positiver

- C'est si simple. Plus on vieillit, plus on apprend. Si tu restais âgé de vingt-deux ans, tu serais toujours aussi ignorant que tu l'étais alors. Vieillir, ce n'est pas seulement se détériorer, tu sais ! C'est croître. Ce n'est pas seulement aller vers la mort, ce qui peut être perçu comme négatif, c'est également comprendre que l'on va mourir, ce qui est positif car alors on vit mieux.
- Oui, dis-je, mais si c'est tellement bien de vieillir, pourquoi les gens disent-ils toujours : "Oh, si je pouvais retrouver ma jeunesse ! On n'entend jamais les gens dire : "Comme j'aimerais avoir soixante-cinq ans !"
- Tu sais ce que cela reflète ? Des vies insatisfaites. Des vies mal remplies. Des vies qui n'ont pas trouvé leur sens. Quand on a trouvé un sens à sa vie, on n'a pas envie de revenir en arriève. On veut aller de l'avant. On veut en voir plus, en faire plus. On a hâte d'avoir soixante-cinq ans.
Ecoute bien. Il faut que tu saches quelque chose. Il faut que tous les jeunes le sachent. Quand on passe son temps à se battre contre la vieillesse, on finit toujours par être malheureux, parce qu'elle arrive de toute façon.

Auteur: Albom Mitch

Info: La dernière leçon : Comment un vieil homme face à la mort m'a appris le goût de vivre

[ décrépitude ]

décoratif aliénant

Pensez à la cocaïne. Sous sa forme naturelle, comme les feuilles de coca, elle est sympathique, mais pas au point de devenir un problème plus général. Mais affinez-la, purifiez-la et vous obtenez un composé qui frappe vos récepteurs de plaisir avec une intensité non naturelle. C'est là qu'advient une dépendance.

La beauté a subi un processus similaire, à cause des publicitaires. L'évolution nous a donné un circuit qui réagit à la beauté - appelez-le récepteur de plaisir de notre cortex visuel - et dans notre environnement naturel, il était utile d'en avoir un. Mais prenez une personne avec telle qualité de peau et de structure osseuse comme on en voit une sur un million, ajoutez un maquillage professionnel et des retouches, et vous ne regardez plus la beauté sous sa forme naturelle. Vous voilà avec une beauté de qualité pharmaceutique, la coke de la beauté.

Les biologistes nomment ceci "stimulus surnormal" [...] Nos récepteurs de beauté reçoivent plus de stimuli que ce pourquoi ils ont été conçus, il y a surcharge ; nous voyons plus de beauté en un jour que nos ancêtres n'en voyaient en une vie. Résultat : la beauté ruine lentement nos vies.

Comment ? De la même manière que toute drogue devient un problème : en interférant dans nos relations avec les autres. Nous devenons insatisfaits de l'apparence des gens ordinaires parce qu'ils ne supportent pas la comparaisons avec les mannequins.  

Auteur: Chiang Ted

Info: Stories of Your Life and Others

[ infobésité esthétique ] [ monde photoshop ] [ standards irréalistes ]

femmes-par-hommes

Une très abondante littérature populaire nous campe le personnage de la femme mariée, vue par les maris ou les autres hommes; on a pu remarquer, au moins dans la littérature des XIIe et XIIIe siècles, que le nombre de maris réprimandés, battus, tyrannisés – et cocufiés – par leur femme-ogresse, forte en gueule et seule patronne à la maison, portant les braies, est très supérieur à celui des femmes "corrigés" par leur mari. Il faut certes interpréter ce fait avec prudence, se demander s'il ne s'agit pas là d'une caricature aux traits forcés : femme coquette s'enduisant de fiel de mouton, de graisse de chien, envoûteuse, empoisonneuse, menteuse et trompeuse; femme torturant son mari en lui faisant exprès répéter dix fois la même chose, l'assourdissant de son caquetage, le contredisant : veut-il du vin, il a de la cervoise; du pain, il a du gruau plein de levain; il dort, elle le réveille; il se tait, elle l'attrape; il parle, elle lui coupe la parole. La femme est rioteuse, querelleuse, papelarde (donnant ses rendez-vous à l'église), désobéissante, envieuse, superstitieuse, cruelle, luxurieuse, exigeante et insatisfaite, elle réclame le devoir conjugal avec emportement et "si le mari est trop fatigué pour s'exécuter, elle lui arrache les cheveux et le gifle"; un autre jour le mari en a-t-il envie? Elle le refuse. Les Lamentations de Mathieu, les satires contre les ivrognesses ou les maquerelles ne doivent pas trop nous retenir, mais tous ces ouvrages tendent à mettre en évidence la place exceptionnelle que la femme occupe dans la société médiévale et dans tous les milieux.

Auteur: Delort Robert

Info: La vie au Moyen Age

[ historique ] [ panorama ]

hommes-femmes

Il savait qu’Ursule lui était revenue. Il savait que sa propre vie reposait en elle. Mais il aurait préféré mourir que d’accepter l’amour qu’elle lui offrait. L’ancienne façon d’aimer lui semblait un terrible lien, une sorte d’enrôlement forcé. Ce que l’amour était pour lui, il ne le savait pas, mais l’idée de l’amour, du mariage, des enfants, d’une vie vécue côte à côte, dans l’horrible intimité de la satisfaction domestique et conjugale avait pour lui un côté répugnant. Il voulait quelque chose de plus épuré, de plus libre, de plus frais pour ainsi dire. L’intimité ardente et étroite entre l’homme et la femme le dégoûtait. La façon dont ils fermaient leurs portes, ces gens mariés, et s’enfermaient dans leur alliance exclusive, même par amour, le choquait. 

C’était toute une communauté entièrement composée de couples méfiants, enfermés comme dans une île dans leurs maisons ou leurs chambres particulières, et n’admettant aucune vie plus large, aucun avenir, aucune relation désintéressée : un kaléidoscope de couples, désunis, séparatistes, des entités dépourvues de signification, de couples mariés !

Car il détestait le concubinage plus encore que le mariage ; une liaison, c’était un autre genre d’accouplement réactionnaire par rapport au mariage légal. Et la réaction était beaucoup plus ennuyeuse que l’action.

[…] Il croyait au mariage intersexuel. Mais, au-dessus, il désirait une union plus haute dans laquelle l’homme et la femme conserveraient la liberté de l’autre, se faisant équilibre l’un à l’autre comme les deux pôles d’une même force, comme deux anges ou deux démons.

Il désirait tellement être libre, non sous la contrainte d’un besoin quelconque d’unité, ou la torture d’un désir insatisfait. Le désir et l’aspiration trouveraient leur objet sans toute cette torture, de même que dans un pays où l’eau est abondante, on ne sent jamais la soif que l’on étanche sans y penser.

Il désirait être avec Ursule aussi libre qu’avec lui-même, solitaire, clarifié, froid et en même temps équilibré, polarisé avec elle. Il détestait jusqu’à la folie l’amour qui dévore, qui empoigne, qui mélange les êtres.

Auteur: Lawrence David Herbert

Info: Femmes amoureuses, traduit de l’anglais par Maurice Rancès et Georges Limbour, éditions Gallimard, 1949, pages 281-282

[ réinvention ] [ transcendant ] [ idéal ]

homme-animal

Je crois bien que je pourrais m’en retourner vivre chez les animaux, si placides, si autonomes,

Eux que je resterais des heures et des heures à regarder, sans bouger.



Jamais ils ne s’échinent ni ne se lamentent sur leur état,

Jamais ne passent la nuit à pleurer sur leurs péchés,



Jamais n’ont de ces discussions nauséeuses sur leurs obligations envers Dieu,

Jamais ne sont insatisfaits, ni saisis de la folie furieuse de posséder les choses,

Jamais ne s’agenouillent devant un autre, ou des ancêtres ayant vécu plusieurs milliers d’années plus tôt,

Jamais ne se prétendent respectables ni malheureux sur terre.



Oui, ils me montrent leur parenté avec moi, que j’accepte,

Me montrent d’évidentes images de moi qu’ils ont clairement en leur possession ;



 Je me demande où ils les ont trouvées,

Les aurais-je négligemment laissées tomber en passant chez eux il y a des siècles ?



 Sur ma route éternellement tendue vers le futur,

Dans ma rapidité à toujours recueillir plus, toujours montrer plus de choses,

Infinies et omnigénériques, entre autres ces images,

Sans trop avoir souci exclusif de qui ira chercher mes souvenirs,

Choisissant, par exemple, celui-ci que j’aime et m’entendant avec lui en termes d’amitié.



 Ce gigantesque, sculptural étalon qui répond facilement à mes caresses,

Tête, front haut, large entre les oreilles,

Pattes luisantes et souples, queue balayant la poussière,

Œil brillant d’étincelles de fureur, oreilles finement coupées, allure flexible.



Ses naseaux se dilatent comme mes talons l’étreignent,

Ses membres harmonieux frissonnent de plaisir dans la course qui nous ramène.



 Je ne t’emploie qu’une minute, étalon, avant que je ne te laisse,

Pourquoi ce besoin de tes foulées alors que mon galop dépasse le tien ?

Sans bouger, assis sur ma chaise, je vais plus vite que toi.

Auteur: Whitman Walt

Info: Dans "Feuilles d'herbe", Chanson de moi-même, traduction Jacques Darras, éditions Gallimard, 2002, pages 103-104

[ lignée parallèle ] [ miroir du passé ]

ordre

J'ai toujours été frappé par l'équilibre qui se dégage du monde. Voyez comme les riches - on l'observe plus facilement en observant le mimétisme de leurs enfants - sont si souvent suffisants et antipathiques. Observez avec le temps comme la beauté chez les individus est éphémère voire destructrice, découvrez comme les couples qui marchent en réalité se complètent. Réalisez qu'un jeune musicien passionné commence invariablement son histoire d'amour avec les notes grâce à un instrument de mauvaise qualité, trouvé ou donné, alors que son contraire, pénible quidam lambda, aura été s'acheter le biniou clinquant, vite relégué au galetas ou revendu dans les semaines ou les mois suivants. Constatez, en tous domaines, que les plus talentueux se désintéressent rapidement de la question parce qu'ils ne se sentent aucun besoin de prouver quoi que ce soit, alors que les pénibles tâcherons répondront avec abnégation au défi ainsi posé par une nouvelle discipline. Equilibre, dans la danse du monde tu nous proposes cette balance impitoyable et juste qui nous indique, sans preuves scientifiques mais c'est indubitable, que la vie la plus vraie est proche de la misère et de la mort, que les pauvres veulent devenir riches que les riches deviennent feignants et donc, retournent en peu de temps à la pauvreté. Cher équilibre, c'est curieux, j'aurais envie de dire chère - mystère de la langue et des sons - me vient encore à la plume ce jour où, lors d'une rencontre, j'ai saisi qu'untel, si célèbre et adulé, émargeait à la catégorie des êtres de peu d'intérêt, ordinaire et décevant, peu heureux, inquiet, pressé donc désagréable, dépassé par une gloire factice qui lui en faisait mesurer la dérision, insatisfait.

Tu es, ma chère, allons-y puisque je te ressens ainsi, tu es, ma chère équilibre, la matérialisation de notre esprit et du monde dans leurs luttes avec les extrêmes, tu es la condition sine qua non de la continuité dans l'harmonie, tu es le chemin étroit - mais suffisamment large parce que la tolérance sera toujours indispensable entre les êtres.

Pourquoi ce flash back de première jeunesse ? : et moi... qui suis-je ?... qu'est-ce que moi ?... petit enfant dans son lit vespéral interrogeant les étoiles, questionnant l'immense vacuité du monde et de son âme... qui suis-je ?... Je n'avais, bien sûr, pas vraiment conscience d'être campé sur ce champ de bataille des contrastes. Yeux grand ouverts dans le noir, candide curiosité en total éveil, comme l'indien qui aurait collé ses oreilles au sol cosmique, écoutant, ressentant, devinant, imaginant, je ne sais pas, le souffle neutre et vide de mon moi résonnant dans le silence, l'atone bourdonnement du fond des âges... qui suis-je ?... comment se fait-il qu'il y ait un moi, ici et maintenant ?...

Plus curieux encore ; comment se fait-il que je me pose la question ?... ce souvenir si vif de mon esprit d'enfant défiant l'incommensurable, la grande question : MOI... moi c'est quoi, quoi est moi ?.. Gamberges si stables parce qu'enfant choyé dans un cadre protégé. N'étaient-ce que d'agréables vertiges de garçonnet curieux, douillet dans sa vie alors qu'aujourd'hui je penserai peut-être plus facilement aux petits humains qui crèvent de guerres, de famines, sont-ils concernés de la même façon, plus proches de ce feeling ?... plus lointains de ce souffle d'absolu ?... Savoir. Mon intime conviction est que nous avons tous vécu ces sentiments, de manière identique parce que nous sommes fils des atomes et des ondes, et, de manières différentes parce que le monde en a besoin et que nous sommes novices à chaque étape de la vie. Questions enfantines, interrogations solitaires et nocturnes d'ado, rêveries de jeune papa, gamberges d'époux aimé, etc... Pauvre énumération de mes petites expériences perso pour essayer d'expliquer cette immensité fine, cette balance présente à toutes les échelles de nos existences.

Cette sensation d'équilibre global m'a fréquemment rasséréné, tout en me plongeant dans ces abîmes insondables et indicibles de la réflexion méditative où tous les contre-exemples sont inutilisables puisque ils ne sont là que pour meubler les cases de l'absurde et de l'insensé, contrées nécessaires dans l'univers de nos questionnements, humus de notre humour, signalisations de nos limites, indicatrices du Mystère. Equilibre, je m'incline devant ta fantastique et interminable litanie. Et merci de me faire prendre conscience jour après jour de ma dimension d'avorton cosmique devant une simple symétrie, merci de me montrer, sans m'expliquer, mais pourquoi expliquer, que la vie est autonome, qu'elle a certainement un sens, que la misère se partage plus facilement que l'abondance... D'ailleurs, quand le doute s'insinue, quand les certitudes s'effondrent, tu resurgis à tous les coups, vieille amie, parce que les difficultés renforcent la survie, redorent le goût des choses, parce que le confort est trop facilement père de la vacuité, parce que mon pote handicapé compense si bien par ce rayonnement supérieur de son esprit. On t'oublie et te revoilà à nouveau ma chère équilibre, fidèle au poste, intégrée à ce nouveau décor ou défilent des gens respectables - donc casse-couilles. Tu diffuses tant de messages. Moi j'aime celui-ci. "Toute manifestation a sa compensation". Dommage que tu sois cataloguée dans les noms féminins.

Auteur: MG

Info: 2000

[ introspection ] [ mystère ] [ ego ] [ paix ] [ enfance ] [ harmonie ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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