drogue

L'héroïne est un caisson de privation sensorielle pour l'âme. Quand on flotte sur la mer Morte de la came, il n'y a plus aucune sensation de douleur, de regret ou de honte, plus aucun sentiment de culpabilité, plus aucun chagrin, plus de dépression et plus de désir. Un univers de sommeil envahit et enveloppe chaque atome de l'existence. Une tranquillité et une paix non sensibles chassent la peur et la souffrance. Les pensées se balancent comme des algues dans la mer et disparaissent dans une somnolence grise, lointaine, imperceptible, et indéterminée. Le corps succombe à un effondrement cryogénique : le cœur apathique bat faiblement, la respiration se réduit lentement à de vagues murmures. Un profond engourdissement proche du nirvana saisit les membres, et plus loin, plus profond, le dormeur glisse et plane vers l'oubli, la came parfaite et éternelle.

Auteur: Roberts Gregory David

Info: Shantaram

[ morphine ] [ perfection ] [ anesthésie ]

rapports humains

Tout d'un coup, j'ai repensé à un incident, à la Poste. Fin de journée, tout le monde était énervé, fatigué. Un gamin hurlait, hurlait encore, ne s'arrêtait pas de hurler. La queue lançait de sales regards au sale mouflet, puis il y avait eu des murmures : "Sa mère pourrait lui dire de se tenir, tout de même." "Les gosses, de nos jours, on leur passe tous leurs caprices"... Alors la mère s'était mise à crier : "Mon fils est autiste, il ne supporte pas ni la foule ni les bruits, je n'y peux rien, il faut bien qu'il sorte de la maison, non ? Je dois le garder enfermé ?" D'un mur à l'autre, toute la Poste avait été envahie d'un silence immense. Moi j'étais écartelée, à moitié du côté de cette femme désespérée, et à moitié du côté des gens "normaux".

Auteur: Baussier Sylvie

Info: Condamnée à écrire

[ compréhension ] [ tolérance ] [ bruit ]

hypersensibilité

Mais c'étaient surtout les images imperceptibles de mon esprit, les rares syllabes que je prononçais qui me faisaient peur. Il suffisait d'une pensée que je ne parvenais pas même à fixer, d'un simple frétillement de signification violacé, un hiéroglyphe vert de mon cerveau, pour que le malaise réapparaisse et que la panique croisse en moi. Qu'en certains recoins de la maison revinssent des ombres trop drues, humides, avec leurs murmures, les mouvements rapides de masses sombres et j'étais saisie d'épouvante. Alors, je me surprenais à allumer et à éteindre mécaniquement la télévision, rien que pour me tenir compagnie, à chantonner une berceuse dans le dialecte de mon enfance, ou l'écuelle vide d'Otto près du réfrigérateur me causait une souffrance insupportable, ou bien, en proie à une somnolence immotivée, je me retrouvais étendue sur le divan, occupée à me caresser les bras non sans les marquer du tranchant de mes ongles.

Auteur: Ferrante Elena

Info: Les Jours de mon abandon

[ angoisse ] [ déclic ]

femmes-par-homme

Pour la première fois, il réfléchit sur l’être de la femme, sur l’essence du féminin. Il a la révélation que le charme de la femme, quand celle-ci n'est pas rabaissée par toutes sortes de conditions extérieures, vient de ce qu’elle est la magique transformatrice, virtuellement capable de tout retourner en grâce aérienne, et aucune tentative de l’avilir n’y peut rien. Elle est chair certes, mais combien cette chair se transmue sans cesse en murmures, en parfums, en radiance, en ondes infinies dont il importe de ne pas étouffer la musique. À bien y réfléchir, le corps de la femme incarne le plus ardent miracle de la nature. Ou, plus précisément, c’est la nature qui en elle se résume en miracle. N'est-il pas vrai que toute beauté de la nature s’y trouve : douce colline, secrète vallée, source et prairie, fleur et fruit ? Ne faut-il pas alors appréhender ce corps comme un paysage ?

Auteur: Cheng François

Info: L'éternité n'est pas de trop

[ étonnantes ] [ merveilleuses ]

gamins

Enfant, vous êtes l'aube et mon âme est la plaine

Qui des plus douces fleurs embaume son haleine

Quand vous la respirez ;

Mon âme est la forêt dont les sombres ramures

S'emplissent pour vous seul de suaves murmures

Et de rayons dorés !



Car vos beaux yeux sont pleins de douceurs infinies,

Car vos petites mains, joyeuses et bénies,

N'ont point mal fait encor ;

Jamais vos jeunes pas n'ont touché notre fange,

Tête sacrée ! enfant aux cheveux blonds ! bel ange

À l'auréole d'or !



Vous êtes parmi nous la colombe de l'arche.

Vos pieds tendres et purs n'ont point l'âge où l'on marche.

Vos ailes sont d'azur.

Sans le comprendre encor vous regardez le monde.

Double virginité ! corps où rien n'est immonde,

Âme où rien n'est impur !

Auteur: Hugo Victor

Info: Les Orientales - Les Feuilles d'automne

[ poème ]

profondeur

Au fond c'est très simple... En parodiant un peu ce que l'on raconte en Inde, on peut écrire ceci : l'homme pense que les montagnes sont des montagnes et que les fleuves sont les fleuves. Le scientifique sait que les montagnes ne sont pas des montagnes et que les fleuves ne sont pas des fleuves (mais des phénomènes géologiques ou géographiques complexes). Le sage sait que les montagnes ne sont que les montagnes et que les fleuves ne sont que les fleuves.
Passer du simple au complexe [...] n'est qu'une étape, absolument indispensable. Mais au-delà de cette complexité apparaît une autre connaissance, d'une totale simplicité. Pour accéder à celle-ci, on ne peut pas faire l'impasse sur le travail et l'approfondissement. On ne passe pas du stade de l'apparence à celui de la légèreté. La simplicité que j'appellerai "paresseuse", appelons-la simpliste, laisse place peu à peu à une complexité de plus en plus grande, laquelle peut parfois déboucher sur une simplicité essentielle. Brancusi le disait ainsi : "La simplicité n'est pas un but, mais on arrive à la simplicité malgré soi, en s'approchant du sens réel des choses.
[...] Tous semblables dans notre humaine condition. C'est ce qu'écrit aussi Khalil Gibran (Le sable et l'écume) : Ouvre l'oeil et regarde, tu verras ton visage dans tous les visages. Tends l'oreille et écoute, tu entendras ta propre voix dans toutes les voix."
[...] Réfléchir, pour finir, à cette phrase du Bouddha : "Le mal c'est l'inutile". Peut-on faire plus simple ?

Auteur: Bacus-Lindroth Anne

Info: Murmures sur l'essentiel, Anne Carrière/Essai, Diffusion Hachette, 1998, pp. 67-69

[ littérature ]

femmes-hommes

Connor se retourna quand il entendit la porte s'ouvrir.
Son silence choqué la fit se sentir très seule et terriblement exposée, comme si elle se retrouvait nue sur une scène, face aux murmures de la salle. Connor ouvrit la bouche. La referma. Sa pomme d'Adam fit un aller-retour dans sa gorge.
- Seigneur, souffla-t-il d'une voix rauque. Mais qu'est-ce que tu fais ?
Ses lèvres se mirent à trembler, puis son menton.
- Je ne sais pas, murmura-t-elle.
Elle ne savait pas du tout ce qu'elle faisait, mais apparemment, ce n'était pas la chose à faire.
Et voilà. Le pire des scénarios possibles. Dans des moments pareils, une femme doit se montrer forte.
Ses yeux s'embuèrent et elle se retourna.
- Je vais me rhabiller, marmonna-t-elle. Excuse-moi.
Aveuglée par les larmes, elle s'élança vers ce qu'elle estimait être la direction de la salle de bains.
Connor l'attrapa par-derrière, la fit pivoter sur elle-même et la plaqua contre le mur.
- Pas si vite. Attends une minute.
Son visage furieux n'était qu'à quelques centimètres du sien. Son torse nu effleurait ses pointes de seins. Elle ouvrit la bouche, mais aucun son n'en sortit.
- Comment oses-tu sortir de la salle de bains toute nue et me planter là comme ça !
- Mais je... Mais je pensais...
- Quoi ? Tu pensais quoi ? Que te promener toute nue sous mon nez serait sympa ? Que balancer l'appât pour me faire bondir serait rigolo ?
Sa fureur inexplicable la déroutait.
- Connor, je...
- Je t'interdis de m'allumer comme ça, Erin. Tu m'entends ? Je te l'interdis !

Auteur: McKenna Shannon

Info: Les frères McCloud, tome 2 : Au-delà de la trahison

[ attirance ]

hallucination

De toute façon, il pensait lentement, les mots lui coûtaient un effort, il n’en avait jamais assez, et parfois, lorsqu’il parlait avec quelqu’un, il arrivait que son interlocuteur, tout à coup, le regardât avec étonnement, ne comprenant pas tout ce qu’il pouvait y avoir dans un seul mot, quand Moosbrugger lentement l’extrayait. Il enviait tous les hommes qui avaient appris dès leur jeunesse à parler facilement ; lui, comme par dérision, les mots lui collaient au palais comme de la gomme juste au moment où il en avait le plus urgent besoin ; alors, il se passait parfois un temps interminable jusqu’à ce qu’il réussît à dégager une syllabe, et repartît. […]

La conscience que sa langue, ou quelque chose de plus profond encore en lui, était paralysé comme par de la colle, lui donnait un sentiment d’insécurité pitoyable qu’il lui fallait pendant des jours s’efforcer de dissimuler. Alors apparaissait soudain une subtile, on pourrait presque dire même une silencieuse frontière. Tout d’un coup, un souffle glacé était là. Ou bien, tout près de lui, dans l’air, une grosse boule émergeait et s’enfonçait dans sa poitrine. Dans le même moment, il sentait quelque chose sur lui, dans ses yeux, sur ses lèvres, ou bien dans les muscles faciaux ; il y avait comme une disparition, un noircissement de tout ce qui l’entourait, et tandis que les maisons se posaient sur les arbres, un ou deux chats, peut-être, se sauvant à toute vitesse, bondissaient hors du taillis. Cela ne durait qu’une seconde, puis tout était de nouveau comme avant. […]

Ces périodes étaient tout entières sens ! Elles duraient parfois quelques minutes, parfois elles s’étendaient sur toute une journée, parfois encore elles se prolongeaient en d’autres, semblables, qui pouvaient durer des mois. Pour commencer par ces dernières, parce qu’elles sont les plus simples, […] c’étaient des périodes où il entendait des voix, de la musique, ou bien des souffles, des bourdonnements, des sifflements aussi, des cliquetis, ou encore des coups de feu, de tonnerre, des rires, des appels, des paroles, des murmures. Cela lui venait de partout ; c’était logé dans les cloisons, dans l’air, dans les habits et dans son corps même. Il avait l’impression qu’il portait cela dans son corps tant que cela restait muet ; mais dès que cela éclatait, cela se cachait dans les environs, quoique jamais très loin de lui. Quand il travaillait, les voix protestaient contre lui, le plus souvent avec des mots détachés ou de courtes phrases, elles l’injuriaient, le critiquaient, et quand il pensait à quelque chose, elles l’exprimaient avant qu’il en ait eu le temps, ou disaient malignement le contraire de ce qu’il voulait. Que cela suffît à le faire juger malade, Moosbrugger ne pouvaient qu’en rire ; lui-même ne traitait pas ces voix et ces visions autrement que si ç’avait été des singes. Cela le distrayait de les entendre et de les voir se démener ; c’était incomparablement plus beau que les pensées pesantes et tenaces qu’il avait lui-même, mais quand elles le gênaient trop, il se mettait en colère, finalement c’était assez naturel. [...]

Il lui était arrivé dans sa vie de dire à une fille : "Votre bouche est une rose !" mais tout à coup le mot se défaisait aux coutures, et quelque chose de très pénible se produisait : le visage devenait gris comme la terre que couvre le brouillard, et devant lui, sur une longue tige, une rose se dressait ; affreusement grande alors était la tentation de prendre un couteau, de la couper ou de la frapper pour qu’elle rentrât de nouveau dans le visage. 

Auteur: Musil Robert

Info: Dans "L'homme sans qualités", tome 1, trad. Philippe Jaccottet, éditions du Seuil, 1957, pages 372-375

[ point de vue intérieur ] [ cristallisation signifiante ] [ décompensation psychotique ]

racisme

Et donc je pris un car à Greyhound pour Los Angeles qui s'arrêtait dans toutes les petites villes du désert. Le type assis à côté de moi était un vieux boulanger adorable, quatre-vingts ans bien sonnés, qui avait fait cuire des tourtes toute sa vie. Je suppose qu'il est mort à présent. Il venait d'une de ces villes de l'Owens Valley où les champs bruissent de jets d'eau propulsés par les arroseurs mécaniques qui forment des arc-en-ciel brouillés au-dessus des ouvriers agricoles, des éoliennes, des colonnes d'alimentation et de la luzerne verte, mais les rues des villes, là-bas, étaient toujours poussiéreuses comme les cours intérieures des maisonnettes en pisé où roulaient les buissons d'amarante ; là-bas les devantures craquaient, la poussière apportée par l'air donnait aux Whites et aux Sierras la couleur de son bleu de travail. Je suppose qu'il savait presque tout ce qu'il y a à savoir sur la confection des tourtes. Les tourtes étaient d'un blanc nuageux quand il les mettaient dans le four et elles en ressortaient toutes brunes, croustillantes et parfumées aux fruits californiens. L'été dernier, pour son soixante-dix -neuvième anniversaire, il avait pris sa retraite, mais même encore aujourd'hui il aimait faire des tourtes. Je le voyais à présent tel qu'il était : un bouddha à la perfection onctueuse, au parler doux et serein comme un ventilateur qui tourne sans bruit et vous rafraîchit les nuits d'intense chaleur. Aussi l'ajoutai-je à mon panthéon des hommes divins, étant disposé à vénérer en lui le dieu des tourtes et des murmures. Son meilleur ami était à l'hôpital, aussi lui avait-il préparé quelques tourtes aux pommes. Elles étaient encore chaudes et sentaient le four ; tout le long du trajet j'inhalais leur parfum. Il me parla des dizaines d'années passées devant la porte du four au petit matin, et moi je ne cessai de me répéter Quel homme merveilleux ! voici au moins une personne dont la vie a été agréable et utile à tout le monde ; nous arrivâmes à Los Angeles à la nuit tombée et il me serra la main. Je me dis que je ne le verrais plus. Mais les probabilités sont étranges. De même qu'il y a de fortes chances pour que, dans un groupe de seulement trente personnes ( non pas trois cent cinquante et quelques, comme on pourrait le croire), deux soient nées le même jour, de même, alors que je rentrais à Los Angeles, cette fois-ci dans un car pratiquement vide, je revis mon ami et, ravi, allai m'asseoir à côté de lui. Lui aussi me retrouva avec plaisir, les heures s'écoulèrent au gré joyeux des tourtes jusqu'à ce que nous ne soyons plus très loin de ma ville. - Soudain, il me désigna un point au loin. - Regardez, dit-il, c'est Manzanar, ce camp de concentration où ils ont mis tous ces pauvres Japonais. - je n'y avais jamais été, aussi suivis-je son doigt, mais c'était bien trop loin ; je ne pus distinguer grand-chose. - Je ne comprends toujours pas comment on a pu faire tant de mal à ces pauvres gens, dit le vieux boulanger. - C'est abominable, dis-je. - Le boulanger me regarda droit dans les yeux, et je vis quelque chose se lever en lui, quelque chose qu'il devait dire : - Si seulement ç'avait été LES JUIFS !

Je le regardai, sans voix. Puis me levai et changeai de siège.

Qu'avait-il vu toutes ces années, quand il pétrissait cette pâte aussi pâle qu'un visage, la striant de ses ongles avant de la livrer aux flammes du gaz ?

Nous arrivâmes dans ma ville, je récupérai mon sac et me levai. J'étais tendu parce que j'allais devoir passer devant lui. Quand je fus au niveau de son siège, je lui dis au revoir d'une voix basse. Mais il ne me répondit pas.

Et je me demandai ce que j'aurais dû faire. Aurais-je dû rester assis et discuter avec cet homme ? Aurais-je dû ne pas lui dire au revoir ? Quoi que j'aie fait, c'était une erreur. Sinon pourquoi aurais-je eu honte ainsi ?...

Auteur: Vollmann William T.

Info: Treize récits et treize épitaphes

[ antisémitisme ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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