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Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]

interprétation

Cinq adaptations "exemplaires" (littérature et cinéma)
Dès ses origines, le cinéma a tissé avec la littérature des liens contradictoires et complexes. Alors que le septième art a toujours tenté de s'affirmer comme art " autonome ", il a d'une manière constante puisé dans les classiques de la littérature pour se nourrir et s'enrichir. L'opinion commune veut qu'une adaptation cinématographique d'un texte littéraire soit vouée à être moins intéressante que l'oeuvre d'origine. Or un examen un peu attentif prouve que l'histoire du cinéma est truffée de chefs-d'oeuvre tirés de romans ou de pièces de théâtre. La question, dès lors, est de savoir comment le cinéma peut parvenir à traduire sur grand écran des oeuvres littéraires sans les trahir et en conservant sa propre singularité d'art " visuel ".
Entre littérature et cinéma, c'est une histoire immédiate. Lorsque Georges Meliès réalise, en 1902, Le voyage dans la lune, il s'inspire déjà du roman de Jules Verne De la terre à la lune. Et même lorsqu'il est encore muet, le cinéma trouve dans les oeuvres de Victor Hugo (L'homme qui rit de Paul Leni en 1928) ou d'Alexandre Dumas une inépuisable source d'inspiration.
Parce que le cinéma est parvenu à développer, au temps du muet, une grammaire et des articulations très fines, une esthétique qui n'appartient qu'à lui ; certains voient dans le passage au parlant une régression et un retour à la théâtralité, à la littérature.
Pourtant, les noces entre les deux arts s'avèrent fructueuses : les romans donnent naissance à de grands classiques de l'histoire du cinéma (citons, de manière exemplaire, Autant en emporte le vent de Victor Fleming) et les écrivains s'intéressent au septième art et passent parfois de l'autre côté de la barrière de manière ponctuelle (André Malraux réalisant Espoir en1938-39) ou plus régulière (Pagnol, Guitry, Duras et Robbe-Grillet érigeant de véritables oeuvres cinématographiques).
Au début des années 50 François Truffaut, alors jeune critique, s'en prend violemment au cinéma français " de qualité ", reprochant en particulier aux cinéastes de se contenter d'illustrer pour le grand écran des classiques du patrimoine littéraire de manière totalement académique (Le rouge et le noir d'Autant-Lara, Notre-Dame de Paris et La princesse de Clèves de Jean Delannoy, etc.). Il oppose à ce cinéma poussiéreux un cinéma à la première personne où le réalisateur serait, tel un écrivain,l'auteur d'une oeuvre personnelle et intime.
Pourtant, Truffaut comme les autres cinéastes de la Nouvelle Vague, adapteront à leur tour des oeuvres littéraires. A quel moment, peut-on dire qu'un film se contente d'illustrer platement un roman ou bien qu'il transcende son matériau d'origine pour offrir au spectateur une oeuvre cinématographique à part entière ?
La question est tellement vaste qu'un simple article ne suffirait pas à en épuiser toutes les dimensions. Alors de manière subjective, tentons de nous appuyer sur cinq films pour analyser les éléments qui entrent en compte dans le succès d'une d'une adaptation d'une oeuvre littéraire.
1- Des mots aux images : Mouchette (1967) de Robert Bresson (d'après Bernanos)
La première difficulté à laquelle se heurte un cinéaste, c'est de traduire de manière " visuelle " des mots qui sont, eux-mêmes, porteurs d'images. A vouloir se contenter uniquement des mots, on prend le risque de laisser de côté les questions de mise en scène cinématographique de ces mots et de retomber dans le piège de l'illustration académique (Cf. Germinal de Claude Berri). Du coup, les mots doivent devenir le corps même de l'oeuvre et certains vont s'y employer en procédant par accumulation (la parole qui s'emballe chez Guitry et Pagnol) ou par soustraction. Robert Bresson appartient à la deuxième catégorie. Lorsqu'il adapte Mouchette sur grand écran, il n'en est pas à sa première tentative de transposition d'une oeuvre littéraire. Il a déjà filmé Diderot (Les dames du bois de Boulogne) et Bernanos (Le journal d'un curé de campagne). Pour lui, pas question de trouver un système d'équivalences mais d'adapter les oeuvres de manière littérale (avec, par exemple, un recours à la voix-off ou des cartons). Dans Mouchette, la parole se raréfie et c'est la stylisation d'une mise en scène épurée jusqu'à l'extrême qui permet de traduire la noirceur du roman d'origine. Lorsque la petite Mouchette se suicide en roulant obstinément jusqu'à un cours d'eau, Bresson parvient à traduire l'âpreté du roman de Bernanos et nous bouleverse de manière indélébile.
2- L'anecdote : Le mépris (1963) de Jean-Luc Godard (d'après Moravia)
Une des difficultés de l'adaptation cinématographique est la question de l'anecdote. Beaucoup de cinéastes se sont contentés de prendre les romans comme de beaux scénarios. L'anecdote l'emporte sur l'invention cinématographique. C'est peut-être pour cette raison que les meilleures adaptations sont sans doute celles qui se sont appuyées sur des oeuvres littéraires mineures, permettant aux cinéastes de dépasser l'anecdote et d'injecter dans leurs films des thèmes personnels. Belle de jour de Kessel n'est pas un roman très intéressant. En revanche, Buñuel en a fait un chef-d'oeuvre du cinéma, une oeuvre totalement énigmatique et opaque où l'onirisme et l'ironie sont de mises. De la même manière, il est couramment admis que les films d'Hitchcock comme Rebecca et Les oiseaux sont supérieurs aux romans de Daphné du Maurier qui les ont inspirés.
A l'origine du Mépris, il y a un roman de Moravia que les connaisseurs s'accordent à trouver médiocre (j'avoue ne pas l'avoir lu) mais le plus important n'est pas dans l'anecdote mais dans la manière dont Jean-Luc Godard parvient à la transplanter sur son propre territoire : le cinéma, le mythe et les questions que le taraudent toujours : l'amour, la trahison, le malentendu...
3- La réappropriation : Shining (1980) de Stanley Kubrick (d'après Stephen King)
Toujours dans le même ordre d'idée, les romans regroupés parfois sous l'étiquette " mauvais genre " (la série noire, le fantastique, la science-fiction, l'érotisme...) furent de formidables réservoirs à récits pour les cinéastes. Certains écrivains de polars, comme Raymond Chandler, furent également scénaristes pour Hollywood. Parmi les auteurs contemporains oeuvrant dans le fantastique, Stephen King fut sans doute l'écrivain le plus adapté au cinéma, pour le meilleur (Dead Zone de Cronenberg, Carrie de De Palma, Stand by me et Misery de Rob Reiner...) ou pour le pire (Firestarter de Lester, Peur bleue...).
Avec Shining, nous nous trouvons face à un cas intéressant car il est évident que Stanley Kubrick trahit l'oeuvre originale (King ne s'est pas entendu avec le cinéaste et détestait cette adaptation) mais il se la réapproprie de manière totalement personnelle et livre un des plus beaux films d'épouvante jamais tourné. Avec ce film, le cinéaste tente de réaliser LE film d'horreur définitif (comme il cherchera à réaliser LE film de guerre absolu avec Full Metal Jacket) et nous offre une oeuvre mentale où l'espace de l'hôtel et du jardin qui l'entoure devient la projection d'un cerveau atteint par la folie.
4- Le style : Le temps retrouvé (1999) de Raoul Ruiz (d'après Marcel Proust)
Un des problèmes majeurs auxquels se heurtent les cinéastes projetant d'adapter une oeuvre littéraire, c'est celui du style. Si, au cinéma, l'anecdote importe moins que la mise en scène et le style du réalisateur ; il est évident que l'intérêt d'un livre tient avant tout à son style et non pas à son " histoire ".
C'est sans doute pour cette raison que certains grands stylistes n'ont jamais été adaptés au cinéma, que ce soit Céline ou James Joyce qui ne fut adapté que pour son récit le plus " classique " (Gens de Dublin par John Huston en 1987). Même si certaines tentatives maladroites ont été effectuées, certains romans conservent la réputation d'être inadaptables, que ce soit Belle du seigneur de Cohen ou A la recherche du temps perdu de Proust. Contrairement à ce que l'on entend parfois, Proust a fait l'objet de quelques adaptations cinématographiques. Parfois catastrophiques (le très académique Un amour de Swann de Schlöndorff avec Alain Delon en 1984), parfois intéressantes (La captive de Chantal Akerman), ces transpositions restèrent néanmoins assez éloignées de l'univers de l'écrivain. Dans Le temps retrouvé, c'est le caractère extrêmement mouvant de la mise en scène qui frappe. Ruiz a recours aux effets qu'il affectionne depuis toujours : juxtaposition du zoom et du travelling dans des directions opposées, décors mobiles, amples mouvements de caméra donnant la sensation d'un univers extrêmement fluctuant et éphémère. Grâce à ses partis pris de mise en scène, le cinéaste parvient à nous loger au coeur même de la tête de l'écrivain qui revient, à la veille de sa mort, sur son existence et son oeuvre, comme si tout était désormais écrit. Le film est donc à la fois une oeuvre cinématographique et une traduction assez juste de l'univers évanescent de Proust. Pour transposer à l'écran un écrivain au style unique, il fallait un styliste de la caméra !
5- Les limites : Salo ou les 120 journées de Sodome (1975) de Pier Paolo Pasolini (d'après Sade)
Dernier écueil auquel se heurte le cinéma : les limites de la représentation. Lorsque Apollinaire évoque un " soleil cou coupé " ou que Breton nous entraîne à sa suite dans un Paris mystérieux et poétique dans Nadja, on a du mal à concevoir quelles images photographiques pourraient traduire la poésie de ces mots et les gouffres imaginaires qu'ils entrouvrent.
Réaliste par essence, l'image cinématographique se heurte à certaines limites que ne connaissent pas les mots. Lorsqu'il s'agit de violence ou de sexe, il paraît littéralement impossible de montrer ce que les mots peuvent parfois dire. Une adaptation fidèle d'American psycho de Brett Easton Ellis serait tout bonnement insoutenable.
De la même manière, on imagine mal un film qui suivrait scrupuleusement les descriptions du marquis de Sade. Pourtant, le grand écrivain fut maintes fois adaptés au cinéma, de manière classique et édulcoré comme dans le Justine de Claude Pierson ou de manière plus originale (mais " soft ") dans Marquis de Sade : Justine de Jess Franco.
Lorsqu'il entreprend de filmer Les 120 journées de Sodome, Pasolini sort de sa " trilogie de la vie " où il exaltait les sens et une sexualité débridée en s'appuyant sur des oeuvres littéraires du passé (Les mille et une nuits, Le Décaméron de Boccace et Les contes de Canterbury de Chaucer). Mais ce qu'il voit autour de lui le rend pessimiste et il cherche désormais à dénoncer les excès du consumérisme dans lesquels s'inscrit la prétendue " libéralisation des moeurs ". Il choisit d'adapter Sade qu'il transpose à l'époque fasciste. Là encore, la réappropriation qu'il se permet de l'oeuvre du divin Marquis est une sorte de " trahison " mais elle lui permet de transgresser les limites de la représentation. On a vu des films beaucoup plus " pornographiques " ou même plus violents mais le style glacial de Pasolini confère à cette oeuvre un caractère éprouvant et en fait un des films les plus effrayants jamais tourné.
Il y aurait sans doute beaucoup d'autres choses à dire sur ces liens paradoxaux entre le cinéma et la littérature mais ces quelques idées jetées de manière maladroite ici ont déjà pris beaucoup de place. Il ne vous reste plus qu'à vous laisser réagir et à vous inciter à citer des adaptations que vous trouvez réussies...

Auteur: Internet

Info: Dr Orlof, http://drorlof.over-blog.com/

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