mutation technologique

Aucune tendance n'a autant progressé que celle "Des robots en liberté". Alors que la distanciation physique s’impose, les robots quittent les environnements contrôlés et gagnent les environnements non contrôlés, quel que soit le secteur d'activité. Cette évolution est plus rapide que prévu. Les robots deviennent indispensables dans les entreprises et dans la société, car les industriels et les gouvernements sont à la recherche de nouvelles solutions "sans contact". […] Alors que les leaders actuels de la robotique ont assumé leurs responsabilités en endossant de nouveaux rôles pendant la pandémie, ceux qui pensent au long terme construisent aussi un avenir plus automatisé.

Auteur: Internet

Info: https://www.accenture.com/fr-fr/insights/technology/tech-vision-coronavirus-trends

[ accélération ] [ conséquences covid-19 ] [ outils ]

besoin de spiritualité

Si l'histoire et la science nous ont appris quelque chose, c'est que passion et désir ne sont pas synonymes de vérité. L'esprit humain a progressé dans un esprit de croyance en des dieux. Il n'a pas évolué pour croire à la biologie. L'acceptation du surnaturel conférait un grand avantage tout au long de la préhistoire, lorsque le cerveau était en pleine évolution. Elle contraste donc fortement avec la biologie, qui s'est développée comme un produit de l'ère moderne sans être garantie par des algorithmes génétiques. L'inconfortable vérité est que les deux croyances ne sont pas compatibles dans les faits. Par conséquent, ceux qui ont soif de vérité intellectuelle et religieuse pourront difficilement concilier les deux dans leur pleine mesure.

Auteur: Wilson Edward Osborne

Info: Consilience : L'unité de la connaissance (1998, 1999), 286

[ imagination ] [ religion empirisme ] [ inversion ]

tennis

Votre oncle Toni expliquait que le son de votre balle était très bon. C'est quelque chose propre aux tops players ? Etes-vous d'accord ?
- Oui je pense. Les meilleurs joueurs contrôlent mieux la balle, ont de meilleures sensations. La balle doit rester plus longtemps dans le cordage. On doit accompagner plus la balle, c'est un mouvement continu, rythmique. Lorsque l'on perd ce rythme, l'impact est plus court et le son n'est pas bon. J'ai progressé lors des dernières semaines. Je suis sur le bon chemin et j'en suis très content car je travaille énormément. Je manquais de confiance avant, je voulais un peu trop bien faire. Le son est donc important. Si on contrôle le temps et le rythme, la balle aura un bon son.

Auteur: Nadal Rafaël

Info:

[ sport ]

prescience

Il ne fait aucun doute que la pierre angulaire de toute théorie mathématique est la démonstration convaincante de toutes ses affirmations. Il ne fait aucun doute que les mathématiques se discréditent elles-mêmes lorsqu'elles renoncent à des preuves tangibles. Mais le mystère d'une brillante réussite sera toujours de poser de nouvelles questions, d'anticiper de nouveaux théorèmes qui rendent accessibles des résultats, des interactions et des correspondances de grande valeur. Sans la création de nouveaux points de vue, sans l'énoncé de nouveaux objectifs, les mathématiques s'épuiseraient bientôt dans la rigueur de leurs preuves logiques et commenceraient à stagner à mesure que leur substance disparaîtrait. Ainsi, dans un certain sens, les mathématiques ont surtout progressé grâce à ceux qui se sont distingués par leur intuition plutôt que par des preuves rigoureuses.

Auteur: Klein Felix

Info: Cité dans Hermann Weyl, Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften (1932), 38, 177-188.

[ créativité ] [ dépassement ]

auto-évaluation

Jusqu'à présent, la science a progressé sans être guidée par une théorie rationnelle de la logique, et elle a certainement fait de bons progrès. Elle procède comme un ordinateur qui suit une méthode d'approximation arithmétique. Même si elle commet parfois des erreurs de chiffrement, celles-ci se rectifieront d'elles-mêmes si le processus est bon. Mais elle progresserait beaucoup plus rapidement si elle ne commettait pas ces erreurs ; et à mon avis, le temps est venu de doter la science d'une logique. Ma théorie me satisfait, je n'y vois aucun défaut. Selon cette théorie, l'universalité, la nécessité, l'exactitude, au sens absolu de ces mots, sont inaccessibles pour nous, et n'existent pas dans la nature. Il y a une loi idéale dont la nature se rapproche ; mais pour l'exprimer, il faudrait une série infinie de variations et de remaniements, tout comme les décimales peuvent exprimer l'irrationnel. Ce n'est que pour que la continuité ne soit pas impliquée, qu'une réponse parfaitement exacte peut être obtenue.

Auteur: Peirce Charles Sanders

Info: Lettre à G. F. Becker, 11 juin 1893. Collection Merrill, Bibliothèque du Congrès. Cité dans Nathan Reingold, Science in Nineteenth-Century America : A Documentary History (1966), 231-2.

[ impatience ] [ insondable ] [ connaissances humaines ] [ limitation ]

utopie

La durée de la semaine de travail était maintenant de vingt heures en moyenne mais ces vingt heures étaient une sinécure. Les tâches qui demeuraient encore étaient des besognes mécaniques de routine. L’intelligence humaine était trop précieuse pour être gaspillée alors que quelques centaines de transistors, une poignée de cellules photo-électriques et un mètre cube de circuits imprimés étaient parfaitement capables d’accomplir le même labeur. Certaines usines fonctionnaient des semaines entières sans recevoir la visite d’un seul être humain. On ne faisait appel à l’homme que pour dénouer les situations délicates, prendre les décisions, concevoir de nouvelles entreprises – les robots se chargeaient du reste.
Une pareille somme de loisirs aurait, un siècle plus tôt, créé d’énormes problèmes. L’éducation avait résolu la plupart d’entre eux, car un esprit bien meublé ignore l’ennui. Le niveau de culture existant aurait été inimaginable autrefois. Rien ne permettait de penser que l’intelligence de l’espèce eût progressé, mais pour la première fois, l’individu avait toutes les possibilités voulues pour utiliser au mieux ses capacités intellectuelles.

Auteur: Clarke Arthur C.

Info: Dans "Les enfants d'Icare", pages 127-128

[ automatisation ] [ temps libre ]

limite épistémique

[...] même si la course à l’IA [Intelligence Artificielle] s’est beaucoup amplifiée et renchérie, l’avènement d’une IAG [Intelligence Artificielle Générale ou Forte] n’est pas pour demain. Dans les années 1940, les premiers visionnaires nous le promettaient pour la génération suivante. Sondé en 2017, un cercle d’experts en IA s’est accordé sur la date de 2047. Ce qui complique un peu ce calendrier, c’est la façon dont surviendra la "singularité" – le ­moment où la technologie aura tellement progressé qu’elle prendra le dessus pour de bon. S’agira-t-il d’un décollage en douceur, dû aux avancées progressives de l’IA faible, qui prendra la forme d’un explorateur de données doublé d’un dispositif de réalité virtuelle et d’un traducteur du langage naturel, le tout chargé dans un aspirateur-­robot ? Ou bien d’un décol­lage brutal, un ­algorithme qui reste encore à imaginer se trouvant soudain incarné dans un ­robot tout-puissant ? Les enthousiastes de l’IAG ont beau avoir eu des décennies pour réfléchir à cet avenir, le résultat reste bien nébuleux : nous n’aurons plus à travailler car les ordinateurs se chargeront de toutes les activités courantes, nos cerveaux seront stockés en ligne et se fondront dans la conscience brumeuse du nuage, ce genre de chose. En ­revanche, les craintes des éternels angois­sés, fondées sur le fait que l’intelligence et le pouvoir cherchent toujours à se renforcer, sont concrètes et glaçantes : une fois que l’IA nous aura surpassés, il n’y a pas de raison de penser qu’elle nous sera reconnaissante de l’avoir inventée – surtout si nous n’avons pas su la doter d’empathie. Pourquoi une entité susceptible d’être présente dans mille lieux à la fois et possédant une conscience à la Starbucks éprouverait-elle une quelconque tendresse pour des êtres qui, les mauvais jours, peuvent à peine s’arracher du lit ? Curieusement, les auteurs de science-fiction, nos Cassandre les plus dignes de confiance, se sont abstenus d’envisager une apocalypse due à l’IAG, dans laquelle les machines domi­neraient au point de faire disparaître l’espèce humaine. Même leurs cyborgs et supercalculateurs, malgré leurs yeux rouges ­(les Terminators) ou leur accent cana­dien (HAL 9000 dans 2001 : l’odyssée de l’espace) ont un air de famille. Ce sont des versions actualisées du Turc ­mécanique, l’automate joueur d’échecs du XVIIIe siècle dont le mécanisme dissimulait un ­humain. Neuromancien, le ­roman fondateur de William Gibson paru en 1984, met en scène une IAG nommée Muet­dhiver ; elle ­décide de se ­libérer des chaînes humaines, mais, quand elle finit par s’échapper, elle ­entreprend de rechercher des IAG d’autres systèmes solaires, et la vie sur Terre reprend exactement comme avant. Dans la ­série Carbone modifié, les IA méprisent les humains, qu’ils traitent de "forme infé­rieure de vie", mais utilisent leurs super­pouvoirs pour jouer au poker dans un bar. Nous ne sommes pas pressés d’envisager la perspective de notre insignifiance. Aussi, en profitant des derniers rayons de notre souveraineté, nous nous délectons des ratés de l’IA. Comme lorsque le ­robot conversationnel Tay de Microsoft a répété des insanités racistes proférées par des utilisateurs de Twitter. Ou le jour où M, l’assistant virtuel de Facebook, ­remarquant que deux amis échangeaient sur un roman où il était question de cadavres vidés de leur sang, proposa de leur réserver un restaurant. Ou encore la fois où Google, incapable d’empêcher l’outil de reconnaissance des visages de Google Photos de confondre des Noirs et des gorilles, dut désactiver la reconnaissance des gorilles. La suffisance n’est sans doute pas la ­réaction la plus intelligente face à ce genre de ratés.

Auteur: Friend Tad

Info: Dans "Books", https://www.books.fr/nous-avons-convoque-diable/

[ humain-robot ] [ prise d'autonomie ]

linguistique

Byzance tomba aux mains des Turcs tout en discutant du sexe des anges.

Le français achèvera de se décomposer dans l’illettrisme pendant que nous discuterons du sexe des mots.

La querelle actuelle découle de ce fait très simple qu’il n’existe pas en français de genre neutre comme en possèdent le grec, le latin et l’allemand. D’où ce résultat que, chez nous, quantité de noms, de fonctions, métiers et titres, sémantiquement neutres, sont grammaticalement féminins ou masculins. Leur genre n’a rien à voir avec le sexe de la personne qu’ils concernent, laquelle peut être un homme.

Homme, d’ailleurs, s’emploie tantôt en valeur neutre, quand il signifie l’espèce humaine, tantôt en valeur masculine quand il désigne le mâle. Confondre les deux relève d’une incompétence qui condamne à l’embrouillamini sur la féminisation du vocabulaire. Un humain de sexe masculin peut fort bien être une recrue, une vedette, une canaille, une fripouille ou une andouille.

De sexe féminin, il lui arrive d’être un mannequin, un tyran ou un génie. Le respect de la personne humaine est-il réservé aux femmes, et celui des droits de l’homme aux hommes ?

Absurde!

Ces féminins et masculins sont purement grammaticaux, nullement sexuels.

Certains mots sont précédés d’articles féminins ou masculins sans que ces genres impliquent que les qualités, charges ou talents correspondants appartiennent à un sexe plutôt qu’à l’autre. On dit: "Madame de Sévigné est un grand écrivain" et "Rémy de Goumont est une plume brillante". On dit le garde des Sceaux, même quand c’est une femme, et la sentinelle, qui est presque toujours un homme.

Tous ces termes sont, je le répète, sémantiquement neutres. Accoler à un substantif un article d’un genre opposé au sien ne le fait pas changer de sexe. Ce n’est qu’une banale faute d’accord.

Certains substantifs se féminisent tout naturellement: une pianiste, avocate, chanteuse, directrice, actrice, papesse, doctoresse. Mais une dame ministresse, proviseuse, médecine, gardienne des Sceaux, officière ou commandeuse de la Légion d’Honneur contrevient soit à la clarté, soit à l’esthétique, sans que remarquer cet inconvénient puisse être imputé à l’antiféminisme. Un ambassadeur est un ambassadeur, même quand c’est une femme. Il est aussi une excellence, même quand c’est un homme. L’usage est le maître suprême.

Une langue bouge de par le mariage de la logique et du tâtonnement, qu’accompagne en sourdine une mélodie originale. Le tout est fruit de la lenteur des siècles, non de l’opportunisme des politiques. L’Etat n’a aucune légitimité pour décider du vocabulaire et de la grammaire. Il tombe en outre dans l’abus de pouvoir quand il utilise l’école publique pour imposer ses oukases langagiers à toute une jeunesse.

J’ai entendu objecter: "Vaugelas, au XVIIe siècle, n’a-t-il pas édicté des normes dans ses remarques sur la langue française ?". Certes. Mais Vaugelas n’était pas ministre. Ce n’était qu’un auteur, dont chacun était libre de suivre ou non les avis. Il n’avait pas les moyens d’imposer ses lubies aux enfants. Il n’était pas Richelieu, lequel n’a jamais tranché personnellement de questions de langues.

Si notre gouvernement veut servir le français, il ferait mieux de veiller d’abord à ce qu’on l’enseigne en classe, ensuite à ce que l’audiovisuel public, placé sous sa coupe, n’accumule pas à longueur de soirées les faux sens, solécismes, impropriétés, barbarismes et cuirs qui, pénétrant dans le crâne des gosses, achèvent de rendre impossible la tâche des enseignants. La société française a progressé vers l’égalité des sexes dans tous les métiers, sauf le métier politique. Les coupables de cette honte croient s’amnistier (ils en ont l’habitude) en torturant la grammaire.

Ils ont trouvé le sésame démagogique de cette opération magique: faire avancer le féminin faute d’avoir fait avancer les femmes.

Auteur: Revel Jean-François

Info: Fin du siècle des ombres, Fayard, 1999

[ vocables sexués ]

pouvoir

Cela porte un nom: ploutocratie
L'interventionnisme sert à enrichir les riches et appauvrir les pauvres; le non-interventionnisme sert à enrichir les riches et appauvrir les pauvres.
Face à l'interventionnisme sans précédent des Etats pour sauver un secteur financier en échec depuis 2008, d'aucuns ont cédé à la tentation facile d'une critique libérale qui a identifié son unique coupable: l'Etat. Ainsi, l'étatisme serait le responsable de tous les maux actuels. Mais ces penseurs, hors de la réalité, ne voient que la partie du problème qui les arrange. Car la critique libérale de l'interventionnisme échoue totalement à expliquer le non-interventionnisme obstiné par lequel, l'autre moitié du temps, ce même Etat faillit entièrement dans la régulation et l'imposition de sanctions un tant soit peu opérantes contre les abus du système financier.
J'ai écrit ici en août dernier que le capitalisme de marché n'a jamais existé, car il n'existe qu'à temps partiel: uniquement quand ses promoteurs, l'élite de la finance, en retirent d'énormes profits. Et qu'il cesse d'exister quand ces derniers en retirent des pertes. Le capitalisme libéral s'avère donc aussi utopique que le communisme sous l'URSS.
Un "libre marché" subventionné
Aux Etats-Unis, lorsque la période est à l'euphorie boursière, le système se fait ultra-libéral et dérégulateur pour permettre aux acteurs des marchés de maximiser leurs gains, libres de toute contrainte réglementaire. L'Etat et les autorités de surveillance démissionnent, les standards de l'éthique s'effondrent, comme ce fut le cas aux Etats-Unis avant 2000 (crise des valeurs technologiques), avant 2002 (scandales comptables) et avant 2008 (crise des subprimes). Aux Etats-Unis, quelque 250 lois et réglementations fédérales et étatiques favorisant la protection de l'épargne ont ainsi été démantelées depuis les années 1980 à la demande des banques, ouvrant l'ère du crédit prédateur qui a mené à la crise des subprimes.
Mais lorsque la période est au krach boursier, la finance sollicite l'interventionnisme maximal de l'Etat et des banques centrales, sommés de subventionner les chantres du non-interventionnisme. Le système se fait étatiste au plus haut degré pour protéger les acteurs du "libre marché" de toute perte ou sanction, alors qu'ils ont échoué. Ainsi, quand l'Etat intervient, c'est pour enrichir les riches, et quand il s'abstient d'intervenir, c'est aussi pour enrichir les riches. Le système s'autorise à être ultra libéral à la hausse et hyper interventionniste à la baisse, opérant dans les deux cas une redistribution dans un seul sens: de la base vers le haut. Il ne s'agit donc pas d'être pour ou contre l'interventionnisme étatique, mais contre le mélange prédateur des deux, savamment organisé pour n'agir que dans l'intérêt du secteur financier. Un interventionnisme qui agirait pour sauver à la fois les banques et les plus démunis de la société serait plus défendable que le présent système. Un non-interventionnisme qui laisserait les banques faillir, et priverait aussi de protection les moins favorisés, serait plus défendable que le présent système.
Mais le système actuel, où l'élite gagne à tous les coups, porte un nom. Et ce n'est pas l'étatisme. C'est la ploutocratie (gouvernement par la classe des riches). Les Etats-Unis, modèle dominant de notre ère, ne sont pas une démocratie, mais une ploutocratie. Nous vivons en ploutocratie. Francis Fukuyama, auteur de La fin de l'histoire, a récemment écrit plusieurs essais sur la ploutocratie américaine. D'après le magazine The American Interest, les Etats-Unis, qui étaient une ploutocratie industrielle en 1890-1920, sont devenus une ploutocratie financière dès les années 1990. L'élite de la finance, lobby désormais plus puissant que celui de la défense, sponsorise aujourd'hui l'Etat afin qu'il serve ses intérêts. C'est ainsi qu'aucun dirigeant financier n'a eu à répondre des abus sans précédent de la spéculation sur les subprimes, alors que 50 millions d'Américains sont à la soupe populaire. Les amendes payées par Wall Street représentent moins de 5% des profits engrangés durant la bulle. Et des scandales outranciers comme les manipulations du taux LIBOR resteront probablement impunis. A chaque euphorie, le non-interventionnisme de l'Etat aboutit à sur enrichir les élites financières (25 gérants de hedge funds ont gagné, sur la seule année 2006, autant que le PIB de l'Islande), et à chaque crise l'interventionnisme appauvrit les pauvres: entre 1970 et 2008, le revenu de 0,1% des plus riches a progressé de 385%, tandis que le revenu de 90% de la population n'a pas bougé. L'impunité fait partie de la ploutocratie, tout comme le non-interventionnisme, dans la mesure où c'est un non-interventionnisme acheté.

Auteur: Zaki Myret

Info: 28 octobre 2012

[ fric ] [ injustice ] [ avidité ] [ société ] [ USA ]

dichotomie

Un nouvel opus magnum postule l'existence d'un lien mathématique caché, semblable à la connexion entre l'électricité et le magnétisme.

En 2018, alors qu'il s'apprêtait à recevoir la médaille Fields, la plus haute distinction en mathématiques, Akshay Venkatesh avait un morceau de papier dans sa poche. Il y avait inscrit un tableau d'expressions mathématiques qui, depuis des siècles, jouent un rôle clé dans la théorie des nombres.

Bien que ces expressions aient occupé une place prépondérante dans les recherches de Venkatesh au cours de la dernière décennie, il les gardait sur lui non pas comme un souvenir de ce qu'il avait accompli, mais comme un rappel de quelque chose qu'il ne comprenait toujours pas.

Les colonnes du tableau étaient remplies d'expressions mathématiques à l'allure énigmatique : À l'extrême gauche se trouvaient des objets appelés périodes, et à droite, des objets appelés fonctions L, qui pourraient être la clé pour répondre à certaines des questions les plus importantes des mathématiques modernes. Le tableau suggérait une sorte de relation entre les deux. Dans un livre publié en 2012 avec Yiannis Sakellaridis, de l'université Johns Hopkins, Venkatesh avait trouvé un sens à cette relation : Si on leur donne une période, ils peuvent déterminer s'il existe une fonction L associée.

Mais ils ne pouvaient pas encore comprendre la relation inverse. Il était impossible de prédire si une fonction L donnée avait une période correspondante. Lorsqu'ils ont examiné les fonctions L, ils ont surtout constaté un certain désordre.

C'est pourquoi Venkatesh a gardé le papier dans sa poche. Il espérait que s'il fixait la liste suffisamment longtemps, les traits communs de cette collection apparemment aléatoire de fonctions L lui apparaîtraient clairement. Au bout d'un an, ce n'était pas le cas.

"Je n'arrivais pas à comprendre le principe qui sous-tendait ce tableau", a-t-il déclaré.

2018 fut une année importante pour Venkatesh à plus d'un titre. En plus de recevoir la médaille Fields, il a également quitté l'université de Stanford, où il se trouvait depuis une dizaine d'années, pour rejoindre l'Institute for Advanced Study à Princeton, dans le New Jersey.

Sakellaridis et lui ont également commencé à discuter avec David Ben-Zvi, un mathématicien de l'université du Texas, à Austin, qui passait le semestre à l'institut. Ben-Zvi avait construit sa carrière dans un domaine parallèle des mathématiques, en étudiant le même type de questions sur les nombres que Sakellaridis et Venkatesh, mais d'un point de vue géométrique. Lorsqu'il a entendu Venkatesh parler de cette table mystérieuse qu'il emportait partout avec lui, Ben-Zvi a presque immédiatement commencé à voir une nouvelle façon de faire communiquer les périodes et les fonctions L entre elles.

Ce moment de reconnaissance a été à l'origine d'une collaboration de plusieurs années qui s'est concrétisée en juillet dernier, lorsque Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh ont publié un manuscrit de 451 pages. L'article crée une traduction dans les deux sens entre les périodes et les fonctions L en refondant les périodes et les fonctions L en termes d'une paire d'espaces géométriques utilisés pour étudier des questions fondamentales en physique.

Ce faisant, il réalise un rêve de longue date dans le cadre d'une vaste initiative de recherche en mathématiques appelée "programme Langlands". Les mathématiciens qui travaillent sur des questions dans le cadre de ce programme cherchent à jeter des ponts entre des domaines disparates pour montrer comment des formes avancées de calcul (d'où proviennent les périodes) peuvent être utilisées pour répondre à des questions ouvertes fondamentales en théorie des nombres (d'où proviennent les fonctions L), ou comment la géométrie peut être utilisée pour répondre à des questions fondamentales en arithmétique.

Ils espèrent qu'une fois ces ponts établis, les techniques pourront être portées d'un domaine mathématique à un autre afin de répondre à des questions importantes qui semblent insolubles dans leur propre domaine.

Le nouvel article est l'un des premiers à relier les aspects géométriques et arithmétiques du programme, qui, pendant des décennies, ont progressé de manière largement isolée. En créant ce lien et en élargissant effectivement le champ d'application du programme Langlands tel qu'il a été conçu à l'origine, le nouvel article fournit un cadre conceptuel unique pour une multitude de connexions mathématiques.

"Il unifie un grand nombre de phénomènes disparates, ce qui réjouit toujours les mathématiciens", a déclaré Minhyong Kim, directeur du Centre international des sciences mathématiques d'Édimbourg, en Écosse.

Connecter eulement  

Le programme Langlands a été lancé par Robert Langlands, aujourd'hui professeur émérite à l'Institute for Advanced Study. Il a débuté en 1967 par une lettre manuscrite de 17 pages adressée par Langlands, alors jeune professeur à l'université de Princeton, à Andre Weil, l'un des mathématiciens les plus connus au monde. Langlands proposait d'associer des objets importants du calcul, appelés formes automorphes, à des objets de l'algèbre, appelés groupes de Galois. Les formes automorphes sont une généralisation des fonctions périodiques telles que le sinus en trigonométrie, dont les sorties se répètent à l'infini lorsque les entrées augmentent. Les groupes de Galois sont des objets mathématiques qui décrivent comment des entités appelées champs (comme les nombres réels ou rationnels) changent lorsqu'on leur ajoute de nouveaux éléments.

Les paires comme celle entre les formes automorphes et les groupes de Galois sont appelées dualités. Elles suggèrent que différentes classes d'objets se reflètent l'une l'autre, ce qui permet aux mathématiciens d'étudier l'une en fonction de l'autre.

Des générations de mathématiciens se sont efforcées de prouver l'existence de la dualité supposée de Langlands. Bien qu'ils n'aient réussi à l'établir que pour des cas limités, même ces cas limités ont souvent donné des résultats spectaculaires. Par exemple, en 1994, lorsque Andrew Wiles a démontré que la dualité proposée par Langlands était valable pour une classe particulière d'exemples, il a prouvé le dernier théorème de Fermat, l'un des résultats les plus célèbres de l'histoire des mathématiques.

En poursuivant le programme de Langlands, les mathématiciens l'ont également élargi dans de nombreuses directions.

L'une de ces directions a été l'étude de dualités entre des objets arithmétiques apparentés, mais distincts, de ceux qui intéressaient Langlands. Dans leur livre de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont étudié une dualité entre les périodes, qui sont étroitement liées aux formes automorphes, et les fonctions L, qui sont des sommes infinies attachées aux groupes de Galois. D'un point de vue mathématique, les périodes et les L-fonctions sont des objets d'espèces totalement différentes, sans traits communs évidents.

Les périodes sont devenues des objets d'intérêt mathématique dans les travaux d'Erich Hecke dans les années 1930.

Les fonctions L sont des sommes infinies utilisées depuis les travaux de Leonhard Euler au milieu du 18e siècle pour étudier des questions fondamentales sur les nombres. La fonction L la plus célèbre, la fonction zêta de Riemann, est au cœur de l'hypothèse de Riemann, qui peut être considérée comme une prédiction sur la répartition des nombres premiers. L'hypothèse de Riemann est sans doute le plus important problème non résolu en mathématiques.

Langlands était conscient des liens possibles entre les fonctions L et les périodes, mais il les considérait comme une question secondaire dans son projet de relier différents domaines des mathématiques.

"Dans un article, [Langlands] considérait que l'étude des périodes et des fonctions L ne valait pas la peine d'être étudiée", a déclaré M. Sakellaridis.

Bienvenue dans la machine

Bien que Robert Langlands n'ait pas insisté sur le lien entre les périodes et les fonctions L, Sakellaridis et Venkatesh les considéraient comme essentiels pour élargir et approfondir les liens entre des domaines mathématiques apparemment éloignés, comme l'avait proposé Langlands.

Dans leur livre de 2012, ils ont développé une sorte de machine qui prend une période en entrée, effectue un long calcul et produit une fonction L. Cependant, toutes les périodes ne produisent pas des L-fonctions correspondantes, et la principale avancée théorique de leur livre était de comprendre lesquelles le font. (Ce travail s'appuie sur des travaux antérieurs d'Atsushi Ichino et de Tamotsu Ikeda à l'université de Kyoto).

Mais leur approche avait deux limites. Premièrement, elle n'explique pas pourquoi une période donnée produit une fonction L donnée. La machine qui transforme l'une en l'autre était une boîte noire. C'était comme s'ils avaient construit un distributeur automatique qui produisait souvent de manière fiable quelque chose à manger chaque fois que vous mettiez de l'argent, sauf qu'il était impossible de savoir ce que ce serait à l'avance, ou si la machine mangerait l'argent sans distribuer d'en-cas.

Dans tous les cas, vous deviez déposer votre argent - votre période - puis "faire un long calcul et voir quelle fonction L vous obteniez parmi un zoo de fonctions", a déclaré M. Venkatesh.

La deuxième chose qu'ils n'ont pas réussi à faire dans leur livre, c'est de comprendre quelles fonctions L ont des périodes associées. Certaines en ont. D'autres non. Ils n'ont pas réussi à comprendre pourquoi.

Ils ont continué à travailler après la publication du livre, en essayant de comprendre pourquoi la connexion fonctionnait et comment faire fonctionner la machine dans les deux sens - non seulement en obtenant une fonction L à partir d'une période, mais aussi dans l'autre sens.

En d'autres termes, ils voulaient savoir que s'ils mettaient 1,50 $ dans le distributeur automatique, cela signifiait qu'ils allaient recevoir un sachet de Cheetos. De plus, ils voulaient pouvoir dire que s'ils tenaient un sachet de Cheetos, cela signifiait qu'ils avaient mis 1,50 $ dans le distributeur automatique.

Parce qu'elles relient des objets qui, à première vue, n'ont rien en commun, les dualités sont puissantes. Vous pourriez fixer un alignement d'objets mathématiques pendant une éternité sans percevoir la correspondance entre les fonctions L et les périodes.

"La manière dont elles sont définies et données, cette période et cette fonction L, n'a rien d'évident", explique Wee Teck Gan, de l'université nationale de Singapour.

Pour traduire des choses superficiellement incommensurables, il faut trouver un terrain d'entente. L'un des moyens d'y parvenir pour des objets tels que les fonctions L et les périodes, qui trouvent leur origine dans la théorie des nombres, est de les associer à des objets géométriques.

Pour prendre un exemple ludique, imaginez que vous avez un triangle. Mesurez la longueur de chaque côté et vous obtiendrez un ensemble de nombres qui vous indiquera comment écrire une fonction L. Prenez un autre triangle et, au lieu de mesurer les longueurs, regardez les trois angles intérieurs - vous pouvez utiliser ces angles pour définir une période. Ainsi, au lieu de comparer directement les fonctions L et les périodes, vous pouvez comparer les triangles qui leur sont associés. On peut dire que les triangles "indexent" les L-fonctions et les périodes - si une période correspond à un triangle avec certains angles, alors les longueurs de ce triangle correspondent à une L-fonction correspondante.

Si une période correspond à un triangle avec certains angles, les longueurs de ce triangle correspondent à une fonction L. "Cette période et cette fonction L, il n'y a pas de relation évidente dans la façon dont elles vous sont données. L'idée était donc que si vous pouviez comprendre chacune d'entre elles d'une autre manière, d'une manière différente, vous pourriez découvrir qu'elles sont très comparables", a déclaré M. Gan.

Dans leur ouvrage de 2012, Sakellaridis et Venkatesh ont réalisé une partie de cette traduction. Ils ont trouvé un moyen satisfaisant d'indexer des périodes en utilisant un certain type d'objet géométrique. Mais ils n'ont pas pu trouver une façon similaire de penser aux fonctions L.

Ben-Zvi pensait pouvoir le faire.

Le double marteau de Maxwell

Alors que les travaux de Sakellaridis et Venkatesh se situaient légèrement à côté de la vision de Langlands, Ben-Zvi travaillait dans un domaine des mathématiques qui se situait dans un univers totalement différent - une version géométrique du programme de Langlands.

Le programme géométrique de Langlands a débuté au début des années 1980, lorsque Vladimir Drinfeld et Alexander Beilinson ont suggéré une sorte de dualité de second ordre. Drinfeld et Beilinson ont proposé que la dualité de Langlands entre les groupes de Galois et les formes automorphes puisse être interprétée comme une dualité analogue entre deux types d'objets géométriques. Mais lorsque Ben-Zvi a commencé à travailler dans le programme géométrique de Langlands en tant qu'étudiant diplômé à l'université de Harvard dans les années 1990, le lien entre le programme géométrique et le programme original de Langlands était quelque peu ambitieux.

"Lorsque le programme géométrique de Langlands a été introduit pour la première fois, il s'agissait d'une séquence d'étapes psychologiques pour passer du programme original de Langlands à cet énoncé géométrique qui semblait être un tout autre genre d'animal", a déclaré M. Ben-Zvi.

En 2018, lorsque M. Ben-Zvi a passé une année sabbatique à l'Institute for Advanced Study, les deux parties se sont rapprochées, notamment dans les travaux publiés la même année par Vincent Lafforgue, chercheur à l'Institut Fourier de Grenoble. Pourtant, M. Ben-Zvi prévoyait d'utiliser son séjour sabbatique de 2018 à l'IAS pour effectuer des recherches sur l'aspect géométrique du programme Langlands. Son plan a été perturbé lorsqu'il est allé écouter un exposé de Venkatesh.

"Mon fils et la fille d'Akshay étaient des camarades de jeu, et nous étions amis sur le plan social, et j'ai pensé que je devrais assister à certaines des conférences qu'Akshay a données au début du semestre", a déclaré Ben-Zvi.

Lors de l'une de ces premières conférences, Venkatesh a expliqué qu'il fallait trouver un type d'objet géométrique capable d'indexer à la fois les périodes et les fonctions L, et il a décrit certains de ses récents progrès dans cette direction. Il s'agissait d'essayer d'utiliser des espaces géométriques issus d'un domaine des mathématiques appelé géométrie symplectique, que Ben-Zvi connaissait bien pour avoir travaillé dans le cadre du programme géométrique de Langlands.

"Akshay et Yiannis ont poussé dans une direction où ils ont commencé à voir des choses dans la géométrie symplectique, et cela m'a fait penser à plusieurs choses", a déclaré M. Ben-Zvi.

L'étape suivante est venue de la physique.

Pendant des décennies, les physiciens et les mathématiciens ont utilisé les dualités pour trouver de nouvelles descriptions du fonctionnement des forces de la nature. Le premier exemple, et le plus célèbre, est celui des équations de Maxwell, écrites pour la première fois à la fin du XIXe siècle, qui relient les champs électriques et magnétiques. Ces équations décrivent comment un champ électrique changeant crée un champ magnétique, et comment un champ magnétique changeant crée à son tour un champ électrique. Ils peuvent être décrits conjointement comme un champ électromagnétique unique. Dans le vide, "ces équations présentent une merveilleuse symétrie", a déclaré M. Ben-Zvi. Mathématiquement, l'électricité et le magnétisme peuvent changer de place sans modifier le comportement du champ électromagnétique commun.

Parfois, les chercheurs s'inspirent de la physique pour prouver des résultats purement mathématiques. Par exemple, dans un article de 2008, les physiciens Davide Gaiotto et Edward Witten ont montré comment les espaces géométriques liés aux théories quantiques des champs de l'électromagnétisme s'intègrent dans le programme géométrique de Langlands. Ces espaces sont présentés par paires, une pour chaque côté de la dualité électromagnétique : les espaces G hamiltoniens et leur dual : Les espaces Ğ hamiltoniens (prononcés espaces G-hat).

Ben-Zvi avait pris connaissance de l'article de Gaiotto-Witten lors de sa publication, et il avait utilisé le cadre physique qu'il fournissait pour réfléchir à des questions relatives à la géométrie de Langlands. Mais ce travail - sans parler de l'article de physique qui l'a motivé - n'avait aucun lien avec le programme original de Langlands.

Jusqu'à ce que Ben-Zvi se retrouve dans le public de l'IAS en train d'écouter Venkatesh. Il a entendu Venkatesh expliquer qu'à la suite de leur livre de 2012, lui et Sakellaridis en étaient venus à penser que la bonne façon géométrique d'envisager les périodes était en termes d'espaces Hamiltoniens G. Mais Venkatesh a admis qu'ils ne savaient pas quel type d'objet géométrique associer aux L-fonctions. 

Cela a mis la puce à l'oreille de Ben-Zvi. Une fois que Sakellaridis et Venkatesh ont relié les périodes aux espaces G hamiltoniens, les objets géométriques duaux des fonctions L sont devenus immédiatement clairs : les espaces Ğ dont Gaiotto et Witten avaient dit qu'ils étaient les duaux des espaces G. Pour Ben-Zvi, toutes ces dualités, entre l'arithmétique, la géométrie et la physique, semblaient converger. Même s'il ne comprenait pas toute la théorie des nombres, il était convaincu que tout cela faisait partie d'une "grande et belle image".

To G or Not to Ğ

Au printemps 2018, Ben-Zvi, Sakellaridis et Venkatesh se sont rencontrés régulièrement au restaurant du campus de l'Institute for Advanced Study ; pendant quelques mois, ils ont cherché à savoir comment interpréter les données extraites des L-fonctions comme une recette pour construire des Ğ-espaces hamiltoniens. Dans l'image qu'ils ont établie, la dualité entre les périodes et les fonctions L se traduit par une dualité géométrique qui prend tout son sens dans le programme géométrique de Langlands et trouve son origine dans la dualité entre l'électricité et le magnétisme. La physique et l'arithmétique deviennent des échos l'une de l'autre, d'une manière qui se répercute sur l'ensemble du programme de Langlands.

"On pourrait dire que le cadre original de Langlands est maintenant un cas particulier de ce nouveau cadre", a déclaré M. Gan.

En unifiant des phénomènes disparates, les trois mathématiciens ont apporté une partie de l'ordre intrinsèque à la relation entre l'électricité et le magnétisme à la relation entre les périodes et les fonctions L.

"L'interprétation physique de la correspondance géométrique de Langlands la rend beaucoup plus naturelle ; elle s'inscrit dans cette image générale des dualités", a déclaré Kim. "D'une certaine manière, ce que [ce nouveau travail] fait est un moyen d'interpréter la correspondance arithmétique en utilisant le même type de langage.

Le travail a ses limites. Les trois mathématiciens prouvent en particulier  la dualité entre les périodes et les fonctions L sur des systèmes de nombres qui apparaissent en géométrie, appelés champs de fonctions, plutôt que sur des champs de nombres - comme les nombres réels - qui sont le véritable domaine d'application du programme de Langlands.

"L'image de base est censée s'appliquer aux corps de nombres. Je pense que tout cela sera finalement développé pour les corps de nombres", a déclaré M. Venkatesh.

Même sur les champs de fonctions, le travail met de l'ordre dans la relation entre les périodes et les fonctions L. Pendant les mois où Venkatesh a transporté un imprimé dans sa poche, lui et Sakellaridis n'avaient aucune idée de la raison pour laquelle ces fonctions L devraient être celles qui sont associées aux périodes. Aujourd'hui, la relation est logique dans les deux sens. Ils peuvent la traduire librement en utilisant un langage commun.

"J'ai connu toutes ces périodes et j'ai soudain appris que je pouvais retourner chacune d'entre elles et qu'elle se transformait en une autre que je connaissais également. C'est une prise de conscience très choquante", a déclaré M. Venkatesh.



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org. Kevin Hartnett, contributing Writer, October 12, 2023 https://www.quantamagazine.org/echoes-of-electromagnetism-found-in-number-theory-20231012/?mc_cid=cc4eb576af&mc_eid=78bedba296

[ fonction L p-adique ] [ fonction périodique ]