amour

Sacre-la d'un baiser qui dure. Faites votre enfant.

Auteur: Géraldy Paul Lefèvre dit

Info: L'Amour, p.41, Librairie Hachette Notes et maximes

[ concrétisé ]

temps

L'avenir n'est pas réel. Un rêve qui peut se réaliser ou pas. Le passé seul existe vraiment.

Auteur: Carducci Lisa

Info:

[ concrétisé ]

catachrèses

Toutes ces métaphores concrétisées augmentent considérablement notre capacité à percevoir le monde qui nous entoure et à le comprendre. Elles créent littéralement de nouveaux objets. Le langage est un organe de perception, pas seulement un moyen de communication.

Auteur: Jaynes Julian

Info: The Origin of Consciousness in the Breakdown of the Bicameral Mind

[ préhension sémantique ] [ réflexivité ] [ réconfort ]

oppression

Ces paroles l'avaient profondément marquée, l'idée de voyage en Grande Bretagne avait commencé à la hanter, et elle considérait cela comme une trahison. Elle avait donc retiré sa candidature au Parti. On comprend fort bien que les commissaires-interrogateurs n'aient pas ajouté foi à cette confession hallucinante, mais on n'avait pas réussi à trouver d'autres chefs d'accusation. Elle avait été jugée (cela se faisait à l'époque) et condamnée à dix ans de camp de redressement par le travail pour "trahison de la patrie", selon l'article 19, qui stipule que l'intention n'a pas été concrétisée.

Auteur: Etkind Efim

Info: La Traductrice

[ Urss ]

inventivité

La créativité est toujours  une surpriste ; c'est pourquoi nous ne pouvons jamais compter que sur elle et n'osons y croire qu'une fois qu'elle s'est concrétisée. En d'autres termes, nous ne nous engagerions pas consciemment dans des tâches dont le succès exige clairement que la créativité soit sans cesse disponible. Par conséquent, la seule façon dont nous pouvons mettre pleinement en œuvre nos ressources créatives est de mal évaluer la nature de la tâche, en nous la présentant comme plus routinière, plus simple, moins exigeante en termes de créativité réelle qu'elle ne le sera en réalité. 

En d'autres termes : puisque nous sous-estimons nécessairement notre créativité, il est souhaitable que nous sous-estimions dans une mesure quasi similaire les difficultés des tâches auxquelles nous serons confrontés... Afin d'être trompés par ces deux sous-estimations compensatrices pour entreprendre des tâches que nous pouvons, mais autrement n'oserions pas, aborder. Le principe est suffisamment important pour mériter un nom : puisque nous sommes apparemment sur la piste ici d'une sorte de main invisible ou cachée qui nous dissimule avantageusement les difficultés, je propose la main cachée. (hidding hand) 

Auteur: Hirschman Albert Otto

Info:

[ souffle ] [ citation s'appliquant à ce logiciel ] [ entreprendre ] [ inconscience ] [ espérance ]

sciences

Tout comme il était parvenu à allumer les lampes à fluorescence en utilisant sa bobine à haute fréquence et à haute tension sans fil, l'un des rêves de Tesla était d'éclairer l'atmosphère terrestre la nuit. Son projet, qui ne s'est jamais concrétisé, était dans un premier temps d'ioniser la haute atmosphère en utilisant un faisceau ultraviolet pour qu'elle devienne conductrice, avant d'envoyer de l'énergie électrique à très haute fréquence et tension pour "allumer l'atmosphère elle-même", exactement comme elle s'éclaire lorsqu'elle est touchée par les particules solaires qui provoquent les aurores polaires. Tesla tenait beaucoup à ce projet parce qu'il souhaitait aider les navigateurs la nuit, dans des conditions difficiles. A ce propos il déclara : "L'éclairage de l'océan... n'est que l'un des résultats les moins importants que l'on puisse obtenir avec cette invention. J'ai déjà planifié nombre des détails d'une centrale de transmission qui pourrait être érigée dans les Açores et qui suffirait amplement à éclairer tout l'océan afin que des désastres comme celui du Titanic ne se reproduisent plus. La lumière sera douce et d'intensité très faible, mais assez bien adaptée au but recherché."

Auteur: Teodorani Massimo

Info: Tesla, l'éclair du génie

[ anecdote ] [ marine ]

ovnis

[…] j’en suis arrivé à la conclusion que la légende des Ufos représente la symbolique projetée, c’est-à-dire concrétisée, du processus d’individuation. […]

Le Soi est de nos jours, suite au désorientement général, à la division politique du monde et à la séparation correspondante sur le plan individuel entre la conscience et l’inconscient, constellé de façon générale sous une forme archétypale (c’est-à-dire dans l’inconscient), et c’est un problème que je rencontre sans cesse chez mes patients. […]

Je me suis alors demandé s’il serait possible que des imaginations archétypales aient un équivalent non seulement dans une chaîne causale matérielle indépendante, comme dans le cas des phénomènes synchronistiques, mais aussi dans des sortes d’événements illusoires qui, en dépit de leur nature subjective, seraient identiques avec un arrangement physique analogue. C’est-à-dire que l’archétype se reflète d’un côté dans le monde psychique et de l’autre dans le monde physique. C’est bien sûr également la formule de la synchronicité, à cette différence près que, dans ce dernier cas, la chaîne causale psychique est accompagnée d’une chaîne d’événements physiques analogues. Les Ufos en revanche semblent être des événements qui apparaissent et disparaissent de façon incompréhensible et qui ne légitiment leur existence que par leur relation analogique avec le processus psychique. […]

La légende des Ufos montre nettement que le symbole latent essaie de transporter la conscience collective au-delà du conflit entre les opposés dans une sphère encore inconnue, une sorte de totalité du monde et de devenir de soi (individuation).

Auteur: Jung Carl Gustav

Info: Lettre à Wolfgang Pauli, août 1957

[ projections psychologiques ] [ recherche de solutions ] [ symptôme ] [ extraterrestres ]

fausses apparences

Un cas terrible de syndrome de l’imposteur est celui du philosophe français Louis Althusser. C’était un homme qui a souffert de problèmes mentaux extrêmement graves ; à vingt-neuf ans, on lui a diagnostiqué une psychose maniaco-dépressive et il a été interné une vingtaine de fois dans différents centres psychiatriques. En 1980, il a commencé à faire un massage à sa femme, la sociologue Hélène Rytmann, avec qui il vivait depuis trente-cinq ans, et il a fini par l’étrangler jusqu’à ce que mort s’ensuive. Il a été déclaré irresponsable devant la loi pour avoir eu un accès de folie, et il a encore été interné pendant trois ans. En 1992, deux ans après sa mort, on a publié son autobiographie, L’avenir dure longtemps, dans laquelle il raconte d’une façon déchirante qu’il se considérait comme un lâche et un imposteur. Qu’il abritait des désirs homosexuels qu’il n’a jamais concrétisés ; qu’il passait pour un éminent philosophe alors que le fait est qu’il avait des lacunes considérables dans ses connaissances : il ne savait rien sur Aristote, ni sur les sophistes, ni sur les stoïciens, ni sur Kant (je me l’imagine se disant dans un moment de stupeur : Aristote ? Ou est-ce Aristarque ? Ou peut-être Anaxarque ?). Et qu’il avait été considéré comme un héros de la Seconde Guerre mondiale parce qu’il était resté cinq ans dans un camp de prisonniers allemand, mais qu’en réalité il avait ressenti une “terreur totale” à l’idée de se battre, qu’il s’inventait des maladies pour éviter les missions et que, quand les Allemands l’avaient capturé, il s’était senti soulagé. Pauvre Althusser, qui avait vécu, comme nous l’avons dit avant, écrasé par l’impératif héroïque de cet oncle et premier fiancé de sa mère dont il portait le nom, mort au combat pendant la Première Guerre mondiale. D’ailleurs, c’est à son retour du camp de prisonniers que la psychose d’Althusser a officiellement éclaté : il avait eu la terrible malchance d’avoir à vivre une autre guerre mondiale dans laquelle se mesurer à son fantôme. Il avait perdu, bien entendu.

Auteur: Montero Rosa

Info: Le danger de ne pas être folle

[ imposture ] [ autoportrait ]

interactions

L'épigénétique, l'hérédité au-delà de l'ADN
Des mécanismes ne modifiant pas notre patrimoine génétique jouent un rôle fondamental dans le développement de l'embryon. Ils pourraient expliquer comment l'environnement induit des changements stables de caractères, voire des maladies, éventuellement héritables sur plusieurs générations.

L'épigénétique, c'est d'abord cette idée que tout n'est pas inscrit dans la séquence d'ADN du génome. "C'est un concept qui dément en partie la "fatalité" des gènes", relève Michel Morange, professeur de biologie à l'ENS. Plus précisément, "l'épigénétique est l'étude des changements d'activité des gènes - donc des changements de caractères - qui sont transmis au fil des divisions cellulaires ou des générations sans faire appel à des mutations de l'ADN", explique Vincent Colot, spécialiste de l'épigénétique des végétaux à l'Institut de biologie de l'Ecole normale supérieure (ENS-CNRS-Inserm, Paris).

Est-ce la fin de l'ère du "tout-ADN", qui a connu son apogée vers l'an 2000 avec les grandes manoeuvres du séquençage du génome humain ? "L'organisme reste construit à partir de ses gènes, même si l'activité de ceux-ci peut être modulée", tempère Michel Morange.

Mais le séquençage des génomes l'a révélé avec éclat : la connaissance seule de la séquence de l'ADN ne suffit pas à expliquer comment les gènes fonctionnent. C'était pourtant prévisible : si cette connaissance suffisait, comment expliquer que malgré leur génome identique, les différents types de cellules d'un individu développent des caractères aussi différents que ceux d'un neurone, d'une cellule du foie, des muscles ou de la peau ?

L'épigénétique répond en partie à cette interrogation - mais elle en soulève de nombreuses autres. "Le cadre classique de l'épigénétique, c'est le développement de l'embryon et la différenciation des cellules de l'organisme", indique Vincent Colot. Mais ses enjeux concernent également la médecine et la santé publique... et les théories sur l'évolution. Elle jette le soupçon sur l'environnement, qui pourrait moduler l'activité de certains de nos gènes pour modifier nos caractères, voire induire certaines maladies qui pourraient être transmis(es) à la descendance.

La première question, cependant, est celle de la définition de ce fascinant concept. Un certain flou persiste, même chez les scientifiques. "Ces ambiguïtés tiennent au fait que le terme a été introduit à plusieurs reprises dans l'histoire de la biologie, avec à chaque fois un sens différent", raconte Michel Morange, qui est aussi historien des sciences. Précurseur absolu, Aristote invente le terme "épigenèse" - de épi-, "au-dessus de", et genèse, "génération" - vers 350 avant notre ère.

"Observant des embryons de poulet, Aristote découvre que les formes ne préexistent pas dans le germe, mais sont, au contraire, progressivement façonnées au cours du développement embryonnaire", rapporte Edith Heard, qui dirige une équipe (Institut Curie-Inserm-CNRS) sur l'épigénétique du développement des mammifères. Une vision admirablement prémonitoire, qui ne se verra confirmée qu'avec l'invention du microscope à la fin du XVIIe siècle.

Quant au mot "épigénétique", il apparaît en 1942 : on le doit au généticien anglais Conrad Waddington, qui s'attache à comprendre le rôle des gènes dans le développement. Comment s'opère le passage du génotype (l'ensemble des gènes) au phénotype (l'ensemble des caractères d'un individu) ? A l'époque, on ignorait que l'ADN est le support de l'hérédité. Mais les liens entre génotype et phénotype se précisent peu à peu, à mesure qu'on découvre la structure des gènes et leur mode de régulation. Une étape décisive est franchie avec les travaux de François Jacob, Jacques Monod et André Lwoff, Prix Nobel en 1965 : ils montrent l'importance d'un facteur de l'environnement (la présence d'un sucre, le lactose) dans le contrôle de l'expression d'un gène et la détermination d'un caractère (la capacité de la bactérie E. coli à utiliser le lactose comme source d'énergie).

Le concept d'épigénétique tombe ensuite en relative déshérence, pour renaître dans les années 1980 avec son sens moderne. "Un chercheur australien, Robin Holliday, observe dans des cellules en culture des changements de caractères qui sont transmis au fil des divisions cellulaires, relate Vincent Colot. Mais ces changements semblaient trop fréquents pour pouvoir être causés par des mutations de l'ADN." Holliday découvre le rôle, dans cette transmission, de certaines modifications de l'ADN qui n'affectent pas la séquence des "nucléotides", ces lettres qui écrivent le message des gènes.

Plus largement, on sait aujourd'hui que les gènes peuvent être "allumés" ou "éteints" par plusieurs types de modifications chimiques qui ne changent pas la séquence de l'ADN : des méthylations de l'ADN, mais aussi des changements des histones, ces protéines sur lesquelles s'enroule l'ADN pour former la chromatine. Toutes ces modifications constituent autant de "marques épigénétiques". Elles jalonnent le génome en des sites précis, modulant l'activité des gènes localisés sur ces sites.

Quelle est la stabilité de ces marques épigénétiques ? La question est centrale. Certaines sont très transitoires, comme les marques qui régulent les gènes liés aux rythmes du jour et de la nuit. "Au moins 15 % de nos gènes sont régulés d'une façon circadienne : leur activité oscille sur un rythme de 24 heures. Il s'agit de gènes qui gouvernent notre métabolisme, assurant par exemple l'utilisation des sucres ou des acides gras", indique Paolo Sassone-Corsi, qui travaille au sein d'une unité Inserm délocalisée, dirigée par Emiliana Borrelli à l'université de Californie (Irvine). "Pour réguler tant de gènes d'une façon harmonieuse, il faut une logique commune. Elle se fonde sur des processus épigénétiques qui impliquent des modifications des histones."

D'autres marques ont une remarquable pérennité. "Chez un individu multicellulaire, elles peuvent être acquises très tôt lors du développement, sous l'effet d'un signal inducteur, rapporte Vincent Colot. Elles sont ensuite transmises au fil des divisions cellulaires jusque chez l'adulte - bien longtemps après la disparition du signal inducteur." Les marques les plus stables sont ainsi les garantes de "l'identité" des cellules, la vie durant. Comme si, sur la partition d'orchestre de l'ADN du génome - commune à toutes les cellules de l'organisme -, chaque instrument - chaque type de cellule - ne jouait que la partie lui correspondant, n'activant que les gènes "tagués" par ces marques.

Un des plus beaux exemples de contrôle épigénétique chez les mammifères est "l'inactivation du chromosome X". "Ce processus a lieu chez toutes les femelles de mammifères, qui portent deux exemplaires du chromosome X, explique Edith Heard. L'inactivation d'un des deux exemplaires du X, au cours du développement précoce, permet de compenser le déséquilibre existant avec les mâles, porteurs d'un seul exemplaire du X."

Si l'inactivation du X est déficiente, l'embryon femelle meurt très précocement. Cette inactivation est déclenchée très tôt dans le développement de l'embryon, "dès le stade "4 cellules" chez la souris et un plus tard pour l'espèce humaine, puis elle est stabilisée par des processus épigénétiques tout au long de la vie", poursuit Edith Heard. Par ailleurs, son équipe vient de publier un article dans Nature mis en ligne le 11 avril, montrant que les chromosomes s'organisent en "domaines", à l'intérieur desquels les gènes peuvent être régulés de façon concertée, et sur lesquels s'ajoutent des marques épigénétiques.

Les enjeux sont aussi médicaux. Certaines "épimutations", ou variations de l'état épigénétique normal, seraient en cause dans diverses maladies humaines et dans le vieillissement. Ces épimutations se produisent par accident, mais aussi sous l'effet de facteurs environnementaux. Le rôle de ces facteurs est très activement étudié dans le développement de maladies chroniques comme le diabète de type 2, l'obésité ou les cancers, dont la prévalence explose à travers le monde.

Les perspectives sont également thérapeutiques, avec de premières applications qui voient le jour. "Les variations épigénétiques sont finalement assez plastiques. Elles peuvent être effacées par des traitements chimiques, ce qui ouvre d'immenses perspectives thérapeutiques. Cet espoir s'est déjà concrétisé par le développement de premières "épidrogues" pour traiter certains cancers", annonce Edith Heard.

Le dernier défi de l'épigénétique, et non des moindres, renvoie aux théories de l'évolution. "Alors que le génome est très figé, l'épigénome est bien plus dynamique", estime Jonathan Weitzman, directeur du Centre épigénétique et destin cellulaire (université Paris-Diderot-CNRS). "L'épigénome pourrait permettre aux individus d'explorer rapidement une adaptation à une modification de l'environnement, sans pour autant graver ce changement adaptatif dans le génome", postule le chercheur. L'environnement jouerait-il un rôle dans la genèse de ces variations adaptatives, comme le croyait Lamarck ? Reste à le démontrer. Epigénétique ou non, le destin est espiègle : le laboratoire qu'anime Jonathan Weitzman n'a-t-il pas été aléatoirement implanté... dans le bâtiment Lamarck ? Internet,

Auteur: Internet

Info: Rosier Florence, https://www.lemonde.fr/sciences/ 13 avril 2012

[ interférences ] [ mutation acquise ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]