fauteurs de guerres

La même cabale d'experts bellicistes, de spécialistes de la politique étrangère et de responsables gouvernementaux, année après année, débâcle après débâcle, esquive avec suffisance la responsabilité des fiascos militaires qu'ils orchestrent. Ils sont protéiformes, changeant adroitement avec les vents politiques, passant du Parti républicain au Parti démocrate puis reviennent, passant de guerriers froids à néoconservateurs à interventionnistes libéraux. Pseudo-intellectuels, ils dégagent un snobisme écoeurant de la Ivy League alors qu'ils vendent la peur perpétuelle, la guerre perpétuelle et une vision du monde raciste, où les races inférieures de la terre ne comprennent que la violence.

Ce sont des proxénètes de guerre, des marionnettes du Pentagone, un État dans l'État, et les sous-traitants de la défense qui financent généreusement leurs groupes de réflexion - Project for the New American Century, American Enterprise Institute, Foreign Policy Initiative, Institute for the Study of War, Conseil de l'Atlantique et Brookings Institute. Comme certaines souches mutantes d'une bactérie résistante aux antibiotiques, elles ne peuvent être vaincues. Peu importe à quel point ils se trompent, à quel point leurs théories sont absurdes, combien de fois ils mentent ou dénigrent d'autres cultures et sociétés comme non civilisées ou combien d'interventions militaires meurtrières tournent mal. Ce sont des piliers inamovibles, les mandarins parasites du pouvoir que vommissent les derniers jours de tout empire, y compris celui des États-Unis, sautant d'une catastrophe autodestructrice à l'autre.

J'ai passé 20 ans en tant que correspondant étranger à rendre compte de la souffrance, de la misère et des déchaînements meurtriers que ces complices de guerre ont conçus et financés. Ma première rencontre avec eux a eu lieu en Amérique centrale. Elliot Abrams - reconnu coupable d'avoir fourni un témoignage trompeur au Congrès sur l'affaire Iran-Contra et plus tard gracié par le président George HW Bush afin qu'il puisse retourner au gouvernement pour nous vendre la guerre en Irak - et Robert Kagan, directeur du bureau de la diplomatie publique du département d'État pour Amérique latine - étaient des propagandistes des régimes militaires brutaux au Salvador et au Guatemala, ainsi que des violeurs et des voyous meurtriers qui composaient les forces voyous de la Contra combattant le gouvernement sandiniste au Nicaragua, qu'ils ont illégalement financé. Leur travail consistait à discréditer nos reportages.

"Comme une souche mutante d'une bactérie résistante aux antibiotiques, ils ne peuvent pas être vaincus."

Eux et leur coterie d'amoureux de la guerre ont continué à faire pression pour l'expansion de l'OTAN en Europe centrale et orientale après la chute du mur de Berlin, violant un accord de ne pas étendre l'OTAN au-delà des frontières d'une Allemagne unifiée et s'opposant imprudemment à la Russie. Ils étaient et sont toujours les pom-pom girls de l'État d'Israël pro apartheid, justifiant les crimes de guerre contre les Palestiniens et confondant myopement les intérêts d'Israël avec ceux des États-Unis. Ils ont plaidé pour des frappes aériennes en Serbie, appelant les États-Unis à "éliminer" Slobodan Milosevic. Ils sont à la source de la politique d'invasion de l'Afghanistan, de l'Irak, de la Syrie et de la Libye. Robert Kagan et William Kristol, avec leur ignorance typique, ont écrit en avril 2002 que "la route qui mène à la sécurité et à la paix réelles" est "la route qui traverse Bagdad".

Nous avons vu comment cela fonctionnait. Cette route a entraîné la dissolution de l'Iraq, la destruction de ses infrastructures civiles, y compris l'anéantissement de 18 des 20 centrales électriques et de presque tous les systèmes de pompage d'eau et d'assainissement au cours d'une période de 43 jours où 90 000 tonnes de bombes ont plu sur le pays, la montée des groupes djihadistes radicaux dans toute la région et les États défaillants.

La guerre en Irak, ainsi que la défaite humiliante en Afghanistan, ont détruit l'illusion de l'hégémonie militaire et mondiale des États-Unis. Elle a également infligé aux Irakiens, qui n'avaient rien à voir avec les attentats du 11 septembre, le massacre généralisé de civils, la torture et l'humiliation sexuelle des prisonniers irakiens, et l'ascension de l'Iran en tant que puissance prééminente dans la région.

Poussez pour la guerre et les renversements

Et ils continuent d'appeler à une guerre avec l'Iran, Fred Kagan déclarant que "nous ne pouvons rien faire d'autre que d'attaquer pour forcer l'Iran à renoncer à ses armes nucléaires". Ils ont poussé au renversement du président Nicholas Maduro, après avoir tenté de faire de même avec Hugo Chavez, au Venezuela. Ils ont ciblé Daniel Ortega, leur vieil ennemi au Nicaragua.

Ils embrassent un nationalisme aveugle qui leur interdit de voir le monde sous un angle autre que le leur. Ils ne savent rien de la machinerie de guerre, de ses conséquences ou de son retour inévitable. Ils ne savent rien des peuples et des cultures qu'ils ciblent pour une régénération violente. Ils croient en leur droit divin d'imposer leurs "valeurs" aux autres par la force. Fiasco après fiasco. Maintenant, ils alimentent une guerre avec la Russie.

"Le nationaliste est par définition un ignorant", a  observé l'écrivain yougoslave Danilo Kiš, qui poursuit.

Le nationalisme est la ligne de moindre résistance, la voie facile. Le nationaliste est serein, il sait ou croit savoir quelles sont ses valeurs, les siennes, c'est-à-dire nationales, c'est-à-dire les valeurs de la nation à laquelle il appartient, éthiques et politiques ; il ne s'intéresse pas aux autres, ils ne le regardent pas, l'enfer — ce sont les autres (les autres nations, une autre tribu). Ils n'ont même pas besoin d'enquête. Le nationaliste voit les autres à sa propre image – en tant que nationalistes."

L'administration Biden est remplie de ces ignorants, dont Joe Biden. Victoria Nuland, l'épouse de Robert Kagan, est la sous-secrétaire d'État de Biden aux affaires politiques. Antony Blinken est secrétaire d'État. Jake Sullivan est conseiller à la sécurité nationale.

Ils sont issus de cette cabale de trolls moraux et intellectuels qui comprend Kimberly Kagan, l'épouse de Fred Kagan, qui a fondé l'Institut pour l'étude de la guerre, William Kristol, Max Boot, John Podhoretz, Gary Schmitt, Richard Perle, Douglas Feith, David Frum et autres. Beaucoup étaient autrefois de fervents républicains ou, comme Nuland, ont servi dans les administrations républicaines et démocrates. Nuland était le principal conseiller adjoint en politique étrangère du vice-président Dick Cheney.

Ils sont unis par la demande de budgets de défense de plus en plus importants et d'une armée en constante expansion. Julian Benda a appelé ces courtisans au pouvoir "les barbares autodidactes de l'intelligentsia".

Ils ont autrefois pesté contre la faiblesse et la volonté d'apaisement des libéraux. Mais ils ont rapidement migré vers le Parti démocrate plutôt que de soutenir Donald Trump, qui n'a montré aucune volonté de déclencher un conflit avec la Russie et qui a qualifié l'invasion de l'Irak de "grosse et grosse erreur". De plus, comme ils l'ont souligné à juste titre, Hillary Clinton était une collègue néoconservatrice. Et les libéraux se demandent pourquoi près de la moitié de l'électorat, qui insulte ces courtiers de pouvoir arrogants et non élus, comme il se doit, a voté pour Trump.

Ces idéologues n'ont pas vu les cadavres de leurs victimes. Je l'ai fait. Y compris les enfants. Chaque cadavre que j'ai vu au Guatemala, au Salvador, au Nicaragua, à Gaza, en Irak, au Soudan, au Yémen ou au Kosovo, mois après mois, année après année, a révélé sa faillite morale, sa malhonnêteté intellectuelle et sa soif de sang malade. 

Ils n'ont pas servi dans l'armée. Leurs enfants ne servent pas dans l'armée. Mais ils envoient avec impatience de jeunes hommes et femmes américains combattre et mourir pour leurs rêves illusoires d'empire et d'hégémonie américaine. Ou, comme en Ukraine, ils fournissent des centaines de millions de dollars en armement et en soutien logistique pour soutenir de longues et sanglantes guerres par procuration.

Le temps historique s'est arrêté pour eux avec la fin de la Seconde Guerre mondiale. Le renversement des gouvernements démocratiquement élus par les États-Unis pendant la guerre froide en Indonésie, au Guatemala, au Congo, en Iran et au Chili (où la CIA a supervisé l'assassinat du commandant en chef de l'armée, le général René Schneider, et du président Salvador Allende ); la Baie des Cochons ; les atrocités et les crimes de guerre qui ont défini les guerres au Vietnam, au Cambodge et au Laos ; même les désastres qu'ils ont fabriqués au Moyen-Orient, ont disparu dans le trou noir de leur amnésie historique collective.

La domination mondiale américaine, affirment-ils, est bénigne, une force pour le bien, une «hégémonie bienveillante». Le monde, a insisté Charles Krauthammer, accueille "notre pouvoir". Tous les ennemis, de Saddam Hussein à Vladimir Poutine, sont le nouvel Hitler. Toutes les interventions américaines sont un combat pour la liberté qui rend le monde plus sûr. Tous les refus de bombarder et d'occuper un autre pays sont un moment de Munich de 1938, une retraite pathétique du nouveau Neville Chamberlain face au mal. Nous avons des ennemis à l'étranger. Mais notre ennemi le plus dangereux est à l'intérieur.

Les bellicistes construisent une campagne contre un pays comme l'Irak ou la Russie et attendent ensuite une crise - ils l'appellent le prochain Pearl Harbor - pour justifier l'injustifiable.

En 1998, William Kristol et Robert Kagan, ainsi qu'une douzaine d'autres néoconservateurs éminents, ont écrit une lettre ouverte au président Bill Clinton dénonçant sa politique d'endiguement de l'Irak comme un échec et exigeant qu'il entre en guerre pour renverser Saddam Hussein. Poursuivre le "cours de faiblesse et de dérive", ont-ils averti, c'était "mettre nos intérêts et notre avenir en danger".

D'énormes majorités au Congrès, républicaines et démocrates, se sont précipitées pour adopter la loi de libération de l'Irak. Peu de démocrates ou de républicains ont osé être considérés comme indulgents en matière de sécurité nationale. La loi stipulait que le gouvernement des États-Unis s'emploierait à "éliminer le régime dirigé par Saddam Hussein" et autorisait des millions de dollars à cet effet, une partie étant utilisée pour financer le Congrès national irakien d'Ahmed Chalabi qui deviendrait un instrument de diffusion des fabrications et des mensonges. utilisé pour justifier la guerre en Irak sous l'administration de George W. Bush.

Les attentats du 11 septembre ont donné à la guerre son ouverture, d'abord avec l'Afghanistan, puis l'Irak. Krauthammer, qui ne savait rien du monde musulman, a écrit que : "La façon d'apprivoiser la rue arabe n'est pas avec l'apaisement et la douce sensibilité mais avec la puissance brute et la victoire… La vérité élémentaire qui semble échapper encore et encore aux experts… est que le pouvoir est sa propre récompense. La victoire change tout, psychologiquement avant tout. La psychologie au [Moyen-Orient] est maintenant celle de la peur et du profond respect pour la puissance américaine. Il est maintenant temps de l'utiliser."

Renverser Saddam Hussein du pouvoir, chantait Kristol, "transformera le paysage politique du Moyen-Orient".

Il l'a fait, bien sûr, mais pas d'une manière qui a profité aux États-Unis

Ils aspirent à une guerre mondiale apocalyptique. Fred Kagan, le frère de Robert, un historien militaire, écrivait en 1999 que "l'Amérique doit être capable de combattre l'Irak et la Corée du Nord, et aussi être capable de combattre le génocide dans les Balkans et ailleurs sans compromettre sa capacité à combattre deux conflits régionaux majeurs. . Et il doit être capable d'envisager une guerre avec la Chine ou la Russie dans un temps considérable (mais pas infini) à partir de maintenant" (souligné par l'auteur).

Ils croient que la violence résout comme par magie tous les différends, même le bourbier israélo-palestinien. Dans une interview bizarre immédiatement après le 11 septembre, Donald Kagan, le classique de Yale et idéologue de droite qui était le père de Robert et Fred, a appelé, avec son fils Fred, au déploiement de troupes américaines à Gaza afin que nous puissions "amener la guerre à ces gens".

Ils exigent depuis longtemps le stationnement de troupes de l'OTAN en Ukraine, Robert Kagan déclarant que "nous ne devons pas nous inquiéter que le problème soit notre encerclement plutôt que les ambitions russes". Son épouse, Victoria Nuland, fut dévoilée lors d'une conversation téléphonique divulguée en 2014 avec l'ambassadeur américain en Ukraine, Geoffrey Pyatt, dénigrant l'UE et complotant pour destituer le président légalement élu Viktor Ianoukovitch et installer au pouvoir des politiciens ukrainiens dociles, dont la plupart l'ont fait. finalement prendre le pouvoir.

Ils ont fait pression pour que des troupes américaines soient envoyées en Syrie pour aider les rebelles "modérés" cherchant à renverser Bashar al-Assad. Alors que l'intervention en Irak avait déjà engendré le Califat. Les États-Unis ont donc fini par bombarder les forces mêmes qu'ils avaient armées, devenant de facto l'armée de l'air d'Assad.

L'invasion russe de l'Ukraine, comme les attentats du 11 septembre, est une prophétie auto-réalisatrice. Poutine, comme tous ceux qu'ils ciblent, ne comprend que la force. Nous pouvons, nous assurent-ils, plier militairement la Russie à notre volonté.

"Il est vrai qu'agir fermement en 2008 ou 2014 aurait signifié risquer un conflit", a écrit Robert Kagan dans le dernier numéro des Affaires étrangères de l'Ukraine, déplorant notre refus d'affronter militairement la Russie plus tôt. Il a écrit:

" Mais Washington risque maintenant un conflit ; Les ambitions de la Russie ont créé une situation intrinsèquement dangereuse. Il est préférable pour les États-Unis de risquer la confrontation avec des puissances belligérantes lorsqu'elles en sont aux premiers stades de l'ambition et de l'expansion, et non après qu'elles ont déjà consolidé des gains substantiels. La Russie possède peut-être un arsenal nucléaire redoutable, mais le risque que Moscou l'utilise n'est pas plus élevé aujourd'hui qu'il ne l'aurait été en 2008 ou 2014, si l'Occident était alors intervenu. Et il a toujours été extraordinairement faible : Poutine n'atteindrait jamais ses objectifs en se détruisant lui-même et son pays, ainsi qu'une grande partie du reste du monde."

En bref, ne vous inquiétez pas d'entrer en guerre avec la Russie, Poutine n'utilisera pas la bombe.

Je ne sais pas si ces gens sont stupides ou cyniques ou les deux. Ils sont généreusement financés par l'industrie de guerre. Ils ne sont jamais retirés des instances suite à leurs idioties répétées. Ils entrent et sortent du pouvoir, parqués dans des endroits comme le Council on Foreign Relations ou le Brookings Institute, avant d'être rappelés au gouvernement. Ils sont aussi bienvenus à la Maison Blanche d'Obama ou de Biden qu'à la Maison Blanche de Bush.

La guerre froide, pour eux, n'a jamais pris fin. Le monde reste binaire, nous et eux, le bien et le mal. Ils ne sont jamais tenus pour responsables. Quand une intervention militaire part en fumée, ils sont prêts à promouvoir la suivante. Ces Dr Folamours, si nous ne les arrêtons pas, mettront fin à la vie telle que nous la connaissons sur la planète. 

Auteur: Hedges Christopher Lynn

Info: https://consortiumnews.com/2022/04/11/chris-hedges-the-pimps-of-war/

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dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

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Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]