personnalité

Ce qui fait d'une bibliothèque un reflet de son propriétaire, c'est non seulement le choix des titres, mais aussi le réseau d'associations qu'implique ce choix. Notre expérience se construit sur l'expérience, nos souvenirs sur d'autres souvenirs. Nos livres se construisent sur d'autres livres qui les modifient ou les enrichissent, qui leur confèrent une chronologie différente de celle des dictionnaires de littérature. Je suis aujourd'hui, après tout ce temps, incapable de trouver seul la trace de ces connexions. J'oublie, ou je ne sais même pas, quelles sont les relations entre beaucoup de ces livres. Si je pars dans une direction - les récits africains de Margaret Laurence me remettent en mémoire La Ferme Africaine d'Isaac Dinesen, qui me fait à son tour penser à ses Sept contes gothiques, lesquels me ramènent à Edgardo Cozarinsky (qui m'a fait découvrir l'oeuvre de Dinesen) et à son livre et son film sur Borges et, plus loin encore, aux romans de Rose Macaulay, dont nous avons discuté un après-midi déjà lointain à Buenos Aires, surpris l'un et l'autre que quelqu'un d'autre les connût -, je perds alors les autres fils de cette toile complexe et je me demande comment, à la façon d'une araignée, j'ai réussi à en lancer un à travers la distance apparemment incommensurable qui sépare, par exemple, les Tristes d'Ovide des poèmes d'Abd Al-Rahman, exilé de son Espagne natale en Afrique du nord.

Auteur: Manguel Alberto

Info: La Bibliothèque, la nuit

[ littérature ] [ classification ] [ citation s'appliquant à ce logiciel ]

question

Jeune adulte une interrogation revenait souvent : Nous vivons dans un monde dual, femmes-hommes, blanc-noir, haut-bas, etc. Existe-t'il dès lors un monde, une planète, un univers... où ça marche sur une base différente, genre : il faut être trois pour se reproduire ?
Truisme : "deux" représentant la manière la plus simple d'être plusieurs, moins mauvaise façon d'être seul sans l'être.
Séparation duale opérée bien avant que ne se pointe le singe dépoilé et ses petites papattes à cinq doigts qui nous ont amené jusqu'ici. (Grâce aussi aux champignons hallucinogènes selon certains comme Mckenna.)
Sans oublier que nous sommes tous interconnectés avec tout, si on pense évolution : chacun constitués des mêmes particules, frères des mammifères, cousins des insectes, petits cousins des végétaux, arrière arrières petits-fils du soleil, etc.
On croit donc savoir que le la reproduction sexuée fut l'astuce que la nature développa pour améliorer le mélange des gènes, permettant ainsi une meilleure souplesse adaptative aux espèces. Ensuite la vie exploratoire améliora son tâtonnement pour porter un peu plus loin sa quête du réel via nous les hommes. La preuve nous sommes en posture de nous s'installer sur mars. Mais c'est peut être aller trop loin déjà.

Donc, lors du développement et des innombrables émergences aléatoires de son incommensurable potentiel de complexité, la vie semble faire des pauses, retournant vers le simple. Ici "à plusieurs". DEUX.
Pourquoi pas TROIS ? Ou CINQ ? Il existe certainement des écrivains de science-fiction qui on théorisé de telles espèces.

Auteur: Mg

Info: sept 2018

[ évolution ]

quête

Le but de l'existence humaine
Question : Quelle est la raison, quel est la finalité ultime de l'existence humaine ?
Krishnamurti : Connaissez-vous une quelconque finalité ? La façon dont nous vivons n'a ni sens ni finalité. On peut lui inventer un but, celui de la perfection, de l'illumination, de la quête de la plus haute forme de sensibilité : nous pouvons inventer sans fin des théories, nous prendre les pieds dedans, et en fabriquer nos problèmes. Notre vie quotidienne n'a aucun sens, aucune finalité à part celle de faire un peu d'argent et de mener une vie idiote. On peut voir tout cela, pas en théorie, en nous-mêmes : cette éternelle bataille intérieure pour trouver un objectif, chercher l'illumination, courir le monde (particulièrement l'Inde et le Japon) pour apprendre une technique de méditation. Vous pouvez inventer des objectifs par milliers mais vous n'avez pas besoin d'aller où que ce soit, dans les Himalayas, dans un monastère, ou dans ce nouveau genre de camp de concentration qu'est un ashram : tout est en vous. Le Très-Haut, l'Incommensurable, est en vous - si vous savez comment regarder. N'en faites pas une conviction : c'est encore un des tours idiots que nous nous jouons, que nous sommes Dieu, que nous sommes le 'Parfait', toute cette farce infantile. Et pourtant, c'est bien à travers l'illusion, à travers 'ce qui est', à travers le mesurable que l'on découvre ce qui est sans mesure - mais vous devez commencer par vous-même, c'est le lieu où découvrir soi-même comment regarder.

Auteur: Krishnamurti Jiddu

Info: Beyond Violence, pp 106-107

[ introspection ] [ sens-de-la-vie ]

mythification

D'autres disaient qu'elle avait réussi a obtenir une audience de Staline en personne, et que c’était lui qui avait donne l'ordre de lui rendre son mari. Mais pas pour rien - pour une nuit d'amour. Ida n'avait pas eu le choix, elle avait accepté. On l'avait amenée au Kremlin, on l'avait lavée des pieds à la tête avec une eau spéciale du Kremlin, on l'avait décorée avec des fleurs du Kremlin, et elle avait été servie à Staline sur un énorme plat en or porté par douze gardes du Kremlin de deux mètres de haut. On l'avait transportée dans une chambre a coucher incommensurable du Kremlin, et là, au son des fanfares, tous les courtisans s’étaient prosternés et le Guide était entré dans la pièce. On avait d'abord apporté sur un chariot en or le membre de Staline, couronné de roses et de sarments de vigne. De ravissantes infirmières marchaient de part et d'autre du chariot en portant avec précaution les testicules de Staline. Puis Staline lui-même était apparu, la tête dans les nuages, le ventre rond comme un samovar, chaussé de bottes fabriquées avec la peau d'Hitler. Et la, de nouveau, les fanfares avaient retenti, des coups de canon avaient été tirés, des feux d'artifice avaient explosé, des orchestres s’étaient mis a jouer, et les robustes gardes, tenant en équilibre le membre de Staline, étaient montés à l'assaut, les belles infirmières qui portaient les testicules de Staline avaient du mal à les suivre, quant à Staline lui-même, il fumait sa fameuse pipe d'un air songeur...

Auteur: Bujda Ûrij Bouïda

Info: La mouette au sang bleu

[ légende ] [ petit père des peuples ] [ URSS ] [ humour ]

philosophe

Dans tous ses textes se perçoit une note de base : la pitié de soi-même. C’est lui-même qu’il aime, et personne d’autre. Dans ce monde autistique, il rencontre sa propre fragilité, ses faiblesses, ses inclinations maladives, ses tourments et ses peines. Il n’existe pour lui aucune possibilité de se voir objectivement en tant qu’être créé dépendant d’un Père miséricordieux. Car pour ce déiste, le Créateur s’est retiré et retranché derrière le rideau céleste. Rousseau est livré à lui-même et à ses souffrances. Alors il se construit un pseudo-monde religieux dont le centre est le temple de la sentimentalité qui s’appelle le cœur humain. C’est là qu’il se barricade dans son autisme, s’enfermant dans son incommensurable pitié de soi-même. Et c’est dans ce temple sentimental, le cœur humain, que s’élabore le nouvel "ésotérisme".

Rousseau, avec une sûreté infaillible, saisit l’essentiel. Le centre de l’homme est le cœur – c’est là que réside le conflit insoluble qui oppose Rousseau aux encyclopédistes bien plus cérébraux. Lui-même situe la base dans le cœur. C’est celui-ci qu’il "conquiert" et qu’il transforme en un temple de la sentimentalité. Le cœur n’est plus le royaume de Dieu qui est "au-dedans de vous". Il est le quartier général autistique du Royaume de l’homme. [...]

L’image que Rousseau se fait de l’homme apparaît dès lors dans ses traits principaux. Dans le cœur réside la pitié sentimentale de soi-même, mais aussi la Nature pure et innocente, et avec elle l’amour et la justice. Cependant, pour parvenir à cette bonté, à cette pureté, à cette justice et à cet amour, l’homme doit également être libre, fort, sans liens, "le seigneur ni l’esclave de personne". Il doit donc avoir en même temps la puissance. Comment résoudre le problème ? D’une seule manière : par l’égalité. [...] Il ne faut pas chercher la justice "en haut" mais la réaliser ici-bas, dans l’égalité terrestre.

Auteur: Lindbom Tage

Info: A propos de Jean-Jacques Rousseau dans "L'ivraie et le bon grain", trad. du suédois par Roger Du Pasquier, éditions Archè, Milan, 1976, pages 163 à 165

[ critique ] [ sécularisation ] [ individualisme ] [ culture de l'émotion ]

discrimination

Rien, vraiment rien dans ce pays n'évoquait tant la tragédie que de naître atteint d'albinisme. Des albinos, on rapportait qu'il ne leur manquait pas un don d'ubiquité et qu'ils répandaient la mort dans leur sillage. On prétendait que leur sécrétion érotique allongeait la vie de la femme qui se prévalait de la recueillir dans son ventre, mais qu'à travers leurs yeux se profilaient les chemins de l'enfer. On soutenait que leur coeur continuait à battre dans la tombe, augmentait d'intensité, créait des secousses telluriques, faisait osciller la plaque terrestre, entraînait le dérapage des pieds. On prétendait que la main d'un albinos, fermée sur une pièce de monnaie, de plus petite valeur qui fût, apportait la fortune. On disait que la cendre de sa mèche, mélangée à quelque onguent dans lequel on avait pris soin de rajouter une goutte d'urine canine, procurait à celui qui s'en enduisait un attrait incommensurable. On affirmait que le bout de son prépuce, gardé sur soi en permanence, décuplait la virilité. Aussi se méfiait-on des albinos. Aussi évitait-on de leur emboîter le pas, de croiser leur regard. On brisait les règles de bienséance pour accéder à l'intimité de leur corps. On les violait, les yeux fermés. On les violentait, le regard détourné. On les tondait comme des moutons noirs. On les amputait des mains à la hampe. On leur sectionnait la verge pour s 'emparer du gland. Morts, on livrait leurs cadavres aux charognards de peur de les enterrer auprès des siens, sur sa terre, dans les limites de sa contrée. Ils vivaient terrés, dans la terreur, comme des varans. Lorsqu'ils apparaissaient au grand jour, ils semblaient surgir des catacombes. Certains parents préféraient les occire à la naissance, avant qu'ils ne fussent conscients du sort qui leur serait réservé, avant que l'oeil de la société ne s'ouvrit sur ces familles, que sa langue ne crachât le pire du venin. Car une famille qui en comptait parmi ses membres était abhorrée à l'échelle du pays.

Auteur: Kathémo Victor

Info: Le Lit des Ombres

[ sorcellerie ] [ racisme ] [ achromique ]

philosophie fractale

La barbe ne fait pas le philosophe... le pli du vêtement, si ! Pour Gilles Deleuze la monade de Leibniz serait un habit aux courbes et arabesques innombrables, une pièce textile à même de "[libèrer] ses propres plis de leur habituelle subordination au corps fini".

Dans Le Pli (1988), Gilles Deleuze analyse le système métaphysique de Leibniz comme une philosophie baroque, "le trait du baroque étant le pli qui va à l'infini." Pour illustrer, et même incarner son idée, Deleuze recourt à la métaphore vestimentaire.

Le philosophe Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716) nomme "monades" les esprits et explique qu'ils sont tous des "miroirs de l'univers", mais chacun depuis la perspective singulière et unique qui est la sienne. Depuis cet angle particulier et exclusif, chaque "monade" perçoit donc l'univers dans son ensemble, mais toutes ses perceptions ne sont pas claires : son point de vue sur le monde ne lui permet d'en saisir distinctement qu'une partie, pour le reste tout est de l'ordre de la perception confuse et obscure, c'est-à-dire peu ou non consciente. Comme le commente Deleuze : "Le clair-obscur remplit la monade suivant une série qu'on peut parcourir dans les deux sens : à une extrémité le sombre fond, à l'autre la lumière scellée."

Par-delà ces différents degrés de clarté, reste que chaque âme est grosse de tout l'univers et peut être figurée comme un immense réseau de plis incommensurables qui, s'ils étaient dépliés, le représenteraient tout entier. De là l'emploi par Deleuze de l'adjectif "baroque" pour désigner la philosophie de Leibniz, une des caractéristiques du mouvement baroque étant, essentiellement dans les arts figuratifs, la surabondance et la mise en abyme de plis – exemples par excellence : les œuvres du Bernin, L'Extase de Sainte Thérèse ou La Bienheureuse Louise Albertoni, "lorsque le marbre porte et saisit à l'infini des plis qui ne s'expliquent plus par le corps, mais par une aventure spirituelle capable de l'embraser".

Dès lors, une excellente image pour illustrer ce qu'est une monade serait un habit aux courbes et arabesques innombrables, une pièce textile à même de "libèrer ses propres plis de leur habituelle subordination au corps fini", un "vêtement baroque" en somme. Deleuze cite la rhingrave, sorte de jupe-culotte bouffante du XVIIe siècle ; il aurait sûrement évoqué Issey Miyake s'il avait eu connaissance des créations du styliste japonais. "S'il y a un costume proprement baroque, il sera large, vague gonflant, bouillonnant, juponnant, et entourera le corps de ses plis autonomes, toujours multipliables, plus qu'il ne traduira ceux du corps." En revanche, ce qu'un tel vêtement viendrait traduire, conclut Deleuze, c'est une "force spirituelle infinie", "les plis du vêtement prenant autonomie, ampleur, non pas par simple souci de décoration, mais pour exprimer l'intensité d'une force spirituelle qui s'exerce sur le corps, soit pour le renverser, soit pour le redresser ou l'élever, mais toujours le retourner et en mouler l'intérieur". Un vêtement tout à la fois éthéré et transcendant.

Auteur: Internet

Info: https://www.lemonde.fr. Par Sophie Chassat, 10 décembre 2013 - 19 mai 2014

[ singularités miroirs ] [ repliements ] [ cybernétique ] [ solipsismes inversés ]

femmes-hommes

Une femme de trente ans a d'irrésistibles attraits pour un jeune homme; et rien de plus naturel, de plus fortement tissu, de mieux préétabli que les attachements profonds dont tant d'exemples nous sont offerts dans le monde entre une femme comme la marquise et un jeune homme tel que Vandenesse. En effet, une jeune fille a trop d'illusions, trop d'inexpérience, et le sexe est trop complice de son amour, pour qu'un jeune homme puisse en être flatté; tandis qu'une femme connaît toute l'étendue des sacrifices à faire. Là, où l'une est entraînée par la curiosité, par des séductions étrangères à celles de l'amour, l'autre obéit à un sentiment consciencieux. L'une cède, l'autre choisit. Ce choix n'est-il pas déjà une immense flatterie? Armée d'un savoir presque toujours chèrement payé par des malheurs, en se donnant, la femme expérimentée semble donner plus qu'elle-même; tandis que la jeune fille, ignorante et crédule, ne sachant rien, ne peut rien comparer rien apprécier; elle accepte l'amour et l'étudie. L'une nous instruit, nous conseille à un âge où l'on aime à se laisser guider, où l'obéissance est un plaisir; l'autre veut tout apprendre et se montre naïve là où l'autre est tendre. Celle-là ne vous présente qu'un seul triomphe, celle-ci vous oblige à des combats perpétuels. La première n'a que des larmes et des plaisirs, la seconde a des voluptés et des remords. Pour qu'une jeune fille soit la maîtresse, elle doit être trop corrompue, et on l'abandonne alors avec horreur; tandis qu'une femme a mille moyens de conserver tout à la fois son pouvoir et sa dignité. L'une, trop soumise, vous offre les tristes sécurités du repos; l'autre perd trop pour ne pas demander à l'amour ses mille métamorphoses. L'une se déshonore toute seule, l'autre tue à votre profit une famille entière. La jeune fille n'a qu'une coquetterie, et croit avoir tout dit quand elle a quitté son vêtement; mais la femme en a d'innombrables et se cache sous mille voiles; enfin elle caresse toutes les vanités, et la novice n'en flatte qu'une. Il s'émeut d'ailleurs des indécisions, des terreurs, des craintes, des troubles et des orages, chez la femme de trente ans, qui ne se rencontrent jamais dans l'amour d'une jeune fille. Arrivée à cet âge, la femme demande à un jeune homme de lui restituer l'estime qu'elle lui a sacrifiée ; elle ne vit que pour lui, s'occupe de son avenir, lui veut une belle vie, la lui ordonne glorieuse ; elle obéit, elle prie et commande, s'abaisse et s'élève, et sait consoler en mille occasions, où la jeune fille ne sait que gémir. Enfin, outre tous les avantages de sa position, la femme de trente ans peut se faire jeune fille, jouer tous les rôles, être pudique, et s'embellit même d'un malheur. Entre elles deux se trouve l'incommensurable différence du prévu à l'imprévu, de la force à la faiblesse. La femme de trente ans satisfait tout, et la jeune fille, sous peine de ne pas être, doit ne rien satisfaire. Ces idées se développent au coeur d'un jeune homme, et composent chez lui la plus forte des passions, car elle réunit les sentiments factices créés par les moeurs, aux sentiments réels de la nature.

Auteur: Balzac Honoré de

Info: La femme de trente ans, p.148, GF no69

[ femmes-par-homme ] [ trentenaire ]

ordre

J'ai toujours été frappé par l'équilibre qui se dégage du monde. Voyez comme les riches - on l'observe plus facilement en observant le mimétisme de leurs enfants - sont si souvent suffisants et antipathiques. Observez avec le temps comme la beauté chez les individus est éphémère voire destructrice, découvrez comme les couples qui marchent en réalité se complètent. Réalisez qu'un jeune musicien passionné commence invariablement son histoire d'amour avec les notes grâce à un instrument de mauvaise qualité, trouvé ou donné, alors que son contraire, pénible quidam lambda, aura été s'acheter le biniou clinquant, vite relégué au galetas ou revendu dans les semaines ou les mois suivants. Constatez, en tous domaines, que les plus talentueux se désintéressent rapidement de la question parce qu'ils ne se sentent aucun besoin de prouver quoi que ce soit, alors que les pénibles tâcherons répondront avec abnégation au défi ainsi posé par une nouvelle discipline. Equilibre, dans la danse du monde tu nous proposes cette balance impitoyable et juste qui nous indique, sans preuves scientifiques mais c'est indubitable, que la vie la plus vraie est proche de la misère et de la mort, que les pauvres veulent devenir riches que les riches deviennent feignants et donc, retournent en peu de temps à la pauvreté. Cher équilibre, c'est curieux, j'aurais envie de dire chère - mystère de la langue et des sons - me vient encore à la plume ce jour où, lors d'une rencontre, j'ai saisi qu'untel, si célèbre et adulé, émargeait à la catégorie des êtres de peu d'intérêt, ordinaire et décevant, peu heureux, inquiet, pressé donc désagréable, dépassé par une gloire factice qui lui en faisait mesurer la dérision, insatisfait.

Tu es, ma chère, allons-y puisque je te ressens ainsi, tu es, ma chère équilibre, la matérialisation de notre esprit et du monde dans leurs luttes avec les extrêmes, tu es la condition sine qua non de la continuité dans l'harmonie, tu es le chemin étroit - mais suffisamment large parce que la tolérance sera toujours indispensable entre les êtres.

Pourquoi ce flash back de première jeunesse ? : et moi... qui suis-je ?... qu'est-ce que moi ?... petit enfant dans son lit vespéral interrogeant les étoiles, questionnant l'immense vacuité du monde et de son âme... qui suis-je ?... Je n'avais, bien sûr, pas vraiment conscience d'être campé sur ce champ de bataille des contrastes. Yeux grand ouverts dans le noir, candide curiosité en total éveil, comme l'indien qui aurait collé ses oreilles au sol cosmique, écoutant, ressentant, devinant, imaginant, je ne sais pas, le souffle neutre et vide de mon moi résonnant dans le silence, l'atone bourdonnement du fond des âges... qui suis-je ?... comment se fait-il qu'il y ait un moi, ici et maintenant ?...

Plus curieux encore ; comment se fait-il que je me pose la question ?... ce souvenir si vif de mon esprit d'enfant défiant l'incommensurable, la grande question : MOI... moi c'est quoi, quoi est moi ?.. Gamberges si stables parce qu'enfant choyé dans un cadre protégé. N'étaient-ce que d'agréables vertiges de garçonnet curieux, douillet dans sa vie alors qu'aujourd'hui je penserai peut-être plus facilement aux petits humains qui crèvent de guerres, de famines, sont-ils concernés de la même façon, plus proches de ce feeling ?... plus lointains de ce souffle d'absolu ?... Savoir. Mon intime conviction est que nous avons tous vécu ces sentiments, de manière identique parce que nous sommes fils des atomes et des ondes, et, de manières différentes parce que le monde en a besoin et que nous sommes novices à chaque étape de la vie. Questions enfantines, interrogations solitaires et nocturnes d'ado, rêveries de jeune papa, gamberges d'époux aimé, etc... Pauvre énumération de mes petites expériences perso pour essayer d'expliquer cette immensité fine, cette balance présente à toutes les échelles de nos existences.

Cette sensation d'équilibre global m'a fréquemment rasséréné, tout en me plongeant dans ces abîmes insondables et indicibles de la réflexion méditative où tous les contre-exemples sont inutilisables puisque ils ne sont là que pour meubler les cases de l'absurde et de l'insensé, contrées nécessaires dans l'univers de nos questionnements, humus de notre humour, signalisations de nos limites, indicatrices du Mystère. Equilibre, je m'incline devant ta fantastique et interminable litanie. Et merci de me faire prendre conscience jour après jour de ma dimension d'avorton cosmique devant une simple symétrie, merci de me montrer, sans m'expliquer, mais pourquoi expliquer, que la vie est autonome, qu'elle a certainement un sens, que la misère se partage plus facilement que l'abondance... D'ailleurs, quand le doute s'insinue, quand les certitudes s'effondrent, tu resurgis à tous les coups, vieille amie, parce que les difficultés renforcent la survie, redorent le goût des choses, parce que le confort est trop facilement père de la vacuité, parce que mon pote handicapé compense si bien par ce rayonnement supérieur de son esprit. On t'oublie et te revoilà à nouveau ma chère équilibre, fidèle au poste, intégrée à ce nouveau décor ou défilent des gens respectables - donc casse-couilles. Tu diffuses tant de messages. Moi j'aime celui-ci. "Toute manifestation a sa compensation". Dommage que tu sois cataloguée dans les noms féminins.

Auteur: MG

Info: 2000

[ introspection ] [ mystère ] [ ego ] [ paix ] [ enfance ] [ harmonie ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]