horizon anthropologique

L’expérience ne porte jamais que sur des faits particuliers et déterminés, ayant lieu en un point défini de l’espace et en un moment également défini du temps ; du moins, tels sont tous les phénomènes qui peuvent être l’objet d’une constatation expérimentale dite "scientifique" (et c’est là ce qu’entendent aussi les spirites). Cela est assez ordinairement reconnu, mais on se méprend peut-être plus aisément sur la nature et la portée des généralisations auxquelles l’expérience peut légitimement donner lieu (et qui la dépassent d’ailleurs considérablement) : ces généralisations ne peuvent porter que sur des classes ou des ensembles de faits, dont chacun, pris à part, est tout aussi particulier et aussi déterminé que celui sur lequel on a fait les constatations dont on généralise ainsi les résultats, de sorte que ces ensembles ne sont indéfinis que numériquement, en tant qu’ensembles, non quant à leurs éléments. Ce que nous voulons dire, c’est ceci : on n’est jamais autorisé à conclure que ce qu’on a constaté en un certain lieu de la surface terrestre se produit semblablement en tout autre lieu de l’espace, ni qu’un phénomène que l’on a observé dans une durée très limitée est susceptible de se prolonger pendant une durée indéfinie ; naturellement, nous n’avons pas ici à sortir du temps et de l’espace, ni à considérer autre chose que des phénomènes, c’est-à-dire des apparences ou des manifestations extérieures.

Auteur: Guénon René

Info: Dans "L'erreur spirite", Editions traditionnelles, 1952, pages 152-153

[ science ] [ limites ] [ efficacité relative ] [ expérimentation ]

philosophe

Nietzsche s’est attaqué aux dérives moralisatrices et prescriptives sociales et religieuses et à la dégradation de la pleine vitalité de la pensée en "valeurs" normatives devenues oppressives [...]. Le problème du placement de sa philosophie au sein de notre schéma est dû au fait qu’il a semble-t-il pris pour argent comptant ce dévoiement formaliste et institutionnel aliénant de propositions religieuses, métaphysiques ou philosophiques initialement tournées vers l’émancipation du sujet et l’établissement de sa souveraineté en systèmes encadrants oppressifs. Son concept de "Wille zur Macht", traduit de manière insatisfaisante par "volonté de puissance" implique l’idée d’un devenir exprimé par la préposition agglutinante "zur" qui connote l’idée d’une directionnalité : volonté vers la puissance, c’est-à-dire vers un accroissement de l’être et de son autonomie qui ressemble comme deux gouttes d’eau aux propositions émancipatrices dont nous avons parlé – à ceci près que ces dernières intègrent organiquement la dimension et la présence de l’autre, indissociables de la complétude du sujet : "Tu aimeras ton prochain comme toi-même". Proposition irrecevable par Nietzsche, tant elle n’est devenue que le masque mortifère de l’hypocrisie sociale particulière au XIXème siècle incarnée par l’Eglise et sa "moraline". L’intersubjectivité falsifiée, formelle et oppressive de cadres sociaux normatifs où la relation à l’autre s’assèche en conventions formalistes le conduit ainsi à rester dans l’entre-deux d’une philosophie de la solitude, face à une altérité devenue menaçante car vidée de sa substance vitale.

Auteur: Farago Pierre

Info: Une proposition pour l'autisme, page 56

[ synthèse ] [ limites ] [ contextualisation ] [ critique ] [ surhomme ]

automates

[…] s’il y avait de telles machines qui eussent les organes et la figure d’un singe ou de quelque autre animal sans raison, nous n’aurions aucun moyen pour reconnaître qu’elles ne seraient pas en tout de même nature que ces animaux : au lieu que s’il y en avait qui eussent la ressemblance de nos corps, et imitassent autant nos actions que moralement il serait possible, nous aurions toujours deux moyens très certains pour reconnaître qu’elles ne seraient point pour cela de vrais hommes. Dont le premier est que jamais elles ne pourraient user de paroles ni d’autres signes en les composant, comme nous faisons pour déclarer aux autres nos pensées. Car on peut bien concevoir qu’une machine soit tellement faite qu’elle profère des paroles, et même qu’elle en profère quelques-unes à propos des actions corporelles qui causeront quelque changement en ses organes […] ; mais non pas qu’elle les arrange diversement, pour répondre au sens de tout ce qui se dira en sa présence, ainsi que les hommes les plus hébétés peuvent le faire. Et le second est que, bien qu’elles fissent plusieurs choses aussi bien, ou peut-être mieux, qu’aucun de nous, elles manqueraient infailliblement en quelques autres, par lesquelles on découvrirait qu’elles n’agiraient pas par connaissance, mais seulement par la disposition de leurs organes : car au lieu que la raison est un instrument universel, qui peut servir en toutes sortes de rencontres, ces organes ont besoin de quelque particulière disposition pour chaque action particulière : d’où vient qu’il est moralement impossible qu’il y en ait assez de divers en une machine pour la faire agir en toutes les occurrences de la vie de même façon que notre raison nous fait agir.

Auteur: Descartes René

Info: Le discours de la méthode, Librairie générale française, 1973, pages 156-157

[ androïdes ] [ intelligence artificielle ] [ limites ] [ liberté ]

écrivain-sur-éditeur

Je me fous énormément de ce que l'éditeur peut penser de mes livres. Il n'est pas même question de solliciter son avis.

Son goût est mauvais forcément - autrement il ne ferait pas ce métier de semi-épicier semi-maquereau. Que voulez-vous qu'il connaisse ce Jean-foutre ?

Je suis de l'avis de ce pauvre Élie Faure (juif) : Lorsqu'on demande au conservateur d'un musée d'exposer le meilleur de ses Rembrants, invariablement il choisit le plus mauvais, celui qui répond à ses goûts, à son goût de sale vieux con.

Kif des éditeurs, critiques, et toute cette clique.

Leurs avis sont peut-être utiles en effet aux auteurs merdeux dans leur genre dont ils feraient eux-mêmes à peu près les livres s'ils étaient un peu moins fainéants, mais là s'arrête la compétence des éditeurs, pour la bonne raison qu'il est impossible à un être humain d'excéder son aire psychique... il comprend tout ce qui tombe dans son rayon... tout ce qui le dépasse il l'excècre... ainsi du singe qui tend à massacrer tout ce qu'il ne comprend pas... et tout de suite ! Ainsi le critique, ainsi l'éditeur.

Ce que veut le con c'est un miroir pour son âme de con où il puisse s'admirer - d'où le cinéma et les romans d'immenses tirages - "miroirs pour les âmes du plus grand nombre de cons possibles".

Cette loi vaut aussi pour la psychologie, la graphologie etc...

Comment comprendre ce qui vous dépasse ? Impossible. Alors en avant pour le bla-bla-bla...!

Il y a moins de fous qu'on le pense écrivait Vauvernagues, il y a surtout des gens qui ne se comprennent pas. Pardi !

Quant à l'éditeur au surplus il est abruti par tout ce qu'il lit, qu'il se croit obligé de lire.

Auteur: Céline Louis-Ferdinand

Info: Lettre à Milton Hindus, 28/07/1947

[ vacheries ] [ stupides ] [ limites ] [ commerciaux ]

surhomme de synthèse

Je me suis enrôlé dans la police à l’âge de douze ans. J’ai poursuivi mes études normalement mais c’est à ce moment qu’il faut entreprendre la série d’injections d’hormones de croissance ainsi que l’entraînement spécial pendant les vacances et les week-ends si l’on veut être déclaré bon pour le service actif. (Ce n’était pas un engagement irréversible. J’aurais pu changer d’orientation plus tard et rembourser ce qu’on avait investi sur moi, en versements d’une centaine de dollars par semaine pendant les trente années suivantes. Ou j’aurais pu échouer aux tests psychologiques – auquel cas on m’aurait exclu sans que je doive un centime. Mais les tests que l’on passe avant même de commencer ont tendance à éliminer quiconque est susceptible de faire l’un ou l’autre.) C’est logique. Plutôt que de limiter le recrutement à des hommes et à des femmes qui remplissent un certain nombre de critères physiques, on choisit les candidats en fonction de leur intelligence et de leurs aptitudes psychologiques – et ensuite, on ajoute, de manière artificielle, les caractéristiques physiques secondaires mais utiles, telles que la taille, la force et l’agilité.

Nous sommes donc des monstres, fabriqués et conditionnés pour remplir les exigences de notre travail. Mais moins que les soldats et les athlètes professionnels. Et bien moins encore que les membres des gangs de rues – qui n’hésitent pas un instant à utiliser des facteurs de croissance illégaux qui abaissent leur espérance de vie à environ trente ans. Sans armes, mais bourrés d’un mélange de Berserker et de Timewarp – qui les rend insensibles à la douleur ainsi qu’à la plupart des traumatismes physiques, et qui divise leur temps de réaction par vingt – ils peuvent liquider en cinq minutes une centaine de personnes dans une foule avant de se mettre à l’abri pour redescendre et affronter les deux semaines d’effets secondaires qui les attendent. [...]

Oui, nous sommes des monstres. Mais si nous avons des problèmes, cela vient du fait que nous sommes restés encore bien trop humains.

Auteur: Egan Greg

Info: Dans "Axiomatique", trad. de l'anglais (Australie) par Sylvie Denis, Francs Lustman, Quarante-Deux, Francis Valéry, éditions Le Bélial, 2022, pages 96-97

[ sur-mesure ] [ drogue ] [ pharmacopée ] [ limites ]

réflexion stéréotypée

[Günther]Anders montre que Heidegger a donné du Dasein une vision étroite marquée par une double omission – en bas et en haut en quelque sorte, ce qui correspond à ce qu’Anders appelle la mise hors-jeu du naturalisme (la nature) et du supranaturalisme (la culture). Or, c’est le défaut ontique de l’homme (c’est-à-dire son manque relatif de nature) qui est la condition de possibilité de production d’un supplément ontologique (la culture), laquelle le lance dans l’aventure historique avec des formations telles que la morale, le social, les lois, les institutions du droit. [...]

Il semble donc que Heidegger reste prisonnier du point de vue aristocratique grec, présent dès les présocratiques, seuls encore soucieux de l’Être selon Heidegger (Platon encore un peu – dans Le Sophiste -, Aristote presque plus, et encore moins la philosophie traditionnelle qui a délaissé l’Être pour ne s’intéresser qu’à l’Etant et notamment au premier d’entre eux, Dieu, de même qu’aux étants comme réserve calculable et exploitable d’énergie). Il manque en somme à cette élaboration une critique radicale des fondations de la philosophie qui ont laissé croire que son exercice impliquait la relégation du travail. Par conséquent, on peut dire que lui, Heidegger (et Hannah Arendt à sa suite), n’a fait que prolonger la métaphysique occidentale là même où il pensait s’en affranchir en la refondant (dans les années 1920), en la renversant (dans les années 1930-1945), en la remplaçant par une nouvelle pensée où l’art tient une place déterminante (après 1945). Faute de cette mise en question, il a raté l’analyse du cœur du délire occidental. Il eût fallu pour cela mettre en jeu, à la place de la notion culpabilisante (et crypto-chrétienne) d’inauthenticité, un concept comme celui, par exemple, d’aliénation (qui a une longue histoire depuis La Boétie et son Discours de la servitude volontaire) qui aurait permis d’analyser pourquoi la classe "vile" peut suivre des objectifs qui ne sont nullement les siens, mais ceux des classes nobles. Faute de cela, le malheur du monde paraît incomber à ceux qui en sont les premières victimes.

Auteur: Dufour Dany-Robert

Info: "Le délire occidental", éditions Les liens qui libèrent, 2014, pages 46 à 48

[ critique ] [ échec ] [ limites ]

question

La séparabilité dynamique est "une sorte d'hypothèse du réductionnisme", explique M. Ormrod. "On peut expliquer les grandes choses en termes de petits morceaux.

Le fait de préserver le caractère absolu des événements observés pourrait signifier que ce réductionnisme ne tient pas : tout comme un état non local de Bell ne peut être réduit à certains états constitutifs, il se peut que la dynamique d'un système soit également holistique, ce qui ajoute un autre type de nonlocalité à l'univers. Il est important de noter que le fait d'y renoncer ne fait pas tomber une théorie en contradiction avec les théories de la relativité d'Einstein, tout comme les physiciens ont soutenu que la non-localité de Bell ne nécessite pas d'influences causales superluminales ou non locales, mais simplement des états non séparables.

"Peut-être que la leçon de Bell est que les états des particules distantes sont inextricablement liés, et que la leçon des nouveaux théorèmes est que leur dynamique l'est aussi", ont écrit Ormrod, Venkatesh et Barrett dans leur article.

"J'aime beaucoup l'idée de rejeter la séparabilité dynamique, car si cela fonctionne, alors ... nous aurons le beurre et l'argent du beurre", déclare Ormrod. "Nous pouvons continuer à croire ce que nous considérons comme les choses les plus fondamentales du monde : le fait que la théorie de la relativité est vraie, que l'information est préservée, et ce genre de choses. Mais nous pouvons aussi croire à l'absoluité des événements observés".

Jeffrey Bub, philosophe de la physique et professeur émérite à l'université du Maryland, College Park, est prêt à avaler quelques pilules amères si cela signifie vivre dans un univers objectif. "Je voudrais m'accrocher à l'absoluité des événements observés", déclare-t-il. "Il me semble absurde d'y renoncer simplement à cause du problème de la mesure en mécanique quantique. À cette fin, Bub pense qu'un univers dans lequel les dynamiques ne sont pas séparables n'est pas une si mauvaise idée. "Je pense que je serais provisoirement d'accord avec les auteurs pour dire que la non-séparabilité [dynamique] est l'option la moins désagréable", déclare-t-il.

Le problème est que personne ne sait encore comment construire une théorie qui rejette la séparabilité dynamique - à supposer qu'elle soit possible à construire - tout en conservant les autres propriétés telles que la préservation de l'information et la non-localité de Bell.

Auteur: Ananthaswamy Anil

Info: "Newtonian Space-Time", Texas Quarterly 10 : 174-200, May 22, 2023. Extrait de l'article : Le "problème de la mesure" de la théorie quantique pourrait être une pilule empoisonnée pour la réalité objective. La résolution d'un problème quantique notoire pourrait nécessiter l'abandon de certaines des hypothèses les plus chères à la science concernant le monde physique.

[ recherche fondamentale ] [ limites anthropiques ]

autodestruction

La science moderne et l’état totalitaire constituent, en tant que conséquences nécessaires du déploiement essentiel de la technique, en même temps sa suite. Il en est de même pour les formes et les moyens mis en œuvre pour l’organisation de l’opinion publique mondiale et des représentations quotidiennes des hommes. Non seulement, dans l’élevage et l’exploitation, la vie est objectivée par une technique, mais l’attaque de la physique nucléaire sur les phénomènes de la vie comme telle est en plein développement. Au fond, c’est l’essence vivante elle-même qui est censée se livrer à la production technique.

Que l’on croie trouver aujourd’hui tout sérieusement, dans les résultats et dans la situation de la physique atomique, des possibilités de prouver la liberté humaine et d’ériger une nouvelle doctrine des valeurs, n’est qu’un exemple de plus de la domination de la représentation technique dont le déploiement s’est pourtant déjà depuis longtemps soustrait au domaine des idées et opinions personnelles. (…)

A la place de ce que la teneur en monde, jadis sauvegardée, des choses recelait en dons, se pousse de plus en plus rapidement, de plus en plus brutalement, de plus en plus complètement, l’objectivité de la domination technique sur la terre. Non seulement elle pose l'étant comme susceptible d’être produit dans le processus de la production, mais encore elle délivre les produits de la production par l’intermédiaire du marché (Markt). L’humanité de l’homme et la choséité des choses se diluent, à l’intérieur du propos délibéré d’une production, dans la valeur mercuriale d’un marché qui non seulement embrasse, comme marché mondial, la terre entière, mais qui, en tant que volonté de volonté, tient marché dans l’essence même de l’être et fait ainsi venir tout étant au tribunal d’un calcul général dont le règne est plus tenace là même où les nombres ne paraissent pas en propre. (…)

Ce n’est pas la bombe atomique, dont on discourt tant, qui est mortelle, en tant que machine toute spéciale de la mort. Ce qui depuis longtemps déjà menace l’homme de mort, et non pas d’une mort quelconque, mais de celle de son essence humaine, c’est l’inconditionnel du pur vouloir, au sens de l’auto-imposition délibérée en tout et contre tout. Ce qui menace l’homme en son être, c’est cette opinion qui veut se faire accroire à elle-même et selon laquelle il suffit de délier, de transformer, d’accumuler et de diriger pacifiquement les énergies naturelles pour que l’homme rende la condition humaine supportable pour tous et, d’une manière générale, "heureuse".

Auteur: Heidegger Martin

Info: Dans "Pourquoi des poètes ?" in Chemins qui ne mènent nulle part, pp. 348-349 & 351-354

[ limite ] [ illusions ] [ fantasme de toute-puissance ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

[ ratatinement ] [ limite de conservation ] [ apparences ] [ topologie ] [ recherche ] [ densification ]