justification

<Naskuji> Ca y'est j'ai succombé a la fièvre acheteuse
<Naskuji> et merde :/
<Naskuji> je devais garder des sous !!! raaah xD
<Naskuji> ( J'ai acheté Tales of Eternia, Dragon Quest, un refroidisseur pour ordi portable et un memory stick psp 2Go. )
<Naskuji> de première nécessité n'est ce pas -___- ?
<Naskuji> mais bon, je soulage ma conscience en me disant que Tales of Eternia et le stick psp 2Go c'est pour pas craquer au boulot et continuer à gagner de l'argent...
<Naskuji> bien que... le refroidisseur empêchera mon ordinateur de sauter, et donc m'évitera une grosse dépression. Et si ça devait arriver, je pourrai me changer les idées grace a dragon quest
<Naskuji> finalement, ces achats étaient indispensables a ma survie :)
<Naskuji> ah ce que c'est bon de soulager sa conscience, l'esprit humain est fabuleux ^^
* NoxWork admire le raisonnement.

Auteur: Internet

Info:

[ dialogue-web ] [ ego ]

indicible

Mais j'écartai simplement d'une caresse les mèches de son visage pour la regarder. Elle me rappelait ces anges qu'on voit sur les tombes, paupières closes, visage levé et mains jointes.
- Tu as chaud à nouveau, lui dis-je. Tu es sûre que tu te sens bien?
Grace n'ouvrit pas les yeux. Je fis courir un doigt autour de son visage comme pour en écarter encore quelques cheveux. Ma peau me paraissait froide contre la sienne, brûlante.
- Mmm hmm, murmura-t-elle.
Je poursuivis mon geste tout en songeant à lui dire qu'elle était belle, et qu'elle était mon ange, mais je savais ces mots plus lourds de sens pour moi que pour elle: elle y verrait de simples formules, des lieux communs qui la feraient sourire une seconde, avant de... disparaître, trop galvaudés pour être vrais. Pour elle, c'étaient ma main sur sa joue, mes lèvres sur sa bouche, tous ces contacts éphémères qui comptaient et lui prouvaient mon amour.

Auteur: Stiefvater Maggie

Info: Fièvre

[ homme-femmes ]

rapports humains

La famille interdit à ses membres de se toucher, de se sentir, de se goûter. Les enfants peuvent s’ébattre avec leurs parents, mais une stricte ligne de démarcation est dessinée autour de leurs zones érogènes. Ainsi, les garçons âgés ne peuvent embrasser leur mère que d’une façon très mesurée, oblique et guindée. Les étreintes et les attouchements entre sexes opposés deviennent vite, dans l’esprit de la famille, une dangereuse sexualité. […] En famille, la tendresse peut être ressentie –certes- mais en aucun cas exprimée, à moins d’être formalisée jusqu’à perdre pratiquement toute réalité. On peut se souvenir du jeune homme dont parle Grace Stuart et qui, voyant son père dans son cercueil, se pencha sur lui, l’embrassa sur le front et lui dit : "Père, je n’ai jamais osé faire cela de ton vivant." Peut-être que si nous sentions à quel point sont morts les hommes vivants, le désespoir que nous en ressentirions nous inciterait à prendre plus de risques.

Auteur: Cooper David

Info: Mort de la famille

[ tactiles ] [ famille ] [ haptiques ] [ pudeur ]

beaux-arts

Grace à l'art, au lieu de voir un seul monde, le nôtre, nous le voyons se multiplier, et autant qu'il y a d'artistes originaux, autant nous avons de monde à notre disposition plus différents les uns des autres que ceux qui roulent dans l'infini, et qui bien des siècles après qu'est éteint le foyer dont ils émanaient qu'il s'appelât Rembrant ou Veer Meer, nous envoient leur rayon spécial.

Ce travail de l’artiste, de chercher à apercevoir sous de la matière, sous de l’expérience, sous des mots quelque chose de différent, c’est exactement le travail inverse de celui que, à chaque minute, quand nous vivons détourné de nous-même, l’amour-propre, la passion, l’intelligence et l’habitude aussi accomplissent en nous, quand elles amassent au-dessus de nos impressions vraies, pour nous les cacher maintenant, les nomenclatures, les buts pratiques que nous appelons faussement la vie. En somme, cet art si compliqué est justement le seul art vivant. Seul il exprime pour les autres et nous fait voir à nous-même notre propre vie, cette vie qui ne peut pas s’"observer", dont les apparences qu’on observe ont besoin d’être traduites, et souvent lues à rebours, et péniblement déchiffrées. Ce travail qu’avaient fait notre amour-propre, notre passion, notre esprit d’imitation, notre intelligence abstraite, nos habitudes, c’est ce travail que l’art défera, c’est la marche en sens contraire, le retour aux profondeurs, où ce qui a existé réellement gît inconnu.

Auteur: Proust Marcel

Info: A la recherche du temps perdu, t. 8 : Le Temps retrouvé

[ ouverture ] [ quête ] [ création ] [ individuation ] [ singularité solipsiste ]

terme univers

20 définitions pour bytie - бытие 

1. Bien que le mot provienne du verbe russe signifiant " être ", sa signification exacte contient une propriété métaphysique que l'anglais ne peut pas transmettre. " Bytie " (бытие) fait allusion à une hyper-conscience ou à un état d'esprit objectif et analytique. Les dictionnaires russe-anglais pourraient le traduire par " être ".

2. Je suis assis en classe alors qu'il est question du pouvoir de l'océan, de donner la vie et de la reprendre. Ce n’est qu’à l’âge de 18 ans que j’ai entendu parler de nombreux membres de ma famille disparus en mer. Je ne sais pas pourquoi ma famille ne m'a jamais parlé de ces gens que je n'ai jamais rencontrés. C'était normal, je suppose, d'appartenir à l'océan. Je suppose que je n'ai pas demandé.

3. Le premier moment où j'entends parler de l'utilisation russe du bytie est lors d'un examen des " Problèmes de l'organisation scientifique de la vie quotidienne " de V. Kuzmin. Kuzmin prône une planification rigide de chaque moment de la journée. Il soutient que la vie la plus heureuse est celle " où les hommes et les femmes vivent selon l’organisation scientifique de la vie matérielle : espace de vie, lumière, couleur, ventilation et environnement total dans l’espace intérieur ". La meilleure utilisation de la vie quotidienne pour Kuzmin était vue comme outil de contrôle.

4. A 21h50, je reçois un message qui se lit comme suit : " Quelle est votre définition du bonheur ? Ou les choses qui, si elles se produisaient, vous mettraient dans un état de bonheur au moins à moyen terme ? C'est intéressant de voir comment chaque personne définit le bonheur à sa manière. "

5. Je porte l'alliance de mon arrière-grand-mère autour du cou. Elle a 101 ans. J'ai son nom. Elle est morte bien avant ma naissance. Même si nous parlions la même langue, je ne sais pas ce que nous aurions eu à nous dire. Sa vie semblait tellement différente de la mienne.

6. Nom : Être, Entité, quelque chose qui va au-delà de ce que nous connaissons dans notre existence liée à l'ego.

7. Se souvenir de choses qui vous font complètement sortir de votre corps, sourire, respirer et vous amuser pour le plaisir, pour que tous les problèmes disparaissent pendant qu'on danse, sachant qu'en cet instant on se sent reconnaissant d’être exactement là où on est.

8. Je trouve plus facile d’écrire sur le passé que sur le présent. Le passé est explicable, passionnant, quelque chose qui peut être réécrit. Il y a quelque chose là-dedans qui semble si simple, même si je suis sûr que ce n'est pas le cas. J'imagine mon arrière-grand-mère élever ses enfants dans la petite cabane dans laquelle je passais mes étés, à faire du pain et à me baigner dans les cascades. Je pense à ce que ce serait de vivre là-bas en hiver, avec le poêle à bois et les repas composés de conserves, de poisson salé et de pain séché – lorsque la rivière gelait et leurs pieds aussi. Je pense aux bouillottes dont mon grand-père a toujours dépendu, même lorsqu'il vivait dans une maison avec chauffage et électricité. Parfois, le froid peut vous accompagner pour toujours.

9. 9h55, le message continue.  Je me demande si la personne moyenne est plus heureuse qu’elle n’aurait pu l’être il y a cent ans, ou deux cents ans, et si oui, le but ultime de l’évolution de la société est-il d’être heureux ? Je ne sais plus. J'y ai beaucoup réfléchi ces derniers temps. J'essaie de croire que le bonheur à court terme est possible. Si oui, que devrions-nous faire pour y parvenir ?

10. " bytie n'est pas seulement la vie ou l'existence, c'est l'existence d'une réalité objective indépendante de la conscience humaine (cosmos, nature, matière). "

11. Je ne peux rien concevoir en dehors de l'humeur dans laquelle je me trouve actuellement. Pour lutter contre cela, je m'écrirai des notes sur chaque état d'esprit, sachant que plus tard je ne croirai jamais avoir été aussi heureux ou aussi triste.

12. Comment l’amour se manifeste-t-il dans notre corps ? On me dit de remarquer ce qui se passe sur mon visage, si mes sourcils sont haussés, si je respire par les épaules. Chaque fois que je dis que je ferai attention et que je me souviendrai, je serai présente, je laisserai les sentiments sortir de mon ventre et entrer dans mes doigts. A chaque fois j'oublie.

13. 9:57, je réponds : "La passion. Passion = être tellement immergé dans quelque chose qui me tient à cœur qu'il m'est impossible de penser à autre chose. Créer autant que je peux sans les contraintes de l'argent et créer avec des gens que j'aime et qui partagent mes passions. Être capable d'inculquer aux autres la valeur de la passion et de l'expression créative".

14. Mots associés : personnage, personne, âme, esprit, fantôme, création, essence, vent.

15. Je veux pouvoir revenir sur chaque époque de ma vie et être heureuse d'y avoir vécu. Même si je ressens de la peur en me regardant dans le miroir et en me demandant si je pourrai un jour me tenir droite, je sais que je ne serai pas là pour toujours.

16. J'entends une femme dans la salle de bains qui parle au téléphone avec l'accent de Terre-Neuve, l'accent dont je n'ai pas hérité. Je me demande pourquoi je l'ai perdu. Le plus souvent, on me demande pourquoi je ne parle pas comme le reste de ma famille. Est-ce que j'efface mon histoire parce que je n'aime pas mes origines ? Je l'ai appris à l'extérieur de moi. Parfois, j'aimerais que ce ne soit pas le cas. Qu'est-ce que signifie le dressage dans ce sens, en quoi est-il récompensé ? Renforcement positif si tu ne ressembles pas au passé.

17. J'aime la créativité et j'aime ceux qui sont passionnés par la créativité. Est-ce que cela dicte qui je me permets d'aimer ?

18. 10h01, mon ami répond. " C'est bien que tu saches quel est ton bonheur. C'est bien que quelqu'un puisse le mettre en mots. "

19. Bytie : la vie quotidienne, comment vivent les gens.

20. Je ne comprends pas comment exister dans le quotidien. Parfois, ça fait mal. Parfois, cela fait plus mal que vous ne pourriez jamais l'imaginer. Mais parfois, je me retrouve dans des endroits inattendus, dans des coins du monde dont je pensais qu'ils ne signifiaient rien jusqu'à en aimer la poussière. Je dois m'en souvenir. C'est la leçon. Je peux écrire ce qui se trouve au bout de mes orteils lorsque je m'étire, je peux écrire pour des mains qui apprécient ma douceur. Pour les mains qui ont perdu les mêmes choses que moi, pour une étincelle et un baiser dans la bonne direction. Écrire pour eux, pour ce à quoi le plafond ressemblerait si l'on prenait une respiration et si l'on prêtait attention. Il faut que je commence à faire attention.

Auteur: Internet

Info: https://thestrand.ca/ Ellen Grace -  29 avril 2019

[ intraduisible ]

laxisme

Les conservateurs ne veulent pas abandonner la guerre contre la drogue. Ils sont convaincus que des seigneurs de la drogue mènent une guerre contre d'innocentes victimes, qui commence avec les adolescents, et ils ne s'intéressent pas aux arguments pour la dépénalisation.

Les conservateurs veulent que l'État dépense des centaines de millions de dollars pour créer des prisons afin d'y mettre les revendeurs de drogue reconnus coupables - après les faits. À gauche, on veut que l'État dépense un montant au moins égal pour traiter et réhabiliter - après les faits.

Moi, je cherche à fermer le marché des drogues illégales. Je dis qu'il faut être deux pour danser le tango - vendeurs et acheteurs - et je veux fermer la piste de danse.

Nous savons où elle se trouve. Il y en a une dans votre ville. Il y en a probablement plus d'une. Ells sont les sombres lieux de l'âme. Les usagers viennent, cherchant désespérément un nouveau trip ou peut-être uniquement un moyen pour arrêter de trembler. Les vendeurs viennent, avides d'un revenu issu de la vente de leurs articles destructeurs, malgré la misère qu'ils sèment.

Et puis il y a les innocents - des enfants qui ont de l'argent dans leurs poches et du temps à perdre. Ils viennent en bande, cherchant de nouvelles sensations dans un milieu ennuyeux, dénué de sens.

Ce dont nous avons besoin, c'est d'un grand coup de balai. Nous devons envoyer la police locale, les agents de la DEA [Agence de lutte contre la drogue] et les medias dans ces bouges et les fermer une fois pour toute.

Je veux parler des écoles publiques.

Chaque jour, votre gouvernement local envoie des douzaines ou des centaines de bus jaunes pour recruter la nouvelle génération de drogués. Ces individus psychologiquement faibles, soigneusement choisis comme victimes, sont amenés au grand magasin central du cartel de la drogue, où les vendeurs peuvent faire leur offre initiale et compétitive - "Le premier est gratuit !" - et leur incantation subversive, "Essayer : vous aimerez !". Seul le directeur adjoint se trouve entre les usagers et la source de leur dépendance.

Les vendeurs vont où se trouve l'argent, et où les gens qui en ont sont rassemblés pendant sept heures par jour en un lieu pratique et sans loyer.

Les usagers et les usagers potentiels sont conduits vers des pièces où ils doivent rester assis des heures sur des sièges durs, en bois, et sont obligés d'écouter le cours d'un endoctrinateur dont le travail, pour respecter la loi fédérale, est de persuader les enfants que la vie peut avoir un sens et être pleine d'espoir sans : (1) l'idée que Dieu ait une place dans la classe, dans l'isoloir ou dans le jardin public ; (2) l'idée qu'il y aura un jugement final (sauf pour Adolf Hitler) qui ait des conséquences éternelles ; (3) l'idée que l'Humanité est le fruit de Dieu plutôt que celui des forces sans but, aléatoires de la nature impersonnelle ; (4) l'idée que l'Homme a été mis sur Terre par Dieu pour y exercer sa domination sur la création, plutôt que pour être une simple espèce de primate avec l'avantage compétitif unique d'avoir des pouces en opposition ; (5) l'idée que les individus soient responsables légalement et moralement de leurs actes, y compris de l'obligation d'épargner pour leurs années de retraite et de payer pour leurs soins médicaux ; (6) l'idée qu'il y a des réponses finales aux questions morales décisives (sauf en ce qui concerne Hitler) ; (7) l'idée qu'une éducation pertinente et créatrice de toute la vie peut être donnée dans une institution qui n'emploie pas de professeurs à plein temps. (Techniquement, le point 7 n'est pas rendu obligatoire par la loi fédérale ; il y a plutôt une obligation due au aux électeurs locaux, qui feront pression sur le conseil de direction de l'école, pour virer le directeur si l'équipe de football a de nouveau un résultat de 2 victoires et 9 défaites cette saison).

Les éducateurs savent que la vie ne peut pas être vécue uniquement en termes négatifs. Il y a aussi des questions positives qui sont traitées dans les classes des écoles publiques, parmi elles : (1) le droit à un avortement gratuit, avec le conseil de professionnels agréés par l'école et sans consultation des parents ; (2) le droit pour tout mode de vie sexuelle de voir sa position - intellectuelle, bien sûr - présentée en classe comme un choix légitime parmi beaucoup d'autres ; (3) le droit pour tout groupe minoritaire (sauf les Nazis) à avoir au moins un paragraphe positif dans le manuel d'études sociales ; (4) le droit pour chaque élève à avoir un certain sens d'estime de soi, sauf dans les équipes sportives ; et (5) le droit pour les étudiants d'informer tout professeur des idées de leurs parents sur les sujets ayant une importance sociale ou psychologique pour le quartier de l'école.

Là, entre les cours, les élèves se rencontrent pour discuter des implications sur leurs vies de tout cela. "Le premier est gratuit. Essayez : vous aimerez."

Quelle est la dernière fois que vous avez vu, sur la chaîne de télévision locale, un reportage sur une prise de drogue dans une école privée ?

Quelle est la dernière fois où vous avez lu dans les journaux un article sur un élève victime d'une overdose d'héroïne dans une école privée ?

En allant un peu plus loin, quelle est la dernière fois que la police a été envoyée pour arrêter une bagarre dans une école privée ? (J'imagine le reportage. "La bataille a commencé quand un groupe de Catholiques ont apparamment commencé à chanter, 'infused grace, infused grace' durant la période obligatoire des prières matinales [je renonce à traduire ou à trouver des équivalents français en raison de mes faibles connaissances des subtilités religieuses associées au texte anglais. Si quelqu'un peut m'aider. NdT]. On dit que les Baptistes se sont vengés au cri de 'imputed grace, imputed grace'. "Je parlais de plus en plus fort," raconte Mr. Brubaker, qui enseigne le calcul et est également le directeur de l'école. "Nous avons finalement dû appeler la police quand les Méthodistes ont commencé à crier 'prevenient grace'. C'était tout simplement terrible. Mais je peux rassurer le public : nous allons prendre des mesures pour régler ces problèmes.")

Conclusion

Ce dont nous avons besoin, c'est d'une guerre totale contre la drogue qui prenne pour cible le principal centre de recrutement des revendeurs de drogue, les points de vente de choix du cartel de la drogue colombien : les écoles publiques américaines subventionnées par les impôts.

Si j'entendais un jour des membres du Congrès réclamer ce type de guerre bipartisane contre la drogue, je les prendrais bien plus au sérieux. J'aurais une bonne impression si j'en entendais un se dresser devant la chambre du Congrès et dire la chose suivante. "Comme mesure de lutte contre la drogue, je propose aujourd'hui une loi pour arrêter tout financement fédéral de l'éducation." Alors, son collègue de l'autre bord se lèverais et dirais : "je suis prêt à soutenir cette proposition si le gentleman distingué du Texas se déclare prêt à soutenir ma proposition de supprimer toutes les institutions d'éducation de la juridiction du National Labor Relations Board."

Quand la demande de drogues illégales est en fin de compte analysée en termes de catégories qui demandent un traitement - et cherchent des calmants qui sont un soulagement chimique de la douleur - alors nous commencerons à venir à bout du problème continuel américain de la drogue. La guerre contre les drogues devrait commencer par un programme systématique d'élimination des sources initiales de la souffrance des usagers, ces institutions subventionnées qui sont également les principaux supermarchés de la vente des drogues. Jusqu'à ce qu'il en soit ainsi, je ne pense pas que la guerre contre la drogue ait une grande chance de réduire le niveau de stupéfiants.

Jusque là, à chaque fois que vous verrez un bus jaune de l'école publique sur l'autoroute, dites-vous "Transport gratuit vers le centre de cocaïne". À l'arrière de chaque bus scolaire de l'Amérique, on devrait voir clairement ces mots : "recommandé par Medellin".

Auteur: North Gary

Info: Comment gagner la guerre contre la drogue. 15 janvier 2001, traduit par Hervé de Quengo.

[ sécularisation ] [ banalisation ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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