inspiration

Lorsque je suis pour ainsi dire tout à fait moi-même, complètement seul et de bonne humeur, comme lorsque je voyage en voiture, que je fais une promenade après un bon repas ou que, la nuit, je ne peux dormir, c'est dans ces moments que mes idées coulent le mieux et en plus grande quantité. D’où elles viennent et comment elles viennent, je l’ignore; je ne peux pas non plus en forcer la venue. Les délicieuses qui me plaisent, je les garde en mémoire et j’ai l’habitude, à ce qu’on m’a dit, de les fredonner pour moi-même. Si je poursuis, je trouve bientôt de quelle façon je pourrais apprêter tel ou tel morceau – comme pour en faire un bon plat en quelque sorte – afin qu’il réponde agréablement aux règles du contrepoint, aux particularités des divers instruments, etc.

Tout ceci enflamme mon âme et, à condition qu'on ne me dérange pas, mon sujet s’élargit, s’ordonne, se définit, et au bout d’un moment quelquefois assez long, le tout se retrouve presque complété, achevé dans mon esprit, de sorte que je peux l’embrasser d’un seul regard comme un beau tableau ou une belle statue. Dans mon imagination, je n’entends pas les différentes parties à la suite l’une de l’autre, mais je les entends toutes à la fois, en quelque sorte. Toute cette invention, toute cette création se produit dans un rêve agréable et plein d’entrain. Mais le meilleur, c’est encore d’entendre le tout ensemble. Ce qui a été créé ainsi, je peux difficilement l’oublier, et c’est là le plus beau don pour lequel je doive remercier mon divin Créateur.

Auteur: Mozart Wolfgang Amadeus

Info: In P.E. Vernon, Ed, Creativity: Selected Readings (Penguin).

[ musique classique ] [ composition ] [ création ]

sensualité

"Écoute-moi, garde les yeux ouverts", me murmurait Lestat, ses lèvres remuant contre mon cou. Je me souviens qu'à ce contact tous mes poils se sont hérissés, m'envoyant à travers tout le corps une décharge sensuelle, qui n'était pas sans me rappeler les plaisirs de la chair...

L'air songeur, il porta la main droite à son menton et le caressa légèrement de l'index. Puis il reprit : À la suite de quoi, en quelques minutes, je me suis retrouvé si faible que j'en étais paralysé. Pris de panique, je me suis aperçu que je ne parvenais même pas à parler. Lestat me tenait encore, bien sûr, et son bras me semblait aussi lourd qu'une barre d'acier. J'ai senti ses dents se retirer avec une telle violence que les deux plaies qu'elles m'avaient infligées me parurent béantes et la douleur insoutenable. Ensuite, il s'est penché au-dessus de ma tête inerte et, soulevant le bras qui me ceignait, s'est mordu le poignet. Quand le sang a goutté sur ma chemise et mon manteau, il l'a contemplé les yeux brillants, à peine ouverts. Ce moment m'a paru durer une éternité, le halo de lumière désormais en suspens derrière sa tête m'évoquant une apparition. Je crois que je savais ce qu'il s'apprêtait à faire avant même qu'il agisse, et je suis resté là, impuissant, comme si cela faisait des années que j'attendais ce moment. Il a pressé son poignet ensanglanté contre ma bouche et a dit d'un ton ferme et quelque peu impatient : "Bois, Louis." Et j'ai obéi. Il a chuchoté : "Doucement Louis", puis : "Plus vite" à plusieurs reprises. J'ai bu, aspirant le sang par les deux plaies, retrouvant pour la première fois depuis ma petite enfance le plaisir particulier de la tétée, corps et esprit s'abreuvant tous deux à cette source de vie lumineuse.

Auteur: Rice Anne

Info: Les Chroniques des Vampires, tome 1 : Entretien avec un vampire

[ suceur de sang ] [ stryge ]

humour

En 1944, les USA s'apprêtent à débarquer en Normandie et enrôlent à tour de bras pour garnir les troupes d'assaut. Des sergents recruteurs sillonnent le vaste pays et enrôlent le fils du chef indien, qui ne parle que le Comanche et ne comprend pas très bien ce qui lui arrive... 2 semaines d'instruction, un parachute sur le dos et hop, largué au-dessus de Ste Mère-Église au petit matin d'un jour de juin... Naturellement, notre jeune Comanche, peu habitué aux délicates manoeuvres d'un parachute de l'époque, dérive gravement et finit par se poser en pleine cambrousse, Complètement perdu, à des kilomètres ( 1 km = 0,6242197253433 mile) de son escadron. Surgit alors un brave paysan. Ébahi mais ravi de voir un G.I. celui-ci plante sa fourche dans le sol et essaie d'entamer la conversation. (La, il faut mimer, vous essayez de me suivre)
- Oh, un américain à c't'heure! Salut mon gars! t'es parachutiste ?
Évidemment, l'autre ne comprends rien et reste bouche bée. le paysan met alors ses bras au dessus de sa tête, comme ça, vous voyez, en forme de parachute, et repose la question, sans succès.
Avec son index et son majeur, il représente un personnage entrain de marcher et demande : -t'es fantassin mon gars ? l'autre, un peu inquiet recule d'un pas sans mot dire.
Empoignant une mitrailleuse imaginaire, mais tressautant, il demande
- T'es mitrailleur peut-être ? L'autre, se plus en plus circonspect recule de 2 pas.
Dans une dernière tentative, le paysan place ses mains en cornet devant ses yeux, comme ceci, à la manière d'une paire de Jumelles et demande : - C'est-y qu't'es un éclaireur venu pour observer, des fois ? A ce moment, le G.I. affolé s'enfuit en courant. Déçu, notre brave paysan reprend sa fourche et s'en va de son côté en grommelant.
Heureusement, l'histoire se termine bien pour notre héros, qui, après une campagne victorieuse est démobilisé et réexpédié dans sa réserve natale. Arrivé dans son tipi, son grand sachem de père le questionne sur ses exploits guerriers et lui demande entre autre s'il fut un vaillant guerrier digne de ses ancêtres, n'ayant pas connu la peur.
L'ex-G.I. répond: - Jamais je n'ai connu la peur, sauf une fois: Le premier homme blanc de là-bas que j'ai rencontré, eh bien figure toi qu'il parlait comme nous! Et là, j'ai eu vraiment peur. Il m'a dit ( Attention, les gestes dans l'ordre)
- Quand frère soleil très haut dans ciel,
- Quand autres guerriers partis très loin,
- Je vais te défoncer le cul
- T'auras les yeux qui te sortiront de la tête.

Auteur: Internet

Info:

[ absurde ]

humour

D'abord, l'inspection de la boîte aux lettres. Je suis sur la pointe des pieds. J'éclaire l'intérieur et j'aperçois trois enveloppes. Il reçoit beaucoup de courrier pour quelqu'un qui n'a emménagé que depuis quelques jours. J'entrevois un pli officiel, peut-être d'une préfecture ou d'un ministère. Qu'est-ce que c'est ? Si j'arrive à savoir, je tiens ma revanche. Puisque tout le monde a vu sa tête avant moi, je vais découvrir son métier la première. Ensuite, à mon tour, je pourrai déclarer d'un air ingénu : "Ah bon ? Vous n'étiez pas au courant ?"
J'essaie d'éclairer au mieux mais l'enveloppe du dessus gêne la lecture. En me servant de ma lampe, juste à la bonne taille pour passer dans la fente, je dois pouvoir la repousser. Je glisse ma lumière le plus loin possible. Il manque encore quelques centimètres. Je la tiens du bout des doigts, je fais encore un petit effort. J'y suis presque et soudain : badaboum dans la boîte de Patatras ! La malédiction frappe encore. Ma lampe est tombée sur son courrier, allumée. D'un seul coup, sa boîte aux lettres ressemble à une petite maison de poupée éclairée. Alors là, on va mettre le salon, ici la cuisine, et la poupée Youpi entrera quand elle aura la clé. Non mais je déraille ! J'ai encore fait une ânerie. Il faut que je récupère ma lampe. Alors je passe les doigts - après tout, elle n'est pas si loin. Je dois pouvoir y arriver, j'ai les mains fines. Je force. Cette méchante poupée Youpi pourrait m'aider. Je me sens comme ces pauvres petits singes pris dans les pièges des braconniers avec leurs minuscules mimines qui ne veulent pas lâcher la cacahuète dans la noix de coco. Je touche la lampe, le bout de mon majeur l'effleure. Elle glisse. Retiens-là, poupée Youpi, ou je t'arrache la tête ! Je n'ai pas le choix, j'enfonce encore plus ma main. La paume est presque entièrement rentrée, mais la lampe m'échappe toujours. Il n'y aura pas de seconde chance, alors je pousse de toutes mes forces, quitte à me faire mal. Ça y est, je me suis broyé la main, mais la paume est passée. Maintenant, c'est le poignet qui souffre, le cerclage métallique de la fente me détruit la peau après m'avoir laminé la main. Tout à coup : le cauchemar, l'effroi. J'entends le grésillement de la gâche électrique de la porte de l'immeuble. Quelqu'un a fait le code et s'apprête à entrer. Il va me trouver comme une gourde suspendue à la boîte du voisin. Je sais maintenant ce qu'éprouve un lapin pris dans les phares d'un camion qui fonce.

Auteur: Legardinier Gilles

Info: Demain j'arrête !

[ littérature ] [ piège ]

dernières paroles

Mardi 16 août, dans l'après-midi, à Hautefaye en Dordogne, un jeune noble du coin, Alain de Monéys (1842 - 1870), vient chercher une génisse. C'est jour de foire. Un certain Camille de Maillard, fils du maire de la commune voisine de Beaussac et propriétaire des environs, communique à quelques personnes, au milieu du champ de foire, les dépêches publiées par les journaux, relatives à la bataille de Reischoffen, où la France a été obligée de se replier :
- Ce n'est pas vrai, dit une voix, vous ne lisez pas ce qu'il y a, les Français ne reculent jamais, vous n'êtes qu'un prussien.... M. de Maillard veut donner quelques explications, mais on l'entoure, on le bouscule, on s'apprête à lui faire un mauvais parti, lorsque heureusement quelques uns de ses métayers, qui se trouvent à portée, parviennent à le dégager et il s'enfuit précipitamment pour se soustraire à la colère ambiante. Cinq minutes ne se sont pas écoulées qu'un grand tumulte s'élève un peu plus loin dans le champ de foire : ce sont les mêmes forcenés qui, voyant M. de Maillard leur échapper, portent leur fureur sur M. de Moneys, que son caractère, sa situation de famille, ses opinions politiques et ses accointances locales amicales devraient pourtant sauvegarder. Mais non ! C'est donc sur des rumeurs et des accusations infondées que des dizaines de personnes vont, tout en allant simultanément boire à l'auberge, participer au massacre du jeune Alain. Lui, pour essayer de s'en sortir, ne cessera de crier tout au long de son supplice :

"Vive l'Empereur ! A bas la Prusse !"

Tout cela au milieu des injures et des vociférations d'une foule abrutie d'au moins six cents personnes. On le frappe de coups de bâton, on le roue de coups, et on le traîne dans les ruelles du village l'espace de 600 mètres. Le maire de la localité et quelques personnes s'étant interposés, on parvient à l'arracher des mains de ces cannibales et on le dépose dans une étable à porcs, mais dans quel état ! Les vêtements lacérés, n'ayant qu'un reste de pantalon, les favoris arrachés et une plaie béante derrière l'oreille. Tout est donc fini ? Non, cette foule tout à l'heure ivre de vin, est maintenant ivre de sang. Elle redemande sa victime, on écarte les gens qui gardent la porte, on pénètre dans ce misérable refuge, et puis, qui par un bras, qui par une jambe, on traîne de nouveau ce malheureux jeune homme sur le champ de foire. On lui arrache les ongles des pieds... Mais l'oeuvre n'est pas tout à fait accomplie, le corps que l'on martyrise ainsi depuis plus de deux heures, donne encore quelques signes de vie. Alors, qu'imagine-t-on : on le dépose dans une mare desséchée, on accumule sur lui des fagots et de la paille, et .... on pousse les mômes à y mettre le feu !
Et pendant que la victime cherche instinctivement à repousser les atteintes de la flamme qui lui calcine les membres, la foule hurle, certains dansant avec des mimiques obscènes. Un instant après, M. de Moneys, tout à l'heure plein de force et de santé, chéri de sa famille, affectionné de tous ceux qui le connaissaient, n'est plus qu'un cadavre à moitié carbonisé. Et comme à un certain moment le maire, débordé, avait crié : " - après tout faites ce que vous voulez, mangez le si ça vous dit... " Certaines femmes iront jusqu'a récolter la graisse qui suppure du cadavre pour en faire des tartines qui seront distribuées à la ronde.
Le mercredi 21 décembre 1870, 21 personnes seront condamnées à diverses peines.
Le lundi 6 février 1871, à 8h 31 à Hautefaye, quatre des vingt et une personnes condamnées pour l'assassinat d'Alain de Moneys d'Ordières, sont guillotinées sur le lieu même de la vilénie, chose rare.

Auteur: Internet

Info:

[ barbarie ]

intelligence artificielle

La vérité sur la soupe acronymique de l'IA (ANI, AGI, ASI)

(désambiguïser le jargon et les mythes qui entourent l'IA.)

L'IA est souvent expliquée à l'aide des catégories suivantes : intelligence artificielle étroite (ANI), intelligence artificielle générale (AGI) et superintelligence artificielle (ASI)[1]. Bien que ce cadre conceptuel étrange n'apporte aucune valeur réelle, il se retrouve dans de nombreuses discussions[2]. Si vous n'êtes pas familier avec ces catégories, considérez-vous chanceux et passez à un autre article, plus conséquent. Sinon, je vous invite à poursuivre votre lecture.

Tout d'abord, déplorer les catégorisations - comme je m'apprête à le faire - n'a qu'une valeur limitée car les catégories sont arbitrairement similaires et distinctes, en fonction de la manière dont nous classons les choses. Par exemple, le théorème du vilain petit canard démontre que les cygnes et les canetons sont identiques si l'on souhaite manipuler les propriétés à des fins de comparaison. Toutes les différences n'ont pas de sens si nous n'avons pas de connaissances préalables sur ces différences. Hélas, cet article décortique ces catégories suspectes d'un point de vue commercial.

L'intelligence artificielle étroite (ANI) est souvent confondue avec l'intelligence artificielle faible. John Searle, philosophe et professeur à l'université de Californie, a expliqué dans son article fondateur de 1980, "Minds, Brains, and Programs", que l'intelligence artificielle faible serait toute solution à la fois étroite et ressemblant superficiellement à l'intelligence. Searle explique qu'une telle recherche serait utile pour tester des hypothèses sur des segments d'esprits mais ne serait pas des esprits[3]. L'ANI réduit cela de moitié et permet aux chercheurs de se concentrer sur l'étroitesse et la superficialité et d'ignorer les hypothèses sur les esprits. En d'autres termes, l'ANI purge l'intelligence et les esprits et rend l'intelligence artificielle "possible" sans rien faire. Après tout, tout est étroit, et si l'on louche suffisamment, tout peut ressembler superficiellement à de l'intelligence.

L'intelligence artificielle générale (AGI) est la solution idéalisée que beaucoup imaginent lorsqu'ils pensent à l'IA. Alors que les chercheurs travaillent plus sur l'étroitesse et la superficialité, ils parlent de l'AGI, comme une représentation histoirique, d'une IA unique qui remonte aux années 1950, avec un renouveau au cours de la dernière décennie. L'AGI implique deux choses à propos d'une solution qui ne devraient pas s'appliquer à la résolution de problèmes centrés sur l'entreprise. Primo, un tel programme possède l'aptitude générale à l'intelligence humaine (voire toute l'intelligence humaine). Deuxio l'AGI peut résoudre des problèmes généraux ou remplir une ardoise vierge, ce qui signifie que toute connaissance d'un problème est rhétorique et indépendante d'une stratégie de résolution de ce problème[4]. Au lieu de cela, la connaissance dépend d'une aptitude vague et mal définie liée à la structure multidimensionnelle de l'intelligence naturelle. Si cela semble ostentatoire, c'est parce que c'est le cas.

La superintelligence artificielle (ASI) est un sous-produit de la réalisation de l'objectif de l'AGI. L'idée communément admise est que l'intelligence générale déclenchera une "explosion de l'intelligence" qui entraînera rapidement l'apparition de la superintelligence. On pense que l'ASI est "possible" en raison de l'auto-amélioration récursive, dont les limites ne sont limitées que par l'imagination débridée d'un programme. L'ASI s'accélère pour atteindre et dépasser rapidement l'intelligence collective de l'humanité. Le seul problème pour ASI est qu'il n'y a plus de problèmes. Quand ASI résout un problème, elle en demande un autre avec le dynamisme d'un Newton au berceau. Une accélération de ce type se demandera quelle est la prochaine étape à l'infini, jusqu'à ce que les lois de la physique ou de l'informatique théorique s'imposent.

Nick Bostrom, chercheur à l'Université d'Oxford, affirme que nous aurons atteint l'ASI lorsque les machines sont plus intelligentes que les meilleurs humains dans tous les domaines, y compris la créativité scientifique, la sagesse générale et les compétences sociales[5]. La description de l'ASI par Bostrom a une signification religieuse. Comme leurs homologues religieux, les adeptes de l'ASI prédisent même des dates précises auxquelles le second avènement révélera notre sauveur. Curieusement, Bostrom n'est pas en mesure d'expliquer comment créer une intelligence artificielle. Son argument est régressif et dépend de lui-même pour son explication. Qu'est-ce qui créera l'ASI ? Eh bien, l'AGI. Qui créera l'AGI ? Quelqu'un d'autre, bien sûr. Les catégories d'IA suggèrent un faux continuum à l'extrémité duquel se trouve l'ASI, et personne ne semble particulièrement contrarié par son ignorance. Cependant, le fanatisme est un processus d'innovation douteux.

Une partie de notre problème collectif lorsque nous parlons d'IA est que nous ancrons notre pensée dans des dichotomies prévalentes mais inutiles[6]. Les fausses dichotomies créent un sentiment artificiel qu'il existe une alternative. L'ANI, l'AGI et l'ASI suggèrent un faux équilibre entre diverses technologies en présentant plusieurs aspects d'un argument qui n'existe pas. Même si nous acceptons la définition de l'ANI et ignorons sa trivialité, l'AGI et l'ASI n'ont rien de convaincant. Mentionner quelque chose qui n'existera pas pour évaluer la technologie d'aujourd'hui avec un nom plus accrocheur comme ANI est étrange. Nous ne comparons pas les oiseaux aux griffons, les chevaux aux licornes ou les poissons aux serpents de mer. Pourquoi comparerions-nous (ou mettrions-nous à l'échelle) l'informatique à l'intelligence humaine ou à l'intelligence de tous les humains ?

Toute explication qui inclut l'AGI ou l'ASI déforme la réalité. L'ancrage est un biais cognitif dans lequel un individu se fie trop à un élément d'information initial (connu sous le nom d'"ancre") lorsqu'il prend des décisions. Des études ont montré qu'il est difficile d'éviter l'ancrage, même en le recherchant[7]. Même si nous reconnaissons que l'AGI et l'ASI sont significativement erronées ou mal placées, elles peuvent encore déformer la réalité et créer des désalignements. Nous ne devons pas nous laisser abuser par une fausse dichotomie et un faux équilibre.

L'IA ne se résume pas à trois choses. Ce n'est pas quelque chose qui s'échelonne en fonction de l'"intelligence" ou qui se range proprement dans trois catégories. Ces catégories ne délimitent pas des technologies spécifiques, ne mettent pas en évidence des domaines de recherche ou ne représentent pas un continuum où l'on commence par travailler sur l'ANI et où l'on termine avec l'ASI. Elles sont absurdes. L'IA est une chose : un objectif singulier et sans précédent de recréer l'intelligence ex nihilo. Cependant, cet objectif est en décalage permanent avec le monde des affaires.

Les objectifs commerciaux ne peuvent pas être totalisés et absorber tout ce qui les entoure, car la communication d'entreprise, qui comprend toutes les stratégies, n'est efficace que lorsqu'elle ne peut pas être mal comprise. À moins que vous n'envisagiez d'aligner votre entreprise sur l'objectif unique et sans précédent de l'IA, vous devez faire attention lorsque vous appelez vos objectifs "IA", car vous ne pouvez pas dire "IA" de nos jours si vous voulez être compris. Comme nous appelons de plus en plus de choses "IA", la tâche de communiquer un but et une direction devient encore plus difficile. Cependant, dire ANI, AGI ou ASI n'arrange pas les choses. Cela nuit à la communication. Le meilleur conseil que l'on puisse donner aux responsables techniques est d'éviter les faux continuums, les fausses dichotomies et les faux équilibres. Comme l'explique Jay Rosen, critique des médias, en empruntant une phrase au philosophe américain Thomas Nagel, "le faux équilibre est un point de vue de nulle part'".

Auteur: Heimann Richard

Info: 3 novembre 2022

[ limitation consumériste ] [ rationalisation restrictive ] [ normalisation commerciale ] [ délimitation normative ] [ bridage marchand ] [ chambre chinoise mercantile ] [ impossibilité holistique ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]