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homme-animal

L'un des exemples les plus connus est l'évasion d'un chimpanzé délicieusement excentrique baptisé Cholmondeley. Chumley -c'était son surnom- avait vécu toute sa vie en animal domestique. Il partageait la table de son maître, fumait un paquet de cigarettes par jour, buvait de la bière et ne se promenait jamais sans vêtements. Quand il se retrouva brutalement dans la section des singes du zoo, nu et privé de tabac comme d'alcool, parce que son maître avait été contraint de se séparer de lui, il décida de passer à l'action. Il devait y avoir une erreur. Il n'allait quand même pas terminer ses jours dans cet asile pour singes dégénérés et pleins de tics. Il commença par faire la grève de la faim. "Pas de bière, pas d'aliments" devint sa devise. Les vétérinaires s'inquiétèrent et décidèrent de l'examiner. Les piqûres anesthésiantes n'existaient pas encore à cette époque, et il fallut attirer Chumley dans une grande caisse pour le chloroformer. Le chimpanzé sentit le gaz arriver, repéra l'ouverture pratiquée sur un côté de la caisse et la boucha discrètement d'un doigt prompt. Puis il s'assit et observa les visages, de plus en plus perplexes, des médecins de l'autre côté de la paroi. Ils avaient calculé qu'il lui faudrait cinq minutes pour perdre conscience, et il continuait à le dévisager. Au bout de dix minutes, il aurait dû être mort. Pourtant, il les fixait toujours de son regard impassible. Quand ils découvrirent le coup du doigt, ils comprirent qu'ils avaient affaire à un primate particulièrement ingénieux. Ils en eurent confirmation par la suite, quand Chumley réussit à pratiquer une ouverture dans le toit de sa cage d'infirmerie et fila vers Camden Town. N'ayant jamais beaucoup aimé marcher, il bondit dans un autobus. Là il constata avec étonnement que la vieille dame assise à son côté se mettait soudain à pousser des cris hystériques. La panique gagna alors tout l'autobus et Chumley, interloqué, se prit à douter de l'équilibre mental de l'espèce humaine.

Auteur: Morris Desmond

Info: La fête zoologique

[ inversion ] [ humour ]

 

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santé

Les verrues, ces tumeurs qui défient l'entendement Les verrues sont des tumeurs bénignes qui sont provoquées par un virus. Elles ont une évolution imprévisible, spectaculaire et incompréhensible dans l'état actuel de nos connaissances. Tout aussi mystérieuse est leur guérison. Intervention chimique, psychologique, religieuse, apposition des mains..., tous ces traitements sont efficaces ! Mécanisme qui nous échappe Ainsi, la fixation du regard sur la lésion tumorale. À l'hôpital Claude-Bernard, à Paris, le professeur Mollaret, le plus grand spécialiste dans les années 60 des maladies infectieuses, avait ouvert une consultation spécialisée dédiée à cette activité. Il fixait quelques secondes des yeux chaque verrue et cela marchait ! D'autres moyens aussi exotiques avaient la même efficacité : frottage de la verrue avec un demi-oignon, dont l'autre moitié était enterrée, imprécations religieuses, visites dans des lieux saints... En moins de 24 heures, la ou les lésions tumorales sont entièrement effacées, et la peau restaurée avec des tissus redevenus normaux, sans que l'on sache pourquoi. Quant aux traitements chimiques proposés et qui ne reposent sur aucun élément sérieux ou confirmé, le résultat est chaque fois imprévisible, et quand il est positif, toujours lié à l'effet placebo. Les verrues posent à la médecine moderne un défi de compréhension. Comment des tumeurs peuvent-elles disparaître en quelques heures grâce à un mécanisme qui nous échappe ? Comment peut-on détruire si rapidement autant de cellules et restaurer le tissu normal, sans arriver à comprendre la moindre étape de ce qui est en train de se passer ? Place aux approches non "scientifiques" D'autres tumeurs, qui ne sont pas liées à un virus, mais d'origine bactérienne cette fois, sont elles aussi réversibles d'une manière extraordinaire. Le traitement antibiotique de ces tumeurs bénignes les fait disparaître en quelques heures. Parfois, la simple prescription par téléphone du traitement antibiotique amène à une guérison ultra-rapide : 6 heures après, la lésion est effacée. Il est possible que cette lésion et sa disparition soient liées à la suppression des facteurs tumorigènes, mais une réparation si spectaculaire reste inexplicable. Le miracle des verrues nous rappelle que de multiples guérisons "miraculeuses" viennent encore défier la médecine officielle. Ce qui laisse la place aux approches non "scientifiques", qui continuent à se développer à côté de la médecine basée sur la compréhension héritée de Claude Bernard. Pour progresser dans notre connaissance, il nous faut d'abord admettre que ce n'est pas parce que l'on ne comprend pas les choses, qu'elles n'existent pas.

Auteur: Internet

Info: https://www.lepoint.fr, Les invités du Point, Didier Raoult Publié le 21/09/2013

[ énigme ] [ corps-esprit ] [ psychosomatique ]

 
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Ajouté à la BD par miguel

interaction

Le mystère de la vie affective des plantes
Les plantes sont-elles plus que des "légumes" ? Ont-elles des émotions ? Que ressentent-elles au contact humain ? Communiquent-elles ?
Aristote pensait que les plantes avaient une âme. Goethe qui était botaniste en plus de sa passion pour la poésie, avait fait des découvertes fondamentales sur la métamorphose des plantes et envisageait une certaine "essence spirituelle' derrière leur forme matérielle.
Bien des gens, moi le premier, trouvent ces affirmations chancelantes voire grotesques. Étant quelqu'un de très rationnel qui considère que seules les preuves scientifiques sont fiables, je me suis intéressé aux différentes expériences, peu connues du grand public, qui pourraient appuyer ces affirmations "philosophiques".
Certains tests cependant démontrent que les plantes peuvent éprouver des émotions, lire la pensée humaine et tentent même de communiquer avec nous ! Intrigués ? Ce n'est qu'un début...
New York. 1963. Cleve Backster, consultant auprès de la police, s'amuse avec un détecteur de mensonge et place les électrodes sur une feuille de dracaena. Il arrose la plante et s'attend à ce que l'aiguille du galvanomètre indique une résistance plus faible au courant électrique (à la suite d'une teneur en eau accrue) mais c'est précisément le contraire qui se produit. Perplexe, Backster teste ensuite la réaction de cette même feuille au contact du feu. A peine le briquet sorti de sa poche, l'aiguille enregistreuse bondit soudainement. Le tracé graphique lui rappelle curieusement celui d'un homme soumis à une question piège ou lorsqu'on le menace.
D'expériences en expériences, Backster devint convaincu que les plantes percevaient les sentiments humains. Une autre expérience fut entreprise à laquelle ont participé quelques agents de la police new-yorkaise, semblait démontrer que les plantes ont également une mémoire.
Six sujets, les yeux bandés, tiraient au hasard un papier plié. Sur l'un des papiers était rédigé l'ordre d'arracher et de détruire l'une des deux plantes se trouvant dans la pièce. Le crime était ensuite exécuté en secret, sans que ni les sujets, ni Backster lui-même, ne sachent qui était le coupable - le seul témoin était l'autre plante, celle qui n'était pas détruite. On fixait ensuite des électrodes sur la plante témoin et les suspects défilaient devant elle chacun leur tour. On observait alors que lorsque le coupable s'en approchait, l'aiguille du galvanomètre s'affolait. La plante "reconnaissait" celui qui avait tué l'un des siens. Backster émis l'idée qu'elle percevait la culpabilité que le criminel essayait de dissimuler.
La détection de mensonge
Lors d'une autre expérience, qui a été plusieurs fois répétée devant des jurys scientifiques, Backster réussit à transformer une plante en détecteur de mensonge. Des électrodes étaient placées sur une plante, et un homme - sans électrodes - s'asseyait devant elle. Backster disait à l'homme qu'il allait lui citer une série d'années en lui demandant si elles correspondaient à sa date de naissance, et qu'il fallait toujours répondre "non". Invariablement, Backster pouvait deviner l'année de naissance - qui correspondait sur le graphique à une courbe galvanique bien marquée.
Les émotions
Une autre expérience réalisée pour éliminer tout facteur humain et subjectif, consistait à placer dans une pièce close quelques crevettes vivantes sur un plateau. Lorsque le plateau basculait (en l'absence de toute intervention humaine) les crevettes tombaient dans une casserole d'eau bouillante. Dans une chambre voisine, close également, une plante branchée sur galvanomètre émettait au moment de la mort des crevettes un tracé soudainement turbulent.
Le tracé était différent de celui qui enregistrait une émotion, et Backster se demanda s'il ne correspondait pas à une sorte de perception par un groupe de cellules de la mort d'un autre groupe de cellules. De nouvelles expériences lui permirent d'établir que la même forme de réaction se retrouvait lors de la mort "perçue" par la plante, de bactéries, levures, cellules sanguines et spermatozoïdes.
Il semblerait même que lorsqu'une "empathie" (faculté intuitive de se mettre à la place d'autrui, de percevoir ce qu'il ressent) est établie entre une plante et son maître, ni la distance, ni les obstacles n'interrompent le "rapport". Des expériences lors desquelles le tracé de plantes était enregistré pendant que le "maître" voyageait, montraient des réactionss galvaniques correspondant aux moments mêmes des diverses péripéties du voyage. Pierre Paul Sauvin, un ingénieur électronicien américain, a constaté, en rentrant dans son laboratoire, après un week-end à la campagne, pendant lequel l'activité galvanique de ses plantes était automatiquement enregistrée, des paroxysmes correspondaient au moment même de ses ébats amoureux avec une amie.
Un psychologue moscovite V.N. Pouchkine a vérifié avec soin les expériences de Backster, et en arrivent à peu près aux mêmes conclusions. En tentant d'expliquer ce qui se passait, Pouchkine écrit :
Il se peut qu'entre deux systèmes d'information, les cellules de la plante et les cellules nerveuses, existe un lien. Le langage de la cellule de la plante peut être en rapport avec celui de la cellule nerveuse. Ainsi deux types de cellules totalement différentes les unes des autres peuvent "se comprendre".
La communication
Les plantes, aussi invraisemblable que cela puisse paraître, manifestent également un certain éclectisme musical. Plusieurs expériences dans ce domaine ont été réalisées avec une rigueur toute scientifique par une musicienne en collaboration avec un professeur de biologie, Francis F. Broman. Trois chambres ont été utilisées dans une expérience sur une multitude de plantes (philodendrons, radis, maïs, géranium, violettes africaines...). Toutes les plantes étaient placées dans des conditions identiques. La seule différence fut qu'une chambre expérimentale était totalement silencieuse, une autre contenait un haut-parleur émettant de la musique classique et une troisième, de la musique "rock".
On constatait - sans pouvoir expliquer le phénomène - que les plantes dans la seconde chambre se développaient en se penchant vers la source de musique classique, alors que celles dans la troisième se penchaient dans la direction opposée, comme si elles tentaient de fuir la musique moderne.
Selon le Dr Hashimoto, qui dirige un centre de recherches électroniques ainsi que les services de recherche de l'importante firme industrielle Fuji Electric Industries, il y aurait, au-delà du monde tridimensionnel que nous connaissons, un monde à quatre dimensions, non matériel et dominé par l'esprit. C'est dans ce monde-là que les plantes, et toutes les créatures vivantes, seraient en communication entre elles...
Li Hongzhi, fondateur du Falun Dafa (mouvement spirituel chinois) affirme : Nous vous disons que l'arbre est vivant lui aussi, non seulement il est doté de vie, mais aussi de l'activité d'une pensée supérieure (...) Les botanistes de tous les pays ont fait des recherches la dessus, y compris en Chine. Ce sujet n'est plus du domaine de la superstition. Dernièrement, j'ai dit que tout ce qui arrive maintenant à notre humanité, tout ce qui vient d'être inventé et découvert est déjà suffisant pour refondre les manuels d'enseignement actuels. Cependant, bornés par les conception traditionnelles, les gens refusent de le reconnaître, personne ne recueille et organise systématiquement ces informations.
Ces découvertes qui pendant longtemps n'étaient connues que de quelques initiés et spécialistes peuvent paraître déroutantes. Que croire ? A ce jour, personne ne connaît les vérités. Je me suis posé la problématique de la crédibilité des détecteurs de mensonge qui a vivement été critiqué. Des études récentes de fiabilité montrent un très grand taux d'erreurs si bien que les institutions scientifiques considèrent le détecteur de mensonge comme un outil non fiable...
Et vous, que pensez-vous de ces mystérieuses émotions végétales ? Sentez-vous coupable en offrant des fleurs ? Emettez-vous une certaine culpabilité quand vous pensez à leur possible "souffrance" ? Pensez-vous que parler à ses plantes influe sur leur développement ?
Des études montrent par exemple qu'employer une certaine douceur avec les carottes stimulerait leur croissance...

Auteur: Internet

Info: News Of Tomorrow, mercredi 21 juillet 2010

 

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dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]

 

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