biologie

Le jour où un protiste à fouet cellulaire s'est attaché à une autre cellule et s'est mis à la propulser, libérant donc les microtubules de la seconde pour d'autres fonctions, marque le déclenchement de la lignée de l'évolution qui a conduit aux animaux. Ainsi commença la spécialisation cellulaire, que les animaux ont élevée à un grand art. Certaines cellules nageaient, d'autres conservaient leur aptitude à la mitose et à la méiose, d'autres encore confiaient à leur appareil spirochétal la perception des signaux du monde extérieur. Les cellules des antennes, des organes de l'équilibre, du rein, du cerveau, des récepteurs mécaniques ou de l'odorat des animaux ne continuent pas à se diviser après l'âge adulte. Cela en raison sans doute de la fonction particulière à leurs microtubules, qui les empêche de jouer le rôle de fuseau mitotique.

Auteur: Margulis Lynn

Info: L'univers bactériel, l'eclosion finale : animaux et plantes, p. 185

[ palier évolutionnaire ] [ nano-monde ] [ dispersion ]

pédant

Après la guerre d'Afrique entre les Romains et les Carthaginois, Annibal, quoique vaincu, sentant bien qu'il faisait encore ombrage aux Romains, et dans l'intention peut-être de leur susciter un nouvel ennemi, se retira auprès d'Antiochus, qui était à Éphèse. Les Ephésiens avaient alors chez eux un philosophe péripatéticien, nommé Phormion, pour lequel ils conservaient une très grande estime. Ils voulurent qu'Annibal la partageât avec eux, et ils lui proposèrent d'aller entendre ce philosophe. Le général accepta la proposition, et l'assemblée fut nombreuse. Phormion, qui toute sa vie avait été éloigné des fonctions publiques, et qui même n'avait jamais vu un camp, eut l'imprudence de faire un discours bien long sur le devoir d'un général d'armée et sur l'art de la guerre, devant le plus habile général que l'on connaissait alors. Les Ephésiens, charmés, demandèrent à Annibal ce qu'il pensait de ce philosophe. Il leur répondit avec une franchise digne de lui, qu'il avait bien vu en sa vie des vieillards radoter; mais qu'il n'avait jamais vu un plus parfait radoteur que leur philosophe.

Auteur: Internet

Info: in le Dictionnaire encyclopédique d'anecdotes modernes, anciennes, françaises et étrangères d'Edmond Guerard, Dict. des homm. illustres, Chacun son métier

[ historique ]

tradition littéraire

Le conte de fées, autre source de sagesse populaire, est en train de se tarir, grâce encore aux idéologues progressistes qui veulent protéger l’enfant de ces histoires réputées terrifiantes. La censure exercée sur les contes de fées, tout comme l’assaut donné à la littérature "inappropriée" au monde moderne, fait partie d’une persécution générale de l’imagination et du fantasme. Au nom du réalisme et d’une "culture appropriée", notre âge psychologique interdit des sublimations pourtant sans danger. Dans Psychologie des contes de fées, Bettelheim a montré que cette formation "réaliste" a pour effet d’accentuer la discontinuité entre les générations (l’enfant ayant l’impression que ses parents habitent un monde tout à fait étranger au sien) et fait douter l’enfant de sa propre expérience. Jadis, la religion, le mythe et le conte de fées conservaient suffisamment d’éléments propres à l’univers enfantin pour offrir aux jeunes une vision convaincue du monde. Or, la science ne peut se substituer à eux. D’où la régression, si commune dans la jeune génération vers un mode de pensée magique des plus primaires, telles la fascination exercée par la sorcellerie et l’occultisme, la croyance dans les perceptions extra-sensorielles, la prolifération des cultes chrétiens primitifs. 

Auteur: Lasch Christopher

Info: Dans "La culture du narcissisme", trad. Michel L. Landa, éd. Flammarion, Paris, 2018, pages 242-243

[ oubli ] [ appauvrissement de l'imaginaire ] [ parents-enfants ]

conservatismes

Mais, désolé Ulysse, c'est une idée foncièrement tordue. C'est croire que ce qui auparavant a été considéré comme amour, à savoir, pour le dire gentiment, le "partenariat domestique", était un amour pur. C'est comme parler du bon vieux temps des colonies, et c'est s'imaginer que le monde de jadis était préservé de la violence par l'existence de hiérarchies tangibles qui conservaient les hommes à leur place. Rien que le fait d'attribuer ces propos à Ulysse ou à Achille ridiculise déjà cette idée, et montre des hommes d'un passé mythique eux-mêmes regretter le passé, et les individus d'une société réglée vivre celle-ci comme un chaos et déplorer la disparition d'une époque encore antérieure où les règles auraient été mieux respectées. En réalité, on arrive à l'ultime piège de ce monde, qui est d'attribuer à l'absence de règles l'incurie que les règles elles-mêmes ont produites. On retrouve cette tentation à chaque époque et chaque époque, présentant une incurie qui lui est propre, elle produit son opposition qui regrette l'incurie de l'époque précédente sans comprendre que la sienne n'est que la conséquence, sinon la perpétuation, de la précédente. La confusion vécue par l'amoureux peut expliquer cette nostalgie, mais celle-ci ne doit pas nous faire illusion et exige qu'on la perçoive comme une confusion seconde.

Auteur: Thiellement Pacôme

Info: Sycomore, Sickamour, p. 91 Puf

[ trans-époques ] [ anarchie immanente ] [ paradis perdu ]

vieillards

Pourtant, quand il réfléchissait à sa condition actuelle, le vieil homme était saisi du sentiment d'avoir été injustement condamné à la réclusion à perpétuité, pour une chose sur laquelle il n'avait aucune emprise. Le crime qu'il expiait ici était simplement d'être devenu vieux et improductif, aussi obsolète que le Minitel, aussi utile qu'un flacon de shampoing dans une prise d'otages. Ce que la communauté attendait des encombrants de sa génération, c'était qu'ils eussent la sagesse élémentaire de se retirer de la circulation et de se mettre sur une voie de garage, où ils ne gêneraient personne... De se ranger pudiquement et sans esclandre, si ce n’était pas trop leur demander et tant qu’ils conservaient un peu de dignité, à l’abri des regards. On épargnait le triste spectacle des vieux aux plus jeunes, comme on regroupait autrefois les ladres dans des léproseries. Ils étaient la poussière qu'on dissimulait sous le tapis, les scories et l'écume laissées sur le bord du monde par une société en ébullition permanente. Telle était la norme et, depuis toujours, Martial se pliait à ce que toutes les normes, les règles, les lois, exigeaient de lui. Martial Chaînard aurait été du genre à continuer de traverser les routes par les passages piétons après une apocalypse nucléaire. Il était comme ça. C'était quelqu'un d’accommodant, la docilité incarnée, et il avait longtemps cru qu'on l'appréciait pour cela, pour sa faculté à épouser la forme des moules, à se fondre dans le décor sans faire de vagues.

Auteur: Soulier Frédéric

Info: Epilogue

[ rejetés ] [ exclus ]

chirurgie

On reprit, mais sur des bases nouvelles, l’antique constatation des mages d’autrefois concernant l’intervention nécessaire d’un nombre pair dans toutes les constructions humaines ; mais on eut le tort considérable de négliger, à ce moment, le nombre impair, qui se retrouva dans tous les mythes anciens, et qui complétait soit le chiffre douze, par le nombre treize, soit le chiffre six par le nombre sept, figurant l’unité divine. On constata simplement la dualité fondamentale de tous les êtres supérieurs, et l’on s’avisa, dans les laboratoires, de couper des hommes en deux, dans le sens vertical, pour essayer d’en faire une complète analyse.

Je n’ai pas besoin de dire qu’en ce temps-là, la technique opératoire était parvenue à un si haut degré de perfection que de pareilles opérations semblaient toutes naturelles.

Ces premières expériences ne furent couronnées d’aucun succès. Il semblait cependant logique de séparer, par un plan vertical passant par l’arête du nez, un homme composé de parties semblables des deux côtés et qui ne formait, à bien prendre, qu’un être double. Malheureusement, je le répète, cette analyse ne donna aucun résultat satisfaisant.

Tandis que depuis des siècles on pouvait sectionner un être humain dans le sens horizontal en le privant définitivement du double usage de certains membres, l’opération contraire demeurait impossible.

En section transversale, on arrivait à réaliser de véritables merveilles opératoires. Après avoir pratiqué l’ablation banale des deux bras et des deux jambes, on réussit également celle du tronc. Au moyen de canalisations très simplement réglées, la tête put vivre isolée sans aucune difficulté. On parvint même à la sectionner horizontalement, à isoler le cerveau, puis une couche horizontale de substance cérébrale. Tant que le corps ainsi réduit présentait deux parties symétriques, il continuait à montrer indubitablement tous les caractères de la vie.

Au contraire, la section verticale, beaucoup plus logique, beaucoup plus facile, semblait-il, à réaliser, puisqu’elle laissait subsister un être entier dédoublé, eut toujours pour effet d’éteindre instantanément les sources mêmes de la vie.

Les savants d’alors, dans leur entêtement, ne se découragèrent point ; cette division de l’homme qu’ils ne pouvaient obtenir anatomiquement, ils la tentèrent au simple point de vue psychique. Petit à petit, ils parvinrent à éduquer la race humaine, alors très réduite par la science, et à la diviser en deux classes nettement opposées.

D’un côté, il y eut ce que l’on appela alors les matérialistes, construits à l’image du Léviathan, chez qui toute conscience fut abolie et qui ne conservaient que la vision du monde extérieur à trois dimensions. Leurs mouvements purement réflexes étaient suscités par les besoins journaliers de la vie sociale ; ils ne connaissaient d’autres ordres que les règlements scientifiques du monde extérieur ; leur discipline était absolue, leur science très complète, leur intelligence à peu près nulle.

Il y eut, d’autre part, ceux que l’on appela les idéalistes et qui furent privés de tout moyen de relation avec le monde extérieur à trois dimensions. Leur sort fut bientôt celui des anciens fakirs hindous, leur vie intérieure se développa dans d’étranges proportions. Pourvus simplement du seul sens de la quatrième dimension, ils ignoraient tout du temps et de l’espace. Pour eux, les phénomènes ne se succédaient pas ; pour eux bientôt il n’y eut même plus de phénomènes.

Les savants du Grand Laboratoire Central se montrèrent tout d’abord enivrés par les résultats obtenus ; ils avaient enfin, à leur sens, réalisé l’analyse de l’humanité, ils tenaient décomposés, en leur pouvoir, les éléments séparés qui composaient la vie. Leur enthousiasme diminua le jour où ils comprirent que ces éléments, ainsi séparés, ni d’un côté, ni de l’autre, n’étaient capables de reproduire la vie, et que prochainement, l’humanité allait s’éteindre pour toujours.

Ils avaient bien isolé ce qui constituait pour eux, jusqu’à ce jour, l’élément idéaliste ; mais il se trouvait que cet élément, à bien prendre, n’était lui-même qu’un phénomène d’origine matérielle comme les autres. De la réunion de ces éléments seule pouvait jaillir la flamme éternelle d’intelligence, la vie immortelle qui, jusqu’à ce jour, avait conduit l’humanité à ses plus hautes destinées.

Auteur: Pawlowski Gaston de

Info: Voyage au pays de la quatrième dimension, Flatland éditeur, 2023, pages 162 à 164

[ symétrie ] [ triade nécessaire ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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