hiver

À quelque cinq sagènes de nous, la terre était sur un vaste espace couverte d'une épaisse couche dense, grise et ondulée, comme une neige de printemps déjà en train de fondre. Il fallait un long examen attentif pour y reconnaître des moutons serrés les uns contre les autres. Il y en avait là quelques milliers, comprimés par le sommeil et par l'obscurité de la nuit en une pâte dense, chaude et épaisse qui recouvrait la steppe.

Auteur: Gorki Maxime

Info: Mon Compagnon, édition bilingue français-russe, Chapitre V.

[ littérature ] [ bétail ]

nocturne

Le bateau avançait doucement sur l'Ienisseï. La nuit était claire, les ponts vides et humides. Petrovitch se tenait à la proue, son veston claquait au vent. La silhouette ondulée de la rive, l'air frais de la nuit, la vitre bien astiquée du ciel et son ruban velouté de nuages qui flamboyaient au nord, tout semblait confluer dans ce vent moelleux qui sentait les feuilles de jeune saule et les merisiers en fleur. Petrovitch se tenait à l'avant, droit, maigre, et regardait s'approcher Bakhta. Le vent faisait flotter ses cheveux sur son crâne dégarni.

Auteur: Tarkovski Mikhaïl

Info: Le temps gelé

[ ambiance ]

homme-animal

Quelque part dans le sud-est de Londres, une jeune pie tombe par terre.

Vu d’en bas, il est difficile de savoir d’où elle est tombée exactement. Son nid pourrait être tout en haut des platanes qui bordent cette route érodée par les camions, couffin végétal dissimulé par un voile de feuilles vertes. À moins qu’il ne soit quelque part dans la jungle de hangars plus ou moins désaffectés qui pullulent dans le quartier, monticule complexe de brindilles et de boue sur de la tôle ondulée et de l’amiante. Les pies construisent leurs maisons tout près des nôtres, visibles mais juste hors de portée. Une cité de pies superposée à la nôtre.

Auteur: Gilmour Charlie

Info: Premières plumes - Incipit

décors

Les studios de Beaulieu avaient grandi dans les ruines d'un casino désaffecté. Au bord de la mer et derrière la voie ferrée et ses agaves, les hangars grignotaient peu à peu les terrains horticoles, et une cité champignon, en contreplaqué et tôle ondulée, surgissait entre les lignes bleues et pures d'un paysage grec, parmi les troncs, au tourment centenaire, d'oliviers delphiques. C'est là que Kron, la chanson de Roland en main, tournait les dernières scènes de France-la-doulce, les nécessités techniques l'ayant obligé à commencer le film par la fin. Dans le hangar n°4 étaient disposés les appartements de la belle Aude; dans le hangar n°8, le palais de Charlemagne ; à grands coups de marteau, des ouvriers s'apprêtaient à monter en plein air la piscine de l'émir de Babylone ; ce rêve fragile de Schéhérazade était fait de claires de bambous, sur lesquelles des Italiens vaporisaient au pistolet du plâtre liquide. Tout à côté, on pouvait apercevoir un porche d'hôtel Louis XV, du Marais, trois colonnes du Parthénon, une mosquée Sénégalaise, un palais palladien et un petit café de la place du Tertre, privé de toits, comme une ville bombardée. Ces édifices, restes d'anciennes productions, grillaient au soleil et se détérioraient sous les claques du mistral. Par-dessus les perspectives en trompe-l'œil, les réflecteurs, comme six gros yeux vitreux, s'essayaient à faire concurrence au soleil.

Auteur: Morand Paul

Info: France la doulce (1934, 224 p., Gallimard/pléiade)

[ cinéma ] [ architecture ]

cosmétique miraculeux

Du bout des doigts, Marguerite appliqua une touche de crème sur la paume de sa main ; l’odeur de forêt humide et d’herbe des marais se fit plus forte. Marguerite commença alors à enduire de crème son front et ses joues.
La crème s’étalait aisément, et – sembla-t-il à Marguerite – s’évaporait aussitôt. Après quelques frictions, Marguerite se regarda de nouveau, et partit d’un rire fou, irrépressible.
Ses sourcils, affilés au bout en fines pointes, s’épaississaient en arcs noirs d’une régularité parfaite, au-dessus de ses yeux dont l’iris vert avait pris un vif éclat. La mince ride qui, depuis octobre, c’est-à-dire depuis la disparition du Maître, coupait verticalement la racine de son nez était complètement effacée. Les ombres jaunes qui ternissaient ses tempes, ainsi que les pattes d’oie qui ridaient imperceptiblement le coin de ses yeux, s’étaient également effacées. Une teinte rose uniforme colorait ses joues, son front était devenu blanc et pur, et ses cheveux, artificiellement bouclés par le coiffeur, s’étaient dénoués.
Dans la glace, la Marguerite de trente ans était contemplée par une jeune femme de vingt ans, à la souple chevelure noire naturellement ondulée, qui riait sans retenue en montrant toutes ses dents.
Réprimant enfin son rire, Marguerite, d’un geste vif, se débarrassa de son peignoir, puisa largement dans le pot la légère crème grasse et en enduisit énergiquement son corps nu. Aussitôt, celui-ci devint rose et chaud. En même temps se dissipa, comme si on venait d’ôter une aiguille de son cerveau, la douleur lancinante qui avait enserré ses tempes toue la soirée, depuis la rencontre de l’inconnu dans le jardin Alexandrovski ; les muscles de ses bras et de ses jambes s’affermirent, et enfin, le corps de Marguerite perdit toute pesanteur.

Auteur: Boulgakov Mikhaïl

Info: Dans "Le Maître et Marguerite", trad. Claude Ligny, Editions Laffont, Paris, 1968, page 326

[ rajeunissement ] [ fantastique ]

surnaturel

Les scientifiques ont-ils finalement démontré des phénomènes psychiques ? De nouvelles études montrent que les gens peuvent prévoir des événements futurs.
Dans "au travers du miroir" de Lewis Carroll, la reine blanche dit a Alice que dans son pays, la mémoire travaille dans deux sens. Non seulement la reine peut se rappeler de choses du passé, mais elle se rappelle également de "choses qui se produiront la semaine d'après." Alice essaye de discuter avec la reine, énonçant : "je suis sûr que la mienne ne va que dans un sens... je ne peut me rappeler de choses avant qu'elles ne se produisent." La reine répond, "c'est une sorte de faiblesse, si ta mémoire ne fonctionne qu'en arrière."
Combien nos vies seraient meilleures si nous pouvions vivre dans le royaume de la reine blanche, où notre mémoire travaillerait en arrière et en avant. Dans un tel monde, par exemple, on pourrais faire un examen et étudier après coup pour s'assurer qu'on l'a bien réussi dans le passé. Bon, la bonne nouvelle est que selon une série récente d'études scientifiques de Daryl Bem, nous vivons déjà dans pareil monde !
Le Dr.Bem, psychologue social à l'université de Cornell, a entrepris une série d'études qui seront bientôt publiées dans un des journaux de psychologie les plus prestigieux. Au travers de neuf expériences, Bem a examiné l'idée que notre cerveau a la capacité de réfléchir non seulement sur des expériences antérieures, mais peut également en prévoir de futures. Cette capacité de "voir" est souvent désignée comme phénomène psi.
Bien que des recherches antérieures aient été conduites sur de tel phénomènes - nous avons tous vu ces films où des personnes regardent fixement des cartes de Zener avec une étoile ou des lignes ondulées dessus - de telles études n'arrivent pas vraiment à atteindre le statut seuil "de recherche scientifique." Les études de Bem sont uniques du fait qu'elles présentent des méthodes scientifiques standard et se fondent sur des principes bien établis en psychologie. Cela donne essentiellement des résultats qui sont considérés comme valides et fiables en psychologie. Par exemple, l'étude améliore la mémoire, et facilite le temps de réponse - mais ici on inverse simplement l'ordre chronologique.
Par exemple, nous savons tous que répéter un ensemble de mots rend plus facile le fait de s'en souvenir dans l'avenir, mais si la répétition se produit après le rappel ?... Dans une des études, on a donné une liste de mots à lire à des étudiants et, après lecture de la liste, on les a confrontés à un test surprise pour voir de combien de mots ils se rappelaient. Ensuite, un ordinateur a aléatoirement choisi certains des mots sur la liste et on a demandé aux participants de les retaper plusieurs fois à la machine. Les résultats de l'étude ont montré que les étudiants étaient meilleurs pour se remémorer les mots apparus dans l'exercice qui avait suivi, donné par surprise et fait au hasard. Selon Bem, la pratique de ces mots après le test a permis d'une façon ou d'une autre aux participants "de revenir en arrière dans le temps pour faciliter le souvenir."
Dans une autre étude, Bem examiné si l'effet bien connu d'amorçage pouvait également être inversé. Dans une étude typique d'amorçage, on montre à des gens une photo et ils doivent rapidement indiquer si la photo représente une image négative ou positive. Si la photo est un chaton câlin, on appuie sur le bouton "positif" et si la photo représente des larves sur de la viande en décomposition, on appuie sur le bouton "négatif". Une recherche de masse a montré combien l'amorçage subliminal peut accélérer la capacité à classer ces photos. L'amorçage subliminal se produit quand un mot est clignoté sur l'écran tellement rapidement que le cerveau conscient ne l'identifie pas, mais le cerveau inconscient le fait. Ainsi on voit juste un flash, et si on vous demande de dire ce que vous avez vu, vous ne pouvez pas. Mais, profondément, votre cerveau inconscient a vu le mot et l'a traité. Dans l'étude d'amorçage, on constate uniformément que les gens qui s'amorcent avec un mot conformé à la valence de la photo la classeront par catégorie plus vite. Ainsi si on clignote rapidement le mot "heureux" avant l'image de chaton, la personne cliquera le bouton "positif" encore plus vite, mais on clignote à la place le mot "laid" avant, la personne prendra plus longtemps pour répondre. C'est parce que l'amorçage avec le mot "heureux" fait que l'esprit de la personne est prêt à recevoir un truc heureux.
Dans l'étude rétroactive d'amorçage de Bem, on a simplement inversé l'ordre du temps, faisant clignoter le mot amorcé après que la personne ait classé la photo. Ainsi on montre l'image du chaton, la personne sélectionne si elle est positive ou négative, et alors on choisit aléatoirement d'amorcer avec un bon ou mauvais mot. Les résultats ont prouvé que les gens sont plus rapides à classer des photos par catégorie quand elle était suivie d'un mot amorce cohérent. A tel point que non seulement le fait qu'on classe le chaton plus vite quand il est précédé par un bon mot, on le classera également plus vite par catégorie si il est suivit du bon mot après coup. C'est comme si, alors que les participants classaient la photo, leur cerveau savait quel mot viendrait après, qui facilite leur décision.
Voilà juste deux exemples des études que Bem conduit, mais les autres ont montrés des effets "rétroactifs" semblables. Les résultats suggèrent clairement que des gens moyens "non psychiques" semblent pouvoir prévoir des événement futurs.
La question qu'on peut se poser est "quel est l'ordre de grandeur de la différence ?" Ce fait d'étudier un essai après qu'il se soit produit, ou l'amorçage qu'on a eu avec un mot après avoir classé la photo donne un changement énorme, ou est-ce juste une légère bosse dans les statistiques ? Quelle est la taille de effet ?. Il est vrai que les tailles d'effet dans les études de Bem sont petites (par exemple, seulement légèrement plus grandes que la chance). Mais il y a plusieurs raisons pour lesquelles nous ne devons pas négliger ces résultats basés sur de petites, mais fortement conformées, tailles d'effet.
Tout d'abord, au travers ses études, Bem a constaté que certaines personnes ont des résultats plus forts que d'autres. En particulier les gens en grande quête de stimulus - aspect d'extraversion où les gens répondent plus favorablement aux nouveau stimulus. Pour des différences de l'ordre d'environ deux fois plus d'efficacité qu'une personne moyenne. Ceci suggère que des gens sont plus sensibles aux effets psi que d'autres.
Deuxièmement ces petites tailles d'effet ne sont pas rare en psychologie (et pour d'autres sciences). Par exemple la moyenne les études de Bem eut pour résultat des tailles d'effets assez petites, mais tout aussi grandes - ou plus grandes - que certains effets bien établis : lien entre l'aspirine et l'empêchement de crise cardiaque, prise de calcium et os améliorés, fumée et cancer du poumon, utilisation de condom et protection du HIV, etc.... Cohen précise que de telles tailles d'effet se produisent plus facilement quand on est dans les premiers stades d'exploration d'une matière, quand les scientifiques commencent juste à découvrir pourquoi l'effet se produit et quand il est le plus susceptible de se produire.
Ainsi si nous prenons ces phénomènes psi comme vrai, comment pouvons nous alors les expliquer sans jeter à la poubelle notre compréhension du temps et de la physique ? Bon, la vérité est que ces effets ressemblent vraiment beaucoup à ce que la physique moderne dit du temps et de l'espace. Par exemple, Einstein a cru que le seul acte d'observer quelque chose pouvait affecter cette chose là, phénomène qu'il appela "spooky action à distance."
De même, la physique quantique moderne a démontré que les particules légères semblent savoir ce qui se trouve en avant d'elles dans le temps et qu'elles ajusteront leur comportement en conséquence, quoique le futur événement ne se soit pas produit encore. Par exemple dans l'expérience classique "de la double fente" les physiciens ont découvert que les particules légères répondent différemment si elles sont observées. Mais en 1999, les chercheurs ont poussé cette expérience plus loin en se demandant "ce qui se produirait si l'observation avait lieu après que les particules légères aient été déployées. "Tout à fait curieusement, ils ont démontré que les particules agissaient de la même manière, comme si elles savaient qu'elles seraient observées plus tard..." même si cela ne s'était pas encore produit.
De tels effets, "dingues", avec le temps semblent contredire le bon sens et essayer de les comprendre peut donner un sacré mal de tête. Mais les physiciens ont simplement appris à l'accepter. Comme disait une fois le Dr. Chiao, physicien de Berkeley, au sujet de la mécanique quantique, "c'est complètement contre intuitif et extérieur à notre expérience journalière, mais nous (les physiciens) y sommes habitués"
Ainsi, alors que les humains perçoivent le temps comme linéaire, cela ne signifie pas nécessairement qu'il en soit ainsi. Donc, en tant que bons scientifiques, nous ne devrions pas nous laisser influencer par les préjugés sur ce que nous étudions, même si ces idées préconçues reflètent nos idées de base sur la façon dont le temps et l'espace fonctionnent.
Le travail du DR. Bem est un provocation pour la pensée, et comme toute science révolutionnaire est censée faire, il apporte plus de questions que de réponses. Si nous mettons entre parenthèses nos croyances sur le temps et acceptons que le cerveau est capable d'une prise sur le futur, la prochaine question est : comment le fait-il ?. Ce n'est pas parce que l'effet semble "surnaturel" que cela signifie que la cause le soit. Beaucoup de découvertes scientifiques furent considérées comme exotiques par le passé, convenant davantage à la science-fiction (par exemple : la terre est ronde, il y a des organismes microscopiques, etc...). Une recherche future est nécessaire pour explorer les causes exactes des effets de ces études
Comme beaucoup de nouvelles explorations en science, les résultats de Bem peuvent avoir un effet profond sur ce que nous savons et avons accepté comme "vrai". Mais pour certains d'entre vous, peut-être que ces effets ne sont pas une si grande surprise, parce que quelque part, profondément à l'intérieur, nous savons déjà que nous en aurions connaissance aujourd'hui !

Auteur: Internet

Info: Fortean Times, Octobre 11, 2010

[ sciences ] [ prémonition ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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