inquiétude

Bosch constata combien les voix étaient devenues plus aiguës, plus pressantes. On avait laissé tomber les mots de code et le langage formel. C'était la peur. Il avait déjà vu ça à la guerre. Il l'avait vu ensuite dans les rues, quand il était en uniforme. La peur, bien que jamais avouée, prive les hommes de leurs poses soigneusement calculées. L'adrenaline gronde et la gorge gargouille de peur comme une canalisation qui refoule. L'unique désir de survivre l'emporte. Il aiguise l'esprit, fait disparaître tout le baratin.

Auteur: Connelly Michael

Info: La glace noire

[ communautaire ] [ émotion ] [ insécurité ] [ révélatrice ]

cosmogonie

Hilprecht et d’autres avec lui ont dû accepter l’incroyable : admettre que les Sumériens connaissaient le phénomène des précessions, mais qu’au surplus ils savaient qu’un déplacement de Maison en Maison du zodiaque demandait deux mille cent soixante ans. […] Rendons-nous compte : même si l’astronomie moderne valide l’existence du phénomène des précessions et de la valeur de ses périodes calculées en Sumer, aucun scientifique de son vivant, aujourd’hui ou par le passé, n’a jamais vu le déplacement d’une seule Maison (un passage vers le Verseau est en cours). Tous les scientifiques réunis sont à jamais incapables d’être les témoins d’un cycle complet. Pourtant, il figure bien dans les tablettes sumériennes.

Auteur: Sitchin Zecharia

Info: Cosmo Genèse - Les preuves scientifiques de l'existence de la planète cachée

[ mystère ] [ historique ]

insolite

Prenons un chiffre précis qui est bien connu des générations de parents et de médecins : la température normale du corps humain est de 38,6 Fahrenheit. Des études récentes portant sur des millions de mesures révèlent que ce chiffre est erroné ; la température normale du corps humain est en fait de 38,2 Fahrenheit. Le défaut n'est pas dû aux mesures originales du Dr. Wunderlich - elles ont été calculées en moyenne et sensiblement arrondies au degré le plus proche : 37 Celsius. Cependant, lorsque cette température a été convertie en Fahrenheit, l'arrondissement a été oublié et 98,6 a été considéré comme exact au dixième de degré près. Si l'intervalle initial entre 36,5 et 37,5 Celsius avait été traduit, les températures équivalentes en Fahrenheit auraient varié de 97,7 à 99,5. Apparemment, la discalculia* peut même provoquer des fièvres.

Auteur: Paulos John Allen

Info: A Mathematician Reads the Newspaper. Ranking Health Risks: Experts and Laymen Differ (p. 139). Basic Books. New York, New York, USA. Classement des risques pour la santé : Experts et profanes diffèrent (p. 139). Livres de base. New York, New York, États-Unis. 1995. *Difficulté à apprendre les principes du calcul, causée par un problème cérébral qui rend difficile l'utilisation du système symbolique.

[ anecdote ] [ transposition ] [ source d'erreur ] [ inexactitude ]

management

Nous concevons notre temps objectivé comme s'étendant aussi bien dans le futur que dans le passé, et nous coulons pareillement dans le même moule nos évaluations du futur et nos souvenirs du passé, en établissant des programmes, des prévisions et des budgets. L'identité de forme des unités (conforme au système de mesure des quantités spatiales) au moyen desquelles nous mesurons et concevons le temps nous amène à considérer ‘‘l'élément sans forme’’, ou ‘‘substance’’, du temps comme étant homogène et en raison directe du nombre d'unités. Aussi attribuons-nous à toutes les prestations des valeurs calculées en unités de temps, ce qui permet l'édification d'une structure commerciale temporelle : salaire horaire (le travail horaire remplace de plus en plus le travail à la pièce), rente, crédit, intérêt, frais d'amortissement, et primes d'assurance. Il ne fait pas de doute que ce vaste système, une fois édifié, continuera de fonctionner quel que soit le traitement linguistique dont le concept de temps sera l'objet. Mais le fait qu'il ait été élaboré pour atteindre l'ampleur et la forme particulière qu'il a dans le monde occidental est incontestablement en accord avec les structures des langues appartenant au groupe S.A.E. (Standard Average European).

Auteur: Lee Whorf Benjamin

Info: Linguistique et anthropologie, p. 108-109

[ linéaire ] [ rationalisé ] [ langage ]

portrait

J'eus, un jour, la fantaisie d'entendre le cours de M. Renan, titulaire de la chaire d'hébreu au collège de France.

Je ne l'avais jamais aperçu dans l'espace et je voulais que mes yeux me donnassent une idée de plus sur ce sophiste mellifluent qui déconcerte et surmène l'imagination en sens inverse de la splendeur morale et de toute vraie grandeur.

Je vis un homme de taille médiocre, à l'embonpoint élastique, agile et fermement planté sur de petites jambes de montagne, évidemment calculées pour porter leur homme aussi bien sur les rocs de l'explorateur phénicien que sur les tréteaux basculants du conférencien.

L'impression première et immédiate est celle d'un vieux frère de la doctrine chrétienne, frère Potamien ou Junipère, qui aurait distribué les fruits de l'arbre de la science à trois ou quatre générations.

Face glabre, au nez vitellien, légèrement empourpré et picoté de petites engrêlures qui tiennent le milieu entre le bourgeon de la fleur du pêcher et les bubulettes vermillonnes d'un pleurnichage chronique, assez noblement posé d'ailleurs, au dessus d'une fine bouche d'aruspice narquois et dubitatif - comme un simulacre romain de la Victoire ailée et tranquille, au bord d'une route tumultueuse de la haute Asie, encombrée du trafic suspect de Babel ou de Chanaan...

Auteur: Bloy Léon

Info: Propos d'un entrepreneur de démolitions, 1er septembre 1883

[ description ] [ laideur ] [ vacherie ]

science-fiction

Et puis il y avait eu l'arrivée de Piel Essiarf. Ce fou. Son excentricité essentielle et l'immense fortune héritée de ses parents avaient offert une ouverture incroyable, vrai coup de lumière dans la pénombre d'un solipsisme anthropomorphique sans issue.

Inspiré des travaux de Millar Gaichel, explorateur marginal du siècle précédent (un ufologiste passionné qui ingérait de très calculées doses de DMT tout en utilisant des lunettes spéciales afin d'élargir sa vision dans l'infrarouge et l'ultraviolet, tout ceci après s'être longuement rééduqué pour s'extraire au possible des préjugés culturels qui obstruaient ses sens), Piel Essiarf fit faire un bond immense à l'aventure du dépassement cognitif en combinant trois idées de recherches qu'il put faire développer "ensemble" via l'engagement de brillants chercheurs créateurs et l'intelligente utilisation des progrès technologiques de son époque.

Sa première idée, la plus originale et la plus difficile, déverrouillait tout. On la nomme encore aujourd'hui "Désyntonisation et reconversion syntones des formes de vie a-syntones." Les deux autres, non moins aventureuses, étaient plus facile d'accès puisque nous parlons des biens connues MTCC (Modélisations théoriques de civilisations non issues du carbone) et ERENAM (Etude des rapports d'échelles entre nano, anthro et macro monde.)

Dès les premières découvertes issues de cette tri-méthodologie la science des "techno-signatures non humaines" prit son envol. Et beaucoup d'autres disciplines. Énorme remise en perspective pour l'hubris des primates glabres de la 3e planète du système solaire. Mais c'est une autre histoire.

Auteur: Mg

Info: A la recherche de Zoul, 5 et 6 décembre 2018

[ dépassement ] [ anthro-syntonisation ]

homme-animal

... j'ai instinctivement ordonné au garçon à la barre de mettre "à bâbord toutes", dans le but de prendre le large et de l'éviter.
J'avais à peine prononcé ces mots que le cachalot est revenu vers nous à pleine vitesse, et, qu'il a frappé le navire avec sa tête, juste devant les porte-haubans de misaine; le coup fût si fort qu'il nous jeta presque à terre. Le bateau s'est alors élevé avec tant de soudaineté et de violence que s'il avait heurté un rocher, et il a tremblé comme une feuille pendant plusieurs secondes.
Nous nous nous sommes regardés les uns les autres, totalement stupéfaits, et presque incapables de prononcer un mot. Plusieurs minutes se sont écoulées avant que nous puissions donner toute sa mesure à ce terrible accidents.
(...)
Après quelques heures de chagrin inutile et de langueur, je commence à repenser à l'accident. J'essaie de comprendre par quelle destinée inexplicable, ou par quel dessein (ce que je ne peux déterminer au premier abord), cette attaque soudaine et presque mortelle a pu être faite par un animal que personne jusqu'à présent n'a suspecté d'être capable de violence préméditée, et dont l'insensibilité et l'inoffensivité sont proverbiales. Tout me porte à la conclusion que tout sauf le hasard a causé cet enchaînement. Il nous a attaqué par deux fois en peu de temps, selon des trajectoires calculées pour nous causer le plus de dégâts possibles. Pour réussir son coup, il a combiné sa vitesse avec celle du bateau, et a fait exactement ce qui était nécessaire pour avoir le plus d'efficacité possible. Son aspect était terrible et montrait son ressentiment et sa fureur. Il arrivait directement du banc dans lequel nous étions entrés, et dans lequel nous avions tué trois de ses compagnons, comme s’il était enragé d'un désir de vengeance devant leurs souffrances.

Auteur: Owen Chase

Info: Récit de l'extraordinaire et affligeant naufrage du baleinier Essex. Episode à la source du Moby Dick de Melville

[ océan ]

progrès

En octobre et novembre 2011 1500 fermiers se sont suicidés collectivement en Inde, dans la province de Chattisgarh. Un phénomène récurrent, puisque les chiffres officiels font état de 1000 suicides mensuels... depuis plus de quinze ans. En cause, l'endettement des paysans lié à l'achat de semences OGM miraculeuses... qui se révèlent catastrophiques.
Depuis le milieu des années 80, l'Inde a accepté d'ouvrir totalement son marché en contrepartie de l'aide du Fonds Monétaire International. Une révolution économique s'en suivit, qui en fit un terrain d'expérimentation mondial en matière agricole. Depuis lors, les paysans sont livrés aux promesses des vendeurs de semences magiques : les rendements devaient être exceptionnels, et les insectes et parasites rangés dans les tiroirs de l'histoire. Les variétés traditionnelles ont même été interdites dans de nombreuses banques de semences gouvernementales. Mais pour toucher le Graal, il fallait débourser 10 fois plus pour la même quantité de semences. Le prix de la gloire. Et les paysans se sont massivement endettés.
What a wonderfull world (Company)
Sauf que les semences OGM de coton Bt (de Monsanto, faut-il le préciser) sont tombées malades, infestées par le vers (vorace) de la capsule. Les semenciers avaient juste oublié de préciser que les plantes n'étaient pas résistantes aux maladies locales et qu'il fallait donc épandre des tonnes de pesticides en plus. Ils avaient aussi omis d'indiquer que les variétés en question buvaient deux plus d'eau et dégradaient les sols à grande vitesse. Du coup, les sécheresses ont été amplifiées et les rendements réduits à peau de chagrin. Les paysans se retrouvent à sec, paralysés par leurs dettes et sans le sou pour acheter les semences de l'année suivante, puisque les plantes OGM - dotés d'une technologie révolutionnaire affectueusement nommée "Terminator" - sont calculées pour que les grains ne puissent pas se replanter... D'où de nouvelles dettes. Etc.
Disparition des variétés traditionnelles
"Certains des fermiers qui se sont suicidés avaient réalisé jusqu'à cinquante pulvérisations d'herbicide et de pesticide sur leurs champs de coton, mais cela n'a pas empêché leur récolte de dépérir", affirme le professeur Nanjundaswamy, fondateur du Mouvement pour la Défense des Fermiers du Karnataka (Karnataka Rajya Ryota Sangha - KRRS). Autre conséquence, l'utilisation de ce coton génétiquement modifié aurait "éliminé par pollinisation nombre de nos plantes indigènes qui possédaient par exemple des qualités de résistance à la sécheresse et à certains parasites propres à l'Inde, résistance que n'ont pas les plantes hybrides" affirme le même spécialiste. Pour les défenseurs des OGM, les vraies raisons de cette catastrophe sont la pauvreté rurale, l'alcoolisme, les sécheresses et le "désespoir agraire".
En 2006, le ministère indien de l'agriculture déclarait que la moitié des foyers paysans étaient endettés. Selon les ONG, le taux de suicide parmi les fermiers pauvres atteint actuellement des records. 150 000 d'entre eux se seraient donnés la mort depuis 1993. Entre 60% et 75% de la population indienne (contre 10% pour la France et 2% pour les États-Unis), qui compte plus d'un milliard d'habitants, vit de l'agriculture, qui représente un quart du Produit intérieur brut indien.

Auteur: Internet

Info:

[ USA ]

analyse holistique

Un type de raisonnement que l'AI ne peut remplacer

L'ingénieur en logiciel et philosophe William J. Littlefield II fait remarquer dans un essai récent qu'il existe trois types de raisonnement. Dont deux d'entre eux que nous avons probablement tous appris à l'école : le raisonnement déductif et inductif. Les ordinateurs peuvent très bien faire les deux.

Le raisonnement déductif : Les chiens sont des chiens. Tuffy est un chien. Tuffy est donc un chien.

Les premiers ordinateurs, dit Littlefield, utilisaient généralement le raisonnement déductif (qu'il considère comme un raisonnement "descendant"). Ce qui permet à de puissants ordinateurs de battre les humains à des jeux comme les échecs et le Go en calculant beaucoup plus de mouvements logiques à la fois qu'un humain ne peut le faire.

Le raisonnement inductif, en revanche, est un raisonnement "ascendant", qui va d'une série de faits pertinents à une conclusion, par exemple :

Un club a organisé 60 compétitions de natation, 20 dans chaque lieu ci-dessous :

Lorsque le Club organise des compétitions de natation à Sandy Point, nous obtenons en moyenne 80 % de votes d'approbation.

Lorsque le Club organise des compétitions de natation à Stony Point, nous obtenons en moyenne 60 % des suffrages.

Lorsque le Club organise des compétitions de natation à Rocky Point, nous obtenons une approbation moyenne de 40 %.

Conclusion : Les membres du club préfèrent les plages de sable fin aux autres types de plages.

Ici aussi l'avènement de nouvelles méthodes comme les réseaux neuronaux a permis à de puissants ordinateurs d'assembler une grande quantité d'information afin de permettre un tel raisonnement inductif (Big Data).

Cependant, le Flop IBM de Watson en médecine (supposée aider à soigner le cancer on vit l'AI incapable de discerner les infos pertinentes dans une grande masse de données) suggère que dans les situations où - contrairement aux échecs - il n'y a pas vraiment de "règles", les machines ont beaucoup de difficulté à décider quelles données choisir. Peut-être qu'un jour une encore plus grande masse de données résoudra ce problème. Nous verrons bien.

Mais, selon Littlefield, le troisième type de raisonnement, le raisonnement abductif, fonctionne un peu différemment :

"Contrairement à l'induction ou à la déduction, où nous commençons par des cas pour tirer des conclusions sur une règle, ou vice versa, avec l'abduction, nous générons une hypothèse pour expliquer la relation entre une situation et une règle. De façon plus concise, dans le raisonnement abductif, nous faisons une supposition éclairée." William J. Littlefield II, "La compétence humaine que l'IA ne peut remplacer"

Le raisonnement abductif, décrit à l'origine par un philosophe américain Charles Sanders Peirce (1839-1914), est parfois appelé "inférence vers la meilleure explication", comme dans l'exemple qui suit :

"Un matin, vous entrez dans la cuisine et trouvez une assiette et une tasse sur la table, avec de la chapelure et une noix de beurre dessus, le tout accompagné d'un pot de confiture, un paquet de sucre et un carton vide de lait. Vous en concluez que l'un de vos colocataires s'est levé la nuit pour se préparer une collation de minuit et qu'il était trop fatigué pour débarrasser la table. C'est ce qui, à votre avis, explique le mieux la scène à laquelle vous êtes confronté. Certes, il se peut que quelqu'un ait cambriolé la maison et ait pris le temps de manger un morceau pendant sur le tas, ou qu'un colocataire ait arrangé les choses sur la table sans prendre de collation de minuit, mais juste pour vous faire croire que quelqu'un a pris une collation de minuit. Mais ces hypothèses vous semblent présenter des explications beaucoup plus fantaisistes des données que celle à laquelle vous faites référence." Igor Douven, "Abduction" à l'Encyclopédie Stanford de Philosophie

Notez que la conclusion n'est pas une déduction stricte qu'il n'y a pas non plus suffisamment de preuves pour une induction. Nous choisissons simplement l'explication la plus simple qui tient compte de tous les faits, en gardant à l'esprit la possibilité que de nouvelles preuves nous obligent à reconsidérer notre opinion.

Pourquoi les ordinateurs ne peuvent-ils pas faire ça ? Littlefield dit qu'ils resteraient coincés dans une boucle sans fin :

Une part de ce qui rend l'enlèvement difficile, c'est que nous devons déduire certaines hypothèses probables à partir d'un ensemble vraiment infini d'explications....

"La raison pour laquelle c'est important, c'est que lorsque nous sommes confrontés à des problèmes complexes, une partie de la façon dont nous les résolvons consiste à bricoler. Nous jouons en essayant plusieurs approches, en gardant notre propre système de valeurs fluide pendant que nous cherchons des solutions potentielles. Plus précisément, nous générons des hypothèses. Où 'un ordinateur peut être coincé dans une boucle sans fin, itérant sur des explications infinies, nous utilisons nos systèmes de valeurs pour déduire rapidement quelles explications sont à la fois valables et probables. Peirce savait que le raisonnement abductif était au cœur de la façon dont nous nous attaquons à de nouveaux problèmes ; il pensait en particulier que c'était la façon dont les scientifiques découvrent les choses. Ils observent des phénomènes inattendus et génèrent des hypothèses qui expliquent pourquoi ils se produisent." William J. Littlefield II, "La compétence humaine que l'IA ne peut remplacer"

En d'autres termes, le raisonnement abductif n'est pas à proprement parler une forme de calcul, mais plutôt une supposition éclairée - une évaluation des probabilités fondée sur l'expérience. Il joue un rôle important dans la création d'hypothèses dans les sciences :

"Par exemple, un élève peut avoir remarqué que le pain semble se moisir plus rapidement dans la boîte à pain que dans le réfrigérateur. Le raisonnement abductif amène le jeune chercheur à supposer que la température détermine le taux de croissance des moisissures, comme l'hypothèse qui correspondrait le mieux aux données probantes, si elle est vraie.
Ce processus de raisonnement abductif est vrai qu'il s'agisse d'une expérience scolaire ou d'une thèse de troisième cycle sur l'astrophysique avancée. La pensée abductive permet aux chercheurs de maximiser leur temps et leurs ressources en se concentrant sur une ligne d'expérimentation réaliste.
L'enlèvement est considéré comme le point de départ du processus de recherche, donnant une explication rationnelle, permettant au raisonnement déductif de dicter le plan expérimental exact." Maryn Shuttleworth, "Abductive Reasining" Chez Explorable.com

Comme on peut le voir, le raisonnement abductif fait appel à une certaine créativité parce que l'hypothèse suggérée doit être développée comme une idée et non seulement additionnée à partir d'informations existantes. Et la créativité n'est pas quelque chose que les ordinateurs font vraiment.

C'est l'une des raisons invoquées par le philosophe Jay Richards dans The Human Advantage : L'avenir du travail américain à l'ère des machines intelligentes, comme quoi l'IA ne mettra pas la plupart des humains au chômage. Au contraire, elle changera la nature des emplois, généralement en récompensant la créativité, la flexibilité et une variété d'autres caractéristiques qui ne peuvent être calculées ou automatisées.

Auteur: Internet

Info: https://mindmatters.ai/2019/10/a-type-of-reasoning-ai-cant-replace/, 10 Oct. 2019

[ optimisme ] [ informatique ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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