système politique mondial

Les utopistes ne sont pas des rêveurs - La nouvelle constitution vaudoise comme exemple pour le monde.

Nous ne voudrions pas pêcher par excès d’optimisme en affirmant que l’ère des arguments "pousse-à-jouir" de la société de consommation à entamé sa phase descendante. Certes ce passage à un nouveau système mettra du temps mais nous disons que l’heure n’est plus aux arguments maniaques destinés à rassurer le contribuable en lui faisant croire qu’un budget peut être tenu... que des dépenses sont sous contrôle… des impôts en diminution… l’argent redistribué… c’est une grande illusion, on vous dit…. une simple inertie des habitudes…

Dans ce même ordre d’idée comment voulez vous que notre futur ait de l’avenir quand, avant même que les citoyens aient élu la constituante, un avant-projet du groupe de travail pour la révision de la constitution vaudoise a déjà tout pré-maché, préétabli un carcan d’où on ne sortira plus : l’assemblée constituante ne s’occupera, on peut parier, qu’a modifier quelques détails. Inertie des habitudes… une fois de plus.

La solution est élémentaire : on change tout. …mais Ils sont flingués ceux là… oh, c’est comme s’ils criaient déjà, tous ces défenseurs d’une raison qui ne cherche qu’a justifier nos comportements compulsifs d’auto-accumulation de bien, de sécurité, de pouvoir… Eh bien non, ce canton à suffisamment d’expérience de la prospérité pour essayer d’en tirer quelques leçons, l’apanage du lieu pourrait-on dire. Comment voudriez vous expliquer à un Russe ou à un Burkinabé qui manquent de tout que trop manger est dangereux ?… La constitution vaudoise sera la goutte d’eau qui allumera cette mèche. L’humanité de demain s’en inspirera.

L’idée de base est très simple : le monde est une sphère… tous les lieux en sont le centre. Ainsi, le canton de Vaud, par une constitution révolutionnaire, s’affirmera comme le premier… celui qui a osé… l’exemple… le phare… la référence… le modèle pour les écoles de demain… celui qui aura posé la première pierre d’une planète unifiée, fédérée, constituée d’une myriade de petits états interdépendants. L’humanité n’est pas la somme de ses nations, elle est un être vivant… dont on a conscience de l’existence… dont on prend soin.

Nous pensons donc que les deux premiers articles de la future constitution devraient être libellés ainsi : - Le canton de Vaud est une république sociale et démocratique. - Le canton de Vaud est membre de la confédération des états souverains de la planète terre. Nous souhaiterions en outre que le vote obligatoire soit institué, avec comptabilisation des votes blanc. Une amende à définir étant établie comme mesure incitative. De plus la rédaction des textes constitutionnels et juridiques donne une littérature trop abondante et beaucoup trop précise. Nous disons dès lors qu'il faudra faire confiance au bon sens commun et stopper une sale habitude contemporaine qui amène les juristes à tant tourmenter les textes que l'esprit en est totalement expurgé. Il faudra donc procéder à un émondage drastique de ces articles à tous les niveaux.

Ainsi osons nous affirmer qu'avec cette constitution vaudoise, le village de Pompaple pourra aisément devenir un lieu de pèlerinage cosmique en tant que "milieu du monde" du canton qui aura initié ce processus grandiose.

Pour la liste 8 : Nicolas  "Loyon" Meyer et Michel "Lapèdze"  Gaillard, artisans musiciens et absolutistes vaudois

Auteur: Mg

Info: En 1999, lors de la campagne pour la constituante. Pour la liste 8 : Nicolas Loyon Meyer et Michel Lapèdze Gaillard, artisans musiciens et absolutistes vaudois

[ Suisse ] [ régionalisme ] [ glocalisation ] [ décentralisation ]

chainon manquant

La question de l'origine de l'arbre de vie, vieille de plusieurs décennies, pourrait enfin être résolue

Des scientifiques utilisent une nouvelle application de l'analyse chromosomique pour répondre enfin à une question qui a interpellé les biologistes pendant plus d'un siècle.

Après des décennies de débats, des scientifiques pensent avoir identifié l'ancêtre le plus récent de la sœur de tous les animaux grâce à l'utilisation novatrice d'une technique analytique. Cette découverte résout une question centrale concernant l'évolution de l'arbre de la vie animale dans son ensemble.

Tous les animaux descendent d'un seul ancêtre commun, un organisme multicellulaire qui a probablement vécu il y a plus de 600 millions d'années. Cet ancêtre a eu deux descendances : l'une qui a conduit à l'évolution de toute la vie animale, et l'autre qui est considérée comme la sœur de tous les animaux.

Dans leur quête pour identifier les animaux vivants les plus étroitement liés à ce groupe jumeau, les scientifiques ont réduit les possibilités à deux candidats : les éponges de mer et les méduses à peigne (cténophores). Cependant, les preuves concluantes de l'existence de l'un ou l'autre de ces candidats n'ont pas encore été apportées.

Une nouvelle étude, publiée le 17 mai dans la revue Nature, vient de résoudre ce débat de longue haleine grâce à l'utilisation novatrice de l'analyse chromosomique.

La solution est apparue alors que Darrin T. Schultz, auteur principal et actuel chercheur postdoctoral à l'université de Vienne, et une équipe multi-institutionnelle séquençaient les génomes (l'ensemble des informations génétiques) de la méduse et de ses proches parents afin de mieux comprendre leur évolution.

Plutôt que comparer des gènes individuels, l'équipe a examiné leur position sur les chromosomes d'une espèce à l'autre. Bien que l'ADN subisse des modifications au cours de l'évolution, les gènes ont tendance à rester sur le même chromosome. Dans de rares cas de fusion et de mélange, les gènes sont transférés d'un chromosome à l'autre dans le cadre d'un processus irréversible. Schultz compare ce processus au mélange d'un jeu de cartes. Si vous avez deux jeux de cartes et que vous les mélangez "il est impossible de les démélanger comme elles étaient avant, la probabilité d'une telle opération est presque impossible", a déclaré Schultz à Live Science.

En d'autres termes, une fois qu'un gène s'est déplacé d'un chromosome à l'autre, il n'y a pratiquement aucune chance qu'il réapparaisse dans sa position d'origine à un stade ultérieur de l'évolution. En examinant le mouvement à grande échelle de groupes de gènes à travers les groupes d'animaux, Schultz et son équipe ont pu obtenir des informations importantes sur l'arbre généalogique de ces animaux.

L'équipe a trouvé 14 groupes de gènes qui apparaissaient sur des chromosomes distincts chez les méduses à peigne et leurs parents unicellulaires "non animaux". Il est intéressant de noter que chez les éponges et tous les autres animaux, ces gènes ont été réarrangés en sept groupes.

Étant donné que l'ADN de la méduse à peigne conserve les groupes de gènes dans leur position d'origine (avant leur réarrangement en sept groupes), cela indique qu'elle est la descendantes du groupe frère qui s'est détaché de l'arbre généalogique animal, avant que le mélange ne se produise.

En outre, les réarrangements de l'emplacement des gènes qui étaient communs aux éponges et à tous les autres animaux suggèrent un ancêtre commun dont ces réarrangements sont l'héritage. Ces résultats résolvent donc la question controversée quant à l'ensemble de l'arbre de vie des animaux et son origine.

Depuis que les ancêtres des méduses à peigne et des éponges se sont détachés de l'arbre généalogique, leurs descendants modernes n'ont cessé d'évoluer, de sorte que nous ne pouvons pas utiliser ces informations pour indiquer à quoi ressemblaient exactement les premiers animaux. Toutefois, les scientifiques estiment qu'il sera très utile d'étudier ces animaux modernes à la lumière de ces nouvelles informations sur leur lignée. "Si nous comprenons comment tous les animaux sont liés les uns aux autres, cela nous aide à comprendre comment les animaux ont évolué et ce qui fait d'eux ce qu'ils sont", a déclaré M. Schultz.

Auteur: Internet

Info: https://www.livescience.com/, 22 mai 2023, article de Sarah Moore

[ animal-végétal ] [ évolution du vivant ] [ septénaire ]

femmes-hommes

Les femmes rêvent aux araignées, les hommes aux extraterrestres
Pendant que les hommes rêvent qu'ils ont des pouvoirs magiques, les femmes rêvent qu'elles sont aux prises avec des insectes, des araignées et des serpents.
S'il serait risqué de dire que les femmes sont plus rêveuses que les hommes, on peut toutefois affirmer que les rêves nocturnes les marquent davantage et qu'elles s'en souviennent plus que les hommes.
Cette différence intersexe vient de nouveau d'être confirmée par une étude qui figure sans doute en tête de liste pour le nombre de participants, soit 28 888 personnes âgées de 10 à 80 ans ! Il s'agit en fait de données recueillies sur plusieurs années, entre 1997 et 2008, à partir d'un questionnaire en ligne supervisé par Toré Nielsen, professeur au Département de psychiatrie de l'Université de Montréal et directeur du Laboratoire des rêves et cauchemars de l'Hôpital du Sacré-Coeur de Montréal.
Son étude visait à évaluer à la fois l'importance de la mémoire des rêves ainsi que la variété des thèmes oniriques selon l'âge et le sexe.
Les émotions en cause?
Les données révèlent un écart assez constant entre les femmes et les hommes pour ce qui est du souvenir des rêves tout au long de la vie. Vers 15 ans, par exemple, le nombre moyen de rêves survenus au cours du dernier mois que disent se rappeler les répondantes est de 9,5 contre 8 pour les répondants. Entre 20 et 30 ans, les femmes en rapportent 10 et les hommes 8,5.
Les travaux précédents sur le sujet avaient mis en évidence que le nombre de rêves qu'on se rappelle diminue avec l'âge tant chez les femmes que chez les hommes, mais les données de Toré Nielsen font apparaitre des détails inédits sur cette courbe. Comme les chiffres ci-dessus le montrent, "ce déclin est précédé, durant l'adolescence, d'une augmentation des rêves dont on se souvient et cette augmentation est plus forte chez les filles, souligne le professeur. Le déclin débute plus tôt chez les hommes, soit entre 30 et 40 ans, alors qu'il survient dans la quarantaine chez les femmes et il est alors plus abrupt."
Cette différence dans l'accès aux rêves ne serait pas due au fait que les femmes rêveraient plus que les hommes. "Il n'y a pas de différence dans la durée du sommeil paradoxal [principale période des rêves] entre les hommes et les femmes ou, s'il en existe une, elle n'est pas assez significative pour expliquer cet écart, dit le professeur. Il y a par ailleurs une diminution du sommeil paradoxal avec l'âge, mais là encore cette diminution est trop faible pour expliquer le déclin du souvenir des rêves dans la trentaine."
À son avis, la différence s'expliquerait plutôt par l'aspect émotif lié aux rêves. "Les rêves ont une fonction de régulation des émotions et ils jouent un rôle dans la mémoire émotive, indique-t-il. Les émotions peuvent être plus vives à l'adolescence et les systèmes neuronaux qui les engendrent présentent des différences selon le sexe."
Les femmes manifestent en outre davantage d'intérêt que les hommes pour les rêves. Cela s'observe dans la vie de tous les jours et en laboratoire, où elles sont beaucoup plus nombreuses à participer à des travaux sur le sujet. Dans la présente étude, 23 000 des 28 888 sujets sont des femmes !
Plus de contenus négatifs
L'étude a fait ressortir un autre aspect méconnu de notre vie nocturne: entre 10 et 20 ans, les jeunes hommes rapportent une plus grande variété de contenus oniriques que les femmes. Cette différence s'estompe par la suite et la diversité des thèmes s'amenuise dans la vingtaine et faiblit encore au tournant de la cinquantaine.
Cette courbe descendante va à l'encontre des résultats attendus par le chercheur, puisqu'à 30 ans on devrait avoir connu une plus grande diversité de rêves qu'à 15 ans. "Il semble que plus on vieillit, plus on oublie les thèmes de ses rêves", mentionne-t-il. Le chercheur reconnait par ailleurs qu'il peut y avoir un effet de cohorte d'âges dans les réponses au questionnaire, qui propose 56 sujets de rêves.
Des travaux antérieurs, à partir du même questionnaire rempli par des étudiants à l'université, montrent qu'être pourchassé dans ses rêves est le thème qui revient le plus souvent, peu importe le sexe. Les femmes sont toutefois plus nombreuses à se voir poursuivies, soit 83% contre 78% pour les hommes. Les rêves à contenu sexuel viennent en deuxième place mais, s'en étonnera-t-on?, ils arrivent au premier rang chez les hommes: 85% des répondants rapportent de tels rêves contre 73% des répondantes. Les rêves de chute occupent la troisième place, sans différence de sexe.
En outre, les femmes rêvent plus souvent qu'une personne vivante est morte, qu'elles échouent à un examen, qu'elles sont paralysées par la peur et elles sont plus souvent aux prises avec des insectes, des araignées et des serpents. Les hommes quant à eux sont plus nombreux à rêver qu'ils volent ou flottent dans les airs, qu'ils ont des pouvoirs magiques ou des facultés mentales supérieures, qu'ils assassinent quelqu'un, qu'ils voyagent vers d'autres planètes et rencontrent des extraterrestres !
"Les contenus négatifs sont plus fréquents chez les femmes que chez les hommes, en conclut Toré Nielsen. Cela concorde avec le fait que les femmes, surtout à l'adolescence, rapportent plus de cauchemars que les hommes."
Pour les deux sexes, c'est entre 20 et 30 ans que ces contenus négatifs sont les plus nombreux. "C'est aussi dans cette tranche d'âge que l'indice de bonheur est à son plus bas", note le chercheur. Cette corrélation tend à étayer le lien qu'il établit entre rêves et vécu émotif.

Auteur: Internet

Info: http://www.techno-science.net/?onglet=news&news=10801

[ onirisme ] [ imagination ] [ parasomnie ] [ hypnagogie ] [ hypnopomie ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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