objet d'investissement

Qu’est-ce qui différencie le deuil de la mélancolie ?

Pour le deuil, il est tout fait certain que sa longueur, sa difficulté, tient à la fonction métaphorique des traits conférés à l’objet de l’amour, en tant qu’ils sont des privilèges narcissiques. […] Freud insiste bien sur ce dont il s’agit – le deuil consiste à identifier la perte réelle, pièce à pièce, morceau par morceau, signe à signe, élément grand I à élément grand I, jusqu'à épuisement. Quand cela est fait, fini. […]

L'affaire ne commence à devenir sérieuse qu'à partir du pathologique, c’est-à-dire de la mélancolie. L'objet y est, chose curieuse, beaucoup moins saisissable pour être certainement présent, et pour déclencher des effets infiniment plus catastrophiques, puisqu'ils vont jusqu'au tarissement de ce que Freud appelle le sentiment le plus fondamental, celui qui vous attache à la vie.

[…] Quels traits se laissent-ils voir d'un objet si voilé, masqué, obscur ? Le sujet ne peut s’attaquer à aucun des traits de cet objet que l’on ne voit pas, mais nous analystes, […] nous pouvons en identifier quelques-uns à travers ceux qu'il vise comme étant ses propres caractéristiques à lui. Je ne suis rien, je ne suis qu’une ordure.

Remarquez qu'il ne s'agit jamais de l'image spéculaire. Le mélancolique ne vous dit pas qu'il a mauvaise mine, ou qu'il a une sale gueule, ou qu'il est tordu, mais qu'il est le dernier des derniers, qu'il entraîne des catastrophes pour toute sa parenté, etc. Dans ses accusations, il est entièrement dans le domaine du symbolique. Ajoutez-y l'avoir - il est ruiné. Cela n’est-il pas fait pour vous mettre sur la voie ?

[…] Il s'agit de ce que j'appellerais, non pas le deuil ni la dépression au sujet de la perte d'un objet, mais un remords d'un certain type, déclenché par un dénouement qui est de l'ordre du suicide de l'objet. Un remords donc, à propos d'un objet qui est entré à quelque titre dans le champ du désir, et qui, de son fait, ou de quelque risque qu'il a couru dans l'aventure, a disparu.

[…] La voie vous est tracée par Freud, quand il vous indique que déjà dans le deuil normal la pulsion que le sujet retourne contre soi pourrait bien être une pulsion agressive à l’endroit de l’objet. Sondez ces remords dramatiques quand ils adviennent. Vous verrez peut-être qu’il revient ici contre le sujet une puissance d’insultes qui peut être parente de celle qui se manifeste dans la mélancolie. Vous en trouverez la source dans ceci – cet objet, s’il a été jusqu’à se détruire, ce n’était donc pas la peine d’avoir pris avec lui tant de précautions, ce n’était donc pas la peine de m’être détourné pour lui de mon vrai désir.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, livre VIII - Le transfert" pages 458-459

[ arbitraire ] [ généalogie du signe ]

idiomes en action

À notre première prise de contact, vous avez dit très clairement que vous ne souhaitiez pas répondre à des questions préparées à l’avance et que vous ne vouliez pas "que l’on retouche le texte", qui doit rester tel que vous l’aurez produit. Pourquoi cette insistance, cet attachement à la lettre dite ?

– On m’a souvent dit qu’à travers les transcriptions fidèles on entendait ma voix, ma prosodie. Le texte, c’est finalement une texture, c’est quelque chose de beaucoup plus compliqué que du linéaire. Dans la Lettre à Hérodote, Épicure parle de συμπλοκή à propos des atomes, ce qui a été traduit en anglais par interlace, "entrelacer". C’est vraiment ce genre de choses. De même que Marcel Mauss, le spécialiste du don, de l’échange, parle du fait social comme d’un "échange total", je dirais que les faits de langage, l’activité de langage, c’est une activité totale, qui est à la fois un travail d’interlocution et un travail d’intersubjectivité. Voyez l’exemple très simple, et totalement ignoré, de la formation du conditionnel, qui est une forme du fictif par excellence. Vous avez d’un côté l’infinitif, venir, ensuite il y a le verbe avoir, puisque ça vient de habebat, et puis vous avez l’imparfait ou le prétérit. On part d’une base, l’infinitif, qui n’est pas implanté, pas situé. Ensuite, le verbe avoir introduit un hiatus. Puis il y a une forme qui permet l’insertion, et c’est là qu’on a la deuxième personne (fig 1).

(Il rédige la phrase "j'ai une lettre à poster" et souligne 2 fois le à.)

Il y a des gens qui ne comprennent pas pourquoi je fais tant d’étymologies. Ce n’est pas parce que je veux imiter tel ou tel philosophe, mais tout simplement parce que le travail philologique est un travail qui vous fait remonter vers des vestiges. Lorsqu’on trouve un bout d’os dans un désert, on ne s’étonne pas qu’on nous explique tout ce qu’il permet de montrer : la philologie, c’est ça. Par exemple, pour des germanistes, je n’ai jamais vu personne s’étonner du fait qu’en allemand, schier signifie d’un côté pur, absolu, et de l’autre, presque. Pour en rendre compte, vous ne pouvez pas avoir une théorie scalaire où vous avez une échelle, il faut une théorie vectorielle, c’est-à-dire que ça projette. Et là-dessus il suffit de lire ce que Jankélévitch a écrit sur les travaux de Georg Simmel* et de voir qu’il y a toujours un mouvement au-delà, et quand il n’y a pas de mouvement au-delà, c’est qu’il y a le [ne…] plus, c’est fini. Vous savez comment on dit exister en suédois ou en norvégien ? Vous prenez le verbe être, en suédois c’est vara (le Wesen de l’allemand bien sûr), et puis vous ajoutez til, qui veut dire dans un cas comme ça "quelque chose de plus", ça vous projette en avant, c’est ce que vous trouvez aussi dans le mot Ziel en allemand. Tout ça, il faut le sortir, sinon on n’y pense pas. Nous sommes totalement non conscients de notre activité mentale, et en un sens c’est une bonne chose. Si les hommes, homo sapiens, et même sapiens sapiens, s’étaient brusquement dit "je vais faire de la linguistique", ils étaient fichus. Ils n’auraient jamais plus parlé. 

Auteur: Culioli Antoine

Info: https://journals.openedition.org, 35, 2012, "Toute théorie doit être modeste et inquiète" Entretien avec Almuth Grésillon et Jean-Louis Lebrave. *Georg Simmel, La Tragédie de la culture et autres essais, Introduction de Vladimir Jankélévitch,

[ avenir inclus ] [ futur intégré ]

réversibilité

La gravité quantique pourrait inverser causes et effets.

Toute théorie de la gravité quantique va devoir se colleter avec des trucs temporels bizarres.

Vous avez probablement entendu parler du chat de Schrödinger, ce  malheureux félin, dans une boîte, où il est simultanément vivant et mort jusqu'à ce que la boîte soit ouverte pour révéler son état réel. Maintenant, faites-vous une idée du temps de Schrödinger, une situation dans laquelle un événement peut être simultanément la cause et l'effet d'un autre événement. 

Un tel scénario pourrait être inévitable dans la théorie de la gravité quantique, domaine encore flou d'une physique qui cherche à combiner la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein avec les mécanismes de la mécanique quantique. Dans un nouvel article, des scientifiques créent un mélange des deux en imaginant des vaisseaux spatiaux près d'une énorme planète dont la masse ralentit le temps. Ils en concluent que les vaisseaux pourraient se retrouver dans un état où la causalité est inversée : Tel événement pourrait finir par causer un autre événement qui s'est produit avant le premier. 

"On peut imaginer ce genre de scénario dans l'ordre temporel, où la cause et l'effet sont en superposition, inversés ou non", a déclaré le co-auteur de l'étude, Igor Pikovski, physicien au Center for Quantum Science and Engineering du Stevens Institute of Technology, dans le New Jersey. "C'est quelque chose qui devrait normalement se produire une fois que nous aurons une théorie complète de la gravité quantique".

Le temps quantique

La célèbre expérience de pensée du chat de Schrödinger demande à un spectateur d'imaginer une boîte contenant un chat et une particule radioactive qui, une fois désintégrée, tuera le malheureux félin. En vertu du principe de superposition quantique, la survie ou la mort du chat est tout aussi probable jusqu'à ce qu'elle soit mesurée - ainsi, jusqu'à ce que la boîte soit ouverte, le chat est simultanément vivant et mort. En mécanique quantique, la superposition signifie qu'une particule peut exister dans plusieurs états en même temps, tout comme le chat de Schrödinger. 

Cette nouvelle expérience de pensée, publiée le 21 août dans la revue Nature Communications, combine le principe de superposition quantique avec la théorie de la relativité générale d'Einstein. Selon la relativité générale, la masse d'un objet géant peut ralentir le temps. Ce phénomène est bien établi et mesurable, a déclaré M. Pikovski ; un astronaute en orbite autour de la Terre verra le temps s'écouler un tout petit peu plus vite que son jumeau sur la planète. (C'est aussi pourquoi tomber dans un trou noir serait une expérience très graduelle). 

Ainsi, si un vaisseau spatial futuriste se trouve à proximité d'une planète massive, son équipage ressentira le temps comme un peu plus lent que les personnes situées dans un autre vaisseau spatial stationné plus loin. Ajoutez à ça un peu de mécanique quantique et vous pouvez imaginer une situation dans laquelle cette planète est superposée simultanément près et loin des deux vaisseaux spatiaux. 

Le temps devient bizarre

Dans ce scénario de superposition de deux vaisseaux qui expérimentent le temps sur des lignes temporelles différentes, la cause et l'effet peuvent devenir bizarres. Par exemple, supposons que les vaisseaux doivent effectuer une mission d'entraînement au cours de laquelle ils se tirent dessus et s'esquivent mutuellement, en sachant parfaitement à quel moment les missiles seront lancés et intercepteront leurs positions. S'il n'y a pas de planète massive à proximité qui perturbe l'écoulement du temps, c'est un exercice simple. En revanche, si cette planète massive est présente et que le capitaine du vaisseau ne tient pas compte du ralentissement du temps, l'équipage pourrait être en retard pour esquiver et être détruit. 

Avec une telle planète en superposition, simultanément proche et lointaine, il serait impossible de savoir si les vaisseaux esquivent trop tard et se détruisent mutuellement ou s'ils s'écartent et survivent. Qui plus est, la cause et l'effet pourraient être inversés, selon M. Pikovski. Bref il faut imaginer deux événements liés par la causalité

"A et B peuvent s'influencer mutuellement dans un état de superposition, mais dans un cas, A est avant B et inversément, explique M. Pikovski. Ce qui signifie que A et B sont simultanément la cause et l'effet l'un de l'autre. Heureusement pour les équipages, sans doute très confus, de ces vaisseaux spatiaux imaginaires, dit Pikovski, ils auraient un moyen mathématique d'analyser les transmissions de l'autre pour confirmer qu'ils sont dans un état de superposition.

Évidemment, dans la vie réelle c'est très différent. Mais l'expérience de pensée pourrait avoir des implications pratiques pour l'informatique quantique, même sans élaborer une théorie complète de cette dernière, a déclaré M. Pikovski. En utilisant les superpositions dans les calculs, un système d'informatique quantique pourrait évaluer simultanément un processus en tant que cause et en tant qu'effet. 

"Les ordinateurs quantiques pourraient être en mesure de l'utiliser pour des calculs plus efficaces", a-t-il déclaré.

Auteur: Internet

Info: https://www.livescience.com/. Stephanie Pappas Le 28 août 2019

[ nanomonde ] [ coexistence ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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