rêve

Pendant mon sommeil, j'ai eu une expérience inhabituelle. Il y avait un écran rouge formé de sang qui coulait pour ainsi dire. Je l'observais. Soudain, une main commença à écrire sur l'écran. Je suis devenu totalement intéressé. La main a écrit un certain nombre d'intégrales elliptiques. Elles sont restées dans ma tête. Dès que je me suis réveillé, je me suis mis à les noter.

Auteur: Ramanujan Srinivasa

Info:

[ inspiration ] [ mathématiques ] [ songe ] [ découverte ] [ sciences ]

littérature

Une mouche à la cuirasse verte et luisante n'arrêtait pas de se poser sur le bord épais de ses narines. [...] Il levait le bras en direction de la foule et faisait envers elle de grands gestes elliptiques, comme s'il la couvrait tout entière par la seule paume de sa main. Puis cette même paume venait tapoter avec noblesse sa poitrine décorée. Son autre main bougeait d'une façon nettement moins aristocratique, puisque l'amour que portait la mouche verte à ses narines était à son apogée.

Auteur: Yamen Manai

Info: La sérénade d'Ibrahim Santos, p.55/59

[ insecte ]

travail à la chaîne

A mesure que le Journal [d’usine][de Simone Weil] avance, la riche langue de cette grande philosophe devient télégraphique, elliptique, saturée d’abréviations plus ou moins compréhensibles. Des schémas de pièces à fabriquer se substituent au texte, des tableaux de décompte du nombre de pièces fabriquées ou loupées apparaissent. Le souffle devient court comme si l’auteur était engagé dans une course folle. Ce que ce texte traduit, c’est que la capacité rédactionnelle et la faculté de synthèse se trouvaient atteintes par la terrible expérience vécue, alors même que l’auteur était une universitaire familière du discours, de la pensée, de l’écriture et des précieuses références littéraires et philosophiques.

Auteur: Dufour Dany-Robert

Info: "Le délire occidental", éditions Les liens qui libèrent, 2014, page 103

[ conséquences ] [ transformation ] [ énonciation ] [ aliénation ] [ démonstration ]

astronomie

[…] Kepler est parti des éléments de ce même Timée […], à savoir d’une conception purement imaginaire […] de l’univers, entièrement réglée sur les propriétés de la sphère, définie comme la forme qui porte en soi les vertus de suffisance, de sorte qu’elle peut combiner en elle l’éternité de la même place avec le mouvement éternel.

Les spéculations de Kepler sont de cette espèce. Elles sont d’ailleurs raffinées, puisqu’il y fait entrer à notre stupeur les cinq solides parfaits inscriptibles dans la sphère […]. Cette vieille spéculation platonicienne déjà trente fois dépassée revient au jour à ce tournant de la Renaissance, où les manuscrits platoniciens sont réintégrés dans la tradition occidentale, et monte littéralement à la tête de ce personnage […]. Eh bien, ledit Kepler, à la recherche des harmonies célestes, arrive par un prodige de ténacité, et où l’on voit vraiment le jeu de cache-cache de la formation inconsciente, à donner la première saisie de ce en quoi consiste vraiment la naissance de la science moderne. C’est en cherchant un rapport harmonique qu’il arrive au rapport de la vitesse de la planète sur son orbe à l’aire de la surface couverte par la ligne qui relie la planète au soleil. C’est-à-dire qu’il s’aperçoit du même coup que les orbites planétaires sont des ellipses.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, livre VIII - Le transfert" pages 112-113

[ influence non-scientifique ] [ imprégnation philosophique ] [ trajectoire elliptique ]

théorie du tout

Des chercheurs pourraient avoir découvert une nouvelle loi sur l'évolution de tout ce qui existe dans l'univers !

Comment les choses évoluent-elles ? C'est la question à laquelle les chercheurs tentent de répondre. Galaxies, étoiles et même la vie telle que nous la connaissons ont subi un processus d'évolution. La question est de comprendre comment ce processus se déroule et pourquoi il se produit.

(photo) Un exemple de systèmes complexes sont les galaxies et l'interaction entre elles lors d'une collision.

Lorsque nous regardons l'Univers, nous trouvons des structures complexes allant de la vie telle que nous la connaissons aux galaxies et aux étoiles. Dans différents domaines de la connaissance, le niveau de complexité semble être une question ouverte : comment les structures sont-elles parvenues à des niveaux aussi complexes ?

En biologie, une des questions est de comprendre comment la vie est arrivée à ce que nous connaissons aujourd’hui. En philosophie, la question de la conscience et de l'intelligence qui ont évolué vers des formes de plus en plus complexes. En astronomie, la question de savoir comment les galaxies ont évolué pour devenir ce que nous connaissons aujourd'hui reste jusqu'à présent un grand mystère.

Avec ces questions à l'esprit, un groupe de chercheurs de différents domaines se sont réunis pour proposer une nouvelle loi sur l'évolution des choses dans l'Univers. La loi est connue sous le nom de "loi de l'augmentation de l'information fonctionnelle" qui tente d'expliquer pourquoi les choses évoluent vers des structures plus complexes.

Systèmes Complexes

Des systèmes complexes peuvent être trouvés dans différents domaines allant de la sociologie à la physique. Le domaine se concentre sur la compréhension des unités d'un ensemble qui interagissent les unes avec les autres et ont une dynamique collective.

Un exemple de cela est le comportement d'un ensemble de personnes lors d'un concert de musique, chaque participant est une personne, mais il y a un comportement collectif.

La propre question de comment la vie est apparue est un problème qui a une intersection avec les systèmes complexes. Nous pouvons comprendre les êtres vivants comme une série d'interactions complexes entre les molécules qui à leur tour ont des interactions avec leurs atomes. Expliquer comment nous sommes arrivés à ce niveau de complexité est une grande question ouverte.

Complexité en Physique

En physique, le domaine des systèmes complexes est extrêmement riche pour expliquer différents types de problèmes. Les propres particules et interactions entre particules deviennent de véritables laboratoires. Mais peut-être que les grandes questions se trouvent à l'intérieur de l'astrophysique.

(photo) Les systèmes complexes peuvent être dans une variété de domaines allant de la sociologie à la physique.

Nous observons des galaxies de différents types avec des dynamiques compliquées. Notre propre Voie Lactée est un exemple de galaxie de type spirale, mais nous observons d'autres types tels que les elliptiques, les irrégulières et les lenticulaires. La dynamique complexe soulève des questions telles que : comment sont-elles apparues ?

L'une des missions principales du télescope spatial James Webb est de comprendre comment les galaxies se sont formées lorsque l'Univers était jeune. La réponse est si difficile qu'il y a un effort de la communauté scientifique pour analyser les détails des données pour commencer à tenter de répondre à la question.

Étude des Systèmes Complexes

Certains chercheurs de l'Université de Cornell se sont réunis pour répondre à la question : pourquoi les systèmes complexes, y compris la vie, évoluent-ils vers de plus grandes informations fonctionnelles au fil du temps ? L'étude a rassemblé des astronomes, des physiciens, des philosophes, un minéralogiste et un scientifique des données pour tenter de répondre.

Selon l'auteur de l'étude, c'était l'une des plus grandes réunions entre philosophes et scientifiques de la nature pour répondre à la question. Ensemble, ils ont introduit ce qu'ils ont appelé la "loi de l'augmentation de l'information fonctionnelle". Les lois aident à donner une direction pour comprendre la raison derrière ce que nous observons.

Loi de l'Augmentation de l'Information Fonctionnelle

Dans le travail publié par la revue PNAS, les chercheurs rapportent que la nouvelle loi stipule qu'un système évolue si différentes configurations du système sont utilisées pour une ou plusieurs fonctions. En d'autres termes, un système aura tendance à devenir de plus en plus complexe au fil du temps en fonction des fonctions.

La loi parle également de la sélection naturelle des systèmes et du fait que seuls certains survivront, c'est-à-dire que les plus complexes survivront. Cela est très similaire à la Théorie de l'Évolution de Darwin mais élargie à des systèmes qui ne sont pas vivants, comme l'arrangement des atomes ou même des galaxies.

Critiques

Le travail a été salué par différents chercheurs qui soutiennent que c'est un pas en avant dans la compréhension des systèmes complexes. Cependant, certains ont également examiné le travail avec critique, disant qu'il n'est pas nécessaire de trouver une loi analogue à la théorie de Darwin pour les systèmes non vivants.

Auteur: Internet

Info: https://www.tameteo.com, Roberta DuarteMeteored Brésil25/10/2023

[ réseaux bayésiens dynamiques ] [ macro ] [ micro ] [ nano ] [ giga ] [ astrophysique ] [ complexification ]

planètes comparées

(Au sujet d'une incarnation antérieure, dans une civilisation plus évoluée, sur une autre planète.)

Pour répondre succinctement. J'ai nommé cette planète "SS3" par commodité, il y a de très nombreux systèmes triples rien que dans notre galaxie, particulièrement dans les zones stellaires denses.

Sur ma "SS3" personnelle, il y a donc trois étoiles proches, elles sont vues comme blanches / jaunes toutes les 3, contrairement à ma planète précédente SS2B qui comporte une étoile bleue.

Il n'y a pas de nuit noire sur SS3, mais une fluctuation complexe de luminosité, une variation non linéaire qui est due au parcours de la planète autour des deux étoiles principales.

Ce parcours n'est ni circulaire, ni elliptique, ni ne s'opère dans un plan de dimension 2. C'est un billard à trois bandes en dimension 3.

Les cortèges planétaires qui se créent autour de systèmes triples sont dans un équilibre très complexe, il y a une sorte de parcours orbital en formes de cacahuètes, combinés et assemblés les uns avec les autres, en dimension 3.

L'équivalent de notre "année" terrestre et qui consisterait à retrouver une position de départ par rapport aux trois attracteurs gravitationnels que sont ces trois étoiles proches, cette année-là est beaucoup plus longue.

L'atmosphère fait tampon, mais il y a de fortes variations de température.

L'atmosphère n'est pas transparente, on voit très bien les trois soleils mais on ne voit quasiment jamais d'autres étoiles, quel que soit l'endroit/moment dans le cours de la révolution complexe. Le ciel est toujours plus ou moins lumineux, il n'y a jamais de nuit noire, ce qui est dû autant à l'épaisseur de l'atmosphère qu'à la densité d'étoiles dans cette zone, et aussi au nuage de gaz stellaires dans lequel SS3 circule, le cosmos local est beaucoup plus lumineux que ce que nous connaissons sur terre.

Le ciel n'est pas bleu, ce serait une chose très étrange sur SS3, il est jaune, avec des teintes ocres parfois, près du sol.

L'équivalent des saisons est quelque chose qui s'étale sur de très longues périodes, au point qu'elles sont imperceptibles en tant que telles.

Le tellurisme de la planète est un autre élément, il y a des zones à activité volcanique avec des gaz riches en soufre. Un humain terrestre mourrait en 5 minutes, son corps ne pourrait pas respirer cette atmosphère.

Pour complexifier les choses, il faut nécessairement intégrer le fait que la nature a donné à l'espèce dominante (la mienne d'alors) et à quelques autres la capacité de modifier le niveau vibratoire de l'enveloppe biologique jusqu'à pouvoir la passer à l'état epsilon intégral.

SS3 serait un monde extrêmement étrange pour un humain terrestre qui la visiterait, il est probable qu'il ne distinguerait pas tout alors que pour les résidents de ce lieu, la modularité vibratoire est présente depuis les origines.

En terme de sommeil, il y a l'équivalent mais pas du tout comparable au cycle de 24 heures sur terre, ni en durée, ni en nature. C'est une sorte de catalepsie très profonde.

Outre la transmutation intégrale de l'enveloppe biologique, l'exportation de matière epsilon et donc des perceptions est une faculté naturelle. Les sciences et les technologies de SS3 se sont nécessairement développées en intégrant cet état de la matière, en comparaison la situation des humains terrestres et de leur "science" actuelle paraît lourdement handicapée à la base.

Les facultés psi qui découlent de la maîtrise naturelle de l'état epsilon dès l'enfance sur SS3, ces possibilités seraient de la science fiction pour un humain terrestre.

En comparaison cet humain terrestre, même extrêmement doué en psi, serait considéré comme très lourdement handicapé, à 99% incapable d'agir normalement.

Au regard des mémoires de SS3 (et plus encore de SS2B), les conditions de l'incarnation actuelle comme humain terrestre semblent extrêmement primitives, limitées, ridicules.

Ce n'est pas du mépris, c'est PIRE, c'est une vision objective: IMPOSSIBLE d'avoir de la considération pour cette humanité terriblement handicapée, violente, stupide et primitive, y compris pour les prétendus leaders politiques, financiers, et... spirituels.

Ici c'est un désastre quasi intégral, on se demande si c'est vraiment possible d'y changer quoi que ce soit.

Pour certains d'entre nous, c'est pour ce challenge impossible qu'ils sont venus s'associer à un corps biologique aussi handicapé, au sein d'une société qui ignore quasiment TOUT mais qui se pense le centre de la Création et qui voudrait donner des leçons au cosmos entier.

Surréaliste, cet endroit. Après 35 000 ans de passage successifs ici, je ne m'y fais toujours pas vraiment.

C'est la planète des enfants perdus.

Avec d'autres, je suis venu pour cela.

C'est autant une joie profonde, une exultation, une exploration passionnante et riche que le sentiment parfois que la tâche est trop importante et insurmontable.

Cette lassitude épisodique, transitoire, heureusement nous savons qu'elle vient de l'enveloppe extrêmement primitive avec laquelle nous sommes associés pour être, circuler et agir ici.

Par rapport à SS3, ce que j'aime personnellement ici, c'est le ciel bleu, l'eau et la nuit étoilée. Et la diversité des entités associées au corps biologique de l'espèce "dominante". Dominante, c'est ce qu'elle croit, car comme presque tout ce que l'humanité pense savoir, c'est entièrement faux.

Auteur: Auburn Marc

Info:

[ hiérarchies civilisationnelles ] [ transmigration interstellaire ] [ métaphysique ]

prestige intellectuel

Le génie verbal de Lacan n'a pas d'héritier
Une intelligence hors du commun et une curiosité intellectuelle hardie servies par l'élégance de la formulation ne suffisent pas à faire du psychanalyste français le successeur obligé de Freud.

Il serait vain de nier l'importance de Lacan pour la pensée française. Je dis bien la pensée, et non seulement la psychanalyse, tant il est vrai que l'influence de Lacan a débordé le domaine qui était le sien. Il en allait de même, dira-t-on, de l'œuvre de Freud dont Lacan n'a cessé de se réclamer, au point de faire de son "retour à Freud" un des mots d'ordre de son œuvre. Et, à la réflexion, il n'y a rien là d'étonnant: la prise en compte des phénomènes inconscients, ou, si l'on préfère, de l'irrationnel, appartient à une manière de voir qui balaie, bien plus que les seuls problèmes psychiques individuels, une grande partie des phénomènes de société.

La psychopathologie de la vie quotidienne concerne tous et chacun. Pour autant, il est loin d'être sûr que ce parallèle entre l'œuvre du fondateur de la psychanalyse et celle de son descendant français soit justifié. Freud appartient à la grande lignée des anthropologues rationalistes, de ceux qui ont pensé, comme Œdipe, qu'on pouvait, qu'il fallait même, résoudre l'énigme du sphinx, que c'était en tout cas la gloire de l'humanité d'y travailler. Son esprit était un esprit des Lumières, animé par la conviction que la rigueur intellectuelle pouvait se mettre au service d'une compréhension de l'humain, jusque dans ses aspects les plus aberrants, et que la clarté ainsi gagnée pouvait servir à contrecarrer, parfois, la part, toujours si envahissante, de la destructivité. Il y a, en même temps qu'une volonté de comprendre, une visée éthique sous-jacente à l'œuvre freudienne, celle du médecin et philosophe auquel, en effet, rien de ce qui est humain n'avait à rester étranger.

Combien différente la visée lacanienne! A relire les Autres Ecrits que son gendre, Jacques-Alain Miller, a recueillis en un volume publié à l'occasion du centenaire de sa naissance et du vingtième anniversaire de sa mort, ce qui frappe peut-être le plus est le ton de mépris qui se dégage de ces textes. Mépris pour le lecteur, mépris pour les psychanalystes, mépris, en un mot, pour tous ceux qui ne sont pas lacaniens, qui ne jouent pas, du moins, le jeu de se dire lacaniens.

Freud, qui pourtant n'avait jamais été lent à dénoncer ce qu'il ressentait comme des déviations ou des perversions de sa théorie, argumentait toujours sa position: il expliquait en quoi le déviant lui paraissait dévier, et justifiait sa condamnation. Lacan, lui, se sert plus volontiers du sarcasme. Quand il argumente, c'est en se fondant sur une conceptualité qui n'est jamais exposée dans le respect des règles de la discussion intellectuelle et surtout sur un langage dont le maniérisme et l'obscurité, destinés, paraît-il, à décourager les intrus, servent à couvrir les impasses d'une pensée qui perd de plus en plus le sens des réalités. La virtuosité avec laquelle Lacan utilise le français confine au charlatanisme.

Pourquoi a-t-il donc tant séduit? J'y verrai pour ma part trois raisons, au moins. La première est le brio d'une intelligence hors du commun. Lacan avait des capacités d'abstraction, de logique et de théorisation exceptionnelles. La deuxième est la place qu'il a occupée dans les sciences humaines de son temps. Sa curiosité intellectuelle passionnée l'a conduit à savoir placer la psychanalyse à un carrefour où la linguistique (Saussure, Jakobson), l'anthropologie (Lévi-Strauss) et la philosophie (Heidegger), puis les mathématiques se rencontraient pour déployer le substrat d'un structuralisme généralisé qui avait toute la séduction d'un système explicatif universel.

La troisième enfin est son style. Que Lacan ait eu le sens de la formule est un euphémisme. Ses jeux de mots ont parfois du génie. Parler de l'hainamoration par exemple permet de cerner, en un mot-valise, un phénomène aussi remarquable que paradoxal. Surtout, son style volontiers elliptique semble ressaisir en très peu de termes une matière parfois infiniment complexe. C'est le cas de ses formules les plus célèbres: "L'inconscient est structuré comme un langage", notamment. Comment résister à l'élégance d'une telle définition, qui semble de surcroît s'autoriser de tout ce que Freud a écrit sur le Witz. Or c'est précisément là que se situe la faille. Car l'élégance, si elle confirme l'économie des moyens, recouvre en vérité des abîmes. Lacan, sous prétexte qu'une analyse est surtout une affaire de parole entre deux êtres, dont l'un exprime en effet son inconscient en parlant, ramène cet inconscient à ces seuls mots. Il aplatit autrement dit la chose sur son véhicule. Encore pourrait-on argumenter qu'en effet l'inconscient, c'est-à-dire l'ensemble des représentations que nous avons refoulées, s'organise en fonction des exclusions que notre parole opère à chaque moment. Mais le Ça, le Es, le fonds sauvage et incontrôlé dont Freud dit qu'il n'est fait que de pulsions qui cherchent à se décharger, en quoi serait-il structuré, pis même structuré comme un langage? Quel langage? Une telle idée n'a guère de sens.

Il n'y a pas à regretter Lacan. L'inexistence de tout héritage psychanalytique lacanien le prouve: ses formules ont fait mouche, certes, mais elles sont restées stériles. Les lacaniens n'ont fait qu'ânonner tant bien que mal la leçon de leur maître, sans faire avancer d'un pas la compréhension des pathologies psychiques caractéristiques de notre temps (celles des borderline, des cas limites notamment). Si un "retour à Freud" est toujours d'actualité, il n'a nul besoin de la médiation de Lacan.

Auteur: Jackson John Edwin

Info: https://www.letemps.ch. A l'occasion de la sortie de "Autres Ecrits". Seuil, 609 pages. Mai 2001

[ Gaule ] [ réputation littéraire ] [ vacherie ]

univers sons

Le son est-il le système nerveux du cosmos ?
Il existe un moyen de rendre les sons visibles. On appelle "cymatique" cette science énigmatique, qui puise ses racines dans l'histoire de l'univers. Quelle est la nature de l'onde sonore? Que sait-on vraiment de son pouvoir sur nous?
Allemagne, 18ème siècle. Ernst Chladni est un mathématicien doué et discret. L'homme est aussi musicien et sa passion pour le violon va le conduire à une découverte extraordinaire. Saupoudrant de sable un disque de cuivre, il en frotta le bord avec son archet. La plaque se mit à vibrer et le sable à se déplacer, dessinant d'authentiques formes géométriques. "Qu'on juge de mon étonnement voyant ce que personne n'avait encore vu", dira plus tard son ami et philosophe Lichtenberg, auteur de travaux sur l'électricité statique.
Dans les années soixante, le physicien Hans Jenny sera le premier à révéler ce phénomène oublié. Grâce à l'évolution de l'électronique, il prolonge les recherches et fait varier les supports. Il invente le tonoscope, petit appareil tubulaire assorti d'une membrane sur laquelle on aura versé de la poudre, qui permet de créer des formes étonnantes avec le son de sa voix. Plus d'un siècle après les premières expériences, Jenny livre des observations d'une grande précision sur la nature du son, et invente une nouvelle science : la cymatique. Du grec 'vague', la cymatique étudie l'interaction du son et de la matière. Les outils de mesure acoustique modernes ont permis d'étudier ces modulations spontanées : dans l'eau par exemple, un son grave produit un cercle entouré d'anneaux ; un son aïgu accroît le nombre d'anneaux concentriques. Soumise au rythme des oscillations, la variété de formes générées semble sans limite. Hans Jenny parlera de "modèle dynamique mais ordonné" Quel pouvoir autonome renferme l'onde sonore ?
Toute activité produit du bruit. Du plus retentissant au plus subtil, il est trace du mouvement. Christian Hugonnet, ingénieur acousticien et fondateur de la Semaine du Son, décrit un enchaînement simple : "l'action entraîne la vibration de l'air qui va déplacer des molécules, se choquant les unes aux autres comme pour se transmettre un message". Avant d'être une manifestation audible, le son se caractérise par un changement moléculaire, sur une surface donnée et en un temps donné. Dans cette équation, nul besoin d'oreille pour considérer qu'il y a dynamique sonore. C'est la fréquence de l'onde qui va diriger toute l'énergie. "Dans l'expérience avec le sable, les grains s'agglutinent là où la fréquence est haute", détaille le spécialiste. La propriété d'un corps à entrer en résonance avec le flux d'énergie va créer la forme. La matière prend la forme de l'énergie qui lui est adressée.
Le son primordial
Spirales, polygones, stries... ces marques sont souvent analogues à celles déjà présentes dans la nature. "J'ai constaté qu'une plaque elliptique soumise à des vibrations sonores reproduit les figures qu'on trouve sur la carapace d'une tortue", constate le photographe Alexander Lauterwasser. Une morphogenèse fondée sur la transmission de codes génétiques nécessaires à la formation des masses et à leur différenciation, et qui révèle un processus harmonieux dans l'ADN terrestre. Dès lors, est-il possible que les formes animales et végétales qui nous entourent – et la matière vivante dans son ensemble – soient elles-mêmes le résultat de vibrations, comme le rapportent de nombreuses traditions ?
Bien avant ces découvertes scientifiques, les cultures traditionnelles du monde entier ont développé leur récit mythologique de la création de l'univers. La voix et le souffle y sont féconds. "Au commencement était le verbe, dit l'Evangile. Les textes celtes sacrés évoquent Trois Cris qui firent éclater l'Oeuf du Monde", rapporte le Docteur Alain Boudet, enseignant et conférencier. "Chez les hindous et les bouddhistes, le principe structurant du chaos d'origine est le mantra Om et les Mayas parlent du chant des Dieux comme du système nerveux de l'univers". Une cosmogonie universelle, portée par des figures archétypales semblables aux formations cymatiques, telles que les mandalas. Ces mystérieuses corrélations entre figures naturelles et symboliques renverraient à une intuition de la forme, perdue avec le temps : "Cette géométrie originelle est en nous. Nous l'avons oubliée à mesure que le mental s'est imposé", raconte Alain Boudet. Dans son ouvrage Cymatics, le pionnier Hans Jenny conclut à la puissance fondamentale et génératrice de la vibration. Sa périodicité soutient la bipolarité de la vie : le mouvement et la forme. La vibration comme source de toute chose : un constat, mais aussi une opportunité de reconsidérer le monde dans lequel nous évoluons.
Echos d'avenir
Pythagore disait : "L'homme possède toutes les valeurs du cosmos". L'auteur du célèbre théorème de géométrie a développé le principe de microcosme, reliant l'organisme humain à l'organisation de l'univers. L'influence du son invite désormais à une nouvelle écoute du vivant. "La biorésonance nous renseigne sur la fréquence optimale de nos organes", explique Andreas Freund, physicien quantique. Au Tibet, les bols chantants sont reconnus pour leurs vertus. Leurs tonalités spécifiques communiquent avec la matière cristalline de notre corps : les os, les tissus et l'eau qui nous compose à 70%. Plus le son est grave, plus l'on travaillera la zone racine du corps. Comme la cymatique, notre résonance cellulaire trace un chemin pour la vibration, réharmonisant notre énergie interne. Un processus identique aux diapasons thérapeutiques employés depuis des siècles en Europe, dont les fréquences en hertz sont réglées pour des actions cibles. Mais pour masser nos entrailles, quel meilleur instrument que la voix ? Le chant harmonique des traditions chamaniques, aussi appelé chant diphonique dans nos conservatoires de musique, est une technique vocale sur deux notes simultanées, par un positionnement de la langue et des lèvres. Curiosité ou évidence biologique, ce son très apaisant ressemble à celui des vents solaires.
La vague de l'action contient à la fois l'intention et son empreinte. "Le son in-forme. Il est porteur d'information", nous dit Andreas Freund. Une attention portée aux messages de la nature, qui permet aujourd'hui de décrypter jusqu'au langage par ultrasons des dauphins ou la sensibilité des plantes. La dimension vibratoire du son sert de modèle dans une recherche de cohérence et d'alignement. Ses explorations scientifiques, artistiques et spirituelles offrent les clés d'une autre conscience de l'homme et de son environnement, vers une nouvelle signature écologique.

Auteur: De La Reberdiere Lucile

Info: https://www.inrees.com/articles/cymatique-son-systeme-nerveux-cosmos/

[ ondes ] [ proportions ] [ archétypes ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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