cinéma

Il ne faut jamais oublier que le blanc et le noir doivent être les couleurs prépondérantes dans un film en couleur. Grâce à quelques couleurs le blanc semblera plus blanc et le noir plus noir.

Auteur: Dreyer Carl Theodor

Info: Entretien paru dans les "Cahiers du cinéma", n°48, juin 1955 - cité dans "Passage du cinéma", éd. Ansedonia, p. 607

[ moyens détournés ] [ réduction à l'essentiel ] [ intensification ] [ noir-et-blanc ]

racisme

L'influence prépondérante des étrangers est un infaillible dissolvant de l'existence des états. Elle ôte à ce peuple ce qu'il a de plus précieux : son âme... C'est un instinct très sûr qui enseignait aux anciens la crainte des étrangers. Ils savaient bien que la valeur d'un pays ne se mesure pas au nombre de ses habitants, mais à celui de ses citoyens.

Auteur: Le Bon Gustave

Info:

[ fermeture ]

art pictural

L'importance extraordinaire que revêt la musique pour Delacroix, et qui contribue le plus à son admiration pour Chopin, est un symptôme de la nouvelle hiérarchie des arts et de la place prépondérante qu'y occupe la musique. Elle est l'art romantique par excellence et Chopin le plus romantique de tous les romantiques. C'est dans sa relation avec Chopin que le lien intime de Delacroix avec le romantisme apparaît le plus clairement.

Auteur: Hauser Arnold

Info:

[ historique ]

pouvoir véritable

Et, avec tout cela, la presse est devenue la force la plus importante des États occidentaux, elle dépasse en puissance les pouvoirs exécutif, législatif et judiciaire. Pourtant, voyons : en vertu de quelle loi a‑t-elle été élue et à qui rend-elle compte de son activité ? Si, dans l’Est communiste, un journaliste est ouvertement nommé comme tout fonctionnaire  -  quels sont les électeurs de qui les journalistes occidentaux tiennent leur position prépondérante ? Pour combien de temps l’occupent-ils et de quels pouvoirs sont-ils investis ?

Auteur: Soljenitsyne Alexandre

Info: Le déclin du courage, discours à l’université de Harvard du 8 juin 1978, trad. Geneviève et José Johannet, éditions Les Belles Lettres, 2014

[ médiatique ] [ encadrement sémantique ] [ influence ] [ politiquement correct ] [ publicitaires vendeurs ]

modélisation

En réalité, chaque fois que l'énergie est transmise d'un corps à un autre dans un temps donné, il doit y avoir un milieu ou une substance dans lequel l'énergie passe après avoir quitté un corps et avant d'atteindre l'autre... et si nous admettons cet intermédiaire comme une hypothèse, je pense qu'il devrait occuper une place prépondérante dans nos recherches, et que nous devrions nous efforcer de construire une représentation mentale de tous les détails de son action. Voilà ce que j'ai constamment cherché à faire dans ce traité.

Auteur: Maxwell James Clerk

Info: Traité d'électricité et de magnétisme (1873), Vol. 2, 438

[ focalisation ] [ medium vecteur ] [ mathématisation ]

pouvoir

Leçon 1: La foule rend possible l'impossible
Clarification: Si la foule est incapable de faire la distinction entre l'improbable et le probable, et que les images qu'elle associe à l'action sont des invocations improbables, alors des choses étranges peuvent se produire.

Leçon 2: La foule crée un élan de bulldozer
Le sentiment de faire partie d'un mouvement plus large que vous-même donne une confiance inébranlable. Lorsqu'appliqué à des activités spéculatives cela se manifeste par une confiance inébranlable de la foule dans la montée d'un prix des actifs. Cela peut créer un immense élan à la fois.

Leçon 3: Ne pas la contrarier - L'ère des foules
Aujourd'hui, ce sont les traditions qui ont utilisé pour obtenir dans la politique. Les tendances individuelles et les rivalités des dirigeants ne comptent pas; au contraire, la voix de la masse est devenue prépondérante. C'est cette voix qui dicte leur conduite aux rois, dont l'entreprise est de prendre note de ses déclarations. Les destinées des peuples sont élaborées à présent dans le coeur des masses, et non plus dans les conseils des princes.

Leçon 4: Atténuer le risque Icare - Conserver le contrôle
Si vous succombez à la foule, vous êtes grillé. Toute avance intellectuelle gagnée par des années d'étude de votre métier disparaît. La foule nivèle; elle est constituée d'éléments communs, non distingués.

Leçon 5: Soyez scientifique - Restez attaché aux résultats
Si ce qui précède est vrai, alors vous avez peu de chance de penser ou vous comporter comme une foule (sans y succomber). La façon appropriée de gérer ses affres est la méthode scientifique (création d'hypothèse à savoir répétée et essais). En ce sens, les résultats sont de peu d'importance, c'est le processus rigoureux qui compte.

Auteur: Le Bon Gustave

Info: Les 5 leçons de Le Bon, trouvé sur Internet

[ propagande ] [ conservation ] [ manipulation ]

théorie du genre

Dans la 41e séance du séminaire Lacan, nous et le réel, j’avance que Macron ne connaît rien à la psychanalyse, car il prend ses renseignements du côté de [Jacques-Alain] Miller qui lui ne comprend rien à la psychanalyse.

La déclaration de Macron en 2019 concernant "le père" en est:

"La paternité se divise en deux fonctions: une génétique et l'autre symbolique. Et pour la partie symbolique, il n'y a pas de problème, je comprends votre problème. C'est que vous, votre problème, c'est que pour vous un père est forcément un mâle. Tous les psychanalystes vous diront donc le contraire."

Tous les psychanalystes? Ou les "psychanalystes" de l’ECF*?

Après Alice au pays des merveilles de Lewis Caroll, il s’agit de se poser la question: une vérité répétée par un perroquet est-elle toujours une vérité ? et de faire ainsi la différence entre sujet de l’énonciation et sujet de l’énoncé, et partant, entre Discours de l’Analyste et Discours Universitaire (ce que dit Lacan, et ce que dit Miller de ce que dit Lacan)...

"(...) ce passage de la mère au père caractérise une victoire de la vie de l’esprit sur la vie sensorielle, donc un progrès de la civilisation car la maternité est attestée par le témoignage des sens tandis que la paternité est une conjecture, est édifiée sur une déduction et sur un postulat." Freud - L’homme Moïse et la religion monothéiste

Pour que la fonction paternelle soit activée, encore faut-il pouvoir se dire qu’il y aura eu du père... ce qui implique nécessairement un rapport d’alliance entre les deux sexes, une union sexuelle entre un homme et une femme, avec ce que cela comporte d’asymétrie constitutive (mater certa, pater semper incertus), de mystère et d’impossible, un écart à propos duquel la loi avait, depuis les origines Grecques antiques de la civilisation occidentale, accordé une prévalence au père en consacrant l’autorité paternelle, au sens extensif du concept d’auteur (cf. L’Orestie d’Eschyle et ses conséquences sur le Droit et l’organisation des sociétés...)

Il n’est pas exagéré de dire que vingt-cinq siècles après l’Orestie, la psychanalyse a inventé la fonction paternelle pour réaffirmer juste avant la survenue du nazisme la place prépondérante du père dans les liens fondamentaux et sacrés de l’homme à la parole, et donc la civilisation.

Se passer des noms-du-père réclame au préalable d’avoir su s’en servir.

Auteur: Dubuis Santini Christian

Info: Publication facebook du 10.02.2021 *Ecole de la Cause Freudienne

[ dévoiement du discours analytique ] [ dissolution ] [ théorie du genre ] [ critique ]

amélioration

Le progrès est devenu le moyen de l'aliénation
Cela fait des décennies, sinon un siècle ou deux, que des gens cherchent le mot, l'ont "sur le bout de la langue", qu'il leur échappe, leur laissant une vive et chagrine frustration - sans le mot, comment dire la chose ?
Comment donner et nommer la raison du désarroi, de la révolte, du deuil et pour finir du découragement et d'une indifférence sans fond. Comme si l'on avait été amputé d'une partie du cerveau : amnésie, zone blanche dans la matière grise.
La politique, en tout cas la politique démocratique, commence avec les mots et l'usage des mots ; elle consiste pour une part prépondérante à nommer les choses et donc à les nommer du mot juste, avec une exactitude flaubertienne. Nommer une chose, c'est former une idée. Les idées ont des conséquences qui s'ensuivent inévitablement.
La plus grande part du travail d'élaboration de la novlangue, dans 1984, consiste non pas à créer, mais à supprimer des mots, et donc des idées - de mauvaises idées, des idées nocives du point du vue du Parti -, et donc toute velléité d'action en conséquence de ces mots formulant de mauvaises idées.
Nous sommes tombés sur "regrès", il y a fort peu de temps, un bon et vieux mot de français, tombé en désuétude comme on dit, bon pour le dictionnaire des obsolètes qui est le cimetière des mots. Et des idées. Et de leurs conséquences, bonnes ou mauvaises. Un mot "oublié" ?
Difficile de croire que le mot "regrès", antonyme du "progrès" ait disparu par hasard de la langue et des têtes. Le mouvement historique de l'idéologie à un moment quelconque du XIXe siècle a décidé que désormais, il n'y aurait plus que du progrès, et que le mot de regrès n'aurait pas plus d'usage que la plus grande part du vocabulaire du cheval aujourd'hui disparu avec l'animal et ses multiples usages qui entretenaient une telle familiarité entre lui et l'homme d'autrefois.
Ainsi les victimes du Progrès, de sa rançon et de ses dégâts, n'auraient plus de mot pour se plaindre. Ils seraient juste des arriérés et des réactionnaires : le camp du mal et des maudits voués aux poubelles de l'histoire. Si vous trouvez que l'on enfonce des portes ouvertes, vous avez raison. L'étonnant est qu'il faille encore les enfoncer.
Place au Tout-Progrès donc. Le mot lui-même n'avait à l'origine nulle connotation positive. Il désignait simplement une avancée, une progression. Même les plus acharnés progressistes concéderont que l'avancée - le progrès - d'un mal, du chaos climatique, d'une épidémie, d'une famine ou de tout autre phénomène négatif n'est ni un petit pas ni un grand bond en avant pour l'humanité. Surtout lorsqu'elle se juge elle-même, par la voix de ses autorités scientifiques, politiques, religieuses et morales, au bord du gouffre.
Ce qui a rendu le progrès si positif et impératif, c'est son alliance avec le pouvoir, énoncée par Bacon, le philosophe anglais, à l'aube de la pensée scientifique et rationaliste moderne : "Savoir c'est pouvoir". Cette alliance dont la bourgeoisie marchande et industrielle a été l'agente et la bénéficiaire principale a conquis le monde. Le pouvoir va au savoir comme l'argent à l'argent. Le pouvoir va au pouvoir.
Le progrès est l'arme du pouvoir sur les sans pouvoirs
Et c'est la leçon qu'en tire Marx dans La Guerre civile en France. Les sans pouvoirs ne peuvent pas se "réapproprier" un mode de production qui exige à la fois des capitaux gigantesques et une hiérarchie implacable. L'organisation scientifique de la société exige des scientifiques à sa tête : on ne gère pas cette société ni une centrale nucléaire en assemblée générale, avec démocratie directe et rotation des tâches. Ceux qui savent, décident, quel que soit l'habillage de leur pouvoir.
Contrairement à ce que s'imaginait Tocqueville dans une page célèbre, sur le caractère "providentiel" du progrès scientifique et démocratique, entrelacé dans son esprit, le progrès scientifique est d'abord celui du pouvoir sur les sans pouvoirs.
Certes, une technicienne aux commandes d'un drone, peut exterminer un guerrier viriliste, à distance et sans risque. Mais cela ne signifie aucun progrès de l'égalité des conditions. Simplement un progrès de l'inégalité des armements et des classes sociales.
C'est cette avance scientifique qui a éliminé des peuples multiples là-bas, des classes multiples ici et prolongé l'emprise étatique dans tous les recoins du pays, de la société et des (in)dividus par l'emprise numérique.
Chaque progrès de la puissance technologique se paye d'un regrès de la condition humaine et de l'émancipation sociale. C'est désormais un truisme que les machines, les robots et l'automation éliminent l'homme de la production et de la reproduction. Les machines éliminent l'homme des rapports humains (sexuels, sociaux, familiaux) ; elles l'éliminent de lui-même. A quoi bon vivre ? Elles le font tellement mieux que lui.
Non seulement le mot de "Progrès" - connoté à tort positivement - s'est emparé du monopole idéologique de l'ère technologique, mais cette coalition de collabos de la machine, scientifiques transhumanistes, entrepreneurs high tech, penseurs queers et autres avatars de la French theory, s'est elle-même emparé du monopole du mot "Progrès" et des idées associées. Double monopole donc, et double escroquerie sémantique.
Ces progressistes au plan technologique sont des régressistes au plan social et humain. Ce qu'en langage commun on nomme des réactionnaires, des partisans de la pire régression sociale et humaine. Cette réaction politique - mais toujours à l'avant-garde technoscientifique - trouve son expression dans le futurisme italien (Marinetti) (1), dans le communisme russe (Trotsky notamment), dans le fascisme et le nazisme, tous mouvements d'ingénieurs des hommes et des âmes, visant le modelage de l'homme nouveau, de l'Ubermensch, du cyborg, de l'homme bionique, à partir de la pâte humaine, hybridée d'implants et d'interfaces.
Le fascisme, le nazisme et le communisme n'ont succombé que face au surcroît de puissance technoscientifique des USA (nucléaire, informatique, fusées, etc.). Mais l'essence du mouvement, la volonté de puissance technoscientifique, s'est réincarnée et amplifiée à travers de nouvelles enveloppes politiques.
Dès 1945, Norbert Wiener mettait au point la cybernétique, la " machine à gouverner " et " l'usine automatisée ", c'est-à-dire la fourmilière technologique avec ses rouages et ses connexions, ses insectes sociaux-mécaniques, ex-humains. Son disciple, Kevin Warwick, déclare aujourd'hui : " Il y aura des gens implantés, hybridés et ceux-ci domineront le monde. Les autres qui ne le seront pas, ne seront pas plus utiles que nos vaches actuelles gardées au pré. " (2)
Ceux qui ne le croient pas, ne croyaient pas Mein Kampf en 1933. C'est ce techno-totalitarisme, ce " fascisme " de notre temps que nous combattons, nous, luddites et animaux politiques, et nous vous appelons à l'aide.
Brisons la machine.

Auteur: PMO

Info:

[ décadence ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

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Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]