l’existence (ou plutôt la persistance) détermine un espace courbe : plus vous en approchez, plus il échappe à votre saisie (plus vous le possédez, plus grand est le manque).