homme-animal

"Voyageons un peu dans le passé et transportons-nous à Falaise, petite ville de Normandie, à la fin du mois de janvier 1386.

Une truie, maladroitement costumée en habits féminins, est rituellement conduite à l’échafaud, puis pendue et brûlée. Qu’avait-elle fait ? Renversé le berceau d’un nourrisson mal surveillé et commencé à lui dévorer le visage.

Capturée, emprisonnée, conduite au tribunal, défendue par un avocat peu efficace, elle est condamnée à mort par le juge-bailli de Falaise qui l’estime responsable de ses actes. Son propriétaire, en revanche, n’écope d’aucune peine ni amende.

Aujourd’hui, de telles pratiques nous font rire, de même que nous nous esclaffons devant les questions que l’on se pose à la même époque en milieu clérical ou universitaire : peut-on faire travailler les animaux le dimanche ? Doit-on leur imposer des jours de jeûne ? Où vont-ils après la mort ? En Enfer ou au Paradis ? Que de croyances absurdes ? Que de superstitions grotesques ! Quels ramassis d’imbéciles tous ces médiévaux !

Nous avons tort de réagir ainsi. En jugeant le passé à l’aune des savoirs, des morales et des sensibilités du présent, nous montrons que nous n’avons rien compris à ce qu’était l’Histoire. En outre, nous oublions aussi que nos propres comportements sont tout aussi ridicules, qu’ils feront pareillement sourire nos successeurs dans quelques siècles, et qu’ils sont souvent plus atroces et beaucoup plus dangereux que ceux de nos ancêtres. Dangereux pour toutes les espèces vivantes, dangereux pour l’avenir de la planète.

Qui parmi nous a déjà visité une porcherie industrielle ? Je suis normand d’origine et breton de cœur, je n’ai aucune animosité envers les éleveurs de porcs, je ne milite dans aucune société protectrice des animaux ; je suis simplement historien, spécialiste des rapports entre l’homme et l’animal. Or l’honnêteté m’oblige à dire que ces porcheries industrielles sont des lieux abominables, constituant une sorte d’enfer sur terre pour les animaux qui s’y trouvent. Les truies sont enfermées par centaines dans des espaces qui leur interdisent de se déplacer. Leur vie durant, elles ne voient jamais la lumière du soleil, ne fouillent jamais le sol, sont nourries d’aliments chimiques, gavées d’antibiotiques, inséminées artificiellement. Elles doivent produire le maximum de porcelets en une seule portée, avoir le maximum de portées dans les quelques années de leur misérable vie, et lorsqu’elles ne sont plus fécondes, elles partent à l’abattoir. Les porcelets eux-mêmes doivent engraisser le plus vite possible, produire le maximum de viande, et tout cela, bien sûr, au moindre coût. Ces crétins du Moyen-Âge qui pensaient que les cochons étaient des êtres sensibles, qu’ils avaient une âme et qu’ils pouvaient comprendre ce qu’était le Bien et le Mal, n’avaient certainement jamais pensé à cela : martyriser des porcs pour gagner de l’argent !

Récemment, un directeur de porcherie industrielle située dans les Côtes d’Armor à qui je venais de faire part de mon indignation m’a répondu d’une manière sordide : "Mais, Cher Monsieur, pour les poulets c’est bien pire". De fait, dans des établissements carcéraux du même genre, les poulets ne peuvent pas poser leurs deux pattes au sol en même temps : il y circule un courant électrique qui les oblige, à longueur de vie, à poser au sol une patte après l’autre. Pourquoi un tel supplice ? Pour faire grossir leurs cuisses, bien sûr, et les vendre ainsi plus cher. La cupidité de l’être humain est devenue sans limite.

Où sont passés les cochons de nos campagnes ? Où peut-on encore les voir gambader autour de la ferme, jouer les uns avec les autres, se faire caresser par les enfants, partager la vie des paysans. Nulle part ! Nous avons oublié que les cochons – mais cela est vrai de tous les animaux de la ferme - étaient des êtres vivants et non pas des produits. Qui, dans la presse, évoque leur sort pitoyable, leur vie de prisonniers et de condamnés lorsque l’actualité parle du prix de la viande de porc et du mécontentement des éleveurs ? Qui a le courage de rappeler qu’avant d’être un produit de consommation le cochon était un animal vivant, intelligent, sensible, anatomiquement et physiologiquement cousin très proche de l’être humain ? A ma connaissance, personne. De même, à propos des débats autour des cantines scolaires, qui s’interroge sur les raisons qui font que certains peuples mangent du porc et d’autres non ? C’est pourtant un dossier passionnant, l’occasion de s’instruire et de rappeler les nombreuses hypothèses qui ont été avancées depuis le Moyen-Âge pour expliquer les rejets et les tabous qui entourent cet animal.

Les animaux domestiques n’ont plus d’histoire, plus de mythologie, plus de symbolique. Ils ne suscitent plus aucune curiosité, aucune interrogation, aucune nostalgie. Ils n’ont même plus droit à une vie simplement animale. Ce sont des produits ! Comme tels, ils doivent participer au "redressement productif" de notre pays (cette expression est en elle-même absolument répugnante) et générer du profit. Un profit ironiquement bien mince, voire inexistant pour les éleveurs de porcs, ce qui rend encore plus aberrante et intolérable l’existence de ces porcheries industrielles, inhumaines, "inanimales" même, si l’on peut oser un tel néologisme. Elles polluent l’air, la terre, les eaux des rivières et celles de la mer. Dans mon petit coin de Bretagne, des sangliers sont morts à cause du rejet dans la nature du lisier produit par l’élevage intensif de leurs cousins domestiques. Un comble ! À la cupidité s’ajoute l’absurdité.

L’être humain est devenu fou. Il tue non seulement ses semblables mais tout ce qui vit autour de lui. Il rêve même d’aller sur Mars ou ailleurs vérifier si la vie existe et, si c’est le cas, y semer la mort. Tout en donnant des leçons à l’univers entier et en paradant à la COP 21, 22, 23, 24.

Protéger la nature, défendre l’environnement, sauver la planète ? Certes. Mais pour quoi faire ? Pour sauver une humanité barbare et suicidaire, cruelle envers elle-même, ennemie de tous les êtres vivants ? Le mérite-t-elle vraiment ? Le souhaite-t-elle réellement ? Il est permis d’en douter."

Auteur: Pastoureau Michel

Info: France Inter, carte blanche du 21 oct 2019

[ historique ]

anthropomorphisme

Les plantes sont-elles frigides?

La plante évoque l'inertie. On dit "végéter" pour "stagner". Mais il y a quelques siècles encore, "végéter" signifiait le contraire. En latin, ce mot désigne la surabondance d'énergie qui pousse une plante à jaillir. Plus on la coupe, plus elle reverdit : la plante, c'est l'énergie sexuelle incarnée. Sur le plan étymologique en tout cas. Les termes latins dont le mot "végétal" dérive désignent à l'origine "force et croissance". Le mot silva (forêt) est attesté dès Cicéron dans le sens de "grande quantité" et d'"abondance de matière". Le mode d'être de la plante est celui d'une prolifération virtuellement infinie, en constante expansion. Quel plus beau modèle prendre pour l'humain que celui du lierre ou du lichen? A la différence des végétaux dont la vie se confond avec la croissance, la plupart des bêtes, une fois adultes atteignent leurs dimensions définitives, explique Dominique Brancher, ce qui explique peut-être pourquoi les plantes font si peur. Elles ne connaissent pas de limites. Elles ne respectent pas l'ordre. Est-ce la cause du stigmate qui les frappe en Occident ? Les plantes sont-elles victimes de spécisme, de sexisme ou de racisme?

Chercheuse à l'Université de Bâle, Dominique Brancher est l'auteure d'un livre qui entend rendre justice au règne végétal : on en a fait un règne dormant, voué à l'immobilité, à l'absence de pensée, de sentiments, de sensations... Quel dommage d'avoir ainsi perverti ce qui - à l'origine de notre culture - était considéré comme une forme de débordement vital. Trop vital. "Eclipsé par l'attention exclusive donnée au vaste débat sur la distinction entre l'animal et l'homme, [...] le végétal s'est vu relégué au rang de tiers-exclu", dit-elle, regrettant que le mot végéter soit devenu synonyme d'inertie. Mais pourquoi un tel revirement? Pour quelle raison notre culture a-t-elle ainsi châtré la plante? Dans un livre au titre explicite Quand l'esprit vient aux plantes (allusion ironique au poème de La Fontaine "Comment l'esprit vient aux filles"), Dominique Brancher retrace l'histoire de ce qu'elle désigne comme l'invention d'un sexisme anti-flore. Nous avons discriminé les végétaux comme l'ont été les femmes : en leur déniant tout désir. Comme l'ont été les "sauvages" : en leur déniant toute intelligence. Comme le sont encore les animaux : en les parquant dans des réserves. C'est pourquoi il faut lire son enquête sur la sexualité des plantes comme un révélateur de nos choix de vie.

Quand les plantes étaient humaines...

Aux origines présocratiques de notre culture, les cosmogonies imaginées par Thalès (né en 640 av. J.-C.), Héraclite (504 av. J.-C.) ou Empédocle (492 av. J.-C.) reposent sur un principe d'équation : nous sommes faits de la même matière que tout ce qui existe, fleur ou astres. Cette règle d'analogie poétique "dit la trame vitale qui tisse les êtres et confond leurs attributs et leurs formes. Les arbres "pondent" leurs fruits et les êtres humains se développent comme des plantes." Pour Empédocle, qui rédige sa théorie en vers fabuleux face au paysage volcanique de sa Sicile natale, il n'y a ni naissance ni mort. Tout chose se renouvelle sous l'effet d'une ardeur brûlante qui traverse la matière. "Toute chose pense", dit-il. Toute chose aime et hait. "Dans ses transmigrations, l'âme humaine épouse les métamorphoses de la matière car elle a "déjà été autrefois garçon et fille, buisson, oiseau ou poisson cheminant à la surface de l'eau" (Empédocle, VIII).". Dans cet univers foisonnant, les plantes ont du plaisir et souffrent comme les humains qui, eux-mêmes, viennent au monde mouillés par la rosée de leur larmes. Empédocle résume ainsi leur première apparition : "Or donc voici comment des hommes et des femmes trempés de pleurs, Feu, se séparant, fit jaillir les pousses dans la nuit" (Empédocle III, Les Origines).

Avec la "raison" vient l'inégalité

Mais cette vision-là du monde est trop poétique sans doute. Dès le 1er siècle avant J.-C., Nicolas de Damas écrit dans son ouvrage De Plantis : "Il faut rejeter ces idées grossières et nous mettre à dire la vérité". Platon (427 av. J.-C.), deux siècles avant lui, n'accorde aux plantes qu'une âme inférieure et en fait des animaux immobiles. Mais c'est Aristote (384 av. J.-C.) qui "réduit encore plus considérablement la dignité du végétal en lui laissant seulement une sorte d'âme (De Anima, A5, 411)". La classification qu'Aristote met en place devient le modèle dominant d'une pensée occidentale qui place l'homme au sommet de la hiérarchie. Dans ce nouvel ordre moral, "les plantes jouissent seulement d'une âme végétative", désormais privées d'entendement. Avec le christianisme, leur statut ne s'améliore pas, au contraire. "Selon l'agenda cloisonné de la Genèse, Dieu créa les plantes le troisième jour, les animaux le cinquième et l'homme le sixième". Dans l'échelle des êtres, le végétal est en bas. Deux attitudes prévalent à son égard. La première repousse les plantes du côté du péché. Le seconde, guère plus enviable, du côté du paradis. Dans les deux cas, la plante est vue comme une créature frigide.

La plante comme symbole du péché de gourmandise Bien qu'ils lui dénient toute capacité de percevoir et donc de jouir, les théologiens estiment en effet que la plante est gourmande. Ne passe-t-elle pas son temps à sucer la terre? Voilà pourquoi elle est au bas de cette Scala Naturae ("échelle de la nature") que de nombreux ouvrages du XVIe siècle décrivent en termes de menace : attention de ne pas tomber ! Chaque échelon figure un degré de déchéance. Quand l'homme commet le péché de luxure (sensualis), il est ravalé au rang d'animal. Quand il a trop d'appétit (vitalis), le voilà végétal. Quand il sombre dans la tristesse (acédie), il rétrograde en minéral. Le christianisme "est une religion qui déconsidère la vie organique au profit de la pensée rationnelle", rappelle Dominique Brancher. Aux yeux des chrétiens, l'homme ne peut prétendre à son statut supérieur qu'à la condition de ne rien avoir en commun avec la (vile) matière. Les bêtes qui forniquent, les rivières qui ondoient et les plantes qui têtent la glaise sans penser, avec une gloutonnerie "stupide et insensible" (Jean Pic de la Mirandole) sont des choses détestables, qui renvoient à la chute.

La plante comme symbole de l'asexualité

Mais il existe une autre attitude vis à vis des plantes : pour certains chrétiens, elles présentent cet avantage sur les animaux d'être "pures". Cela commence au XIIIe siècle, avec Innocent III : dans un texte intitulé De Contemptu mundi, le pape attribue aux plantes la "candeur de l'âme végétative". La plante n'est pas sexuée, dit-il (ignorant qu'il existe des espèces végétales où les mâles et les femelles sont distincts). "Dégagés des ardeurs charnelles qui abêtissent et abrutissent, les végétaux offrent ainsi la rédemption d'un nouvel Eden. Combien d'auteurs de la Contre-Réforme ne célèbrent-ils pas la pureté de la reproduction végétale?". Dominique Brancher cite par exemple Thomas Browne qui, dans les années 1630, déclare : "Je serais heureux, si nous pouvions procréer comme les arbres sans union et s'il existait un moyen de perpétuer le monde sans passer par le coït vulgaire et trivial. C'est l'acte le plus sot qu'un homme sage puisse commettre dans sa vie". Edifiant. La chercheuse enfonce le clou : "Aux yeux de la mystique flamande, la perfection végétale figure une complétude originelle que la Faute, en modifiant le corps physique des premiers hommes, a définitivement dérobé à l'humanité : "Au lieu d'hommes qu'ils devaient être, ils sont devenus des monstres divisés en deux sexes imparfaits, impuissants à produire leurs semblables seuls, comme se produisent les arbres et les plantes".

Savez-vous planter des choux?

Dans la tradition ouverte par Innocent III, tout un imaginaire puritain se cristallise aux XVIe et XVIe siècles autour des plantes. La botanique devient "une technique de maîtrise des instincts, explique Dominique Brancher. On en trouve les répercussions jusque chez Rousseau, "persuadé qu'à tout âge l'étude de la nature émousse le goût des amusements frivoles, prévient le tumulte des passions". "La campagne a toujours été considérée comme le séjour de l'innocence", renchérit Trembley. L'herborisation devient l'activité favorite des puritains. On associe le curé de campagne à un brave jardinier, expert en sirops pour la gorge. "La méconnaissance concertée de la sexualité des plantes, depuis Aristote jusqu'aux naturalistes de la Renaissance, entretient cette vision angélique." Heureusement, il existe à toute époque des empêcheurs de tourner en rond. Au XVIe siècle, en particulier, des voix dissidentes s'élèvent : non, la plante n'est pas sage. Nous ferions bien d'en prendre de la graine.

Auteur: Giard Agnes

Info: 4 janvier 2016

[ historique ] [ Grèce antique ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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