attitude

Va paisiblement ton chemin au travers du bruit et de la hâte et souviens-toi que le silence est paix. Autant que faire se peut et sans courber la tête, sois amis avec tes semblables; exprime ta vérité calmement et clairement; écoute les autres même les plus ennuyeux ou les plus ignorants. Eux aussi ont quelque chose à dire.
Fuis l'homme à la voix haute et autoritaire; il pêche contre l'esprit. Ne te compare pas aux autres par crainte de devenir vain ou amer car toujours tu trouveras meilleur ou pire que toi. Jouis de tes succès mais aussi de tes plans. Aime ton travail aussi humble soit-il car c'est un bien réel dans un monde incertain. Sois sage en affaires car le monde est trompeur. Mais n'ignore pas non plus que vertu il y a, que beaucoup d'hommes poursuivent un idéal et que l'héroïsme n'est pas chose si rare.
Sois toi même et surtout ne feins pas l'amitié; n'aborde pas non plus l'amour avec cynisme car malgré les vicissitudes et les désenchantements il est aussi vivace que l'herbe que tu foules. Incline-toi devant l'inévitable passage des ans laissant sans regret la jeunesse et ses plaisirs. Sache que pour être fort tu dois te préparer mais ne succombe pas aux craintes chimériques qu'engendrent souvent fatigue et solitude. En deçà d'une sage discipline, sois bon avec toi-même.
Tu es bien fils de l'univers, tout comme les arbres et les étoiles. Tu y as ta place. Quoique tu en penses, il est clair que l'univers continue sa marche comme il se doit. Sois donc en paix avec Dieu, quel qu'il puisse être pour toi; et quelle que soit ta tâche et tes aspirations dans le bruit et la confusion, garde ton âme en paix. Malgré les vilenies, les labeurs, les rêves déçus la vie a encore sa beauté. Sois prudent. Essaie d'être heureux.

Auteur: Ehrmann Max

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[ sagesse ] [ lenteur ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

[ ratatinement ] [ limite de conservation ] [ apparences ] [ topologie ] [ recherche ] [ densification ]

interrogation

Pourquoi cet univers ? Un nouveau calcul suggère que notre cosmos est typique.

Deux physiciens ont calculé que l’univers a une entropie plus élevée – et donc plus probable – que d’autres univers possibles. Le calcul est " une réponse à une question qui n’a pas encore été pleinement comprise ".

(image : Les propriétés de notre univers – lisse, plat, juste une pincée d’énergie noire – sont ce à quoi nous devrions nous attendre, selon un nouveau calcul.)

Les cosmologues ont passé des décennies à chercher à comprendre pourquoi notre univers est si étonnamment vanille. Non seulement il est lisse et plat à perte de vue, mais il s'étend également à un rythme toujours plus lent, alors que des calculs naïfs suggèrent que – à la sortie du Big Bang – l'espace aurait dû se froisser sous l'effet de la gravité et détruit par une énergie noire répulsive.

Pour expliquer la planéité du cosmos, les physiciens ont ajouté un premier chapitre dramatique à l'histoire cosmique : ils proposent que l'espace se soit rapidement gonflé comme un ballon au début du Big Bang, aplanissant toute courbure. Et pour expliquer la légère croissance de l’espace après cette première période d’inflation, certains ont avancé que notre univers n’est qu’un parmi tant d’autres univers moins hospitaliers dans un multivers géant.

Mais maintenant, deux physiciens ont bouleversé la pensée conventionnelle sur notre univers vanille. Suivant une ligne de recherche lancée par Stephen Hawking et Gary Gibbons en 1977, le duo a publié un nouveau calcul suggérant que la clarté du cosmos est attendue plutôt que rare. Notre univers est tel qu'il est, selon Neil Turok de l'Université d'Édimbourg et Latham Boyle de l'Institut Perimeter de physique théorique de Waterloo, au Canada, pour la même raison que l'air se propage uniformément dans une pièce : des options plus étranges sont concevables, mais extrêmement improbable.

L'univers " peut sembler extrêmement précis, extrêmement improbable, mais eux  disent : 'Attendez une minute, c'est l'univers préféré' ", a déclaré Thomas Hertog , cosmologue à l'Université catholique de Louvain en Belgique.

"Il s'agit d'une contribution nouvelle qui utilise des méthodes différentes de celles utilisées par la plupart des gens", a déclaré Steffen Gielen , cosmologue à l'Université de Sheffield au Royaume-Uni.

La conclusion provocatrice repose sur une astuce mathématique consistant à passer à une horloge qui tourne avec des nombres imaginaires. En utilisant l'horloge imaginaire, comme Hawking l'a fait dans les années 70, Turok et Boyle ont pu calculer une quantité, connue sous le nom d'entropie, qui semble correspondre à notre univers. Mais l’astuce du temps imaginaire est une manière détournée de calculer l’entropie, et sans une méthode plus rigoureuse, la signification de la quantité reste vivement débattue. Alors que les physiciens s’interrogent sur l’interprétation correcte du calcul de l’entropie, beaucoup le considèrent comme un nouveau guide sur la voie de la nature quantique fondamentale de l’espace et du temps.

"D'une manière ou d'une autre", a déclaré Gielen, "cela nous donne peut-être une fenêtre sur la microstructure de l'espace-temps."

Chemins imaginaires

Turok et Boyle, collaborateurs fréquents, sont réputés pour avoir conçu des idées créatives et peu orthodoxes sur la cosmologie. L’année dernière, pour étudier la probabilité que notre Univers soit probable, ils se sont tournés vers une technique développée dans les années 1940 par le physicien Richard Feynman.

Dans le but de capturer le comportement probabiliste des particules, Feynman a imaginé qu'une particule explore toutes les routes possibles reliant le début à la fin : une ligne droite, une courbe, une boucle, à l'infini. Il a imaginé un moyen d'attribuer à chaque chemin un nombre lié à sa probabilité et d'additionner tous les nombres. Cette technique de " l’intégrale du chemin " est devenue un cadre puissant pour prédire le comportement probable d’un système quantique.

Dès que Feynman a commencé à faire connaître l’intégrale du chemin, les physiciens ont repéré un curieux lien avec la thermodynamique, la vénérable science de la température et de l’énergie. C'est ce pont entre la théorie quantique et la thermodynamique qui a permis les calculs de Turok et Boyle.

La thermodynamique exploite la puissance des statistiques afin que vous puissiez utiliser seulement quelques chiffres pour décrire un système composé de plusieurs éléments, comme les milliards de molécules d'air qui s'agitent dans une pièce. La température, par exemple – essentiellement la vitesse moyenne des molécules d’air – donne une idée approximative de l’énergie de la pièce. Les propriétés globales telles que la température et la pression décrivent un "  macrostate " de la pièce.

Mais ce terme de un macro-état est un compte rendu rudimentaire ; les molécules d’air peuvent être disposées d’un très grand nombre de manières qui correspondent toutes au même macroétat. Déplacez un peu un atome d’oxygène vers la gauche et la température ne bougera pas. Chaque configuration microscopique unique est appelée microétat, et le nombre de microétats correspondant à un macroétat donné détermine son entropie.

L'entropie donne aux physiciens un moyen précis de comparer les probabilités de différents résultats : plus l'entropie d'un macroétat est élevée, plus il est probable. Il existe bien plus de façons pour les molécules d'air de s'organiser dans toute la pièce que si elles étaient regroupées dans un coin, par exemple. En conséquence, on s’attend à ce que les molécules d’air se propagent (et restent dispersées). La vérité évidente selon laquelle les résultats probables sont probables, exprimée dans le langage de la physique, devient la célèbre deuxième loi de la thermodynamique : selon laquelle l’entropie totale d’un système a tendance à croître.

La ressemblance avec l'intégrale du chemin était indubitable : en thermodynamique, on additionne toutes les configurations possibles d'un système. Et avec l’intégrale du chemin, vous additionnez tous les chemins possibles qu’un système peut emprunter. Il y a juste une distinction assez flagrante : la thermodynamique traite des probabilités, qui sont des nombres positifs qui s'additionnent simplement. Mais dans l'intégrale du chemin, le nombre attribué à chaque chemin est complexe, ce qui signifie qu'il implique le nombre imaginaire i , la racine carrée de −1. Les nombres complexes peuvent croître ou diminuer lorsqu’ils sont additionnés, ce qui leur permet de capturer la nature ondulatoire des particules quantiques, qui peuvent se combiner ou s’annuler.

Pourtant, les physiciens ont découvert qu’une simple transformation peut vous faire passer d’un domaine à un autre. Rendez le temps imaginaire (un mouvement connu sous le nom de rotation de Wick d'après le physicien italien Gian Carlo Wick), et un second i entre dans l'intégrale du chemin qui étouffe le premier, transformant les nombres imaginaires en probabilités réelles. Remplacez la variable temps par l'inverse de la température et vous obtenez une équation thermodynamique bien connue.

Cette astuce de Wick a conduit Hawking et Gibbons à une découverte à succès en 1977, à la fin d'une série éclair de découvertes théoriques sur l'espace et le temps.

L'entropie de l'espace-temps

Des décennies plus tôt, la théorie de la relativité générale d’Einstein avait révélé que l’espace et le temps formaient ensemble un tissu unifié de réalité – l’espace-temps – et que la force de gravité était en réalité la tendance des objets à suivre les plis de l’espace-temps. Dans des circonstances extrêmes, l’espace-temps peut se courber suffisamment fortement pour créer un Alcatraz incontournable connu sous le nom de trou noir.

En 1973, Jacob Bekenstein a avancé l’hérésie selon laquelle les trous noirs seraient des prisons cosmiques imparfaites. Il a estimé que les abysses devraient absorber l'entropie de leurs repas, plutôt que de supprimer cette entropie de l'univers et de violer la deuxième loi de la thermodynamique. Mais si les trous noirs ont de l’entropie, ils doivent aussi avoir des températures et rayonner de la chaleur.

Stephen Hawking, sceptique, a tenté de prouver que Bekenstein avait tort, en se lançant dans un calcul complexe du comportement des particules quantiques dans l'espace-temps incurvé d'un trou noir. À sa grande surprise, il découvrit en 1974 que les trous noirs rayonnaient effectivement. Un autre calcul a confirmé l'hypothèse de Bekenstein : un trou noir a une entropie égale au quart de la surface de son horizon des événements – le point de non-retour pour un objet tombant.

Dans les années qui suivirent, les physiciens britanniques Gibbons et Malcolm Perry, puis plus tard Gibbons et Hawking, arrivèrent au même résultat dans une autre direction . Ils ont établi une intégrale de chemin, additionnant en principe toutes les différentes manières dont l'espace-temps pourrait se plier pour former un trou noir. Ensuite, ils ont fait tourner le trou noir, marquant l'écoulement du temps avec des nombres imaginaires, et ont scruté sa forme. Ils ont découvert que, dans la direction du temps imaginaire, le trou noir revenait périodiquement à son état initial. Cette répétition semblable au jour de la marmotte dans un temps imaginaire a donné au trou noir une sorte de stase qui leur a permis de calculer sa température et son entropie.

Ils n’auraient peut-être pas fait confiance aux résultats si les réponses n’avaient pas correspondu exactement à celles calculées précédemment par Bekenstein et Hawking. À la fin de la décennie, leur travail collectif avait donné naissance à une idée surprenante : l’entropie des trous noirs impliquait que l’espace-temps lui-même était constitué de minuscules morceaux réorganisables, tout comme l’air est constitué de molécules. Et miraculeusement, même sans savoir ce qu’étaient ces " atomes gravitationnels ", les physiciens ont pu compter leurs arrangements en regardant un trou noir dans un temps imaginaire.

"C'est ce résultat qui a laissé une très profonde impression sur Hawking", a déclaré Hertog, ancien étudiant diplômé et collaborateur de longue date de Hawking. Hawking s'est immédiatement demandé si la rotation de Wick fonctionnerait pour autre chose que les trous noirs. "Si cette géométrie capture une propriété quantique d'un trou noir", a déclaré Hertog, "alors il est irrésistible de faire la même chose avec les propriétés cosmologiques de l'univers entier."

Compter tous les univers possibles

Immédiatement, Hawking et Gibbons Wick ont ​​fait tourner l’un des univers les plus simples imaginables – un univers ne contenant rien d’autre que l’énergie sombre construite dans l’espace lui-même. Cet univers vide et en expansion, appelé espace-temps " de Sitter ", a un horizon au-delà duquel l’espace s’étend si rapidement qu’aucun signal provenant de cet espace ne parviendra jamais à un observateur situé au centre de l’espace. En 1977, Gibbons et Hawking ont calculé que, comme un trou noir, un univers de De Sitter possède également une entropie égale au quart de la surface de son horizon. Encore une fois, l’espace-temps semblait comporter un nombre incalculable de micro-états.

Mais l’entropie de l’univers réel restait une question ouverte. Notre univers n'est pas vide ; il regorge de lumière rayonnante et de flux de galaxies et de matière noire. La lumière a provoqué une expansion rapide de l'espace pendant la jeunesse de l'univers, puis l'attraction gravitationnelle de la matière a ralenti les choses pendant l'adolescence cosmique. Aujourd’hui, l’énergie sombre semble avoir pris le dessus, entraînant une expansion galopante. "Cette histoire d'expansion est une aventure semée d'embûches", a déclaré Hertog. "Il n'est pas si facile d'obtenir une solution explicite."

Au cours de la dernière année, Boyle et Turok ont ​​élaboré une solution aussi explicite. Tout d'abord, en janvier, alors qu'ils jouaient avec des cosmologies jouets, ils ont remarqué que l'ajout de radiations à l'espace-temps de De Sitter ne gâchait pas la simplicité requise pour faire tourner l'univers par Wick.

Puis, au cours de l’été, ils ont découvert que la technique résisterait même à l’inclusion désordonnée de matière. La courbe mathématique décrivant l’histoire plus complexe de l’expansion relevait toujours d’un groupe particulier de fonctions faciles à manipuler, et le monde de la thermodynamique restait accessible. "Cette rotation de Wick est une affaire trouble lorsque l'on s'éloigne d'un espace-temps très symétrique", a déclaré Guilherme Leite Pimentel , cosmologiste à la Scuola Normale Superiore de Pise, en Italie. "Mais ils ont réussi à le trouver."

En faisant tourner Wick l’histoire de l’expansion en montagnes russes d’une classe d’univers plus réaliste, ils ont obtenu une équation plus polyvalente pour l’entropie cosmique. Pour une large gamme de macroétats cosmiques définis par le rayonnement, la matière, la courbure et une densité d'énergie sombre (tout comme une plage de températures et de pressions définit différents environnements possibles d'une pièce), la formule crache le nombre de microétats correspondants. Turok et Boyle ont publié leurs résultats en ligne début octobre.

Les experts ont salué le résultat explicite et quantitatif. Mais à partir de leur équation d’entropie, Boyle et Turok ont ​​tiré une conclusion non conventionnelle sur la nature de notre univers. "C'est là que cela devient un peu plus intéressant et un peu plus controversé", a déclaré Hertog.

Boyle et Turok pensent que l'équation effectue un recensement de toutes les histoires cosmiques imaginables. Tout comme l'entropie d'une pièce compte toutes les façons d'arranger les molécules d'air pour une température donnée, ils soupçonnent que leur entropie compte toutes les façons dont on peut mélanger les atomes de l'espace-temps et se retrouver avec un univers avec une histoire globale donnée. courbure et densité d’énergie sombre.

Boyle compare le processus à l'examen d'un gigantesque sac de billes, chacune représentant un univers différent. Ceux qui ont une courbure négative pourraient être verts. Ceux qui ont des tonnes d'énergie sombre pourraient être des yeux de chat, et ainsi de suite. Leur recensement révèle que l’écrasante majorité des billes n’ont qu’une seule couleur – le bleu, par exemple – correspondant à un type d’univers : un univers globalement semblable au nôtre, sans courbure appréciable et juste une touche d’énergie sombre. Les types de cosmos les plus étranges sont extrêmement rares. En d’autres termes, les caractéristiques étrangement vanille de notre univers qui ont motivé des décennies de théorie sur l’inflation cosmique et le multivers ne sont peut-être pas étranges du tout.

"C'est un résultat très intrigant", a déclaré Hertog. Mais " cela soulève plus de questions que de réponses ".

Compter la confusion

Boyle et Turok ont ​​calculé une équation qui compte les univers. Et ils ont fait l’observation frappante que des univers comme le nôtre semblent représenter la part du lion des options cosmiques imaginables. Mais c’est là que s’arrête la certitude.

Le duo ne tente pas d’expliquer quelle théorie quantique de la gravité et de la cosmologie pourrait rendre certains univers communs ou rares. Ils n’expliquent pas non plus comment notre univers, avec sa configuration particulière de parties microscopiques, est né. En fin de compte, ils considèrent leurs calculs comme un indice permettant de déterminer quels types d’univers sont préférés plutôt que comme quelque chose qui se rapproche d’une théorie complète de la cosmologie. "Ce que nous avons utilisé est une astuce bon marché pour obtenir la réponse sans connaître la théorie", a déclaré Turok.

Leurs travaux revitalisent également une question restée sans réponse depuis que Gibbons et Hawking ont lancé pour la première fois toute l’histoire de l’entropie spatio-temporelle : quels sont exactement les micro-états que compte l’astuce bon marché ?

"L'essentiel ici est de dire que nous ne savons pas ce que signifie cette entropie", a déclaré Henry Maxfield , physicien à l'Université de Stanford qui étudie les théories quantiques de la gravité.

En son cœur, l’entropie résume l’ignorance. Pour un gaz constitué de molécules, par exemple, les physiciens connaissent la température – la vitesse moyenne des particules – mais pas ce que fait chaque particule ; l'entropie du gaz reflète le nombre d'options.

Après des décennies de travaux théoriques, les physiciens convergent vers une vision similaire pour les trous noirs. De nombreux théoriciens pensent aujourd'hui que la zone de l'horizon décrit leur ignorance de ce qui s'y trouve, de toutes les façons dont les éléments constitutifs du trou noir sont disposés de manière interne pour correspondre à son apparence extérieure. (Les chercheurs ne savent toujours pas ce que sont réellement les microétats ; les idées incluent des configurations de particules appelées gravitons ou cordes de la théorie des cordes.)

Mais lorsqu’il s’agit de l’entropie de l’univers, les physiciens se sentent moins sûrs de savoir où se situe leur ignorance.

En avril, deux théoriciens ont tenté de donner à l’entropie cosmologique une base mathématique plus solide. Ted Jacobson , physicien à l'Université du Maryland réputé pour avoir dérivé la théorie de la gravité d'Einstein de la thermodynamique des trous noirs, et son étudiant diplômé Batoul Banihashemi ont explicitement défini l'entropie d'un univers de Sitter (vacant et en expansion). Ils ont adopté la perspective d’un observateur au centre. Leur technique, qui consistait à ajouter une surface fictive entre l'observateur central et l'horizon, puis à rétrécir la surface jusqu'à ce qu'elle atteigne l'observateur central et disparaisse, a récupéré la réponse de Gibbons et Hawking selon laquelle l'entropie est égale à un quart de la surface de l'horizon. Ils ont conclu que l’entropie de De Sitter compte tous les microétats possibles à l’intérieur de l’horizon.

Turok et Boyle calculent la même entropie que Jacobson et Banihashemi pour un univers vide. Mais dans leur nouveau calcul relatif à un univers réaliste rempli de matière et de rayonnement, ils obtiennent un nombre beaucoup plus grand de microétats – proportionnels au volume et non à la surface. Face à ce conflit apparent, ils spéculent que les différentes entropies répondent à des questions différentes : la plus petite entropie de De Sitter compte les microétats d'un espace-temps pur délimité par un horizon, tandis qu'ils soupçonnent que leur plus grande entropie compte tous les microétats d'un espace-temps rempli d'espace-temps. matière et énergie, tant à l’intérieur qu’à l’extérieur de l’horizon. "C'est tout un shebang", a déclaré Turok.

En fin de compte, régler la question de savoir ce que comptent Boyle et Turok nécessitera une définition mathématique plus explicite de l’ensemble des microétats, analogue à ce que Jacobson et Banihashemi ont fait pour l’espace de Sitter. Banihashemi a déclaré qu'elle considérait le calcul d'entropie de Boyle et Turok " comme une réponse à une question qui n'a pas encore été entièrement comprise ".

Quant aux réponses plus établies à la question " Pourquoi cet univers ? ", les cosmologistes affirment que l’inflation et le multivers sont loin d’être morts. La théorie moderne de l’inflation, en particulier, est parvenue à résoudre bien plus que la simple question de la douceur et de la planéité de l’univers. Les observations du ciel correspondent à bon nombre de ses autres prédictions. L'argument entropique de Turok et Boyle a passé avec succès un premier test notable, a déclaré Pimentel, mais il lui faudra trouver d'autres données plus détaillées pour rivaliser plus sérieusement avec l'inflation.

Comme il sied à une grandeur qui mesure l’ignorance, les mystères enracinés dans l’entropie ont déjà servi de précurseurs à une physique inconnue. À la fin des années 1800, une compréhension précise de l’entropie en termes d’arrangements microscopiques a permis de confirmer l’existence des atomes. Aujourd'hui, l'espoir est que si les chercheurs calculant l'entropie cosmologique de différentes manières peuvent déterminer exactement à quelles questions ils répondent, ces chiffres les guideront vers une compréhension similaire de la façon dont les briques Lego du temps et de l'espace s'empilent pour créer l'univers qui nous entoure.

"Notre calcul fournit une énorme motivation supplémentaire aux personnes qui tentent de construire des théories microscopiques de la gravité quantique", a déclaré Turok. "Parce que la perspective est que cette théorie finira par expliquer la géométrie à grande échelle de l'univers."

 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/ - Charlie Wood, 17 nov 2022

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