double

Une fois par an, au printemps, le capitaine Luiso Ferrauto change de peau ; il émerge de sa vieille peau tout brillant et rose comme un nouveau-né, mais quelques heures plus tard la nouvelle peau reprend son teint habituel, qui est mat, tandis que les cheveux, disparus avec le scalp du crâne, repoussent eux aussi rapidement, comme il convient à un officier de la Sécurité Publique. Sa femme, qui est attachée à lui d'un amour inaccoutumé par les temps qui courent, a l'habitude de conserver ces peaux usées de son mari et de les remplir de mousse synthétique de couleur chair, de façon à en faire une sorte de mannequin assez présentable, bien cousu et rembourré, vêtu de l'uniforme. Dans le garage, elle en a désormais rassemblé une quinzaine : autant d'officiers de police, si semblables à son mari qu'il est réjouissant de les voir tous ensemble, si dignes, si droits, si imperméables à la corruption. Madame a fait installer un appareil stéréo dans le garage et lorsque le capitaine est hors de la maison pour raison de service, elle descend faire écouter à ses ex-maris les meilleures pages de la lyrique mondiale. Ravis, extatiques, les quinze policiers écoutent, immobiles, la mort de Desdémone, le meurtre mérité de Scarpia, la dispute finale entre Carmen et Don José, autant de délits qui exigent l'arrestation immédiate du coupable, autant de faits de sang et de violence tels qu'ils en ont vu maintes fois dans leur carrière. Comme ces grands poupons faits de peau policière sont produits une fois par an et chacun à un âge plus avancé que le précédent, ils présentent une caractéristique insolite : des quinze, le plus jeune est aussi le plus vieux.

Auteur: Wilcock Juan Rodolfo

Info: In "Le livre des monstres", éd. Arbre Vengeur, p. 33-34 - il obtint la nationalité italienne à la fin de sa vie, mais naquit argentin

[ temps ] [ vestiges ] [ un-multiple ] [ opéra ] [ mue ]

humanisme

Pierre Clastres appartenait à la génération formée par l'anthropologue suisse Alfred Métraux. Clastres, spécialiste des Indiens Guarani et Guayaki du Paraguay, dont il étudiait notamment l'institution politique de la chefferie, menait une enquête de terrain auprès des Indiens Chulupi qui vivent dans le Chaco paraguayen. Au cours de leurs conversations, les Indiens lui rapportèrent un événement arrivé une trentaine d'années auparavant le long du fleuve Pilcomayo qui marque la frontière avec l'Argentine. Un soir, alors que les soldats argentins campaient de l'autre côté du fleuve, l'un d'entre eux le traversa à la nage et s'approcha d'eux. Les Indiens étaient très méfiants car les Argentins les avaient souvent attaqués. Mais le soldat était venu, au péril de sa vie, les prévenir que le lendemain à l'aube les autres allaient passer le fleuve pour massacrer toute la tribu. Par prudence les Indiens quittèrent le campement et le lendemain, en effet, les guetteurs restés à l'arrière virent débarquer les troupes. "Le soldat ne nous avait pas menti, dirent-ils à Pierre Clastres, il nous a sauvé. On ne l'a jamais revu"... Ce soldat était Alfred Métraux, qui menait une enquête sur les Indiens Mataco et Toba dans le Chaco argentin. Il campait à proximité des Argentins et avait entendu leurs propos. Il portait des vêtements assez semblables aux leurs, ainsi les Chulupi l'avaient pris pour un homme de troupe. Sans craindre les piranhas qui pullulaient dans le fleuve ni les flèches des Indiens de l'autre rive, il avait jugé de son devoir de les avertir. Beaucoup plus tard, quelques semaines avant sa mort, Alfred Métraux avait raconté ça à Pierre Clastres qui s'en est souvenu lorsque les Chulupi lui ont rapporté l'événement. Alfred Métraux se suicida un 11 avril et son corps ne fut retrouvé que le 20. Il succomba à l'absorption de barbituriques et enregistra sur un carnet les étapes de son intoxication. Dans sa lettre d'adieu il protestait vivement contre l'indifférence de la société envers les personnes âgées, d'une cruauté sans équivalent dans les sociétés qu'il avait étudiées sur la planète. Idée qu'il présenta comme raison de son geste.

Auteur: Internet

Info:

[ anecdote ] [ insolite ] [ dernières paroles ] [ héroïsme ]

onirisme

Promenade dans les bois. Chemin dégagé et rocailleux.

Bon, me voilà face à un truc insolite.

Ce n'est pas apparent.

Mais je le sais.

Certes, si elle était vraiment inconnue, je ne pourrai la voir, cette chose... La distinguer. Puisqu'elle ne ferait pas partie des objets déjà intégrés dans une case pré établie...

Néanmoins JE LE SAIS.

Elle est devant mes yeux.

La décrire ? Comment créer une nouvelle case ?

Une pierre, grossier parallélépipède grisâtre d'environ 15 centimètres sur le petit côté...

Avec des bords trop bien définis, telles les bordures d'un dessin de Hergé.

Et maintenant voilà que ce machin est autre, mais sans que j'aie pu m'apercevoir du changement. Effet d'une transmutation visuelle magique, fondu-enchaîné parfait dans sa lenteur, mais produit instantanément ?

La chose bouge un peu. Elle a modifié sa couleur, du gris incertain nous sommes passé à ce que je nommerai : bleu terne.

Un bleu épais qui semble scintiller de l'intérieur.

Je suis à genoux devant elle.

L'objet s'est élargi, de telle sorte qu'il fait désormais penser à une demi-étoile de mer,  avec des contours imprécis, vaporeux...

Et. Et...

Et le revoilà caillou. Pardonnez les pauvres analogies pour tenter de définir ce truc mais je n'en puis trouver de meilleures.

Maintenant je me transforme. Comme si la pierre restait parfaite, immobilisée dans un espace absolument figé.

... Et mézigue, observateur, votre serviteur envoyé spécial... qui rapetisse...

Ma vision passe désormais par les oreilles.

...

Au pied d'une falaise bleue. De grands nuages tanguent, volutes vertes au-dela de l'horizon.

Feuillus qui bordent le chemin ?

Je peux bouger.

Mais la falaise reste intangible. Je passe au travers.

Sens tactiles floutés par on ne sait quoi.

...

Pas d'exotisme ici.

De paradoxe... Rien. 

Tout est évidence.

Simple

Le bizarre est derrière. 

Curieuses les sensations d'une vie ? Insolites... Singulières. Surprenantes. Normales ? 

Of course not

J'ai quitté notre monde ésotérique, inexplicable... désorientant.

Pour entrer dans le réel.

Auteur: Mg

Info: 5 fév. 2013

[ dernières paroles ] [ poème ]

visionnaire

La plupart des mathématiciens, je l'ai dit tantôt, sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un "Univers" fixé une bonne fois pour toutes - celui, essentiellement, qu'ils ont trouvé "tout fait" au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d'une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s'est construite progressivement, au cours des générations, et comment et pourquoi ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d'autres. . . ), pourquoi les pièces sont agencées et aménagées de telle façon ici, et de telle autre là - voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C'est ça "l'Univers", le "donné" dans lequel il faut vivre, un point c'est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d'avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout : immuable. Quand ils s'affairent, c'est pour entretenir et embellir un patrimoine : réparer un meuble bancal, crépir une façade, affuter un outil, voire même parfois, pour les plus entreprenants, fabriquer à l'atelier, de toutes pièces, un meuble nouveau. Et il arrive, quand ils s'y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beauté, et que la maison toute entière en paraisse embellie. Plus rarement encore, l'un d'eux songera à apporter quelque modification à un des outils de la réserve, ou même, sous la pression répétée et insistante des besoins, d'en imaginer et d'en fabriquer un nouveau. Ce faisant, c'est tout juste s'il ne se confondra pas en excuses, pour ce qu'il ressent comme une sorte d'enfreinte à la piété due à la tradition familiale, qu'il a l'impression de bousculer par une innovation insolite. Dans la plupart des pièces de la maison, les fenêtres et les volets sont soigneusement clos - de peur sans doute que ne s'y engouffre un vent qui viendrait d'ailleurs. Et quand les beaux meubles nouveaux, l'un ici et l'autre là, sans compter la progéniture, commencent à encombrer des pièces devenues étroites et à envahir jusqu'aux couloirs, aucun de ces héritiers-là ne voudra se rendre compte que son Univers familier et douillet commence à se faire un peu étroit aux entournures. Plutôt que de se résoudre à un tel constat, les uns et les autres préféreront se faufiler et se coincer tant bien que mal, qui entre un buffet Louis XV et un fauteuil à bascule en rotin, qui entre un marmot morveux et un sarcophage égyptien, et tel autre enfin, en désespoir de cause, escaladera de son mieux un monceau hétéroclite et croulant de chaises et de bancs...

Auteur: Grothendieck Alexandre

Info: Récoltes et Semailles, texte autobiographique

[ création ] [ recul ] [ originalité ]

astrophysique

Un monde extraterrestre plus dense que l’acier perturbe notre compréhension de la formation des planètes

Une exoplanète étrangement dense située à plus de 500 années-lumière de la Terre remet en question la compréhension des scientifiques sur la formation des planètes. Ce corps astronomique, récemment décrit dans Nature , a la taille de la géante de glace Neptune mais est près de 10 fois plus lourd, ce qui signifie qu'il est plus dense que l'acier.

"Il est impossible qu'une planète comme celle-ci se soit formée selon les modèles classiques de formation planétaire", déclare Luca Naponiello, auteur principal de l'étude et titulaire d'un doctorat. candidat à l'Université de Rome Tor Vergata. Nommée TOI-1853 b, la planète est également étrangement proche de son soleil ; elle tourne autour de l’étoile une fois tous les 1,24 jours. Les mondes de la taille de Neptune sont si rarement trouvés sur des orbites aussi étroites que les astronomes ont qualifié ces zones rares de planètes de " déserts chauds neptuniens ".

Le plus grand mystère, cependant, est de savoir comment TOI-1853 b est devenue si dense. Les astronomes pensent que les planètes se forment généralement " de bas en haut ", avec des grains de roche et de poussière dans un disque protoplanétaire tourbillonnant qui se superposent les uns aux autres en amas de plus en plus grands, pour finalement assembler un gros noyau. Mais lorsque ce noyau atteint une certaine masse critique, une accumulation de pression dans le disque protoplanétaire commence à repousser les matériaux de construction planétaires supplémentaires, étouffant ainsi la croissance future. TOI-1853 b semble avoir dépassé cette limite : il contient deux fois plus de matière solide que les chercheurs pensaient pouvoir accumuler en un seul objet.

Si les modèles conventionnels ne peuvent pas expliquer TOI-1853 b, qu’est-ce qui le peut ? Naponiello et ses co-auteurs proposent deux possibilités. Premièrement, la planète pourrait être issue de la collision de deux protoplanètes préexistantes. De telles collisions sont attendues dans les premières époques d'un système planétaire, mais elles sont plus susceptibles de laisser derrière elles plusieurs planètes que de donner naissance à un monde unique et plus vaste, explique Naponiello.

La deuxième possibilité est que TOI-1853 b a commencé comme une géante gazeuse de la masse de Jupiter avant de perdre la majeure partie de son atmosphère à cause d'un rayonnement stellaire intense, pour finir comme un noyau solide dépouillé. En effet, si cette planète possédait autrefois une atmosphère importante, il en reste très peu. Cela la rend unique, même parmi les planètes de la taille de Neptune, explique l'astronome Chelsea Huang de l'Université australienne du Queensland du Sud. Huang trouve la théorie des géantes gazeuses particulièrement intrigante, dans la mesure où l'atmosphère épaisse de ces planètes obscurcit généralement ce qui se passe plus profondément à l'intérieur. Si TOI-1853 b était autrefois une géante gazeuse, alors « c'est la seule façon dont nous pouvons réellement observer l'intérieur [d'une géante gazeuse] », explique Huang.

Une analyse future de l'atmosphère restante de la planète pourrait révéler si l'une ou l'autre de ces hypothèses est correcte. Si TOI-1853 b s'était formé à la suite de collisions, les chercheurs s'attendraient à ce que son atmosphère contienne de l'eau et d'autres composés volatils. S’il s’agissait autrefois d’une géante gazeuse, ils s’attendraient à voir une atmosphère relativement mince et dominée par l’hydrogène. 



 

Auteur: Gasparini Allison

Info: https://www.scientificamerican.com, janvier 2024

[ insolite ]

conte

Il y avait un roi. Le roi Mintolonfin. Dans un village nommé wêkê. Un vaste village prospère qui rendait les voisins jaloux, comme un chien amoureux. Le roi Mintolonfin avait une femme. Elle s’appelait Nan. Le roi l’aimait de tout son cœur. Comme un roi n’avait jamais aimé. Le roi aimait et chérissait sa femme Nan comme un œuf de perroquet. Il la chérissait d’autant plus qu’elle attendait un enfant. Un enfant pour garantir la descendance et assurer la pérennité de wêkê. Nan, la femme du roi Mintolonfin était enceinte et allait souvent ramasser du bois mort pour le feu. Dans le champ sis derrière la concession royale. Mais un jour, un jour où il n’y avait ni soleil ni lune, un jour où Nan était en train de chercher du bois mort pour le chauffage, elle s’entendit interpellée : femme, lorsque tu arriveras chez toi, chez toi où tu trouveras ton mari le roi, dis-lui ! Dis-lui, femme ! Dis-lui que dans trois mois, seize jours, je viendrai. Je viendrai mais la guerre viendra aussi. Une guerre comme on n’en a jamais vu à wêkê. Dis-lui, femme ! Dis-lui que la guerre viendra, qu’il sera décapité, et toi femme, tu seras faite captive. Et moi, je viendrai à la suite de tout cela. Femme, dis à ton mari le roi que pour éviter la guerre, il doit immoler sa vache de couleur blanche pour en faire de l’aumône.
Qui parlait ainsi ? s’enquit Gnilété, un des enfants de la classe.
Nan, la femme aimée du roi Mintolonfin, ne vit point la personne qui venait de parler ainsi. Elle regarda autour d’elle. Elle regarda et chercha encore. Personne. Elle était seule. Comme un cadavre dans sa tombe. Seule dans le champ. Seule à entendre ces paroles lugubres. Elle rentra alors chez elle. Précipitamment. Avec sur le cœur les paroles lugubres d’une voix invisible. Elles lui firent perdre le sommeil.
Pourquoi n’en parle-t-elle pas au roi, son mari ? Pourquoi ne lui en parle-t-elle pas, Tata ? raisonna un des parents présents. Nan pouvait-elle en parler à son mari, le roi Mintolonfin ? Et qu’allait-elle lui dire ? Qu’elle avait entendu une voix dire des âneries ?
Depuis quand une voix apostrophe-t-elle les gens à wêkê ? Et quelle voix ? Voyez-vous, mes chers enfants, poursuivit Tata, Nan avait peur d’être traitée de folle, de folle et d’oiseau de mauvais augure. Elle avait peur de tout cela qui pourrait déclencher l’ire du roi. Cela pouvait la conduire là où elle ne souhaitait pas… Alors, elle décida de se taire. Cette nuit là, la même voix l’apostropha de nouveau. Elle répéta les mêmes paroles. Mais toujours Nan, la femme du roi Mintolonfin, ne vit personne. Elle chercha partout. Sous le lit. Derrière la porte. Dans la douche. Personne. Personne cette nuit-là qui répétait les mêmes paroles lugubres. La même se reproduisit le lendemain matin. Cette fois-ci, la voix précisa : Mère, pourquoi cherches-tu ailleurs, celui qui te parle ? C’est moi qui te parle ! Moi qui suis dans ton ventre ! C’est moi qui te parle !
Nan ne pouvait plus contenir les sentiments qui l’animèrent aussitôt. La surprise et la panique. Comment un enfant peut-il parler depuis le ventre de sa mère ? Excédée, elle s’en fut voir son mari, le roi Mintolonfin, à qui elle raconta tout sur la voix invisible et sur l’enfant qui parle dans son ventre.
Mais le caractère insolite de l’information fit croire au roi Mintolonfin à une crise de grossesse qu’ont coutume de faire les femmes enceintes. Surtout lorsqu’elles sont très fatiguées. Cela fait longtemps que je t’interdis de te livrer à des activités qui peuvent t’éprouver, se contenta d’apprécier le roi au milieu d’un rire moqueur à peine voilé. Rentre chez toi, repose-toi et tu n’entendras plus cette voix. Ramollie, Nan retourna dans sa case. Elle retourna chez elle sans grande assurance de ne plus entendre la voix provenant de son ventre.

Auteur: Kakpo Mahougnon

Info: Les épouses de Fa

[ grossesse ] [ oracle ] [ supersitions ] [ dilemme ] [ sacrifice ] [ perdu ] [ famille royale ]

LSD

"J’avais pris ma pilule à onze heures. Une heure et demie plus tard, j’étais assis dans mon cabinet de travail, contemplant attentivement un petit vase en verre. Le vase ne renfermait que trois fleurs - une rose Belle-de-Portugal, largement épanouie, d’un rose-coquillage, avec un soupçon, à la base de chaque pétale, d’une teinte plus chaude, plus enflammée ; un gros oeillet magenta et crème ; et, violet pâle à l’extrémité de sa tige brisée, le bouton fier et héraldique d’un iris. Fortuit et provisoire, le petit bouquet violait toutes les règles du bon goût traditionnel. Au déjeuner, ce matin-là, j’avais été frappé de la dissonance vive de ses couleurs. Mais la question n’était plus là. Je ne regardais plus, à présent, une disposition insolite de fleurs. Je voyais ce qu’Adam avait vu le matin de sa création - le miracle, d’instant en instant, de l’existence dans sa nudité.
"Est-ce agréable ?" demanda quelqu’un. (Pendant cette partie de l’expérience, toutes les conversations étaient enregistrées au moyen d’une machine à dicter, et j’ai pu me rafraîchir la mémoire quant à ce qui a été dit.)
Ni agréable, ni désagréable. "Cela est, sans plus." Istigkeit – n’était-ce pas là le mot dont maître Eckhart aimait à se servir ? Le fait d’être. L’Être de la philosophie platonicienne, – sauf que Platon semble avoir commis l’erreur énorme et grotesque de séparer l’Être du devenir, et de l’identifier avec l’abstraction mathématique de l’idée. Jamais il n’avait pu voir, le pauvre, un bouquet de fleurs brillant de leur propre lumière intérieure, et quasi frémissantes sous la pression de la signification dont elles étaient chargées ; jamais il n’avait pu percevoir que ce que signifiaient d’une façon aussi intense la rose, l’iris et l’oeillet, ce n’était rien de plus, et rien de moins, que ce qu’ils étaient une durée passagère qui était pourtant une vie éternelle, un périr perpétuel qui était en même temps un Être pur, un paquet de détails menus et uniques dans lesquels, par quelque paradoxe ineffable et pourtant évident en soi, se voyait la source divine de toute existence.
Je continuai à regarder les fleurs, et dans leur lumière vivante, il me sembla déceler l’équivalent qualitatif d’une respiration - mais d’une respiration sans retours à un point de départ, sans reflux récurrents, mais seulement une coulée répétée d’une beauté à une beauté rehaussée, d’une profondeur de signification à une autre, toujours de plus en plus intense. Des mots tels que Grâce et que Transfiguration me vinrent à l’esprit, et c’était cela, bien entendu, entre autres, qu’ils représentaient. Mes yeux passèrent de la rose à l’oeillet, et de cette incandescence plumeuse aux banderoles lisses d’améthyste sentimentale qui étaient l’iris. La Vision de Béatitude, Sat Chit Ananda, la Félicité de l’Avoir-Conscience, - pour la première fois je comprenais, non pas au niveau verbal, non pas par des indications rudimentaires ou à distance, mais d’une façon précise et complète, à quoi se rapportaient ces syllabes prodigieuses. Et je me souvins alors d’un passage que j’avais lu dans l’un des essais de Suzuki. "Qu’est-ce que le Corps-Dharma du Buddha ?" (Le Corps-Dharma du Buddha est une autre façon de dire : l’Esprit, l’Être, le Vide, la Divinité.) Cette question est posée dans un monastère Zen, par un novice plein de sérieux et désorienté. Et, avec la prompte incohérence de l’un des Frères Marx, le Maître répond : "La haie au fond du jardin." - "Et l’homme qui se rend compte de cette vérit" demande le novice, d’un ton dubitatif, "qu’est-il, lui, si j’ose poser cette question ?" Groucho lui applique sur les épaules un coup vigoureux de son bâton, et répond : "Un lion aux cheveux d’or."

Ce n’avait été, lorsque je l’avais lu, qu’une absurdité vaguement grosse de quelque sens caché. Maintenant, c’était clair comme le jour, aussi évident qu’un théorème d’Euclide. Bien entendu, le Corps-Dharma du Buddha, c’était la haie au fond du jardin. En même temps, et non moins manifestement, c’était ces fleurs, c’était toute chose qu’il me plaisait – ou plutôt, qu’il plaisait au non-moi béni et délivré pour un instant de mon étreinte étouffante – de regarder. Les livres, par exemple, dont étaient tapissés les murs de mon cabinet. Comme les fleurs, ils luisaient, quand je les regardais, de couleurs plus vives, d’une signification plus profonde. Des livres rouges, semblables à des rubis ; des livres émeraude ; des livres reliés en jade blanche ; des livres d’agate, d’aigue-marine, de topaze jaune ; des livres de lapis-lazuli dont la couleur était si intense, si intrinsèquement pleine de sens, qu’ils me semblaient être sur le point de quitter les rayons pour s’imposer avec plus d’insistance encore à mon attention."

Auteur: Huxley Aldous

Info: Les portes de la perception

[ drogue ] [ spiritualité ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

[ ratatinement ] [ limite de conservation ] [ apparences ] [ topologie ] [ recherche ] [ densification ]