rencontre

Leurs contacts plus fréquents à la suite de l'accord nuptial firent naître chez Don Fabrizio une curieuse admiration pour les mérites de Sedara. L'habitude finit par l'accoutumer aux joues mal rasées, à l'accent plébéien, aux vêtements farfelus et à l'odeur persistante de la sueur, et il eut ainsi tout loisir de se rendre compte de la rare intelligence de l'homme ; bien des problèmes qui semblaient insolubles au Prince étaient démêlés en moins de deux par don Calogero ; étant affranchi de certaines entraves que l'honnêteté, la décence et peut-être la bonne éducation imposent aux actions de beaucoup d'autres hommes, il avançait dans la forêt de la vie avec l'assurance d'un éléphant qui, déracinant les arbres et piétinant les tanières, progresse en ligne droite, sans prêter attention aux griffures des épines et aux gémissements des écrasés. Élevé, au contraire, dans des vallées amènes parcourues par des zéphyrs courtois des "S'il te plaît", "je te serais reconnaissant", "me ferais-tu la faveur", "tu as été très aimable", le Prince, maintenant, quand il parlait avec don Calogero se trouvait à découvert sur une lande balayée par des vents de sécheresse et, tout en continuant à préférer en son for intérieur les anfractuosités des montagnes, il ne pouvait s'empêcher d'admirer l'impétuosité de ces courants d'air qui tiraient des chênes-lièges et des cèdres de Donnafugata des arpèges jamais entendus auparavant.

Auteur: Lampedusa Giuseppe Tomasi di

Info: Le Guépard

[ ouverture ] [ rapports humains ] [ différence ] [ sociologie ]

philosophe

Dans tous ses textes se perçoit une note de base : la pitié de soi-même. C’est lui-même qu’il aime, et personne d’autre. Dans ce monde autistique, il rencontre sa propre fragilité, ses faiblesses, ses inclinations maladives, ses tourments et ses peines. Il n’existe pour lui aucune possibilité de se voir objectivement en tant qu’être créé dépendant d’un Père miséricordieux. Car pour ce déiste, le Créateur s’est retiré et retranché derrière le rideau céleste. Rousseau est livré à lui-même et à ses souffrances. Alors il se construit un pseudo-monde religieux dont le centre est le temple de la sentimentalité qui s’appelle le cœur humain. C’est là qu’il se barricade dans son autisme, s’enfermant dans son incommensurable pitié de soi-même. Et c’est dans ce temple sentimental, le cœur humain, que s’élabore le nouvel "ésotérisme".

Rousseau, avec une sûreté infaillible, saisit l’essentiel. Le centre de l’homme est le cœur – c’est là que réside le conflit insoluble qui oppose Rousseau aux encyclopédistes bien plus cérébraux. Lui-même situe la base dans le cœur. C’est celui-ci qu’il "conquiert" et qu’il transforme en un temple de la sentimentalité. Le cœur n’est plus le royaume de Dieu qui est "au-dedans de vous". Il est le quartier général autistique du Royaume de l’homme. [...]

L’image que Rousseau se fait de l’homme apparaît dès lors dans ses traits principaux. Dans le cœur réside la pitié sentimentale de soi-même, mais aussi la Nature pure et innocente, et avec elle l’amour et la justice. Cependant, pour parvenir à cette bonté, à cette pureté, à cette justice et à cet amour, l’homme doit également être libre, fort, sans liens, "le seigneur ni l’esclave de personne". Il doit donc avoir en même temps la puissance. Comment résoudre le problème ? D’une seule manière : par l’égalité. [...] Il ne faut pas chercher la justice "en haut" mais la réaliser ici-bas, dans l’égalité terrestre.

Auteur: Lindbom Tage

Info: A propos de Jean-Jacques Rousseau dans "L'ivraie et le bon grain", trad. du suédois par Roger Du Pasquier, éditions Archè, Milan, 1976, pages 163 à 165

[ critique ] [ sécularisation ] [ individualisme ] [ culture de l'émotion ]

mots inexistants

Ni absolu, ni relatif ; ni abstrait ni concret ; ni confus ni complexe ; ni adéquat, que chérira Spinoza, mais en latin ; ni virtuel qu’emploiera Chapelain, mais aux alentours de 1660 ; ni insoluble, intentionnel, intrinsèque, inhérent, occulte, primitif, sensitif, tous mots du XVIIIe siècle ; ni transcendantal qui ornera vers 1698 les périodes de Bossuet : aucun de ces mots, que je cite au hasard, d’après les dictionnaires et Brunot, n’appartient au vocabulaire des hommes du XVIe siècle ; disons, pour fixer les idées, au plus riche de tous, au vocabulaire de Rabelais.

Encore ne sont-ce là que des adjectifs. Quelques adjectifs. Mais les substantifs ? Combien manquent à l’appel ? Ni causalité ni régularité ; ni concept ni critère ; ni condition ; avant la Logique de Port-Royal, ni analyse ni synthèse liées l’une à l’autre ; ni déduction (qui ne signifie encore que narration), ni induction qui ne naîtra qu’au XIXe siècle ; ni non plus intuition qui prendra vie chez Descartes et chez Leibniz ; ni coordination ou classification, "ce mot barbare forgé depuis peu", écrit encore en 1787 le Dictionnaire de Féraud : aucun de ces mots courants, de ces mots dont, pour philosopher, nous ne saurions vraiment nous passer, ne figure non plus dans le vocabulaire des contemporains de Rabelais. Ils n’ont même pas de terme pour exprimer ce que, depuis le milieu du XVIIe siècle seulement, on s’est avisé d’appeler système [...] ; le Rationalisme lui-même, pour commencer, le Rationalisme dont le baptême ne se fera, très tard, qu’au XIXe iècle ; le Déisme qui ne commencera guère sa carrière avant Bossuet, un de ses premiers usagers ; le Théisme que le XVIIIe siècle avancé empruntera un instant aux Anglais ; le Panthéisme dont, au temps de la Régence, on ira chercher le nom chez Toland ; le Matérialisme, qui attendra Voltaire (1734), La Mettrie et l’Encyclopédie pour conquérir droit de cité ; le Naturalisme lui-même, qui apparaît en 1752 seulement, dans le Dictionnaire de Trévoux et, avant, ans La Mettrie (1748), le Fatalisme qui, lui aussi, se trouve dans La Mettrie, cependant que le roman de Diderot ne pourra lancer fataliste qu’à partir de 1796 ; le Déterminisme, ce tard venu, ce Kantien ; l’Optimisme (Trévoux, 1752) et le Pessimisme, son contradicteur : mais les pessimistes n’entreront qu’en 1835 dans le Dictionnaire de l’Académie, et le Pessimisme paraîtra encore plus tard ; le Scepticisme qui, avec Diderot, commence à remplacer le vieux Pyrrhonisme, fils de Balzac et cher à Pascal ; le Fidéisme qui ne sortira qu’en 1838 d’un conflit de théologiens. Et combien d’autres : Idéalisme (Trévoux), Stoïcisme (La Bruyère), Quiétisme (Nicole, Bossuet), Puritanisme (Bossuet), etc.

Auteur: Febvre Lucien

Info: "Le problème de l'incroyance au 16e siècle", éditions Albin Michel, Paris, 1968, pages 329-330

[ apparition ] [ outillage philosophique ] [ historique ] [ diachronie ]

philosophie

Les trois principes de la logique aristotélicienne, qui fondent l'édifice de la raison, sont l'expression formalisée de cette récusation de toute confusion incestuelle qui a formé une part fondamentale du propos central de la civilisation hellénistique: le premier d'entre eux, le principe d'identité, vise à établir ce que j'appelle le "corsetage distinctif des étants", à partir de ce saut majeur vers l'humanisation que constitue le stade du sein, cette véritable dé-fusion qui cristallise la naissance d'un sujet distinctif ne se confondant désormais plus avec les bras qui le portent ou le sein qui le nourrit, reconnus comme attestation d'une altérité dorénavant irréductible. De proche en proche, par le jeu des inférences et des extrapolations, cette faculté acquise d'appréhension distinctive du monde s'étendra à tous les étants qui le peuplent. Le principe de non-contradiction, qui forme le deuxième des trois grands principes de la logique aristotélicienne, a pour objet de garantir la cohérence des propriétés intrinsèques et relationnelles propres d'un objet quel qu'il soit. Sa matrice initiale en est également la récusation de la confusion incestuelle: les conflits logiques inter et intra générationnels qui résulteraient du franchissement d'un tel interdit sont insolubles pour la raison et ouvrent une béance vers les gouffres de la psychose. Le mythe d'Œdipe notamment l'atteste de manière indubitable: sous peine d'être aveuglé, supplice qu'Œdipe s'inflige au terme de ses transgressions, c'est-à-dire d'être privé de lumière au sens littéral autant que métaphorique dans l'ordre de la raison, un fils ne peut épouser sa mère, qui sinon deviendrait à la fois la mère de ses enfants, mais en serait également la grand-mère, lui-même devenant leur père mais également leur frère et leur grand-père, en sa qualité de conjoint de celle qui, sous un certain angle, est leur grand-mère. On le voit, la folie n'est pas loin, sœur d'une telle confusion. Le troisième pilier de la logique classique, le principe du tiers exclu, forme le gardien de cette porte ouvrant sur la folie, interdisant la tentation de l'édification d'univers alternatifs où, entre l'existence et l'inexistence d'un étant, pourrait se trouver un état intermédiaire permettant illusoirement de laisser une place à l'impensable - il convient cela dit de préciser incidemment que l'application au domaine de l'être de ce principe du tiers exclu, selon laquelle il n'y aurait pas de gradations dans l'être semble n'être pas soutenable dès lors qu'elle est appliquée au domaine du vivant, tant il y a bien dans l'ordre de l'inscription des êtres vivants au sein du monde différentes gradations d'être, depuis l'organisme mono cellulaire jusqu'à l'être humain en passant par les multiples modalités plus ou moins évoluées de présence au monde que l'on trouve dans le règne animal.

Auteur: Farago Pierre

Info: Au sujet du diable

[ inceste ] [ traduction psychanalytique ] [ castration ]

difficulté de vivre

Un certain champ semble indispensable à la respiration mentale de l’homme moderne, celui où s’affirme son indépendance par rapport, non seulement à tout maître, mais aussi bien à tout dieu, celui de son autonomie irréductible comme individu, comme existence individuelle. C’est bien là quelque chose qui mérite en tous points d’être comparé à un discours délirant. C’en est un. Il n’est pas pour rien dans la présence de l’individu moderne au monde, et dans ses rapports avec ses semblables. [...]

Maintenant, comment ce discours peut-il être accordé non seulement avec le discours de l’autre, mais avec la conduite de l’autre, pour peu qu’il tende à la fonder abstraitement sur ce discours ? Il y a là un problème vraiment décourageant. Et les faits montrent qu’il y a à tout instant non pas seulement composition avec ce qu’effectivement chacun apporte, mais bien plutôt abandon résigné à la réalité. [...]

Assurément, nous avons, nous, beaucoup moins confiance dans le discours de la liberté, mais dès qu’il s’agit d’agir, et en particulier au nom de la liberté, notre attitude vis-à-vis de ce qu’il faut supporter de réalité, ou de l’impossibilité d’agir en commun dans le sens de cette liberté, a tout à fait le caractère d’un abandon résigné, d’une renonciation à ce qui est pourtant une partie essentielle de notre discours intérieur, à savoir que nous avons, non seulement certains droits imprescriptibles, mais que ces droits sont fondés sur certaines libertés premières, exigibles dans notre culture pour tout être humain. [...]

Chacun se pose à tout instant des problèmes qui ont d’étroits rapports avec ces notions de libération intérieure et de manifestation de quelque chose qui est inclus en soi. De ce point de vue, on arrive très vite à une impasse, étant donné que toute espèce de réalité vivante immergée dans l’esprit de l’aire culturelle du monde moderne tourne essentiellement en rond. C’est pourquoi on revient toujours sur le caractère borné, hésitant, de son action personnelle [...]. Chacun en reste au niveau d’une contradiction insoluble entre un discours, toujours nécessaire sur un certain plan, et une réalité, à laquelle, à la fois en principe et d’une façon prouvée par l’expérience, il ne se coapte pas. [...]

N'est-il pas manifeste que l’expérience analytique s’est engagée sur ce fait qu’en fin de compte, personne, dans l’état actuel des rapports interhumains dans notre culture, ne se sent à l’aise ? Personne ne se sent honnête à simplement avoir à faire face à la moindre demande de conseil, si élémentaire qu’elle soit, empiétant sur les principes. [...]

C’est précisément d’un renoncement de toute prise de parti sur le plan du discours commun, avec ses déchirements profonds, quant à l’essence des mœurs et au statut de l’individu dans notre société, c’est précisément de l’évitement de ce plan que l’analyse est partie. Elle s’en tient à un discours différent, inscrit dans la souffrance même de l’être que nous avons en face de nous, déjà articulé dans quelque chose qui lui échappe, ses symptômes et sa structure [...]. La psychanalyse ne se met jamais sur le plan du discours de la liberté, même si celui-ci est toujours présent, constant à l’intérieur de chacun, avec ses contradictions et ses discordances, personnel tout en étant commun, et toujours, imperceptiblement ou non, délirant. La psychanalyse vise ailleurs l’effet du discours à l’intérieur du sujet.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, Livre III", "Les psychoses", éditions du Seuil, 1981, pages 212-215

[ objectif ] [ anti guide de conscience ] [ clivage ] [ décentrement ] [ moi-sujet ]

autodestruction

Voyez-vous, dans ce beau pays, le suicide devient, avec le temps, une évidence. Pensons à Benoit Violier. Chacun aura dit "Mon Dieu, mais quel mystère !" Mais enfin chers amis, ouvrez les yeux... Tout indique, dans ce monde, surtout à partir d'un certain âge, que le suicide s'impose. Pensez à tout ce qu'apporte à la société cet auto-stop de l'individu conscient et responsable :

- Il retire de la planète une partie du problème, certes infime, lui. Une planète, plus assez grande et généreuse pour supporter le poids des virus humains. Il fait sa part.

- Il s'évite une fin de vie toujours plus remplie d'emmerdes. Emmerdes pour tout le monde. Lui, sa famille, la société. Agoniser dans l'ennui à l'intérieur d'un EMS des mois ou des années, ou dans un appartement protégé, tout ça pour engraisser big pharma, des assureurs qui ne prennent aucun risque et des chefs de services imbus... Non merci.

- Il démontre que l'ultime liberté, c'est celle de partir

- Il reconnait sa propre médiocrité

- Il démontre par l'exemple qu'il est un athée véritable. Façon de dire à Dieu : "Tu ne veux pas me licencier, je démissionne"

- Quel camouflet ! Pour ceux qui lui ont reproché de ne pas avoir de plomb dans la tête. (Attention, ne marche pas avec les tranquillisants)

- Il pourra aussi expliquer des choses, profitant de l'effet de choc, les phrases qu'on laisse en ces occasions un surcroît de poids. Comme : "Il n'y a jamais eu de démocratie qui ne se soit suicidée" ou "Je me suicide par respect pour la vie, en effet je considère que ma vie a cessé d'être digne de moi".

- Il montre une espérance : celle que la mort à plus à offrir que la vie

- Il pose une question insoluble : suis-je mon propre bourreau ou ma propre victime ?

- Il démontre une fois pour toute qu'il avait, finalement, du courage.

- Il peut faire acte de visionnaire. Pour autant qu'il ait annoncé son acte auparavant, il démontre être un des rares à avoir connu le jour et l'heure de sa mort !

- Il fait preuve de tout puissance. D'un coup d'un seul, il éteint l'univers.

- Il fait raquer son assurance-vie, cette immense salope, miroir parfait du cul-de-sac dans lequel l'humain occidental s'est engagé, aidant ainsi à affaiblir un système financier qui fait dégueuler. Système contre lequel il continue de lutter par delà sa mort.

- Il atteste, comme l'a dit Havelock, la grandeur de sa civilisation ; celle où la population a élevé son système nerveux et intellectuel jusqu'à un point de tension si grand que parfois il se casse au niveau de l'individu.

- Il fait certes souffrir ses mômes, mais s'ils sont assez grands et indépendants, il leur apporte un peu de chamboulement positif dans une société gnian-gnian au point de ne plus voir qu'elle s'auto asphyxie à force de vouloir éloigner tout ce qui peut se rapporter à la souffrance et à la mort. Le CO-vid en fut le parfait exemple.

- Il donne une occasion supplémentaire aux crétins convenus de croire que l'équipement originel de l'homme, soi-disant supérieur à celui de toute autre espèce, comporterait quelque erreur ou défectuosité innée qui le prédispose à l'autodestruction.

- Il montre l'exemple pour le futur, quand, comme disait Cioran, le suicide sera devenu un devoir.

- Il démontre que, finalement, il est un vrai entrepreneur... Pas un velléitaire. Avec cette preuve puissante de son engagement, à l'image de la phrase de Michaud dans Poteaux d'angle : "Certains restent en vie seulement par timidité. L'effort nécessaire pour mettre fin au souffle, au sempiternel battement du coeur, à tout ce qui en soi persiste à durer serait si grand, et si péremptoire la décision qu'elle serait comme venue d'un autre, d'un de ceux-là mêmes précisément faits pour la vie et ses entreprises et pour y demeurer le plus longtemps possible. Ce serait in extremis changer de personnalité, la détruire et soi en plus."

- Il débarrasse sa femme d'un compagnon, devenu lassant dans le meilleur des cas.

- Selon l'état d'esprit il pourra aussi arguer de toute une série d'autres motivations. Il l'aurait aussi fait : par pudeur, par discrétion, par peur de la mort (ce qui parait un comble mais ne l'est pas). Par lassitude ou paresse (voilà enfin une vraie raison)... Par vengeance... Parfois même par curiosité. Mais plus volontiers pour emmerder son créancier, sa communauté... Par spleen amoureux ou d'impuissance, genre : "Avec tous ces connards qui existent... On manque de gens qui se suicident ; en plus ce ne sont jamais ceux qu'il faudrait."

Etc, etc.

Concluons pour l'heure avec ce bon vieux Cioran.

"Je passe mon temps à conseiller le suicide par écrit et à le déconseiller par la parole. C'est que dans le premier cas il s'agit d'une issue philosophique ; dans le second, d'un être, d'une voix, d'une plainte..."

 

Auteur: Mg

Info: 13 fév. 2016

[ apologie ] [ moteur ] [ justification ] [ autolyse ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]