emploi du temps

L’été, à Iasnaïa Poliana, Lev Nikolaïevitch [Tolstoï] se lève entre dix heures et dix heures et demie. Après avoir fait sa toilette et revêtu toujours la même blouse noire, il boit son café et du thé en compagnie de sa femme. Il en boit à son content, sans se presser. S’il fait beau, le thé est servi en plein air, dans le jardin, entre les acacias, sous un grand tilleul à la vaste frondaison ; s’il pleut, la comtesse attend Lev Nikolaïevitch au salon.

Une fois terminé son thé, qu’il accompagne de deux œufs à la coque, Lev Nikolaïevitch descend dans son petit cabinet de travail aux murs entièrement couverts de rayonnages à livres de facture toute simple et se plonge dans son activité intellectuelle.

Il s’y consacre assidûment, sérieusement, jusqu’à trois heures et plus, après quoi il va travailler dans les champs s’il a quelque chose à y faire. ce n’est pas toujours le cas, car le comte ne travaille que pour les pauvres, les faibles, les veuves et les orphelins. S’il n’a rien à faire aux champs, Lev Nikolaïevitch prend un panier et s’en va en forêt ramasser des champignons, ce qui lui permet de passer quelques heures seul avec la nature et avec lui-même.

Il arrive qu’il consacre ce temps entre trois et six heures à un hôte de passage. Des personnes de connaissance ou totalement inconnues viennent parfois exprès de régions très lointaines de Russie ou de pays étrangers pour lui poser les questions les plus diverses sur la vie.

[...]

Lev Nikolaïevitch revient vers six heures et retrouve pour le repas sa nombreuse famille qui comprend dix enfants de tous âges, depuis son fils aîné de 26 ans à un nourrisson de deux mois. Il faut y ajouter les invités, les camarades des fils, les cousines et les amies des filles, les précepteurs, les gouvernantes et parfois des amis du comte et de la comtesse venus leur rendre visite. Une immense table traverse sur toute sa longueur la grande salle blanche de la vieille demeure familiale aux murs couverts de portraits d’ancêtres, qui résonne durant le repas de conversations joyeuses et bruyantes de tous les âges sur les sujets les plus divers.

Après le repas, Lev Nikolaïevitch trie et lit le volumineux courrier qui vient de lui être apporté de Toula : des lettres, des revues, des brochures et diverses correspondances en provenance du monde entier. Il est aidé dans cette tâche très fatigante par sa fille aînée Tatiana, qui souvent rédige aussi les réponses selon les instructions de son père.

Vers neuf heures, toute la famille, à l’exception des plus petits, qui vont se coucher, se réunit à nouveau dans la grande salle pour le thé du soir accompagné de fruits et se livre aux divertissements les plus variés. C’est tantôt la lecture à haute voix d’une œuvre littéraire [...], tantôt du chant [...].

Auteur: Répine Ilia

Info: "Le Comte Lev Nikolaïevitch Tolstoï. Souvenirs personnels", dans "Lettres à Tolstoï et à sa famille", trad. Laure Troubetzkoy, éditions Vendémiaire, 2021

[ organisation des journées ]

dernières paroles

Léonie chérie

J'ai confié cette dernière lettre à des mains amies en espérant qu'elle t'arrive un jour afin que tu saches la vérité et parce que je veux aujourd'hui témoigner de l'horreur de cette guerre.

Quand nous sommes arrivés ici, la plaine était magnifique. Aujourd'hui, les rives de l'Aisne ressemblent au pays de la mort. La terre est bouleversée, brûlée. Le paysage n'est plus que champ de ruines. Nous sommes dans les tranchées de première ligne. En plus des balles, des bombes, des barbelés, c'est la guerre des mines avec la perspective de sauter à tout moment. Nous sommes sales, nos frusques sont en lambeaux. Nous pataugeons dans la boue, une boue de glaise, épaisse, collante dont il est impossible de se débarrasser. Les tranchées s'écroulent sous les obus et mettent à jour des corps, des ossements et des crânes, l'odeur est pestilentielle. Tout manque : l'eau, les latrines, la soupe. Nous sommes mal ravitaillés, la galetouse est bien vide ! Un seul repas de nuit et qui arrive froid à cause de la longueur des boyaux à parcourir. Nous n'avons même plus de sèches pour nous réconforter parfois encore un peu de jus et une rasade de casse-pattes pour nous réchauffer. Nous partons au combat l'épingle à chapeau au fusil. Il est difficile de se mouvoir, coiffés d'un casque en tôle d'acier lourd et incommode mais qui protège des ricochets et encombrés de tout l'attirail contre les gaz asphyxiants. Nous avons participé à des offensives à outrance qui ont toutes échoué sur des montagnes de cadavres. Ces incessants combats nous ont laissé exténués et désespérés. Les malheureux estropiés que le monde va regarder d'un air dédaigneux à leur retour, auront-ils seulement droit à la petite croix de guerre pour les dédommager d'un bras, d'une jambe en moins ? Cette guerre nous apparaît à tous comme une infâme et inutile boucherie.

Le 16 avril, le général Nivelle a lancé une nouvelle attaque au Chemin des Dames. Ce fut un échec, un désastre ! Partout des morts ! Lorsque j'avançais les sentiments n'existaient plus, la peur, l'amour, plus rien n'avait de sens. Il importait juste d'aller de l'avant, de courir, de tirer et partout les soldats tombaient en hurlant de douleur. Les pentes d'accès boisées, étaient rudes .Perdu dans le brouillard, le fusil à l'épaule j'errais, la sueur dégoulinant dans mon dos. Le champ de bataille me donnait la nausée. Un vrai charnier s'étendait à mes pieds. J'ai descendu la butte en enjambant les corps désarticulés, une haine terrible s'emparant de moi. Cet assaut a semé le trouble chez tous les poilus et forcé notre désillusion. Depuis, on ne supporte plus les sacrifices inutiles, les mensonges de l'état major. Tous les combattants désespèrent de l'existence, beaucoup ont déserté et personne ne veut plus marcher. Des tracts circulent pour nous inciter à déposer les armes.

La semaine dernière, le régiment entier n'a pas voulu sortir une nouvelle fois de la tranchée, nous avons refusé de continuer à attaquer mais pas de défendre. Alors, nos officiers ont été chargés de nous juger. J'ai été condamné à passer en conseil de guerre exceptionnel, sans aucun recours possible. La sentence est tombée : je vais être fusillé pour l'exemple, demain, avec six de mes camarades, pour refus d'obtempérer. En nous exécutant, nos supérieurs ont pour objectif d'aider les combattants à retrouver le goût de l'obéissance, je ne crois pas qu'ils y parviendront. Comprendras-tu Léonie chérie que je ne suis pas coupable mais victime d'une justice expéditive ? Je vais finir dans la fosse commune des morts honteux, oubliés de l'histoire. Je ne mourrai pas au front mais les yeux bandés, à l'aube, agenouillé devant le peloton d'exécution.

Je regrette tant ma Léonie la douleur et la honte que ma triste fin va t'infliger. C'est si difficile de savoir que je ne te reverrai plus et que ma fille grandira sans moi. Concevoir cette enfant avant mon départ au combat était une si douce et si jolie folie mais aujourd'hui, vous laisser seules toutes les deux me brise le cœur. Je vous demande pardon mes anges de vous abandonner. Promets-moi mon amour de taire à ma petite Jeanne les circonstances exactes de ma disparition. Dis-lui que son père est tombé en héros sur le champ de bataille, parle-lui de la bravoure et la vaillance des soldats et si un jour, la mémoire des poilus fusillés pour l'exemple est réhabilitée, mais je n'y crois guère, alors seulement, et si tu le juges nécessaire, montre-lui cette lettre. Ne doutez jamais toutes les deux de mon honneur et de mon courage car la France nous a trahi et la France va nous sacrifier. Promets-moi aussi ma douce Léonie, lorsque le temps aura lissé ta douleur, de ne pas renoncer à être heureuse, de continuer à sourire à la vie, ma mort sera ainsi moins cruelle. Je vous souhaite à toutes les deux, mes petites femmes, tout le bonheur que vous méritez et que je ne pourrai pas vous donner. Je vous embrasse, le cœur au bord des larmes. Vos merveilleux visages, gravés dans ma mémoire, seront mon dernier réconfort avant la fin.

Eugène ton mari qui t'aime tant.

Auteur: poilu anonyme

Info: Lettre à sa femme, Le 30 mai 1917

[ ww1 ] [ couple ]

dictature modèle

Mort de Navalny: entre hommage et répression sévère en Russie

(photo) Des Russes rendent hommage à Navalny, Moscou.keystone

Alexeï Navalny était sans doute le plus connu des opposants de Poutine. Les Russes se remettent de la mort de celui que certains considèrent comme un héros. Mais lui rendre hommage n'est pas évident dans ce pays à la répression sévère: même déposer des fleurs peut valoir la prison.

" Je veux au moins lui rendre un dernier hommage», dit une femme âgée enroulée dans une écharpe chamarrée près de la pierre de Solovki, samedi à Moscou. Un flot sans fin de personnes traverse le passage souterrain de la Loubianka. La police tente de diriger le flux – et de capturer chaque visage dans leurs vidéos. Femmes et hommes, jeunes et vieux, et même des familles entières viennent déposer leurs fleurs sur la montagne de bouquets près du bloc de pierre du monument.

Certains veulent s'arrêter un instant, peut-être pour rendre un hommage silencieux. " Jeune femme, continuez à avancer, ne vous arrêtez pas ", hurle un policier dans le mégaphone. " Dégagez le chemin ", crie un autre en indiquant à un couple âgé de quitter le périmètre.

Dans la nuit, les fleurs et les bougies sont enlevées, toujours sous la surveillance de la police. Des milliers de personnes – en larmes pour les unes, en silence pour les autres – ont déposé ces offrandes pour rendre hommage à Alexeï Navalny, mort en détention derrière le cercle polaire: leur idole. Cet homme de 47 ans s'est battu pour rendre possible la contestation dans un pays où exprimer une position contradictoire était devenu impossible – et il a payé cet affront de sa vie.

Mais les fleurs, elles, sont à nouveau là le lendemain. Des œillets et des roses fraîches, rouges, blanches, jaunes, accompagnées d'un ruban noir ou de petits messages. Des montagnes de fleurs sont érigées à Moscou et à Saint-Pétersbourg, à Novossibirsk et à Samara, à Tcheliabinsk et à Tomsk et à Oulan-Oudé.

(photo) Un homme qui a déposé des fleurs en l'honneur de Navalny est arrêté, comme 400 autres en l'espace de deux jours.

La police saisit parfois brutalement les supporters de Navalny avant de les jeter dans les fourgons stationnés au bord de la route. Selon l'organisation russe de défense des droits de l'homme OWD-Info, plus de 400 personnes auraient été arrêtées à travers la Russie alors qu'elles déposaient des fleurs durant le week-end. Certaines d'entre elles ont déjà reçu leur sentence: quinze jours de détention.

(photo) Des fleurs sur le monument du Goulag

Près de la pierre Solovki à Moscou, quelqu'un a écrit " n'ayez pas peur " au marqueur bleu sur une feuille de papier quadrillé posée à côté de la mer de fleurs. En face trône le bloc ocre-brun de la Loubianka, l'imposant siège des services secrets russes (FSB).

Autrefois, lorsque le service s'appelait encore Tchéka puis KGB, c'est ici que les bourreaux prononçaient les sentences qui expédieraient des millions de personnes au Goulag. Le monument Solovki et son lourd bloc de pierre rappellent ainsi les crimes du stalinisme.

Septante ans après la mort de Staline, rien n'a changé en Russie. La colonie pénitentiaire de Charp, dans laquelle Navalny est mort – du " syndrome de la mort subite ", comme l'ont annoncé avec le plus grand sérieux les agents pénitentiaires à sa mère et à son avocat – date de l'époque du Goulag. 

Un soulèvement populaire reste trop dangereux

C'est Navalny qui a montré au peuple russe ce qu'est la politique. Il leur a fait sentir ce qui fait d'un homme un citoyen. Mais il a perdu ce combat contre un Etat qui joue au chat et à la souris – et qui continue ce jeu avec son cadavre.

Celui-ci serait, selon le journal russophone Novaïa Gazeta Europe, à l'hôpital régional de Salekhard. Un témoin affirme que le corps présentait des bleus qui pourraient être dus à des convulsions. Navalny serait apparemment mort d'un arrêt cardiaque, mais on ne sait pas pourquoi son cœur a cessé de battre.

En ligne aussi, les Russes expriment leurs pensées pour celui qui était la figure de proue de l'opposition russe. Sur son canal Telegram, un Moscovite estime:

" Un soulèvement populaire secouerait le Kremlin. Il faudrait au moins 100 000 personnes "

Mais est-ce que lui-même y participerait? " Non, c'est trop dangereux ". Ceux qui auraient eu le courage de résister se sont exilés par centaines de milliers. Des lois de plus en plus répressives ôtent à ceux qui sont restés dans le pays toute possibilité d'influer sur la politique. Il n'y a pas d'exutoire, pas de parti qui puisse être une alternative. Il n'y a pas d'opposition.

Les pseudo-opposants parlementaires acquiescent à tout, se courbent, et font au final partie de ce régime qui utilise tout son pouvoir pour faire taire les critiques. La persécution politique de Navalny a montré jusqu'où l'Etat russe était prêt à aller. Sa mort, qui n'est pas simplement un décès, mais bel et bien un assassinat politique, le montre également.

" On ne nous laisse même pas faire notre deuil en paix. Regarde, à Amsterdam, les gens peuvent se réunir et pleurer ensemble. Mais ici? Ce type nous chasse avec sa matraque. Et nous partons, bien sûr. "

Un homme âgé à sa voisine près de la pierre de Solovki à Moscou.

Deux amies plus jeunes, qui se sont arrêtées après avoir déposé des fleurs au musée d'à côté et regardent désormais le bloc de pierre au loin, concluent: " Résister ? Sans Navalny ? Qui va le faire ? Nous n'avons pas tous son courage. "

Est-ce que Ioulia Navalnaïa, son épouse, ou Daria Navalnaïa, sa fille, ont ce courage? Elles ont porté les idées d'Alexeï Navalny dans le monde, surtout après son empoisonnement et pendant sa détention, elles ont fait tout ce qu'elles pouvaient pour obtenir sa libération.

Ioulia Navalnaïa a évoqué la mort de son mari vendredi dernier lors de la conférence sur la sécurité à Munich.

L'apparition de Ioulia Navalnaïa à la conférence sur la sécurité de Munich, peu après l'annonce par les autorités russes de la mort de son mari, était à la fois oppressante et impressionnante. L'ancienne banquière se battra pour que sa mort soit élucidée, comme elle l'a toujours fait. D'autres devront assumer l'héritage politique de Navalny – s'ils parviennent à sortir de leur torpeur. 

Auteur: Internet

Info: https://www.watson.ch/ - Inna hartwich, moscou / ch media, 19.02.2024, Traduit et adapté de l'allemand par Léa Krejci

[ autocratie ] [ pouvoir intransigeant ] [ contradicteur exemplaire ]

autodétermination

Le (non-)rôle de la conscience
Le biologiste François Jacob a utilisé à propos de notre cerveau, une image admirable : le cerveau humain est conçu, dit-il, comme une brouette sur laquelle aurait été greffé un moteur à réaction. Par cette image frappante, il attirait notre attention sur le fait que notre cerveau n’est pas constitué comme une machine d’une seule pièce. Il y a en son centre, le cerveau reptilien, appelé ainsi parce qu’il possède déjà la même structure chez le reptile, et le cerveau des mammifères s’est construit comme une couche additionnelle, absolument distincte : le cortex est d’une autre nature que le cerveau reptilien. Lequel est celui des sens, de la réaction immédiate, celui du réflexe, de l’affect, comme s’expriment les psychologues.

Le cortex s’est spécialisé dans le raisonnement, dans la réflexion rationnelle, l’enchaînement des arguments, le calcul mathématique, tout ce qui est de l’ordre des symboles, et il est greffé sur ce cerveau reptilien qui est lui d’une nature purement instinctive, ce qui fait que nous réagirons par l’enthousiasme ou par la peur devant ce que notre cerveau-cortex aura déterminé de faire. Les plus beaux exemples dans ce domaine, ce sont bien sûrs les traders qui nous les proposent. Ceux d’entre mes lecteurs qui connaissent des traders savent que le jour où ils ont gagné beaucoup d’argent ils sont dans les restaurants et les bars des beaux quartiers, ils fument de gros cigares et boivent beaucoup, alors que les jours où ils ont perdu des sommes impressionnantes, on les voit beaucoup moins : ils sont à la maison, ils essaient de dormir et ont pris des cachets pour tenter d’y parvenir.

Une autre caractéristique de notre cerveau, c’est que la conscience que nous avons de ce que nous faisons, cette conscience n’a pas véritablement été conçue comme un instrument qui nous permette de prendre des décisions. Quand les psychologues sont allés expérimenter, dans les années 1960, autour de la question de la volonté, ils ont fait la découverte sidérante que la volonté apparaît dans le cerveau après qu’a été réalisé l’acte qu’elle est censée avoir déterminé. La représentation de la volonté que nous allons poser un acte, n’intervient en fait qu’une demi-seconde après que l’acte a été posé, alors que l’acte lui-même a pu être réalisé un dixième de seconde seulement après l’événement qui en a été le véritable déclencheur.

Le psychologue qui a découvert cela est Américain et son nom est Benjamin Libet (1916-2007). La première hypothèse qu’il a émise, quand les faits lui sont apparus dans toute leur clarté, a été d’imaginer qu’il existait un mécanisme dans le cerveau qui permet à une information de remonter le temps. Son explication première n’a pas été que "volonté" est un mot dénotant un processus illusoire, une mésinterprétation de notre propre fonctionnement, mais que la volonté devait bien – comme nous l’imaginons spontanément parce que les mots de la langue nous le suggèrent fermement – décider des choses que nous allons accomplir, et que la seule explication possible était que la volonté remonte dans le temps pour poser les actes que nous supposons qu’elle détermine, seule manière de rendre compte du décalage d’une demi-seconde observé.

Il n’y a donc pas comme nous l’imaginions avant la découverte de l’inconscient, une conscience décidant de tous nos actes, à l’exception des actes réflexes. Il n’y a pas non plus, comme Freud l’avait imaginé, deux types d’actes : les uns déterminés par la conscience et les autres par l’inconscient, il n’y a – du point de vue décisionnel – qu’un seul type d’actes, déterminés par l’inconscient, la seule différence étant que certains apparaissent dans le "regard" de la conscience (avec une demi-seconde de retard sur l’acte posé), et certains non.

Dans l’article où je proposais pour la première fois une théorie complète de la conscience tenant compte des découvertes de Libet, j’écrivais : "la conscience est un cul-de-sac auquel des informations parviennent sans doute, mais sans qu’il existe un effet en retour de type décisionnel. C’est au niveau de l’affect, et de lui seul, que l’information affichée dans le regard de la conscience produit une rétroaction mais de nature "involontaire", automatique" (Jorion 1999 : 179). Je suggérais alors de remplacer, pour souligner les implications de la nouvelle représentation, le mot "conscience" par "imagination", et le mot "inconscient", par "corps", pour conclure alors que toutes nos décisions sont en réalité prises par notre corps mais que certaines d’entre elles (celles que nous avions l’habitude d’attribuer à notre "volonté") apparaissent à notre imagination : "En réalité, la prise de décision, la volonté, a été confiée au corps et non à l’imagination" (ibid. 185).

Il restait à comprendre pourquoi le regard de la "conscience" est apparu dans l’évolution biologique. L’explication – en parfait accord avec les observations de Libet – est qu’il s’agit d’un mécanisme nécessaire pour que nous puissions nous constituer une mémoire (adaptative) en associant à nos percepts, les affects qu’ils provoquent en nous, et ceci en dépit du fait que les sensations en provenance de nos divers organes des sens (nos "capteurs"), parviennent au cerveau à des vitesses différentes (ibid. 183-185).

Les observations de Libet, et la nouvelle représentation de nos prises de décision qui en découle, ont d’importantes conséquences pour nous, et en particulier quand nous voulons reconstruire sur un nouveau mode la manière dont nous vivons. Il faut que nous tenions compte du fait que notre conscience arrive en réalité toujours quelque temps après la bataille.

Il y a des gens heureux : ceux dont la conscience constate avec délice les actes qui ont été posés par eux. Il n’y a pas chez eux de dissonance, il n’y a pas de contradiction : nous sommes satisfaits de constater notre comportement tel qu’il a eu lieu. Et c’est pour cela que l’affect n’est pas trop déçu de ce qu’il observe. L’affect réagit bien entendu : soit il cautionne ce qu’il peut observer comme étant à l’œuvre, soit il est déçu quand il constate le résultat. On peut être honteux de ce qu’on a fait. Nous pouvons nous retrouver parfaitement humiliés par les actes qui ont été posés par nous : par ce que la conscience constate après la bataille. En voici un exemple : je me trouve dans le studio de FR 3, pour l’émission "Ce soir (ou jamais !)", et la personne invitée pour la partie musicale en fin d’émission, c’est Dick Rivers, et je lui dis : "C’est formidable, cette époque où vous chantiez avec Les chaussettes noires !", et il me répond : "En réalité, le nom de mon groupe, c’était Les chats sauvages". J’étais tellement humilié d’avoir commis une pareille bévue ! Il s’agit là d’un exemple excellent de dissonance, et ma conscience qui intervenait avec une demi-seconde de retard était extrêmement gênée de devoir être confrontée au triste sire que j’étais.

Bien sûr, nous sommes devenus très forts dans notre manière de vivre avec une telle dissonance : nous réalisons des miracles en termes d’explications après-coup de notre propre comportement. J’écoute parfois, comme la plupart d’entre nous, des conversations dans le métro ou dans le bus où une dame explique à l’une de ses amies à quel point elle était maître des événements : "Elle m’a dit ceci, et tu me connais, je lui ai répondu du tac-au-tac cela, et tu aurais dû voir sa tête…". Nous sommes très forts à produire des récits autobiographiques où nous intégrons l’ensemble des éléments qui font sens dans une situation, après coup. Plusieurs concepts de la psychanalyse renvoient aux différentes modalités de nos "rattrapages après la bataille", quand la conscience constate les dégâts que nous avons occasionnés par nos actes et tente de "faire avec" : la psychanalyse parle alors d’élaboration secondaire, de rationalisation, de déni, de dénégation, etc.

Pourquoi est-ce important d’attirer l’attention sur ces choses ? Parce que nous contrôlons beaucoup moins de manière immédiate ce que nous faisons que nous ne le laissons supposer dans les représentations que nous en avons. Dans celles-ci, nos comportements sont fortement calqués sur ce qu’Aristote appelait la cause finale : les buts que nous nous assignons. Bien sûr, quand nous construisons une maison, nous définissons les différentes étapes qui devront être atteintes successivement et nous procédons de la manière qui a été établie. Nous avons la capacité de suivre un plan et un échéancier, de manière systématique, mais la raison n’est pas, comme nous le supposons, parce que nous procédons pas à pas, d’étape en étape, mais plutôt parce que nous avons posé la réalisation de la tâche comme un "souci" projeté dans l’avenir, souci dont l’élimination nous délivrera et nous permettra… de nous en assigner de nouveaux. Encore une fois, c’est l’inconscient ou, si l’on préfère, le corps, qui s’en charge. J’écrivais dans le même article : "Wittgenstein s’est souvent interrogé quant à la nature de l’intention. Il se demande par exemple, "‘J’ai l’intention de partir demain’ – Quand as-tu cette intention ? Tout le temps : ou de manière intermittente ?" (Wittgenstein 1967 : 10). La réponse à sa question est en réalité "tout le temps dans le corps et de manière intermittente dans l’imagination"" (ibid. 189).

Mais dans nos actes quotidiens, dans la façon dont nous réagissons aux autres autour de nous, parce que nous vivons dans un univers entièrement social, il faut que nous prenions conscience du fait que nous avons beaucoup moins de maîtrise immédiate sur ce que nous faisons que nous ne l’imaginons le plus souvent, une maîtrise beaucoup plus faible que ce que nous reconstruisons par la suite dans ces discours autobiographiques que nous tenons : dans ces discours de rationalisation, d’autojustification faudrait-il dire, que nous produisons à l’intention des autres. Il faut bien dire que, sachant comment eux-mêmes fonctionnent, ils n’y croient pas en général. Et nous en sommes les seules dupes.

Auteur: Jorion Paul

Info: 7 avril 2012, dans Notre cerveau : conscience et volonté, "Le secret de la chambre chinoise", L’Homme 150, avril-juin 1999 : 177-202, Wittgenstein, Ludwig, Zettel, Oxford, Basil Blackwell, 1967

[ illusion ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

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