lecture

Quand il lisait ses yeux balayaient la page, son coeur dictait le sens mais sa voix était silencieuse et sa langue immobile. Chacun pouvait s'approcher et les invités n'étaient pas annoncés, et lors de nos visites, nous le trouvions ainsi plongé dans le silence, car il ne lisait jamais à haute voix.

Auteur: Saint Augustin Aurelius Augustinus

Info: impressionné par Ambroise, capable de lire sans le faire à haute voix, sorte d'exploit à l'époque

[ historique ] [ évolution ] [ perception ]

météo

Le froid m'a longtemps préoccupée, en qualité d'intrigue / Récits d'explorateurs polaires, contes enfantins... Il devenait sujet et dictait l'ordre des fictions. Le froid est un état d'abstraction : la neige en est une de ses manifestations, légère et molle par opposition au givre ou au gel. Le froid n'est pas une métaphore de la mort (comme chez Dante), ou de l'enfer, il est un état de fixité, qui arrête le temps, et donne une durée à l'objet. C'est un état de pause - comme la pause vidéo. C'est un état de sensation : il se mesure aux frissons ou à la gelure.
C'est un état de dualité : il brûle quand il est trop fort (sous la glace, le feu). C'est un état d'absorption : il absorbe les sons, les odeurs, les formes. Et c'est aussi un état des choses, qui se mesure à l'aide du mercure du thermomètre...

Auteur: Tallec Nathalie

Info: L'abécédaire de Nathalie T., catalogue de son expo, Solo intégral, My Way

[ température ] [ fraîcheur ] [ hiver ]

portrait de Bonaparte

Du moment où il fut chef d'État, on connaît son emploi du temps au jour le jour, le nombre de chapeaux que lui confectionna Poupart (entre cent soixante et cent soixante-dix) ou de culottes qu'il emporta à Saint-Hélène (dix-neuf), la couleur de ses yeux (gris-bleu) et de ses cheveux (châtains), sa taille (entre 1m 68 et 1m 69) et mille autres détails encore. On sait que son sourire conquérait jusqu'à ceux qui ne l'aimaient pas ; que sa voix pouvait être douce puis impérieuse ; qu'il savait feindre la colère et pouvait se laisser parfois déborder par elle. Il mangeait vite, chantait faux, prenait des bains très chauds, montait moyennement à cheval, aimait l'opéra italien, ne fumait pas mais priait, dormait lorsqu'il le voulait (environ sept heures par jour), plaçait sa main droite dans son gilet (geste banal pour l'époque mais qu'il a immortalisé), jetait par la fenêtre les livres qui l'ennuyaient, préférait une tenue modeste aux chamarrures qui l'auraient mis au même niveau que ses subordonnés. Il écoutait parfois avant d'ordonner. Il finit par ordonner sans avoir entendu ceux qu'il ne considérait plus comme ses conseillers mais comme des exécutants. Il détestait les longs discours, aimait que ses décisions fussent exécutées sans perte de temps. Il travaillait beaucoup sur tous les sujets sans en négliger aucun, entrant souvent dans le détail des nombreux dossiers qui transitaient par son cabinet. Il calligraphiait mal, prenait parfois un mot pour un autre mais dictait bien ce qu'il voulait écrire, parfois à plusieurs secrétaires en même temps.

Auteur: Lentz Thierry

Info: Napoléon (1804-1814),  Prologue, page 9

protestantisme

Depuis le mois de mai 1520, des troubles avaient éclaté dans une petite ville de Saxe, au nord de l’Erzgebirge et du pays hussite : Zwickau. Un prêtre, un illuminé, Thomas Münzer, s’appuyant sur les artisans et de préférence sur les drapiers, avait tenté d’établir là un "royaume du Christ" : royaume sans roi, sans magistrat, sans autorité spirituelle ou temporelle, sans loi non plus, ni Église ni culte, et dont les libres sujets, ressortissant directement à l’Écriture, éprouveraient les bienfaits d’un communisme dont le rêve édénique hantait les esprits simples. Le magistrat de Zwickau, effrayé, réagit durement. Des arrestations en masse brisèrent le mouvement. Münzer s’enfuit. Ses lieutenants l’imitèrent. Et le 27 décembre 1521, trois d’entre eux, le foulon Nicolas Storch, Thomas Drechsel et Marcus Thomae dit Strübner, entraient à Wittemberg comme dans un asile sûr. Il y avait trois semaines que Luther, après sa première fugue, avait regagné sa chambre de la Wartbourg.

Sitôt installés dans la ville, les trois apôtres commencèrent à remplir leur mission d’hommes de Dieu, comblés des grâces et des révélations directes de l’Esprit. Bientôt, l’étrangeté de leurs doctrines, leur assurance de visionnaires, le mélange de considération et de dédain avec lequel ils parlaient de Luther, réformateur timoré et tout juste bon à fournir aux vrais prophètes, pour leur saut dans l’absolu, le tremplin d’une doctrine terre à terre — tout cela, et leurs déclamations contre la science génératrice d’inégalité, leurs apologies du travail manuel, leurs excitations à briser les images qui allaient remuer, au fond des âmes populaires, ce vieux legs de croyances et de superstitions, héritées et transmises par les femmes, les guérisseurs, les inspirés et dont nous ne saurons jamais rien de précis — mais nous ne risquons guère d’exagérer ses prises sur les hommes de ce temps : voilà qui conquit, en quelques semaines, aux fugitifs de Zwickau, aux "prophètes Cygnæens", la faveur inquiétante des Wittembergeois. Au premier rang de leurs auditoires Carlstadt, embrasé soudain de la grâce nouvelle, apportait aux illuminés sans diplômes l’appréciable adhésion d’un savant et, comme nous dirions, d’un intellectuel connu et représentatif.

Bientôt les prophètes passèrent aux actes. Se ruant sur les Églises, ils les saccagèrent abominablement. N’était-il point écrit : "Tu ne feras point d’images taillées ?" Le malaise grandissait. Personne ne tentait de s’opposer à Storch et à ses acolytes. Mélanchton ne savait que faire. L’assurance magnifique des nouveaux venus en imposait à ce timide, toujours inquiet de laisser passer à côté de lui, sans le reconnaître à temps pour le saluer, l’Esprit de Dieu... Se tournant vers Luther, il l’appelait : lui seul, dans ce chaos, était capable de voir clair, de remettre en place les choses et les gens. Lui seul, avec sa lucidité de prophète authentique.

Luther n’hésita point. Il partit. Par peur d’être devancé, supplanté dans la faveur du peuple par des rivaux, des concurrents ? Quelle sottise ? Parce que, pour Luther, le devoir était de se rendre où l’appelait Mélanchton et ce troupeau chrétien dont il avait la charge. Parce que sa conviction d’ailleurs lui dictait sa conduite : les prophètes n’étaient point de Dieu ; donc ils étaient du diable ; du moins Satan se servait d’eux contre la vérité ; il les fallait mettre à nu et démasquer. Parce qu’enfin, contre nos hommes que déjà le magistrat de Zwickau avait poursuivis, beaucoup réclamaient des mesures de rigueur ; et cela, non, Luther ne pouvait le souffrir. Ce fut son premier souci : pas de sang, pas de supplices ! Dès le 17 janvier 1522, il écrivait à Spalatin : "Je ne voudrais pas qu’ils fussent emprisonnés, surtout par ceux qui se réclament de nous... Sans verser le sang, sans tirer le glaive, qu’on n’en doute pas : nous éteindrons gentiment ces deux bouts de brandons fumants... Mais toi, veille bien à ce que notre Prince ne souille pas ses mains dans le sang de ces nouveaux Prophètes !" Sa foi dans la Parole lui dictait ces lignes. Mais de cette Parole, précisément, Dieu ne l’avait-il pas fait héraut et exégète ? La dresser comme un mur devant les entreprises sournoises de Satan, n’était-ce pas pour lui une stricte obligation ? Que pesaient, en face, les convenances de l’Électeur, les ménagements vis-à-vis de l’Empire, les prudences politiques ? Le 6 mars, Luther arrivait à Wittemberg. La veille, de Borna, il avait adressé à Frédéric sa lettre fameuse. Trois jours plus tard, le dimanche 9, il montait en chaire. Il prenait la parole. Il la garda huit jours.

Pendant huit jours il prêcha, avec une simplicité, une force, une clarté irrésistibles, une modération singulière aussi, un sens supérieur de la mesure et de l’équité. Hommes, femmes, savants et gens du peuple, tous purent à leur aise rassasier leur appétit d’enthousiasme avec un génie fait, à la fois, pour séduire et dominer. En Luther ils retrouvèrent un héros, leur héros. Et taillé à la bonne mesure physique du héros, du tribun puissant, un peu vulgaire, solide sur ces bases et dont la poitrine sonne au choc des poings fermés. Mais, enfoncés sous la voûte surplombante d’un front bien dégagé, les yeux de Luther lançaient leurs étranges flammes, et dans sa parole passait en vibrations toniques cette allégresse que versent, depuis des siècles, aux hommes brusquement mis sur pied, les cloches bondissantes en haut des beffrois.

Ainsi, en une semaine, les cœurs furent reconquis, les violents même touchés par cette force tranquille. Il avait eu raison de le proclamer : prêchée par lui, la Parole était souveraine. Et puis, comme ailleurs aussi les esprits se troublaient et se laissaient séduire, il partit. On le vit, on l’entendit, on subit sa puissance à Altenbourg, à Borna, à Zwickau même, à Erfurt aussi et à Weimar. Partout le succès, les foules subjuguées, la même démonstration d’une force et d’une modération pleine de maîtrise. L’idéalisme magnifique qui animait Luther, se révélait à tous comme une force unique de conquête et de domination. Chaque voyage valait une victoire.

Auteur: Febvre Lucien

Info: Un destin : Martin Luther, PUF, 1968, pages 150 à 152

[ dérives ] [ modération ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]