théorie-pratique

La montagne exerce un magnétisme immatériel et séduisant auquel il me paraît impossible de résister. Elle formule une contradiction à la fois irritante et fascinante. L'alpinisme a rarement un sens, mais on s'y sent presque toujours à sa place. Syd Marty, poète canadien de la montagne, écrivait dans son poème "Abbot" :
"Les hommes tombent des montagnes car
ils n'ont rien à y faire
C'est pourquoi ils y vont, c'est pourquoi ils y meurent."
J'ai parfois la sensation de comprendre l'étrange beauté de ce texte et sa signification profonde, mais cela s'évanouit aussitôt. C'est comme si je ne pouvais tirer sur le fil sans risquer de tout défaire et de tout perdre. On ne peut pas analyser ce sentiment, mais seulement le vivre.

Auteur: Simpson Joe

Info: Eiger, la dernière course

[ escalade ]

interrogation

L’ancienne question de savoir si, sous certaines conditions, l’état psychique de l’observateur pourrait influencer le déroulement de la nature matérielle extérieure n’a pas de place dans la physique d’aujourd’hui. La réponse était évidemment affirmative pour les anciens alchimistes. Dans le siècle dernier, un esprit critique tel que le philosophe Arthur Schopenhauer, excellent connaisseur et admirateur de Kant, a considéré dans son essai Magnétisme animal et magie que les effets dits magiques étaient largement possibles et il les a interprétés dans sa terminologie particulière comme des "influences directes de la volonté qui vont au delà des limites de l’espace et du temps". Sous cet angle on ne peut pas dire que des raisons philosophiques a priori soient suffisantes pour refuser immédiatement de telles possibilités.

Auteur: Pauli Wolfgang

Info: La science et la pensée occidentale

[ rationalisme ] [ esprit-matière ]

ouverture

Lorsque la guerre s'achève enfin, je ne sais pas trop quoi faire. ... J'ai fait le point sur mes qualifications. Un diplôme médiocre, quelque peu compensé par mes réalisations à l'Amirauté. Une connaissance de certaines parties restreintes du magnétisme et de l'hydrodynamique, deux sujets pour lesquels je n'éprouvais pas le moindre enthousiasme.

Aucun article publié... [Ce n'est que progressivement que j'ai réalisé que ce manque de qualification pouvait être un avantage. Lorsque la plupart des scientifiques atteignent l'âge de trente ans, ils sont pris au piège de leur propre expertise. Ils se sont tellement investis dans un domaine particulier qu'il est souvent extrêmement difficile, à ce moment de leur carrière, d'opérer un changement radical. Pour ma part, je ne connaissais rien, si ce n'est une formation de base en physique et en mathématiques quelque peu démodée et une capacité à me tourner vers la nouveauté. ... Comme je ne savais rien, j'étais presque totalement libre de mes choix. ...

Auteur: Crick Francis Harry Compton

Info: In What Mad Pursuit (1988).

[ jeunesse ] [ ignorance ] [ curiosité ]

spiritisme

Un homme de science ne sera point satisfait et sera loin d’approuver des communications idiotes d’Alexandre le Grand, de César, du Christ, de la Sainte Vierge, de saint Vincent de Paul, de Napoléon Ier, de Victor Hugo, etc., que soutiennent exactes une foule de pseudo-médiums. L’abus des grands noms est détestable, car il fait naître le scepticisme. Nous avons souvent démontré à ces médiums qu’ils se trompaient, en posant, aux soi-disant esprits présents, des questions qu’ils devaient connaître, mais que les médiums ignoraient. Ainsi, par exemple, Napoléon Ier ne se souvenait plus de Waterloo ; saint Vincent de Paul ne savait plus un mot de latin ; le Dante ne comprenait pas l’italien ; Lamartine, Alfred de Musset étaient incapables d’accoupler deux vers. Prenant ces esprits en flagrant délit d’ignorance et faisant toucher la vérité du doigt à ces médiums, pensez-vous que nous ébranlions leur conviction ? Non, car l’esprit-guide soutenait que nous étions de mauvaise foi et que nous cherchions à empêcher une grande mission de s’accomplir, mission dévolue à son médium. Nous avons connu plusieurs de ces grands missionnaires qui ont terminé leur mission dans des maisons spéciales !

Auteur: Moutin Lucien

Info: Le magnétisme humain, l'hypnotisme et le spiritualisme moderne, p. 370-371

[ incohérence ] [ abus ] [ erreur d'interprétation ] [ aliénation ] [ folie ]

sécularisation

D'obédience pentecôtiste, Hillsong est une Église évangélique fondée en 1983 par le pasteur australien Brian Houston et sa femme Bobbie. Elle est aujourd'hui implantée dans le monde entier. L'influence de cette megachurch que certain·es comparent à un empire s'étend ainsi dans une vingtaine de pays. De Bali à Buenos Aires, en passant par Berlin, Oslo, Paris, Moscou ou encore Johannesburg, on y retrouve partout la même recette qui a fait le succès d'Hillsong: des shows spectaculaires où le rock chrétien occupe une place centrale. Depuis sa création, l'Église a en effet produit pas loin de soixante-trois albums, le second opus de son groupe Hillsong Young & Free lui valant même une nomination aux Grammy Awards.

Avec, d'après son site officiel, pas loin de 110.000 dollars (98.000 euros) de recettes en 2017 et une affluence de 130.000 personnes par semaine, le succès d'Hillsong ne semble pas se démentir. La raison de cette réussite: le magnétisme qu'elle opère sur les plus jeunes, puisque près de 70% de ses fidèles ont moins de 34 ans. Pour ramener ce public sur les bancs de l'église, Hillsong a mis en place une stratégie qui leur parle. Présente sur YouTube, elle est aussi sur Instagram, où elle reprend les codes graphiques des millennials. En France, l'Église, implantée dans les villes de Paris, Massy, Lyon et Marseille, communique sur ses soirées "Cœur et âme" ou ses aprèms "Ping-pong et Planchas". Les fidèles les plus fervent·es peuvent même se laisser tenter par le tote bag "†=♥" ou par des casquettes et bonnets siglés.

Auteur: Rey Adrienne

Info: https://www.slate.fr/story/175113/hillsong-eglise-evangelique-millennials?

[ adaptation ] [ entertainment ] [ temps modernes ] [ réinvention ] [ drague ] [ prosélytisme ] [ secte ]

évolutionisme

Ceci nous amène à nous interroger sur les raisons qui plaident en faveur de cette nouvelle théorie de la trans-mutation. Le commencement des choses se trouve nécessairement dans l'obscurité, au-delà des limites de la preuve, tout en restant à l'intérieur de celles de la conjecture ou de l'inférence analogique. Pourquoi ne pas s'en tenir à l'opinion habituelle, que toutes les espèces furent créées directement, et non indirectement, d'après leurs genres respectifs, tels que nous les voyons aujourd'hui, et cela d'une manière qui, dépassant notre entendement, renverra intuitivement au surnaturel ? Pourquoi cette recherche continuelle de "l'inaccessible et de l'obscur", ces efforts anxieux, surtout depuis quelques années, des naturalistes et des philosophes de diverses écoles et de diverses tendances, pour pénétrer ce que l'un d'eux appelle "le mystère des mystères", c'est-à-dire l'origine des espèces ? A cette question, en général, on peut trouver une réponse suffisante dans l'activité de l'intellect humain, "le désir délirant, mais divin, de savoir", stimulé comme il l'a été par son propre succès dans le dévoilement des lois et des processus de la nature inorganique, dans le fait que les principaux triomphes de notre époque en science physique ont consisté à tracer des liens là où aucun n'avait été identifié auparavant, à ramener des phénomènes hétérogènes à une cause ou à une origine commune, d'une manière tout à fait analogue à celle qui consiste à ramener des espèces supposées indépendantes à une origine ultime commune ; ainsi, et de diverses autres manières, à étendre largement et légitimement le domaine des causes secondaires. Il est certain que l'esprit scientifique d'une époque qui considère le système solaire comme issu d'une masse fluide commune en rotation, qui, par la recherche expérimentale, en est venu à considérer la lumière, la chaleur, l'électricité, le magnétisme, les affinités chimique et la puissance mécanique comme des variétés ou des formes dérivées et convertibles d'une seule force, plutôt que comme des espèces indépendantes, qui a réuni les types de matière dits élémentaires, tels que les métaux, dans des groupes apparentés, et qui a soulevé la question de savoir si les membres de ces groupes pouvaient être des espèces indépendantes, est en droit de s'attendre à ce qu'il en soit ainsi, et qui pose la question de savoir si les membres de chaque groupe ne sont pas de simples variétés d'une même espèce, tout en spéculant avec constance dans le sens d'une unité ultime de la matière, d'une sorte de prototype ou d'élément simple qui pourrait être pour les espèces ordinaires de matière ce que les protozoaires ou les cellules constitutives d'un organisme sont pour les espèces supérieures d'animaux et de plantes, on ne peut s'attendre à ce que l'esprit d'une telle époque laisse passer sans discussion l'ancienne croyance sur les espèces.

Auteur: Gray Asa

Info: Darwin on the Origin of Species", The Atlantic Monthly (juillet 1860),

[ historique ] [ tour d'horizon ] [ curiosité ] [ rationalisme monothéiste ] [ source unique ] [ matérialisme ]

occultisme

Emmanuel-Marc-Henri Lalande, né à Nancy en 1868, fit à Paris ses études de médecine. Il y fréquenta les milieux littéraires du symbolisme puis les occultistes de la Librairie du Merveilleux, où Papus le prit en amitié comme il fit avec Sédir ; il lui demanda sa collaboration à sa revue L’Initiation et le fit admettre dans plusieurs ordres initiatiques. C’est alors que celuici prit le pseudonyme de Marc Haven – en adoptant le nom de Haven, génie de la Dignité, dans le Nuctémaron d’Appolonus de Tyane. Lorsqu’il eut passé son doctorat, en 1896, Papus lui conseilla de s’installer à Lyon et il lui fit connaître Monsieur Philippe.

Tout en exerçant sa profession de docteur, dans son propre cabinet et dans un service de l’hôpital Saint-Luc, il fréquenta assidûment Monsieur Philippe. Il le seconda dans les séances de guérison données rue Tête-d’Or. Sa présence, et la validation des ordonnances, permirent d’atténuer, sinon d’empêcher, les poursuites engagées contre le thaumaturge pour son exercice illégal de la médecine. Une école de magnétisme avait été créée à Lyon sur l’initiative de Henri Durville. Marc Haven et Papus y firent des exposés sur la physiologie et l’anatomie. Selon Alfred Haehl qui les fréquentait : "Ces cours n’avaient qu’un rapport très relatif avec le magnétisme fluidique tel qu’il est compris et appliqué ordinairement. Ils étaient surtout destinés aux fidèles auditeurs qui désiraient soigner les malades".

En 1897, Marc Haven fit un mariage très heureux avec Jeanne-Victoire Philippe, fille de son maître ; mais il fut très éprouvé par la mort de ces deux êtres chers : elle en 1904 et lui en 1905. Après être resté longtemps désemparé, il se remaria en 1913 avec Marie-Olga Chestakoff, veuve depuis peu, amie très proche des familles Philippe et Lalande et ils allèrent se fixer dans le Var. Pendant la guerre de 1914-1918, il soigna des blessés à l’hôpital de Nice, ville où il ouvrit ensuite un cabinet de radiologie. Il décéda en 1926, dans la banlieue de Paris où il était revenu habiter, après une longue maladie qu’il accepta avec le silencieux respect de son destin.

Marc Haven écrivit plusieurs ouvrages fort savants et il fit rééditer, en les préfaçant, de nombreux livres anciens. Le plus important de ses travaux fut son livre consacré au Maître inconnu Cagliostro, composé en mémoire de Monsieur Philippe, et en réhabilitation de son héros injustement calomnié et condamné ; et afin d’aider à les comprendre l’un par l’autre. "J’ai pris un personnage – Cagliostro – qui lui ressemblait, pour parler de lui. En relisant mon Maître inconnu, vous y trouverez beaucoup de choses de lui".

Marc Haven entreprit aussi la traduction du Tao te King de Lao Tseu, pour laquelle il apprit le chinois, et en l’accompagnant d’une importante étude. Sa traduction, interrompue par sa mort, fut terminée par son fidèle disciple Daniel Nazir.

Enfin son dernier ouvrage, Le corps, le cœur de l’homme et l’esprit est un guide d’élévation spirituelle. Savant connaisseur du corps humain, de l’ésotérisme et de la mystique, il appuie sa démonstration par des faits, des textes de la sagesse universelle et par des paroles de Monsieur Philippe.

Auteur: Allié Georges

Info:

[ biographie ] [ parcours ]

particules élémentaires

Les imprévisibles effets de l'interaction forte continuent de surprendre les physiciens

Après plus d'un siècle de collision de particules, les physiciens ont une assez bonne idée de ce qui se passe au cœur de l'atome. Les électrons bourdonnent dans des nuages probabilistes autour d'un noyau de protons et de neutrons, chacun contenant un trio de particules bizarres appelées quarks. La force qui maintient tous les quarks ensemble pour former le noyau est la force forte, la bien nommée. C'est cette interaction forte qui doit être surmontée pour diviser l'atome. Et cette puissante force lie les quarks ensemble si étroitement qu'aucun quark n'a jamais été repéré en solo.

Ces caractéristiques des quarks, dont beaucoup peuvent être expliquées dans un cours de sciences au lycée, ont été établies comme des faits expérimentaux. Et pourtant, d'un point de vue théorique, les physiciens ne peuvent pas vraiment les expliquer.

Il est vrai qu'il existe une théorie de la force forte, et c'est un joyau de la physique moderne. Elle se nomme chromodynamique quantique (QCD), " chromo " faisant référence à un aspect des quarks appelé poétiquement " couleur ". Entre autres choses, la QCD décrit comment la force forte s'intensifie lorsque les quarks se séparent et s'affaiblit lorsqu'ils se rassemblent, un peu comme une bande élastique. Cette propriété est exactement à l'opposé du comportement de forces plus familières comme le magnétisme, et sa découverte dans les années 1970 a valu des prix Nobel. D'un point de vue mathématique, les quarks ont été largement démystifiés.

Cependant, les mathématiques fonctionnent mieux lorsque la force entre les particules est relativement faible, ce qui laisse beaucoup à désirer d'un point de vue expérimental. Les prédictions de la CDQ furent confirmées de manière spectaculaire lors d'expériences menées dans des collisionneurs qui rapprochèrent suffisamment les quarks pour que la force forte entre eux se relâche. Mais lorsque les quarks sont libres d'être eux-mêmes, comme c'est le cas dans le noyau, ils s'éloignent les uns des autres et exercent des pressions sur leurs liens de confinement, et la force forte devient si puissante que les calculs stylo papier sont mis en échec. Dans ces conditions, les quarks forment des protons, des neutrons et une multitude d'autres particules à deux ou trois quarks, généralement appelées hadrons, mais personne ne peut calculer pourquoi cela se produit.

Pour comprendre les bizarreries dont les quarks sont capables, les physiciens ne peuvent que lancer des simulations numériques de force brute (qui ont fait des progrès remarquables ces dernières années) ou regarder les particules ricocher dans de bonnes expériences de collisionnement à l'ancienne. Ainsi, près de 60 ans après que les physiciens aient formalisé le quark, la particule continue de surprendre.

Quoi de neuf et digne de mention

Pas plus tard que l'été dernier, la collaboration du LHCb au Grand collisionneur de hadrons en Europe a repéré des signes de deux variétés jusqu'alors inédites de quarks, les tétraquarks, furtivement observés à travers les tunnels souterrains du collisionneur. Cataloguer la diversité des comportements des quarks aide les physiciens à affiner leurs modèles pour simplifier les complexités de la force forte en fournissant de nouveaux exemples de phénomènes que la théorie doit rendre compte.

Les tétraquarks ont été découverts pour la première fois au LHC à l'été 2014, après plus d'une décennie d'indices selon lesquels les quarks pourraient former ces quatuors, ainsi que des groupes de deux ou trois. Cette découverte a alimenté un débat qui s'est enflammé malgré une question apparemment ésotérique: faut-il considérer quatre quarks comme une "molécule" formée de deux hadrons doubles quarks faiblement attirés connus sous le nom de mésons, ou s'assemblent-ils en paires plus inhabituelles connues sous le nom de diquarks?

Au cours des années qui suivirent, les physiciens des particules accumulèrent des preuves de l'existence d'une petite ménagerie de tétraquarks exotiques et de " pentaquarks " à cinq quarks. Un groupe se détacha en 2021, un tétraquark " à double charme " qui vécut des milliers de fois plus longtemps que ses frères exotiques (à 12 sextillionièmes de seconde comme le Methuselah). Il a prouvé qu'une variété de quark — le quark charme — pouvait former des paires plus résistantes que la plupart des suppositions ou des calculs minutieux l'avaient prédit.

À peu près à la même époque, les chercheurs ont mis au point une nouvelle façon de tamiser le maelström qui suit une collision proton-proton à la recherche d'indices de rencontres fortuites entre des composites de quarks. Ces brefs rendez-vous permettent de déterminer si un couple donné de hadrons attire ou repousse, une prédiction hors de portée du QCD. En 2021, les physiciens ont utilisé cette technique de "femtoscopie" pour apprendre ce qui se passe lorsqu'un proton s'approche d'une paire de quarks " étranges ". Cette découverte pourrait améliorer les théories sur ce qui se passe à l'intérieur des étoiles à neutrons.

L'année dernière, les physiciens ont appris que même les quarks de l'atome d'hélium, très étudié, cachent des secrets. Les atomes d'hélium dénudés ont inauguré le domaine de la physique nucléaire en 1909, lorsque Ernest Rutherford (ou plutôt ses jeunes collaborateurs) les projeta sur une feuille d'or et découvrit le noyau. Aujourd'hui, les atomes d'hélium sont devenus la cible de projectiles encore plus petits. Au début de l'année 2023, une équipe a tiré un flux d'électrons sur des noyaux d'hélium (composés de deux protons et de deux neutrons) et a été déconcertée de constater que les cibles remplies de quarks gonflaient bien plus que ce que la CDQ leur avait laissé supposer.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/, Charlie Wood, 19 fev 2024

[ fermions ] [ bosons ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]