clarification

Un chiffre est un signe d'écriture utilisé seul ou en combinaison pour représenter des nombres entiers.

Dans un système de numération positionnel comme le système décimal, un petit nombre de chiffres suffit pour exprimer n'importe quelle valeur. Le nombre de chiffres du système est la base.

Le système décimal, le plus courant des systèmes de numération, comporte dix chiffres représentant les nombres de zéro à neuf.

Auteur: Internet

Info: Sur wikipédia

[ codages numériques ]

désir

Je rêve de l'amour que l'on perd.
Des regards. Des souffles conjugués dans lesquels on pouvait se réfugier tout entiers. Des déferlantes qui se fracassaient à l'intérieur, sur les rebords élastiques de nos cages thoraciques. La pression papillonnante qui poussait, poussait, jusqu'à ce qu'on veuille s'ouvrir en fleurs humaines, s'entre-déchirer pour que ça puisse voir la lumière. Libérer. Déverser. S'épandre sur le monde et sur l'autre, à l'inconditionnel, en torrents palpitants.

Auteur: Dewdney Patrick

Info: Crocs

[ passion ]

conteur

Le Voyageur de Minuit aimait à se retirer, à s'isoler, se taisant des jours entiers.
Il se laissait captiver des heures durant par la grâce d'un feuillage. Il goûtait sa danse dans les bras de la brise. Il ne se lassait pas du chant des oiseaux.
Il était fou, évidemment.
Certains pensèrent à l'enfermer.
D'autres s'y opposèrent. Il était fou, pour sûr, mais nullement dangereux ni susceptible de faire du tort à quiconque. Il divertissait les enfants et les simples. Et puis, il contait bien, le Madjnoûn : ses histoires, ses délires de fou déclenchaient l'hilarité.
Seuls les enfants étaient attentifs au fil secret de ses récits.
Seuls, ils écoutaient avec l'âme.
Seuls ils trouvaient un sens où les autres riaient.

Auteur: Majrouh Sayd Bahodine

Info: Le Voyageur de minuit

[ contemplation ] [ magie ]

nature

Plus le soleil s'élevait dans le ciel, plus ses contours devenaient flous. On eût dit qu'il se liquéfiait. Il répandait une lueur d'incendie qui gagnait peu à peu les cieux tout entiers. Telles des gouttes de soleil, tels de minuscules éclats de l'astre, les fleurs s'étaient tournées vers lui. Elles étaient à présent immobiles, comme engourdies, et l'on croyait entendre un soupir en prêtant l'oreille au murmure des montagnes, des forêts et du fleuve. N'était-ce pas le soupir des fleurs qui s'étaient redressées le matin même avec ardeur, s'offrant joyeusement au soleil, et qui attendaient maintenant leur déclin ? N'était-ce pas celui des herbes dont la vie consistait à croître en dépit du bétail, des fraîches nuits de gelée et des orages incessants ? Celui des forêts encore présentes ? Des pierres inertes, apparemment éparpillées au hasard, et pourtant animées en réalité d'une vie exigeante et haute en couleur ? Cette plainte n'émanait-elle pas de tout ce qui vivait ou semblait ne pas vivre, engagé cependant dans une âpre lutte pour l'existence ?

Auteur: Galsan Tschinag

Info: La Fin du chant

[ . ]

homme-machine

ChatGPT : Qu’est-ce qui se passe de si spécial dans un transformer ?

Sebastien Bubeck explique cela très bien : la machine, contrairement à nous, ne succombe pas au biais inductif. Si dans une série qui semble à première vue homogène, il existe certaines configurations qui permettent un raccourci vers la solution, la machine le découvrira, alors que nous, pauvres humains, victimes du biais inductif, nous allons considérer que comme la série a l’air homogène, elle l’est nécessairement et … nous ne trouverons pas les raccourcis cachés dans certaines configurations … faute d’avoir même supposé que de tels raccourcis pouvaient exister.

 (explication vidéo des transformers)

Ok, j’explique ce que cela veut dire sur deux exemples.

Vous vous souvenez sans doute (ou seulement peut-être) de cette vidéo historique de 2014 où Demis Hassabis, fondateur de DeepMind, présentait une IA jouant à casse-briques ? Ce qu’il nous montrait, c’était que l’IA découvrait au bout d’un moment que la tactique la plus payante, ce n’était pas d’attaquer le mur de front, mais de le prendre à revers en passant latéralement et en allant faire rebondir le projectile sur lui à partir du plafond. À cela, les humains n’avaient pas pensé*, ils imaginaient que les configurations étaient homogènes : qu’elles se valaient toutes.

Un bon exemple de biais inductif, ce serait de généraliser en disant : "Quand on examine la suite des nombres entiers, 1, 2, 3 …, on observe que pour chacun de ces nombres …", alors que certains d’entre eux ont des propriétés particulières que les autres n’ont pas. Ainsi, 1, 2, 3, 5, 7… ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes : ce sont des nombres premiers ; 4 et 9 sont des carrés, ils résultent de la multiplication par lui-même d’un nombre avant eux dans la liste ; 8 est un cube : un nombre avant lui dans la liste multiplié par lui-même à deux reprises, etc.

Le premier à avoir noté cela à notre connaissance, c’est Diophante (200-284). Il est le premier à avoir laissé entendre à propos de la suite des entiers : "Ne vous y fiez pas : certains d’entre eux sont des gens très ordinaires, mais d’autres sont de drôles de paroissiens !". Diophante, le premier à avoir attiré notre attention sur le fait que 4, 8, 9… permettent des raccourcis qui sont fermés aux autres entiers. Or aux yeux de l’IA d’aujourd’hui, avec le temps dont elle dispose en quantité quasi-illimité, il n’y a pas de raccourci nous étant resté inaperçu, qu’elle ne  parvienne à découvrir. Du coup, elle nous fait honte. Nous pouvons lui rappeler : "N’oublie pas que je suis ton père (ou ta mère) !", mais vous connaissez les enfants…

Auteur: Jorion Paul

Info: Sur son blog, 14 avril 2023 à propos des transformers. * Il y a bien eu sur le Blog de PJ quelques commentateurs fanfarons pour dire : "Fastoche ! Même ma grand-mère savait ça !", mais ce sont les mêmes frimeurs qui, neuf ans plus tard, sévissent toujours sur le blog [a https://www.toupie.org/Biais/Probleme_induction.htm]

[ intelligence artificielle ] [ surhumaine compréhension ]

visionnaire

Initiateur de l'astronautique, Constantin Tsiolkolvski était un grand rêveur. Un peu fou, un peu naïf, il s'est souvent égaré et a commis beaucoup d'erreurs. Mais il a eu le courage de rêver à ce à quoi d'autres n'auraient même pas osé penser. Qui, au temps de la Première Guerre mondiale, aurait pu rêver à des vols sur la Lune, au génie génétique, à la résurrection des morts ? Un seul, Tsiolkovski.

Sa vie débuta dans la tragédie. Encore jeune enfant, Tsiolkovski fut atteint de la scarlatine. Sa maladie fut suivie de complication et il devint sourd. C'est la raison pour laquelle il n'a pas reçu d'éducation traditionnelle. Le grand savant fut autodidacte. Il apprit très tôt à lire. Plus que tout au monde, il aimait lire et inventer. Il pouvait lire et inventer des jours entiers. Tour à charioter, petites maisons, horloges à pendant, automobiles miniatures…

En dépit de sa surdité, il ne se considérait en aucune façon diminué. Au contraire. Quand Tsiolkovski est tombé amoureux pour la première fois, il écrivit à la jeune fille en question la lettre suivante : "Je suis un grand homme qu'il n'y avait pas encore eu et qu'il n'y aura plus ". Pour ce qui est de l'opinion qu'il avait de lui-même, il n'avait pas de problème.

A 16 ans, il partit étudier à Moscou. Il passait des heures dans les bibliothèques, ne mangeait pas. Il vivait avec 10 roubles pour le mois. Enfin il passa avec succès ses examens pour être professeur d’arithmétique. Il ne cessa pourtant pas d'inventer. Il travaillait sur des quantités innombrables de théories et les envoyait à des magazines. Au début, il inventa une étrange théorie de "zéro agité" qui prouvait l'inutilité de la vie humaine.

Puis il travailla sur une théorie des gaz et l'envoya à Mendeleev. Celui-ci félicita le jeune savant mais lui écrivit qu'en réalité, la théorie des gaz avait déjà été découverte 25 ans auparavant.

Cinq idées de Constantin Tsiolkovski qui anticipèrent la conquête spatiale

Il travaillait à ses inventions presque quotidiennement. Dans un court laps de temps, il inventa : l'aérostat, les échasses, la signalisation interplanétaire, le chauffage solaire, un rafraîchisseur de chambre, la machine à écrire, son propre système de mesures et même un alphabet commun à tous. Il parvint même a déposer un brevet pour quelques unes de ces inventions, mais Tsiolkovski ne perçut jamais d'argent. Une fois quelqu'un voulut le payer 500 roubles mais le facteur ne put trouver son adresse. On ne l'a donc pas payé. A 30 ans, Tsiolkovski devint, à sa grande surprise, écrivain. Il se mit à écrire un récit de science-fiction à propos de la Lune. Avec des détails tels qu'on croirait qu'il y était allé. Gagarine racontera plus tard que ce qu'il a vu dans le cosmos ressemblait beaucoup aux descriptions de Tsiolkovski. Il a aussi décrit avec force détails l'apesanteur dans ses livres. Mais d'où a-t-il bien pu le tenir ?

Personne ne le prenait au sérieux. On le prenait pour un citadin fou. Et lui-même se comportait comme un original. Il dépensait tout son salaire dans les livres et les réactifs. Avec les enfants il faisait voler des serpents en papier, faisait du patin avec un parapluie. Avec celui-ci, il prenait de la vitesse avec le vent arrière. Les chevaux de ferme fuyaient ses parapluies, les paysans juraient. Mais Tsiolkovski n'en avait cure. Il était sourd et n'entendait pas les jurons.

Tsiolkovski croyait que la matière inanimée avait une âme. Le vivant et le non-vivant, c'est une chose. Il n'y a pas de mort, il n'y a qu'un seul univers, il n'y a pas de frontière entre les mondes... La philosophie étonnante de Tsiolkovski frôle quelques fois le délire et quelques fois est proche d'une vison géniale. Par exemple, il découvrit que la forme géométrique idéale pour l'homme est la sphère. C'est pourquoi tout le monde aura, dans l'avenir, la forme d'une sphère. Il croyait aussi au clonage. Le génie vers le génie, le talent vers le talent, c'est comme cela que l'on peut améliorer la race humaine.

Mais qui se serait souvenu de Tsiolkovski s'il n'avait consacré son temps qu'à ses folies et à sa philosophie de chambre ? Il a donné naissance à plusieurs idées réellement fondamentales. Le satellite artificiel de la Terre, la fusée multiple, le moteur nucléaire... Étonnamment, tout cela fut fait avec désintéressement. Aucune base scientifique, aucun espoir de réaliser ces idées... Les premiers avions se sont écrasés les uns après les autres, et il écrivit : "je suis sûr que les voyages interplanétaires deviendront réalité. Les héros et les braves poseront les premières routes aériennes : la Terre est l'orbite de la lune, la Terre est l'orbite de Mars et pour aller plus loin, Moscou est la Lune et Kalouga est Mars..."

Tsiolkovski a avoué une fois à ses élèves qu'il conversait avec les anges. Les anges, selon sa conception, sont des êtres raisonnables supérieurs, bien plus parfaits que les gens. Les gens , dans l'avenir, devront se transformer en anges. Viendra le jour où l'humanité s'unira au cosmos, deviendra immortelle et se transformera en énergie cosmique.

Il marchait dans les rues de Kalouga avec un air attristé. De temps en temps il s'asseyait par terre et réfléchissait longuement, le dos contre le tronc d'un arbre … De l'extérieur, il ressemblait à un messager d'autres mondes. Ou bien à un homme venu du futur qui se serait retrouvé par erreur dans la Russie des années 1920.

Après sa mort, on commença à l'appeler père de l'aéronautique soviétique. Le grand constructeur Sergueï Korolev s'empara de ses idées et les développa. Bien sûr, il s'en serait sorti même sans l'aide de Tsiolkovski. Tous les calculs furent vérifiés par des savants. Mais ce n'étaient des savants, alors que lui était un rêveur. Sans lui ils ne seraient arrivés à rien. Il existe beaucoup de savants, mais il n'y a que très peu de rêveurs géniaux. De gens capables de converser avec les anges dans leur propre langue.

Auteur: Shenkman Yan

Info: Tsiolkovski : le savant qui conversait avec les anges, 4 avril 2014

[ personnage ] [ surdité ]

chimiosynthèse

Les cellules souterraines produisent de l'« oxygène sombre » sans lumière

Dans certaines profondes nappes souterraines, les cellules disposent d’une astuce chimique pour produire de l’oxygène qui pourrait alimenter des écosystèmes souterrains entiers.

(Photo - Dans un monde ensoleillé, la photosynthèse fournit l’oxygène indispensable à la vie. Au fond des profondeurs, la vie trouve un autre chemin.)

Les scientifiques se sont rendu compte que le sol et les roches sous nos pieds abritent une vaste biosphère dont le volume global est près de deux fois supérieur à celui de tous les océans de la planète. On sait peu de choses sur ces organismes souterrains, qui représentent l’essentiel de la masse microbienne de la planète et dont la diversité pourrait dépasser celle des formes de vie vivant en surface. Leur existence s’accompagne d’une grande énigme : les chercheurs ont souvent supposé que bon nombre de ces royaumes souterrains étaient des zones mortes pauvres en oxygène, habitées uniquement par des microbes primitifs qui maintiennent leur métabolisme au ralenti et se débrouillent grâce aux traces de nutriments. À mesure que ces ressources s’épuisent, pensait-on, l’environnement souterrain devient sans vie à mesure que l’on s’enfonce.

Dans une nouvelle recherche publiée le mois dernier dans Nature Communications , les chercheurs ont présenté des preuves qui remettent en question ces hypothèses. Dans des réservoirs d'eau souterraine situés à 200 mètres sous les champs de combustibles fossiles de l'Alberta, au Canada, ils ont découvert des microbes abondants qui produisent des quantités étonnamment importantes d'oxygène, même en l'absence de lumière. Les microbes génèrent et libèrent tellement de ce que les chercheurs appellent " l'oxygène noir " que c'est comme découvrir " le même quantité d'oxygène que celle  issue de la photosynthèse dans la forêt amazonienne ", a déclaré Karen Lloyd , microbiologiste souterrain à l'Université du Tennessee qui n'était pas partie de l’étude. La quantité de gaz diffusé hors des cellules est si grande qu’elle semble créer des conditions favorables à une vie dépendante de l’oxygène dans les eaux souterraines et les strates environnantes.

"Il s'agit d'une étude historique", a déclaré Barbara Sherwood Lollar , géochimiste à l'Université de Toronto qui n'a pas participé aux travaux. Les recherches antérieures ont souvent porté sur les mécanismes susceptibles de produire de l'hydrogène et d'autres molécules vitales pour la vie souterraine, mais cette création de molécules contenant de l'oxygène a été largement négligée car ces molécules sont très rapidement consommées dans l'environnement souterrain. Jusqu’à présent, " aucune étude n’a rassemblé tout cela comme celle-ci ", a-t-elle déclaré.

La nouvelle étude a porté sur les aquifères profonds de la province canadienne de l’Alberta, qui possède des gisements souterrains si riches en goudron, en sables bitumineux et en hydrocarbures qu’elle a été surnommée " le Texas du Canada ". Parce que ses énormes industries d'élevage de bétail et d'agriculture dépendent fortement des eaux souterraines, le gouvernement provincial surveille activement l'acidité et la composition chimique de l'eau. Pourtant, personne n’avait étudié systématiquement la microbiologie des eaux souterraines.

Pour Emil Ruff , mener une telle enquête semblait être " une solution facile " en 2015 lorsqu'il a commencé son stage postdoctoral en microbiologie à l'Université de Calgary. Il ne savait pas que cette étude apparemment simple le mettrait à rude épreuve pendant les six prochaines années.

Profondeurs encombrées

Après avoir collecté l'eau souterraine de 95 puits à travers l'Alberta, Ruff et ses collègues ont commencé à faire de la microscopie de base : ils ont coloré des cellules microbiennes dans des échantillons d'eau souterraine avec un colorant à base d'acide nucléique et ont utilisé un microscope à fluorescence pour les compter. En radiodatant la matière organique présente dans les échantillons et en vérifiant les profondeurs auxquelles ils avaient été collectés, les chercheurs ont pu identifier l'âge des aquifères souterrains qu'ils exploitaient.

Une tendance dans les chiffres les intriguait. Habituellement, lors d'études sur les sédiments sous le fond marin, par exemple, les scientifiques constatent que le nombre de cellules microbiennes diminue avec la profondeur : les échantillons plus anciens et plus profonds ne peuvent pas abriter autant de vie car ils sont davantage privés des nutriments produits par les plantes photosynthétiques. et des algues près de la surface. Mais à la surprise de l'équipe de Ruff, les eaux souterraines plus anciennes et plus profondes contenaient plus de cellules que les eaux plus douces.

Les chercheurs ont ensuite commencé à identifier les microbes présents dans les échantillons, à l’aide d’outils moléculaires pour repérer leurs gènes marqueurs révélateurs. Beaucoup d’entre eux étaient des archées méthanogènes – des microbes simples et unicellulaires qui produisent du méthane après avoir consommé de l’hydrogène et du carbone suintant des roches ou de la matière organique en décomposition. De nombreuses bactéries se nourrissant du méthane ou des minéraux présents dans l’eau étaient également présentes.

Ce qui n'avait aucun sens, cependant, c'est que bon nombre de bactéries étaient des aérobies, des microbes qui ont besoin d'oxygène pour digérer le méthane et d'autres composés. Comment les aérobies pourraient-ils prospérer dans des eaux souterraines qui ne devraient pas contenir d’oxygène, puisque la photosynthèse est impossible ? Mais les analyses chimiques ont également révélé une grande quantité d’oxygène dissous dans les échantillons d’eau souterraine de 200 mètres de profondeur.

C'était du jamais vu. "On a sûrement foiré l'échantillon", fut la première réaction de Ruff.

Il a d’abord tenté de montrer que l’oxygène dissous dans les échantillons était le résultat d’une mauvaise manipulation. "C'est comme être Sherlock Holmes", a déclaré Ruff. " Vous essayez de trouver des preuves et des indications " pour réfuter vos hypothèses. Cependant, la teneur en oxygène dissous semblait constante sur des centaines d’échantillons. Une mauvaise manipulation ne pouvait pas l'expliquer.

Si l’oxygène dissous ne provenait pas d’une contamination, d’où venait-il ? Ruff s'est rendu compte qu'il près de quelque chose de grand, même si faire des affirmations controversées va à l'encontre de sa nature. Beaucoup de ses co-auteurs avaient également des doutes : cette découverte menaçait de briser les fondements de notre compréhension des écosystèmes souterrains.

Produire de l'oxygène pour tout le monde

En théorie, l’oxygène dissous dans les eaux souterraines pourrait provenir de plantes, de microbes ou de processus géologiques. Pour trouver la réponse, les chercheurs se sont tournés vers la spectrométrie de masse, une technique permettant de mesurer la masse des isotopes atomiques. En règle générale, les atomes d’oxygène provenant de sources géologiques sont plus lourds que l’oxygène provenant de sources biologiques. L’oxygène présent dans les eaux souterraines était léger, ce qui impliquait qu’il devait provenir d’une entité vivante. Les candidats les plus plausibles étaient les microbes.

Les chercheurs ont séquencé les génomes de l’ensemble de la communauté microbienne présente dans les eaux souterraines et ont repéré les voies et réactions biochimiques les plus susceptibles de produire de l’oxygène. Les réponses pointaient sans cesse vers une découverte faite il y a plus de dix ans par Marc Strous de l'Université de Calgary, auteur principal de la nouvelle étude et chef du laboratoire où travaillait Ruff.

Alors qu'il travaillait dans un laboratoire aux Pays-Bas à la fin des années 2000, Strous avait remarqué qu'un type de bactérie se nourrissant de méthane, souvent présente dans les sédiments des lacs et les boues d'épuration, avait un mode de vie étrange. Au lieu d'absorber l'oxygène de son environnement comme les autres aérobies, ces bactéries créent leur propre oxygène en utilisant des enzymes pour décomposer les composés solubles appelés nitrites (qui contiennent un groupe chimique composé d'azote et de deux atomes d'oxygène). Les bactéries utilisent l’oxygène auto-généré pour transformer le méthane en énergie.

Lorsque les microbes décomposent les composés de cette façon, on parle de dismutation. Jusqu’à présent, on pensait que cette méthode de production d’oxygène était rare dans la nature. Des expériences récentes en laboratoire impliquant des communautés microbiennes artificielles ont cependant révélé que l'oxygène produit par la dismutation peut s'échapper des cellules et se répandre dans le milieu environnant au profit d'autres organismes dépendants de l'oxygène, dans une sorte de processus symbiotique. Ruff pense que cela pourrait permettre à des communautés entières de microbes aérobies de prospérer dans les eaux souterraines, et potentiellement également dans les sols environnants.

Chimie pour la vie ailleurs

Cette découverte comble une lacune cruciale dans notre compréhension de l’évolution de l’immense biosphère souterraine et de la manière dont la dismutation contribue au cycle des composés se déplaçant dans l’environnement mondial. La simple possibilité que de l'oxygène soit présent dans les eaux souterraines " change notre compréhension du passé, du présent et de l'avenir du sous-sol ", a déclaré Ruff, qui est maintenant scientifique adjoint au Laboratoire de biologie marine de Woods Hole, Massachusetts.

Comprendre ce qui vit dans le sous-sol de notre planète est également " crucial pour transposer ces connaissances ailleurs ", a déclaré Sherwood Lollar. Le sol de Mars, par exemple, contient des composés perchlorates que certains microbes terrestres peuvent transformer en chlorure et en oxygène. Europe, la lune de Jupiter, possède un océan profond et gelé ; la lumière du soleil ne peut pas y pénétrer, mais l'oxygène pourrait potentiellement y être produit par dismutation microbienne au lieu de la photosynthèse. Les scientifiques ont observé des panaches de vapeur d’eau jaillissant de la surface d’Encelade, l’une des lunes de Saturne. Les panaches proviennent probablement d’un océan souterrain d’eau liquide. Si un jour nous trouvons de la vie sur d’autres mondes comme ceux-là, elle pourrait emprunter des voies de dismutation pour survivre.

Quelle que soit l'importance de la dismutation ailleurs dans l'univers, Lloyd est étonné de voir à quel point les nouvelles découvertes défient les idées préconçues sur les besoins de la vie et par l'ignorance scientifique qu'elles révèlent sur l'une des plus grandes biosphères de la planète. " C'est comme si nous avions toujours eu un œuf sur le visage ", a-t-elle déclaré.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/, Saugat Bolakhé, juillet 2023

[ perspectives extraterrestres ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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