bipolarité

Le tout est divisible indivisible, mortel immortel, logos et temps, père fils, ordre divin règle humaine.

Auteur: Héraclite d'Éphèse

Info: Fragments

[ Dieu ] [ unicité ]

interrogations

L'esprit de l'homme s'est posé de nombreuses questions difficiles. L'espace est-il infini, et dans quel sens ? Le monde matériel est-il d'une étendue infinie et tous les endroits de cette étendue sont-ils également remplis de matière ? Les atomes existent-ils ou la matière est-elle infiniment divisible ?

Auteur: Maxwell James Clerk

Info:

secondéité

Il est bon de savoir ce qui l'avait entraîné dans ce paradoxe. J'eus, il y a longtemps, quelques conversations avec lui ; il me dit que l'origine de son opinion venait de ce qu'on ne peut concevoir ce que c'est que ce sujet qui reçoit l'étendue. Et en effet il triomphe dans son livre quand il demande à Hilas ce que c'est que ce sujet, ce substratum, cette substance. "C'est le corps étendu" répond Hilas. Alors l'évêque, sous le nom de Philonoüs, se moque de lui ; et le pauvre Hilas, voyant qu'il a dit une sottise, demeure tout confus, et avoue qu'il n'y comprend rien, qu'il n'y a point de corps, que le monde matériel n'existe pas, qu'il n'y a qu'un monde intellectuel. Hilas devait dire seulement à Philonoüs : Nous ne savons rien sur le fond de ce sujet, de cette substance étendue solide, divisible, mobile, figurée, etc. ; je ne la connais pas plus que le sujet pensant, sentant et voulant ; mais ce sujet n'en existe pas moins, puisqu'il a des propriétés essentielles dont il ne peut être dépouillé.

Auteur: Voltaire

Info: Dictionnaire philosophique, Garnier 1967, p.150-151

[ matérialisme ]

champ de contrôle

De l’injonction, on passe à la disjonction par le code, de l’ultimatum on passe à la sollicitation, de la passivité requise on passe à des modèles construits d’emblée sur la "réponse active" du sujet, sur son implication, sa participation "ludique", etc., vers un modèle environnemental total fait de réponses spontanées incessantes, de joyeux feed-back et de contacts irradiés. [...] C’est la grande fête de la Participation : elle est faite de myriades de stimuli, de tests miniaturisés, de questions/réponses divisibles à l’infini, tous magnétisés par quelques grands modèles dans le champ lumineux du code.

Voici venir la grande Culture de la communication tactile, sous le signe de l’espace techno-lumino-cinétique et du théâtre total spatiodynamique !

C’est tout un imaginaire du contact, du mimétisme sensoriel, du mysticisme tactile, c’est toute l’écologie au fond qui vient se greffer sur cet univers de simulation opérationnelle, multistimulation et multiréponse. On va naturaliser ce test incessant d’adaptation réussie en l’assimilant au mimétisme animal : "L’adaptation des animaux aux couleurs et aux formes de leur milieu est un phénomène valable pour les hommes" (Nicolas Schöffler), et même aux Indiens, avec "leur sens inné de l’écologie" ! Tropismes, mimétismes, empathie : tout l’évangile écologique des systèmes ouverts, avec feed-back négatif ou positif, va s’engouffrer dans cette brèche, avec une idéologie de la régulation par l’information qui n’est que l’avatar, selon une rationalité plus flexible, du réflexe de Pavlov. Ainsi est-on passé de l’électrochoc à l’expression corporelle comme conditionnement de la santé mentale. Partout les dispositifs de force et de forçage laissent place aux dispositifs d’ambiance, avec opérationnalisation des notions de besoin, de perception, de désir, etc.

Auteur: Baudrillard Jean

Info: Dans "L'échange symbolique et la mort", éditions Gallimard, 1976, pages 116-117

[ intégration ] [ consentement idéologique ] [ surmoi maternel ]

saut technologique

[...] le comptage exact du temps remonte au Moyen Âge, vers 1330, au moment de l’invention de l’horloge mécanique à poids venue remplacer la clepsydre (horloge à eau), imprécise et soumise aux conditions atmosphériques (sécheresse, gel…).

Non seulement la manière de percevoir le temps allait radicalement changer, mais, comme l’explique Jacques Le Goff dans La Civilisation de l’Occident médiéval, les activités humaines allaient devoir se soumettre de plus en plus strictement aux exigences de l’horloge. En effet, le temps circulaire du calendrier liturgique, le temps linéaire des histoires et des récits, le temps des travaux et des jours, le temps des saisons, tous ces temps différents, allaient devoir s’aligner sur un seul et même temps divisible en parties égales et mécaniquement mesurables, celui des horloges. La notion d’"heure" allait elle-même profondément changer. Avant, l’heure était en quelque sorte variable : il y avait, quelle que soit la saison, douze heures pour la nuit et douze heures pour le jour. En hiver donc, l’"heure diurne" était plus courte qu’en été et l’"heure nocturne" plus longue qu’en été. Avec la machine à mesurer le temps, cette sorte de respiration interne des heures est devenue obsolète. C’est ainsi que vers 1400 fut institué le système moderne des "heures égales".

Déjà, dans Technique et Civilisation (1934), Lewis Mumford affirmait que l’horloge constituait un bien meilleur point de départ que la machine à vapeur pour comprendre la révolution industrielle à venir : non seulement parce que la fabrication des horloges est devenue l’industrie à partir de laquelle les hommes ont appris comment fabriquer des machines, toutes sortes de machines, mais surtout parce qu’elle a été la première machine automatique qui ait pris une importance significative dans la vie des humains, en la transformant profondément.

On peut comprendre ces transformations en lisant le remarquable livre, à mi-chemin entre essai et science-fiction, de l’historien des sciences Pierre Thuillier, La Grande Implosion. Rapport sur l’effondrement de l’Occident – titre prémonitoire s’il en est. Il montre qu’à cette transformation du temps en quantité pure correspondent les débuts du règne du marchand. Cet homme quantitatif par excellence a en effet tout de suite compris que l’horloge l’aiderait à gérer plus efficacement ses affaires, à mieux utiliser son temps et celui des autres. C’est pourquoi les bourgeois d’alors organisèrent très tôt un véritable culte du temps mécanique en installant une imposante horloge partout visible au plus haut du beffroi de leur hôtel de ville.

Auteur: Dufour Dany-Robert

Info: "Le délire occidental", éditions Les liens qui libèrent, 2014, pages 80 à 82

[ historique ] [ conséquences ] [ modernité ]

homme-machine

ChatGPT : Qu’est-ce qui se passe de si spécial dans un transformer ?

Sebastien Bubeck explique cela très bien : la machine, contrairement à nous, ne succombe pas au biais inductif. Si dans une série qui semble à première vue homogène, il existe certaines configurations qui permettent un raccourci vers la solution, la machine le découvrira, alors que nous, pauvres humains, victimes du biais inductif, nous allons considérer que comme la série a l’air homogène, elle l’est nécessairement et … nous ne trouverons pas les raccourcis cachés dans certaines configurations … faute d’avoir même supposé que de tels raccourcis pouvaient exister.

 (explication vidéo des transformers)

Ok, j’explique ce que cela veut dire sur deux exemples.

Vous vous souvenez sans doute (ou seulement peut-être) de cette vidéo historique de 2014 où Demis Hassabis, fondateur de DeepMind, présentait une IA jouant à casse-briques ? Ce qu’il nous montrait, c’était que l’IA découvrait au bout d’un moment que la tactique la plus payante, ce n’était pas d’attaquer le mur de front, mais de le prendre à revers en passant latéralement et en allant faire rebondir le projectile sur lui à partir du plafond. À cela, les humains n’avaient pas pensé*, ils imaginaient que les configurations étaient homogènes : qu’elles se valaient toutes.

Un bon exemple de biais inductif, ce serait de généraliser en disant : "Quand on examine la suite des nombres entiers, 1, 2, 3 …, on observe que pour chacun de ces nombres …", alors que certains d’entre eux ont des propriétés particulières que les autres n’ont pas. Ainsi, 1, 2, 3, 5, 7… ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes : ce sont des nombres premiers ; 4 et 9 sont des carrés, ils résultent de la multiplication par lui-même d’un nombre avant eux dans la liste ; 8 est un cube : un nombre avant lui dans la liste multiplié par lui-même à deux reprises, etc.

Le premier à avoir noté cela à notre connaissance, c’est Diophante (200-284). Il est le premier à avoir laissé entendre à propos de la suite des entiers : "Ne vous y fiez pas : certains d’entre eux sont des gens très ordinaires, mais d’autres sont de drôles de paroissiens !". Diophante, le premier à avoir attiré notre attention sur le fait que 4, 8, 9… permettent des raccourcis qui sont fermés aux autres entiers. Or aux yeux de l’IA d’aujourd’hui, avec le temps dont elle dispose en quantité quasi-illimité, il n’y a pas de raccourci nous étant resté inaperçu, qu’elle ne  parvienne à découvrir. Du coup, elle nous fait honte. Nous pouvons lui rappeler : "N’oublie pas que je suis ton père (ou ta mère) !", mais vous connaissez les enfants…

Auteur: Jorion Paul

Info: Sur son blog, 14 avril 2023 à propos des transformers. * Il y a bien eu sur le Blog de PJ quelques commentateurs fanfarons pour dire : "Fastoche ! Même ma grand-mère savait ça !", mais ce sont les mêmes frimeurs qui, neuf ans plus tard, sévissent toujours sur le blog [a https://www.toupie.org/Biais/Probleme_induction.htm]

[ intelligence artificielle ] [ surhumaine compréhension ]

chronos

(...) si l’utilisation permanente du chronomètre a suffi à faire d’une technique fruste une supposée science, c’est probablement parce que le chronomètre, et son ancêtre l’horloge, bénéficiaient depuis longtemps d’une représentation très favorable dans l’imaginaire social occidental. Et, de fait, le comptage exact du temps remonte au Moyen Âge, vers 1330, au moment de l’invention de l’horloge mécanique à poids venue remplacer la clepsydre (horloge à eau), imprécise et soumise aux conditions atmosphériques (sécheresse, gel…).

Non seulement la manière de percevoir le temps allait radicalement changer, mais, comme l’explique Jacques Le Goff dans La Civilisation de l’Occident médiéval, les activités humaines allaient devoir se soumettre de plus en plus strictement aux exigences de l’horloge. En effet, le temps circulaire du calendrier liturgique, le temps linéaire des histoires et des récits, le temps des travaux et des jours, le temps des saisons, tous ces temps différents, allaient devoir s’aligner sur un seul et même temps divisible en parties égales et mécaniquement mesurables, celui des horloges. La notion d’ " heure " allait elle-même profondément changer. Avant, l’heure était en quelque sorte variable : il y avait, quelle que soit la saison, douze heures pour la nuit et douze heures pour le jour. En hiver donc, l’" heure diurne " était plus courte qu’en été et l’" heure nocturne " plus longue qu’en été. Avec la machine à mesurer le temps, cette sorte de respiration interne des heures est devenue obsolète. C’est ainsi que vers 1400 fut institué le système moderne des " heures égales ".

Déjà, dans Technique et Civilisation (1934), Lewis Mumford affirmait que l’horloge constituait un bien meilleur point de départ que la machine à vapeur pour comprendre la révolution industrielle à venir : non seulement parce que la fabrication des horloges est devenue l’industrie à partir de laquelle les hommes ont appris comment fabriquer des machines, toutes sortes de machines, mais surtout parce qu’elle a été la première machine automatique qui ait pris une importance significative dans la vie des humains, en la transformant profondément.

On peut comprendre ces transformations en lisant le remarquable livre, à mi-chemin entre essai et science-fiction, de l’historien des sciences Pierre Thuillier, La Grande Implosion. Rapport sur l’effondrement de l’Occident – titre prémonitoire s’il en est. Il montre qu’à cette transformation du temps en quantité pure correspondent les débuts du règne du marchand. Cet homme quantitatif par excellence a en effet tout de suite compris que l’horloge l’aiderait à gérer plus efficacement ses affaires, à mieux utiliser son temps et celui des autres. C’est pourquoi les bourgeois d’alors organisèrent très tôt un véritable culte du temps mécanique en installant une imposante horloge partout visible au plus haut du beffroi de leur hôtel de ville.

Auteur: Dufour Dany-Robert

Info: Le délire occidental

[ historique ] [ ordre ] [ rationalisation ]

anthropocentrisme

Les évolutionnistes, qui n’ont aucune idée de l’éternité, non plus que de tout ce qui est de l’ordre métaphysique, appellent volontiers de ce nom une durée indéfinie, c’est-à-dire la perpétuité, alors que l’éternité est essentiellement la "non-durée" ; cette erreur est du même genre que celle qui consiste à croire que l’espace est infini, et d’ailleurs l’une ne va guère sans l’autre ; la cause en est toujours dans la confusion du concevable et de l’imaginable. En réalité, l’espace est indéfini, mais, comme toute autre possibilité particulière, il est absolument nul par rapport à l’Infini ; de même, la durée, même perpétuelle, n’est rien au regard de l’éternité. Mais le plus singulier, c’est ceci : pour ceux qui, étant évolutionnistes d’une façon ou d’une autre, placent toute réalité dans le devenir, la soi-disant éternité temporelle, qui se compose de durées successives, et qui est donc divisible, semble se partager en deux moitiés, l’une passée et l’autre future. […]. Le mot d’"évolution" n’est pas dans le passage que nous venons de citer, mais c’est évidemment cette conception, exclusivement basée sur l’"idée de succession", qui doit remplacer "l’ancienne théorie d’une création faite une fois pour toutes", déclarée impossible en vertu d’une simple "croyance" (le mot y est). Du reste, pour l’auteur, Dieu lui-même est soumis à la succession ou au temps ; la création est un acte temporel : "aussitôt que Dieu existe, il crée" ; c’est donc qu’il a un commencement, et probablement doit-il aussi être situé dans l’espace, prétendu infini. Dire que "l’idée de Dieu est synonyme de l’idée de Créateur", c’est émettre une affirmation plus que contestable : osera-t-on soutenir que tous les peuples qui n’ont pas l’idée de création, c’est-à-dire en somme tous ceux dont les conceptions ne sont point de source judaïque, n’ont par là même aucune idée qui corresponde à celle de la Divinité ? C’est manifestement absurde ; et que l’on remarque bien que, quand il s’agit ici de création, ce qui est ainsi désigné n’est jamais que le monde corporel, c’est-à-dire le contenu de l’espace que l’astronome a la possibilité d’explorer avec son télescope ; l’Univers est vraiment bien petit pour ces gens qui mettent l’infini et l’éternité partout où il ne saurait en être question ! S’il a fallu toute l’"éternité passée" pour arriver à produire le monde corporel tel que nous le voyons aujourd’hui, avec des êtres comme les individus humains pour représenter la plus haute expression de la "vie universelle et éternelle", il faut convenir que c’est là un piteux résultat ; et, assurément, ce ne sera pas trop de toute l’"éternité future" pour parvenir à la "perfection", si relative pourtant, dont rêvent nos évolutionnistes. Cela nous rappelle la bizarre théorie de nous ne savons plus trop quel philosophe contemporain (si nos souvenirs sont exacts, ce doit être Guyau), qui se représentait la seconde "moitié de l’éternité" comme devant se passer à réparer les erreurs accumulées pendant la première moitié ; et voilà les "penseurs" qui se croient "éclairés", et qui se permettent de tourner en dérision les conceptions religieuses !

Auteur: Guénon René

Info: L'Erreur spirite, deuxième partie, ch. IX, pp. 294 à 298, éd. Éditions Traditionnelles, 1977

[ contradictions ] [ évolution spirituelle ]

duodécimal

Le nombre douze est extraordinairement passionnant. De par sa souplesse intrinsèque - divisible par 1, 2, 3, 4, 6 et 12 - il correspond, entre autres, aux notes de l'échelle musicale chromatique occidentale. Celle-ci contenant le septénaire de la gamme diatonique, superposé à une gamme pentatonique "off" pour les spécialistes.
Il doit exister quelque part une théorie qui présente cette dernière comme l'échelle musicale humaine - de par son naturel et sa construction en quintes verticales superposées -, alors que la gamme diatonique chère à Bach serait une expression divine, plus riche, qui non seulement contient (ou englobe), la gamme pentatonique... et semble le faire depuis une autre dimension. Un peu comme en cosmologie la matière noire parait enclore (ou enserrer) notre univers visible.

Plus jeune je m'étais amusé à pousser une gamberge un peu dans cette direction, en prenant pour exemple le thème "All Blues" de Miles, au nom prédestiné, ce qui m'avait permis d'inclure le rythme dans le raisonnement. J'en avais produit une conférence qui s'intitulait "Miles Davis, les modes et le symbolisme 7", avant laquelle nous avions joué All Blues en quartette.

Voici les notes que j'en ai conservé

Bonjour, je vais vous parler aujourd'hui de la comparaison d'un thème de Miles (All Blues) avec les modes grecs, et aussi une structure initiatique, probablement issue de la tradition juive, utilisée de nos jours par le new-âge (dans les "dialogue avec l'ange" par exemple). Cette structure nous parle du monde créé et du monde créateur avec l'homme pour point central d'un monde créé en miroir avec un monde créateur. Ange, miroir de l'animal, archange du végétal et Dieu du minéral. Voyez plutôt. On pourrait aussi parler d'ordre d'apparition.

minéral . végétal . animal . homme . ange . archange . Dieu

L'homme, au milieu, est le lien, le pont. (cf "nos cousins l'ange et le singe" de G. Lichtenberg).

On sait que les 7 modes diatoniques - modes grecs - sont souvent classés, dans les cours de musique théorique, par la logique du plus majeur au plus mineur. Modes qu'il faut "entendre" bien sûr, littéralement dans tous les sens du terme.

LYDIEN IONIEN MIXOLYDIEN DORIEN AEOLIEN PHRYGIEN LOCRIEN (mode)

# . . b . bb . bbb . bbbb . bbbbb (armure)

sol . do . fa . sib . mib . lab . réb (tonalité)

En réalité il est beaucoup plus cohérent de les disposer diatoniquement comme ci-dessous, majeurs et mineurs mélangés. Les modes étant en miroir, le dorien étant le mode parfait et récurrent qui commence (et englobe, en quelque sorte) les autres. On retrouve ainsi, au centre, le mode myxolydien (avec son triton et son instabilité, selon les préceptes des théoriciens.) Donc, en superposant avec le schéma précédent on arrive à ceci...

dorien . phrygien . lydien . mixoldien . aeolien . locrien . ionien

minéral . végétal . animal . homme . ange . archange . Dieu

Le thème de Miles "All Blues", avec ce titre qui évoque les problèmes de tous les hommes, possède, dans sa structure, une confluence architecturale étonnante avec la trinité que constituent ces pôles :
1) Le mode Dorien/Dieu
2) L'harmonie sur le mode Mixolydien/Homme
3) La structure rythmique de six mesures de 12/8, ce rythme étant le plus souple, le plus naturel et universel connu.

Essayons de le visualiser un peu mieux Ce thème ALL BLUES

Tonalité et Harmonie

Mélodie . . . . . Harmonie . . . . . . . . Rythme
Ré dorien . . . Sol mixolydien . . . . . 12/8

1 . . . . 2 . . . 3 . . . 4 . . . . 5 . . . 6 . . . 7 . . . 8 . . . 9 . . . 10 . . .11 . . 12 . . . (1)
| .. . .. . | .. . ... . . | . .. . .. . . | . . . . . . . . | .. . . . . .. | . . . . . ... |. ...
RE . . . . . . MI . . . FA . . . . . . SOL . . . . . . LA . . . . . . SI .. . DO . . . . . . (RE)

La mélodie est sur le mode dorien (attracteur 1) .. Matière, Dieu
La tonalité générale sur le mode mixolydien (attracteur 2) Homme
Rythme en 12/8 . . . . . Structure globale, base douze, qui semble tout contenir.


Merci pour votre attention

.

Auteur: MG

Info: Résumé d'une conférence donnée en 2001 à l'EJMA Lausanne

[ sept ] [ spéculation ] [ ésotérisme ] [ base douze ] [ énantiomérie chirale ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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