algèbre

Les résultats mathématiques sont rarement appliqués directement ; ce sont les définitions qui sont vraiment utiles. Une fois que vous avez appris le concept d'équation différentielle, vous voyez des équations différentielles partout, quoi que vous fassiez. Vous ne pouvez pas voir cela si vous ne suivez pas un cours sur les équations différentielles abstraites. Ce qui importe, c'est le bagage culturel que l'on retire d'un cours d'équations différentielles, et non les théorèmes spécifiques. Si vous voulez apprendre le français, vous devez vivre la vie en France, et pas seulement mémoriser des milliers de mots. Si vous voulez appliquer les mathématiques, vous devez vivre la vie des équations différentielles. Une fois que vous aurez vécu cette vie, vous pourrez revenir à la biologie moléculaire avec une nouvelle paire d'yeux qui vous permettra de voir des choses que vous n'auriez pas pu voir autrement.

Auteur: Rota Gian-Carlo

Info: In "A Mathematician's Gossip", Indiscrete Thoughts (2008), 213.

[ outil ] [ symbolisation ] [ distanciation ]

indéterminisme

Pour Démocrite les atomes avaient perdu des qualités telles que couleur, le goût, etc. Ils n'occupaient plus que l'espace. Mais les assertions géométriques sur les atomes étaient admissibles et ne nécessitaient aucune autre analyse. Dans la physique moderne, les atomes perdent cette dernière propriété, ils possèdent pas plus de qualités géométriques que la couleur, le goût, etc. L'atome de la physique moderne ne peut être symbolisé que par une équation différentielle partielle dans un espace multidimensionnel abstrait. Seule l'expérience d'un observateur force l'atome à indiquer une position, une couleur et une quantité de chaleur. Toutes les qualités de l'atome de la physique moderne sont dérivées, il n'existe pas de propriétés physiques immédiates et directes, c'est-à-dire tout type de conception visuelle que nous pourrions concevoir est de fait défectueux. Une compréhension du "premier ordre" est, je dirais presque par définition, impossible pour le monde des atomes.

Auteur: Heisenberg Werner Karl

Info: Problèmes philosophiques de la science nucléaire, trans. F. C. Hayes, 1952, 38

[ quantique ] [ historique ]

post-darwinisme

Jamais il ne fut aussi temps de construire un nouveau paradigme évolutif qui :

- Discute le modèle d'une coévolution écologique, intégrant les organismes dans un ensemble d'interrelations dynamiques et changeantes avec leur environnement et reconnaissant la force structurante des interactions, de l'hétérogénéité de l'environnement et des stratégies mixtes.

- Intègre une nouvelle vision de l'information génétique, bannissant le déterminisme des "bons gènes" en s'ouvrant, au contraire, sur l'épigénétique, sur ma théorie du gène livre de cuisine […]

- Désavoue la dichotomie des sélections naturelle ou sexuelle au profit d'une réflexion sur la reproduction différentielle, seul critère d'efficacité à long terme, reconnaissant combien les individus et leurs décisions stratégiques pèsent sur l'histoire diversifiante de leur évolution.

- Démente, par conséquent, la figure traditionnelle de l'arbre phylétique vertical et des ancêtres uniques, mais, à l'opposé, admette les transferts horizontaux et une construction phylétique en mosaïque, selon le principe d'une évolution réticulée.

- Évacue l'hypothèse centrale de la concurrence intraspécifique et propose plutôt de réfléchir au rôle des interactions et de la facilitation dans le processus évolutif, générant du conflit et de la spécialisation phénotypique, introduisant la différence dans l'histoire, probablement selon des dispositifs bioéquivalents au mécanisme de déplacement de caractères.

- Conteste le théorie du sexe comme processus avantageux de propagation des gènes, mais accepte, au contraire, d'étudier la sexualité comme une interaction primitive propre aux eucaryotes suivant la théorie des bulles libertines, et réalisant que tout changement résulte d'un mécanisme immédiat et proximal sans orientation ni but ultime.

- Et, enfin, conçoive que le comportement ne consiste pas dans une force complémentaire au service des gènes, mais cherche plutôt à retrouver une écoéthologie, le développement des comportements dans leur environnement, évacuant définitivement la tentation eugéniste.

Auteur: Lodé Thierry

Info: Pourquoi les animaux trichent et se trompent, pp. 279-280

[ orthogonal ] [ latéral ]

femmes-par-homme

Chez la femme, le geste écrit est gauche, souvent disgracieux et lâché, ne quittant l'allure insignifiante que pour devenir discordant, désordonné ou exagéré; il a souvent des formes penchées et frêles, ou bien prétentieuses ou compliquées. L'écriture dite du Sacré-Cœur, au tracé triangulaire, est actuellement un précieux indice du sexe féminin, mais il est aléatoire puisqu'il suffirait d'une modification dans l'enseignement des couvents pour qu'il disparaisse. La surélévation des diverses minuscules, principalement des s, r et de la hampe des p, se rencontre très souvent, même habituellement, dans les écritures de femmes, et très rarement dans celles des hommes. Il en est de même des finales longues, soit qu'elles aillent à la dérive, soit qu'elles soient horizontales. Ce qui m'a frappé le plus, c'est de constater combien on exagérait l'importance des signes de la finesse et de la légèreté; ils n'ont pas une grande importance différentielle. Si parfois les écritures de femmes sont plus fines et légères que celles des hommes, par contre on y voit plus fréquemment des traits appuyés, des renflements, — c'est-à-dire que la femme, qui a moins de besoins sexuels que l'homme, serait cependant plus sensuelle. Il est vrai que les renflements disent aussi la gourmandise!

Chez l'homme, la netteté, la fermeté, la sûreté, la simplicité, la sobriété du tracé sont caractéristiques. La simplification, qui est un signe graphologique de culture d'esprit, est bien plus fréquente que chez la femme. Quand l'écriture d'une femme a de la tenue, chose rare, elle n'évite pas la raideur, le mouvement manque de grâce. Chez l'homme, l'aisance du tracé s'allie le plus souvent aux qualités de netteté et de sobriété. Ces différences existent jusque dans l'écriture des gens inférieurs. A égale infériorité, l'écriture de l'homme est plus simple et sobre. On trouve aussi beaucoup moins d'écritures lâchées d'hommes que de femmes.

Auteur: Binet Alfred

Info: "La graphologie et ses révélations sur le sexe, l'âge et l'intelligence", L'Année psychologique, 1903 https://www.persee.fr/doc/psy_0003-5033_1903_num_10_1_3547

[ hommes-femmes ] [ style ] [ lettre ] [ olographiques ]

monde matheux

Furieuse, la bête se tordit et agita ses intégrales itérées sous les coups polynomiaux du roi, s'effondra en une série infinie de termes indéterminés, puis se releva en s'élevant à la puissance n, mais le roi l'assomma tellement de différentielles et de dérivées partielles que ses coefficients de Fourier s'annulèrent tous (voir le lemme de Riemann), et dans la confusion qui s'ensuivit, les constructeurs perdirent complètement de vue à la fois le roi et la bête. Ils firent donc une pause, se dégourdirent les jambes, burent une gorgée de la cruche de Leyde pour reprendre des forces, puis se remirent au travail et recommencèrent depuis le début, en déployant cette fois tout leur arsenal de matrices tensorielles et de grands ensembles canoniques, attaquant le problème avec une telle ferveur que le papier même se mit à fumer. Le roi se précipita avec toutes ses coordonnées cruelles et ses valeurs moyennes, trébucha dans une sombre forêt de racines et de logarithmes, dut faire marche arrière, puis rencontra la bête sur un champ de nombres irrationnels (F1) et la frappa si durement qu'elle tomba de deux décimales et perdit un epsilon, mais la bête glissa autour d'une asymptote et se cacha dans un espace de phase orthogonal à n dimensions, subit une expansion et sortit, fumant de manière factorielle, et tomba sur le roi et lui causa une blessure cuisante. Mais le roi, sans se décourager, enfila sa cotte de mailles de Markov et tous ses paramètres imperméables, porta son incrément Δk à l'infini et asséna à la bête un véritable coup booléen, l'envoyant rouler à travers un axe des x et plusieurs parenthèses - mais la bête, préparée à cela, baissa ses cornes et... vlan ! -Les crayons volèrent comme des fous au travers des fonctions transcendantes et des transformations à double figure, et lorsqu'enfin la bête se rapprocha et que le roi fut à terre, les constructeurs se levèrent d'un bond, dansèrent une gigue, rirent et chantèrent en déchirant tous leurs papiers en lambeaux, à la grande surprise des espions perchés dans le lustre - perchés en vain, car ils n'étaient pas initiés aux subtilités des mathématiques supérieures et n'avaient donc aucune idée de la raison pour laquelle Trurl et Klapaucius criaient maintenant, encore et encore, "Hourra ! Victoire !!!"

Auteur: Lem Stanislaw

Info: La Cyberiade

[ incompréhensible ] [ humour ] [ littéraire ]

combat

Furieuse, la bête se cabra et a tortilla ses intégrales itérées sous les coups polynomiaux du roi, s'écroula en une série infinie de termes indéterminés, puis se releva, montant à la puissance n, mais le roi l'avait tellement abreuvée de différentielles et de dérivées partielles que ses coefficients de Fourier s'annulèrent tous (voir le lemme de Riemann), et dans la confusion qui s'en suivit, les constructeurs perdirent complètement de vue tant le roi que la bête. Ils firent donc une pause, se dégourdirent les jambes, burent une gorgée de la cruche de Leyde pour reprendre des forces, puis se remirent au travail et recommencèrent depuis le début, en déployant cette fois tout leur arsenal de matrices tensorielles et de grands ensembles canoniques, attaquant le problème avec une telle ferveur que le papier même se mit à fumer. Le roi, s'étant précipité avec toutes ses coordonnées cruelles et ses valeurs moyennes, trébucha dans une sombre forêt de racines et de logarithmes, et dut faire marche arrière, puis il rencontra la bête sur un champ de nombres irrationnels (F1) et la frappa si durement qu'elle perdit deux décimales et un epsilon, mais la bête avait glissé autour d'une asymptote pour se cacher dans un espace de phase orthogonal à n dimensions, puis, ayant subi une expansion elle en ressortit, fumante de manière factorielle, et elle tomba sur le roi pour le blesser de manière passagère. Mais le roi, sans se décourager, revêtit sa cotte de mailles de Markov et tous ses paramètres imperméables, puis porta son incrément Δk à l'infini et asséna à la bête un véritable uppercut booléen, la faisant tituber à travers un axe des x et plusieurs parenthèses - mais la bête, préparée à cela, a abaissé ses cornes et... VLAN ! - Les crayons s'éparpillèrent comme des fous à travers les fonctions transcendantes et les doubles transformations, et lorsque la bête se rapprocha enfin alors que le roi était mis à terre pour le compte, les constructeurs se levèrent d'un bond, dansèrent une gigue, en riant et chantant, déchirant tous leurs papiers en lambeaux, à la grande surprise des espions juchés dans le lustre - perchés là en vain, car ils n'étaient pas initiés aux subtilités des mathématiques supérieures et n'avaient donc aucune idée de la raison pour laquelle Trurl et Klapaucius criaient maintenant, encore et encore, "Hourra ! Victoire !!!"

Auteur: Lem Stanislaw

Info: The Cyberiad

[ monde mathématique ] [ humour ] [ complexité ]

mémétique

... pour la plupart, les mots en français n'ont pas d'auteur, pas plus que de concepteurs délibérés. Ils ont été ré agencés inconsciemment au cours des siècles. Cela est trivial. Mais une fois que vous adoptez le point de vue du mème, vous réalisez que les mots ne sont que certaines pratiques culturelles pour lesquelles tout ça est vrai. Dans une culture, les mots sont des mèmes qui peuvent être prononcés, mais il y a aussi des mèmes très complexes qui ne peuvent pas l'être.

Les mots sont très complexes : ils sont des systèmes et les parties d'un système lui-même très complexe - le langage. Si nous voulons comprendre l'agencement de celui-ci et comment ses parties fonctionnent, reconnaissons qu'il est en fait un genre très curieux d'artefact. C'est un produit de la sélection naturelle, mais pas directement : la différence qui existe entre le français et l'anglais n'est pas dans nos gènes. Nous avons connu l'évolution d'une capacité à être des locuteurs, un processus très puissant, mais il y a aussi eu une évolution culturelle du langage : les langues se sont réagencées elles-mêmes, pour s'ajuster au cerveau, et aucun être humain n'a été le concepteur de cet ajustement !

Nous avons donc besoin des mèmes, ces entités compétitives à réplication différentielle, qui sont en compétition pour du "temps de maintien" dans les cerveaux. Les mèmes établissent des structures, qui jouent ensuite des rôles essentiels dans la tendance des mèmes à se répliquer. J'aime l'idée qu'il existe des mèmes sauvages et des mèmes domestiqués. Les mots sont aussi des mèmes sauvages : l'"Académie française" essaie de domestiquer le français, mais avec très peu de succès... Pas besoin de l'"Académie" ! Mais le calcul, lui, a besoin d'une académie : il ne se diffuserait pas sans une aide importante. Le calcul n'est pas assez "accrocheur" pour se reproduire par lui-même. Il a besoin d'une aide et doit être implanté méticuleusement dans les jeunes esprits, avec beaucoup de pratique. Tels sont les mèmes domestiqués - les mèmes de la science, de la religion, de l'opéra... Les humains ont consciemment projeté de les développer, d'être leurs protecteurs. Nous n'en sommes pas justes les vecteurs - comme pour les maladies ou les préjugés - mais aussi les gardiens. C'est une idée très fédératrice, qui comble le fossé entre Shakespeare et... (rires) la publicité, la propagande, les hymnes populaires, les religions, et tout simplement les habitudes.

Auteur: Dennett Daniel C.

Info:

[ vocabulaire ] [ éphémère ] [ métalangage ] [ phonèmes ] [ mimétisme ] [ modes ] [ consensualités conceptuelles ] [ langage du futur ] [ codages humains ]

proportions

Découverte d'une nouvelle loi de la nature La relation entre abondances de proies et de prédateurs suit une loi universelle à l'échelle planétaire L'écologie considère habituellement que la biomasse de prédateurs d'un écosystème varie proportionnellement à celle de leurs proies. Une étude publiée le 4 septembre dans Science par une équipe franco-canadienne vient pour la première fois contredire cette théorie. En s'appuyant sur une base de données de plus de 2000 communautés d'espèces, les scientifiques ont en effet constaté que la biomasse totale des proies augmentait bien plus vite que celle des prédateurs et selon des proportions similaires pour la totalité des écosystèmes analysés. De tels résultats suggèrent que les écosystèmes possèdent un degré d'organisation bien plus grand que celui qu'on leur prêtait jusqu'alors. Dans les années 1930, les scientifiques Julian Huxley et Georges Teissier sont les premiers à mettre en évidence les phénomènes de croissance différentielle d'organes chez les êtres vivants. Ces relations dites allométriques, semblaient en revanche ne pas avoir court à l'échelon supérieur de l'écosystème. "La théorie la plus communément admise jusqu'ici considérait que la biomasse de prédateurs d'un système biologique donné augmentait proportionnellement à celle de la biomasse de proies disponibles", souligne Michel Loreau, directeur du Centre de Théorie et Modélisation de la Biodiversité de la Station d'Ecologie Expérimentale du CNRS à Moulis et co-signataire de l'article. En s'appuyant sur les données de la littérature scientifique portant sur les relations proies/prédateurs, le chercheur et son équipe ont voulu déterminer quelles lois mathématiques reliaient leurs abondances respectives. Au total, 2260 communautés de grands mammifères, d'invertébrés, de plantes et d'organismes planctoniques ont ainsi été analysées. Les écologues ont alors découvert avec surprise qu'une même loi de puissance d'exposant proche de ¾ régissait la relation entre la biomasse totale des prédateurs d'un écosystème et celle de leurs proies. Cette règle, qui s'applique à toutes les communautés d'espèces prises en compte dans l'étude, prouve que l'abondance des prédateurs n'augmente pas proportionnellement à celles des proies mais de façon bien moins rapide. L'équipe a en outre constaté que la relation entre production et biomasse d'un même niveau trophique (1) était soumise à une loi identique. "Nos résultats tendent à démontrer que l'organisation des écosystèmes est régie par des relations allométriques semblables à celles qui lient par exemple métabolisme et taille corporelle d'un organisme unique ", constate Michel Loreau. Des facteurs fondamentaux, que les scientifiques doivent maintenant déterminer, gouverneraient ainsi la structure et le fonctionnement de l'ensemble des systèmes biologiques, de l'organisme jusqu'à l'écosystème.

Auteur: Internet

Info: Laporte Amaury 9 sept 2015, 1 En écologie, le niveau trophique caractérise la position d'un organisme vivant le long de la chaîne alimentaire

[ ordre ] [ biotope ] [ méta-moteur ] [ invariant ] [ pilotage ] [ syntropie ]

data élagage

IA : Cette technique oubliée du 18e siècle rend le Deep Learning inutile

Et si le deep learning devenait inutile au développement de l’intelligence artificielle ? Cette technique oubliée du 18e siècle pourrait le remplacer.

Jusqu’à maintenant, le deep learning ou l’apprentissage profond est présenté comme un processus essentiel au développement de l’intelligence artificielle. Il consiste à entraîner les grands modèles de langage (LLM) avec un énorme volume de données. Mais des chercheurs finlandais avancent que le deep learning pourrait devenir inutile.

Ces chercheurs font partie d’une équipe de l’université de Jyväskylä qui effectue des travaux sur les techniques de développement de l’intelligence artificielle. Ils ont publié le mois dernier, dans la revue Neurocomputing, un papier intéressant sur une ancienne méthode mathématique du 18e siècle.

Cette technique est plus simple et plus performante que l’apprentissage profond, défendent les auteurs dans leur papier. Notons que cette conclusion constitue l’aboutissement de six années de recherche.

Il faut que le deep learning devienne inutile…

Le deep learning s’apparente aux techniques d’intelligence artificielle exploitant massivement des données et des ressources informatiques. Celles-ci servent à entraîner des réseaux neuronaux pour avoir des LLM. Rappelons que ces derniers se trouvent au cœur des IA génératives comme le populaire Chat-GPT.

Mais il ne faut pas croire que l’apprentissage profond est infaillible. Le volume des données à traiter en fait une méthode complexe et souvent sujette à des erreurs. Cela impacte significativement les performances des modèles génératifs obtenus.

En effet, la complexité du deep learning se retrouve dans la structure d’un LLM (large miodèle de langage). Cela peut instaurer une boîte noire sur le mécanisme du modèle IA. Dans la mesure où son fonctionnement n’est pas maîtrisé, les performances ne seront pas au rendez-vous. L’opacité du mécanisme IA peut même exposer à des risques.

Des modèles IA performants sans deep learning

L’équipe de l’université de Jyväskylä travaille ainsi depuis six ans sur l’amélioration des procédés d’apprentissage profond. Leurs travaux consistaient notamment à explorer la piste de la réduction des données. L’objectif est de trouver un moyen pratique pour alimenter les LLM sans pour autant les noyer de données.

Les auteurs de la recherche pensent avoir trouvé la solution dans les applications linéaire et non-linéaire. Il s’agit d’un concept mathématique dont le perfectionnement a eu lieu du 17e au 18e siècle. Celui-ci s’appuie principalement sur la combinaison des fonctions et des équations différentielles.

Les applications linéaire et non-linéaire permettent ainsi de générer un nouvel ordre de modèles de langage. Il en résulte des LLM avec une structure beaucoup moins complexe. Par ailleurs, son fonctionnement ne requiert pas un énorme volume de données. Cela n’a pourtant aucun impact négatif sur la performance.

Les mathématiques du 18e siècle pour moderniser l’IA…

L’importance de l’intelligence artificielle dans la technologie moderne augmente rapidement. La compréhension et la vraie maîtrise des grands modèles de langage deviennent indispensables. Les chercheurs finlandais pensent que leur nouvelle méthode peut résoudre certains problèmes en lien avec le développement de l’intelligence artificielle.

En effet, plus le développement de l’IA sera simple et transparent, il sera davantage facile d’envisager son utilisation éthique. L’accent est également mis sur la dimension écologique du nouveau procédé. Des LLM plus simples requièrent beaucoup moins de ressources informatiques et sont moins énergivores.

Néanmoins, les chercheurs craignent le scepticisme des actuels principaux acteurs de l’IA. "Le deep learning occupe une place si importante dans la recherche, le développement de l’intelligence artificielle (…) Même si la science progresse, la communauté elle-même peut se montrer réticente au changement", explique l’un des auteurs de la recherche.

Auteur: Internet

Info: https://www.lebigdata.fr/, Magloire 12 octobre 2023

[ limitation de la force brute ] [ vectorisation sémantique ] [ émondage taxonomique ]

paliers bayésiens

Une nouvelle preuve montre que les graphiques " expandeurs " se synchronisent

La preuve établit de nouvelles conditions qui provoquent une synchronisation synchronisée des oscillateurs connectés.

Il y a six ans, Afonso Bandeira et Shuyang Ling tentaient de trouver une meilleure façon de discerner les clusters dans d'énormes ensembles de données lorsqu'ils sont tombés sur un monde surréaliste. Ling s'est rendu compte que les équations qu'ils avaient proposées correspondaient, de manière inattendue, parfaitement à un modèle mathématique de synchronisation spontanée. La synchronisation spontanée est un phénomène dans lequel des oscillateurs, qui peuvent prendre la forme de pendules, de ressorts, de cellules cardiaques humaines ou de lucioles, finissent par se déplacer de manière synchronisée sans aucun mécanisme de coordination central.

Bandeira, mathématicien à l' École polytechnique fédérale de Zurich , et Ling, data scientist à l'Université de New York , se sont plongés dans la recherche sur la synchronisation, obtenant une série de résultats remarquables sur la force et la structure que doivent avoir les connexions entre oscillateurs pour forcer les oscillateurs. à synchroniser. Ce travail a abouti à un article d'octobre dans lequel Bandeira a prouvé (avec cinq co-auteurs) que la synchronisation est inévitable dans des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui sont clairsemés mais également bien connectés.

Les graphiques expanseurs s'avèrent avoir de nombreuses applications non seulement en mathématiques, mais également en informatique et en physique. Ils peuvent être utilisés pour créer des codes correcteurs d’erreurs et pour déterminer quand les simulations basées sur des nombres aléatoires convergent vers la réalité qu’elles tentent de simuler. Les neurones peuvent être modélisés dans un graphique qui, selon certains chercheurs, forme un expanseur, en raison de l'espace limité pour les connexions à l'intérieur du cerveau. Les graphiques sont également utiles aux géomètres qui tentent de comprendre comment parcourir des surfaces compliquées , entre autres problèmes.

Le nouveau résultat " donne vraiment un aperçu considérable des types de structures graphiques qui vont garantir la synchronisation ", a déclaré Lee DeVille , un mathématicien de l'Université de l'Illinois qui n'a pas participé aux travaux. 

Synchronisation douce-amère         

"La synchronisation est vraiment l'un des phénomènes fondamentaux de la nature", a déclaré Victor Souza , un mathématicien de l'Université de Cambridge qui a travaillé avec Bandeira sur l'article. Pensez aux cellules stimulateurs cardiaques de votre cœur, qui synchronisent leurs pulsations via des signaux électriques. Lors d'expériences en laboratoire, "vous pouvez faire vibrer des centaines ou des milliers de cellules embryonnaires de stimulateur cardiaque à l'unisson", a déclaré Steven Strogatz , mathématicien à l'Université Cornell et autre co-auteur. " C'est un peu effrayant parce que ce n'est pas un cœur entier ; c'est juste au niveau des cellules."

En 1975, le physicien japonais Yoshiki Kuramoto a introduit un modèle mathématique décrivant ce type de système. Son modèle fonctionne sur un réseau appelé graphe, où les nœuds sont reliés par des lignes appelées arêtes. Les nœuds sont appelés voisins s’ils sont liés par une arête. Chaque arête peut se voir attribuer un numéro appelé poids qui code la force de la connexion entre les nœuds qu’elle connecte.

Dans le modèle de synchronisation de Kuramoto, chaque nœud contient un oscillateur, représenté par un point tournant autour d'un cercle. Ce point montre, par exemple, où se trouve une cellule cardiaque dans son cycle de pulsation. Chaque oscillateur tourne à sa propre vitesse préférée. Mais les oscillateurs veulent également correspondre à leurs voisins, qui peuvent tourner à une fréquence différente ou à un moment différent de leur cycle. (Le poids du bord reliant deux oscillateurs mesure la force du couplage entre eux.) S'écarter de ces préférences contribue à l'énergie dépensée par un oscillateur. Le système tente d'équilibrer tous les désirs concurrents en minimisant son énergie totale. La contribution de Kuramoto a été de simplifier suffisamment ces contraintes mathématiques pour que les mathématiciens puissent progresser dans l'étude du système. Dans la plupart des cas, de tels systèmes d’équations différentielles couplées sont pratiquement impossibles à résoudre.

Malgré sa simplicité, le modèle Kuramoto s'est révélé utile pour modéliser la synchronisation des réseaux, du cerveau aux réseaux électriques, a déclaré Ginestra Bianconi , mathématicienne appliquée à l'Université Queen Mary de Londres. "Dans le cerveau, ce n'est pas particulièrement précis, mais on sait que c'est très efficace", a-t-elle déclaré.

"Il y a ici une danse très fine entre les mathématiques et la physique, car un modèle qui capture un phénomène mais qui est très difficile à analyser n'est pas très utile", a déclaré Souza.

Dans son article de 1975, Kuramoto supposait que chaque nœud était connecté à tous les autres nœuds dans ce qu'on appelle un graphe complet. À partir de là, il a montré que pour un nombre infini d’oscillateurs, si le couplage entre eux était suffisamment fort, il pouvait comprendre leur comportement à long terme. Faisant l'hypothèse supplémentaire que tous les oscillateurs avaient la même fréquence (ce qui en ferait ce qu'on appelle un modèle homogène), il trouva une solution dans laquelle tous les oscillateurs finiraient par tourner simultanément, chacun arrondissant le même point de son cercle exactement au même endroit. en même temps. Même si la plupart des graphiques du monde réel sont loin d'être complets, le succès de Kuramoto a conduit les mathématiciens à se demander ce qui se passerait s'ils assouplissaient ses exigences.  

Mélodie et silence

Au début des années 1990, avec son élève Shinya Watanabe , Strogatz a montré que la solution de Kuramoto était non seulement possible, mais presque inévitable, même pour un nombre fini d'oscillateurs. En 2011, Richard Taylor , de l'Organisation australienne des sciences et technologies de la défense, a renoncé à l'exigence de Kuramoto selon laquelle le graphique devait être complet. Il a prouvé que les graphes homogènes où chaque nœud est connecté à au moins 94 % des autres sont assurés de se synchroniser globalement. Le résultat de Taylor avait l'avantage de s'appliquer à des graphes avec des structures de connectivité arbitraires, à condition que chaque nœud ait un grand nombre de voisins.

En 2018, Bandeira, Ling et Ruitu Xu , un étudiant diplômé de l'Université de Yale, ont abaissé à 79,3 % l'exigence de Taylor selon laquelle chaque nœud doit être connecté à 94 % des autres. En 2020, un groupe concurrent a atteint 78,89 % ; en 2021, Strogatz, Alex Townsend et Martin Kassabov ont établi le record actuel en démontrant que 75 % suffisaient.

Pendant ce temps, les chercheurs ont également attaqué le problème dans la direction opposée, en essayant de trouver des graphiques hautement connectés mais non synchronisés globalement. Dans une série d'articles de 2006 à 2022 , ils ont découvert graphique après graphique qui pourraient éviter la synchronisation globale, même si chaque nœud était lié à plus de 68 % des autres. Beaucoup de ces graphiques ressemblent à un cercle de personnes se tenant la main, où chaque personne tend la main à 10, voire 100 voisins proches. Ces graphiques, appelés graphiques en anneaux, peuvent s'installer dans un état dans lequel chaque oscillateur est légèrement décalé par rapport au suivant.

De toute évidence, la structure du graphique influence fortement la synchronisation. Ling, Xu et Bandeira sont donc devenus curieux des propriétés de synchronisation des graphiques générés aléatoirement. Pour rendre leur travail précis, ils ont utilisé deux méthodes courantes pour construire un graphique de manière aléatoire.

Le premier porte le nom de Paul Erdős et Alfréd Rényi, deux éminents théoriciens des graphes qui ont réalisé des travaux fondateurs sur le modèle. Pour construire un graphique à l'aide du modèle Erdős-Rényi, vous commencez avec un groupe de nœuds non connectés. Ensuite, pour chaque paire de nœuds, vous les reliez au hasard avec une certaine probabilité p . Si p vaut 1 %, vous liez les bords 1 % du temps ; si c'est 50 %, chaque nœud se connectera en moyenne à la moitié des autres.

Si p est légèrement supérieur à un seuil qui dépend du nombre de nœuds dans le graphique, le graphique formera, avec une très grande probabilité, un réseau interconnecté (au lieu de comprendre des clusters qui ne sont pas reliés). À mesure que la taille du graphique augmente, ce seuil devient minuscule, de sorte que pour des graphiques suffisamment grands, même si p est petit, ce qui rend le nombre total d'arêtes également petit, les graphiques d'Erdős-Rényi seront connectés.

Le deuxième type de graphe qu’ils ont considéré est appelé graphe d -régulier. Dans de tels graphes, chaque nœud a le même nombre d’arêtes, d . (Ainsi, dans un graphe 3-régulier, chaque nœud est connecté à 3 autres nœuds, dans un graphe 7-régulier, chaque nœud est connecté à 7 autres, et ainsi de suite.)

(Photo avec schéma)

Les graphiques bien connectés bien qu’ils soient clairsemés (n’ayant qu’un petit nombre d’arêtes) sont appelés graphiques d’expansion. Celles-ci sont importantes dans de nombreux domaines des mathématiques, de la physique et de l'informatique, mais si vous souhaitez construire un graphe d'expansion avec un ensemble particulier de propriétés, vous constaterez qu'il s'agit d'un " problème étonnamment non trivial ", selon l'éminent mathématicien. Terry Tao. Les graphes d'Erdős-Rényi, bien qu'ils ne soient pas toujours extensibles, partagent bon nombre de leurs caractéristiques importantes. Et il s'avère cependant que si vous construisez un graphe d -régulier et connectez les arêtes de manière aléatoire, vous obtiendrez un graphe d'expansion.

Joindre les deux bouts

En 2018, Ling, Xu et Bandeira ont deviné que le seuil de connectivité pourrait également mesurer l'émergence d'une synchronisation globale : si vous générez un graphique d'Erdős-Rényi avec p juste un peu plus grand que le seuil, le graphique devrait se synchroniser globalement. Ils ont fait des progrès partiels sur cette conjecture, et Strogatz, Kassabov et Townsend ont ensuite amélioré leur résultat. Mais il subsiste un écart important entre leur nombre et le seuil de connectivité.

En mars 2022, Townsend a rendu visite à Bandeira à Zurich. Ils ont réalisé qu'ils avaient une chance d'atteindre le seuil de connectivité et ont fait appel à Pedro Abdalla , un étudiant diplômé de Bandeira, qui à son tour a enrôlé son ami Victor Souza. Abdalla et Souza ont commencé à peaufiner les détails, mais ils se sont rapidement heurtés à des obstacles.

Il semblait que le hasard s’accompagnait de problèmes inévitables. À moins que p ne soit significativement plus grand que le seuil de connectivité, il y aurait probablement des fluctuations sauvages dans le nombre d'arêtes de chaque nœud. L'un peut être attaché à 100 arêtes ; un autre pourrait être attaché à aucun. "Comme pour tout bon problème, il riposte", a déclaré Souza. Abdalla et Souza ont réalisé qu'aborder le problème du point de vue des graphiques aléatoires ne fonctionnerait pas. Au lieu de cela, ils utiliseraient le fait que la plupart des graphes d’Erdős-Rényi sont des expanseurs. "Après ce changement apparemment innocent, de nombreuses pièces du puzzle ont commencé à se mettre en place", a déclaré Souza. "En fin de compte, nous obtenons un résultat bien meilleur que ce à quoi nous nous attendions." Les graphiques sont accompagnés d'un nombre appelé expansion qui mesure la difficulté de les couper en deux, normalisé à la taille du graphique. Plus ce nombre est grand, plus il est difficile de le diviser en deux en supprimant des nœuds.

Au cours des mois suivants, l’équipe a complété le reste de l’argumentation en publiant son article en ligne en octobre. Leur preuve montre qu'avec suffisamment de temps, si le graphe a suffisamment d'expansion, le modèle homogène de Kuramoto se synchronisera toujours globalement.

Sur la seule route

L’un des plus grands mystères restants de l’étude mathématique de la synchronisation ne nécessite qu’une petite modification du modèle présenté dans le nouvel article : que se passe-t-il si certaines paires d’oscillateurs se synchronisent, mais que d’autres s’en écartent ? Dans cette situation, " presque tous nos outils disparaissent immédiatement ", a déclaré Souza. Si les chercheurs parviennent à progresser sur cette version du problème, ces techniques aideront probablement Bandeira à résoudre les problèmes de regroupement de données qu’il avait entrepris de résoudre avant de se tourner vers la synchronisation.

Au-delà de cela, il existe des classes de graphiques outre les extensions, des modèles plus complexes que la synchronisation globale et des modèles de synchronisation qui ne supposent pas que chaque nœud et chaque arête sont identiques. En 2018, Saber Jafarpour et Francesco Bullo de l'Université de Californie à Santa Barbara ont proposé un test de synchronisation globale qui fonctionne lorsque les rotateurs n'ont pas de poids ni de fréquences préférées identiques. L'équipe de Bianconi et d'autres ont travaillé avec des réseaux dont les liens impliquent trois, quatre nœuds ou plus, plutôt que de simples paires.

Bandeira et Abdalla tentent déjà d'aller au-delà des modèles Erdős-Rényi et d -regular vers d'autres modèles de graphes aléatoires plus réalistes. En août dernier, ils ont partagé un article , co-écrit avec Clara Invernizzi, sur la synchronisation dans les graphes géométriques aléatoires. Dans les graphes géométriques aléatoires, conçus en 1961, les nœuds sont dispersés de manière aléatoire dans l'espace, peut-être sur une surface comme une sphère ou un plan. Les arêtes sont placées entre des paires de nœuds s'ils se trouvent à une certaine distance les uns des autres. Leur inventeur, Edgar Gilbert, espérait modéliser des réseaux de communication dans lesquels les messages ne peuvent parcourir que de courtes distances, ou la propagation d'agents pathogènes infectieux qui nécessitent un contact étroit pour se transmettre. Des modèles géométriques aléatoires permettraient également de mieux capturer les liens entre les lucioles d'un essaim, qui se synchronisent en observant leurs voisines, a déclaré Bandeira.

Bien entendu, relier les résultats mathématiques au monde réel est un défi. "Je pense qu'il serait un peu mensonger de prétendre que cela est imposé par les applications", a déclaré Strogatz, qui a également noté que le modèle homogène de Kuramoto ne peut jamais capturer la variation inhérente aux systèmes biologiques. Souza a ajouté : " Il y a de nombreuses questions fondamentales que nous ne savons toujours pas comment résoudre. C'est plutôt comme explorer la jungle. " 



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org - Leïla Sloman, 24 juillet 2023

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