mémoire externe

Ma curiosité ne cessant d'élargir les horizons, j'atteignais une distanciation qui conjuguait étroits et insondables abîmes avec d'incommensurables superficialités. FLP était heureusement un peu plus fiable, stable et consultable que ceci... Pour continuer les pérégrinations.

Auteur: Mg

Info: 1 juillet 2020

[ structuration ] [ citation s'appliquant à ce logiciel ]

résignation

C'est par la parole, par la création, que l'être humain arrive à dépasser son sentiment d'impuissance; il est voué à la souffrance, à cause de la disparité entre ses désirs, qui sont incommensurables, et l'impossibilité de les satisfaire. Il y a donc une souffrance fondamentale et nécessaire, que nous n'éviterons jamais.

Auteur: Dolto Françoise

Info: La difficulté de vivre

[ douleur ] [ angoisse ] [ parler-thérapie ]

compensation

La seule fonction de l’amour est de nous aider à endurer les après-midi dominicales, cruelles et incommensurables, qui nous blessent pour le reste de la semaine – et pour l’éternité. Sans l’entraînement du spasme ancestral, il nous faudrait mille yeux pour des pleurs cachés, ou sinon des ongles à ronger, des ongles kilométriques…

Auteur: Cioran Emil Michel

Info: "Précis de décomposition" in Œuvres, éditions Gallimard, 1995, page 600

[ exutoire ] [ sexe ]

lecture

Certains lecteurs se contentent de lire un livre et de s'arrêter quand il est fini.
D'autres s'amusent avec les personnages, ou les postulats, ou l'environnement. Ils s'inventent leurs propres sujets de recherche. Nous, lecteurs, faisons cela depuis, d'incommensurables milliers d'années : nous réclamons plus d'informations sur l'Atlantide de Platon, nous imaginons un Purgatoire à la placer entre le Paradis et l'Enfer, nous réinventons l'Enfer de Dante, nous écrivons de nouvelles Odyssées. Une incroyable culture a émergé autour de Star Strek.
Internet ouvre une toute nouvelle méta-cour de récréation pour eux.

Auteur: Niven Laary Laurence van Cott dit Larry Niven

Info:

[ lire ] [ évolution ] [ citation s'appliquant à ce logiciel ]

steppe

Rien au monde ne ressemble à un pays tartare... l’âme est comme écrasée par cette puissante et majestueuse nature. Point de villes, point d’édifices, point d’arts, point d’industrie, point de culture, point de forêts ; toujours et partout c’est une prairie, quelquefois entrecoupée de lacs immenses, de fleuves majestueux, de hardies et imposantes montagnes ; quelquefois se déroulant en vastes et incommensurables plaines. Alors, quand on se trouve dans ces vastes solitudes, dont les bords vont se perdre bien loin dans l’horizon, on croirait être, par un temps calme, au milieu de l’Océan.

Auteur: Huc Évariste Régis

Info: Souvenirs d'un voyage à travers la Tartarie et le Tibet, suivis de L'Empire chinois

[ Asie ] [ émerveillement ]

chair-esprit

Orion se tenait de ce côté de la Terre, du côté des repères des hommes et du temps que nous déclinons en minutes, en heures et en jours. De l'autre, s'étendait le pays des Elfes, avec sa façon si particulière de ne pas le compter. Il appela sa mère à deux reprises et tendit l'oreille, puis recommença... mais pas un cri ni un murmure ne s'échappa du pays enchanté. Mesurant alors l'ampleur de ce gouffre qui la séparait de lui, il se rendit compte qu'il était bien trop vaste, bien trop sombre, infranchissable, à l'image de ces fossés incommensurables qui semblent nous séparer d'un jour passé, ou qui se dressent entre la vie diurne et les rêves, entre les gens qui labourent la terre et les héros des chansons, entre les vivants et ceux qu'ils pleurent. Et la barrière aérienne scintillait, comme si un élément aussi fragile était capable de séparer les années perdues de cette heure fugitive que nous appelons Instant...

Auteur: Lord Dunsany Edward John Moreton

Info: La fille du roi des elfes

[ réalité ] [ onirisme ]

nocturne

Dans la cabine il fait de plus en plus chaud. Je dors en tenue d'Adam. Ce frêle navire qui nous garde et nous transporte sur ces abîmes incommensurables n'arrête pas de tanguer et de rouler, par toutes les fenêtres et les portes souffle un vent d'une grande douceur, dans un coin bourdonne le ventilateur - et on a pourtant l'impression d'être aux bains russes...

Parfois, je me représente moi-même en train de dormir, étendu dans cette cabine, sans défense, dénué de pensée et de conscience, perdu dans l'océan. Comme c'est merveilleux et terrifiant, comme c'est bon ! Je dors, nous dormons tous, exceptés ces deux ou trois individus privés de sommeil, silencieux, immobiles, qui sont de quart et veillent sur nous là-bas, là-haut ; nous dormons, et la nuit, éternelle, immuable, est la même qu'il y a des milliers d'années ! La nuit, d'une beauté indicible, et je ne saurais dire pourquoi - essentielle - brille au-dessus de l'océan et conduit ses astres qui lancent des feux de pierres précieuses, tandis que le vent, véritable respiration divine de ce monde merveilleux et incompréhensible, entre par les fenêtres et les portes, entre dans nos âmes ouvertes avec confiance à cette nuit, et à toute la pureté céleste de ce souffle.

Auteur: Bounine Ivan Alex

Info: Coup de soleil et autres nouvelles

[ maritime ] [ songe ]

regard de colonisateur

J’emprunte le terme de "participation mystique" au sens défini plus haut aux travaux de Lévy-Bruhl. Cette idée a récemment été rejetée par les ethnologues, en partie pour la raison que les primitifs sauraient très bien faire la distinction entre les choses. Ceci est incontestable, mais l’on ne doit pas non plus nier que des choses incommensurables peuvent avoir chez eux le même tertium comparationis incommensurable. On songera simplement à l’application omniprésente du "mana", au thème du loup-garou, etc. En outre "l’identité inconsciente" représente un phénomène psychique avec lequel le psychothérapeute est confronté journellement. Certains ethnologues rejettent également le concept d’ "état prélogique" qui est étroitement lié à celui de "participation mystique". En fait l’expression n’est pas des plus heureuses, car le primitif pense, à sa manière, d’une façon qui est aussi logique que la nôtre. Lévy-Bruhl le savait, ainsi que j’ai pu m’en convaincre au cours d’un entretien personnel. Ce qu’il entendait par "prélogique", c’était seulement les présuppositions des primitifs en contradiction avec notre logique rationaliste. Ces présuppositions sont toutefois extrêmement étranges et méritent, sinon l’épithète de "prélogique", du moins celle d’ "irrationnelle". Dans son Journal posthume, Lévy-Bruhl a, de façon assez étonnante, rejeté ces deux notions. Le fait est d’autant plus surprenant qu’avec des idées, il se mouvait sur un terrain tout à fait solide du point de vue psychologique.

Auteur: Jung Carl Gustav

Info: Dans "Mysterium conjunctionis", tome 1, page 307

[ terminologie ] [ justification ] [ vue bornée ] [ archétypes ]

philosophie fractale

La barbe ne fait pas le philosophe... le pli du vêtement, si ! Pour Gilles Deleuze la monade de Leibniz serait un habit aux courbes et arabesques innombrables, une pièce textile à même de "[libèrer] ses propres plis de leur habituelle subordination au corps fini".

Dans Le Pli (1988), Gilles Deleuze analyse le système métaphysique de Leibniz comme une philosophie baroque, "le trait du baroque étant le pli qui va à l'infini." Pour illustrer, et même incarner son idée, Deleuze recourt à la métaphore vestimentaire.

Le philosophe Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716) nomme "monades" les esprits et explique qu'ils sont tous des "miroirs de l'univers", mais chacun depuis la perspective singulière et unique qui est la sienne. Depuis cet angle particulier et exclusif, chaque "monade" perçoit donc l'univers dans son ensemble, mais toutes ses perceptions ne sont pas claires : son point de vue sur le monde ne lui permet d'en saisir distinctement qu'une partie, pour le reste tout est de l'ordre de la perception confuse et obscure, c'est-à-dire peu ou non consciente. Comme le commente Deleuze : "Le clair-obscur remplit la monade suivant une série qu'on peut parcourir dans les deux sens : à une extrémité le sombre fond, à l'autre la lumière scellée."

Par-delà ces différents degrés de clarté, reste que chaque âme est grosse de tout l'univers et peut être figurée comme un immense réseau de plis incommensurables qui, s'ils étaient dépliés, le représenteraient tout entier. De là l'emploi par Deleuze de l'adjectif "baroque" pour désigner la philosophie de Leibniz, une des caractéristiques du mouvement baroque étant, essentiellement dans les arts figuratifs, la surabondance et la mise en abyme de plis – exemples par excellence : les œuvres du Bernin, L'Extase de Sainte Thérèse ou La Bienheureuse Louise Albertoni, "lorsque le marbre porte et saisit à l'infini des plis qui ne s'expliquent plus par le corps, mais par une aventure spirituelle capable de l'embraser".

Dès lors, une excellente image pour illustrer ce qu'est une monade serait un habit aux courbes et arabesques innombrables, une pièce textile à même de "libèrer ses propres plis de leur habituelle subordination au corps fini", un "vêtement baroque" en somme. Deleuze cite la rhingrave, sorte de jupe-culotte bouffante du XVIIe siècle ; il aurait sûrement évoqué Issey Miyake s'il avait eu connaissance des créations du styliste japonais. "S'il y a un costume proprement baroque, il sera large, vague gonflant, bouillonnant, juponnant, et entourera le corps de ses plis autonomes, toujours multipliables, plus qu'il ne traduira ceux du corps." En revanche, ce qu'un tel vêtement viendrait traduire, conclut Deleuze, c'est une "force spirituelle infinie", "les plis du vêtement prenant autonomie, ampleur, non pas par simple souci de décoration, mais pour exprimer l'intensité d'une force spirituelle qui s'exerce sur le corps, soit pour le renverser, soit pour le redresser ou l'élever, mais toujours le retourner et en mouler l'intérieur". Un vêtement tout à la fois éthéré et transcendant.

Auteur: Internet

Info: https://www.lemonde.fr. Par Sophie Chassat, 10 décembre 2013 - 19 mai 2014

[ singularités miroirs ] [ repliements ] [ cybernétique ] [ solipsismes inversés ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]