distraction

On dit que Sir Isaac Newton lisait un jour Troïlus et Cressida à la jeune fille qui devait être sa femme. Il ferma un moment le volume pour bourrer et allumer sa pipe. Il tira quelques bouffées de tabac, s'arrêta quelques secondes, remit sa pipe à la bouche et se rapprocha de la jeune fille.
Il y eut une pause embarrassante de plusieurs minutes. Sir Isaac devenait de plus en plus troublé. Évidemment, il allait faire sa déclaration. La jeune fille baissa les yeux en rougissant. Le philosophe se mit à fumer avec un redoublement d'ardeur, et, saisissant la main de sa maîtresse, il l'approcha de son coeur. La jeune fille troublée n'offrit aucune résistance. On touchait au moment solennel.
Sir Isaac serra cette douce main, tout en continuant à regarder vaguement les nuages de fumée qui montaient en spirales, puis il saisit l'index de la jeune fille et l'introduisit à différentes reprises dans le fourneau de sa pipe, en pressant sur le tabac.
Dans sa distraction, le philosophé s'était servi du doigt de sa maîtresse comme d'un bourre-pipe !
La demoiselle poussa un cri de douleur, dégagea sa main et s'enfuit à la hâte. Elle ne paraît pas avoir gardé rancune à Newton, puisque plus tard elle devint sa femme.

Auteur: Dufresny Charles

Info: in le Dictionnaire encyclopédique d'anecdotes modernes, anciennes, françaises et étrangères d'Edmond Guerard

[ courtiser ] [ couple ]

nombre d'or

Ramassez une pomme de pin et comptez les rangées de spirales des écailles. Vous trouverez peut-être huit spirales s'enroulant vers la gauche et 13 spirales s'enroulant vers la droite, ou 13 spirales à gauche et 21 spirales à droite, ou d'autres paires de chiffres. Le fait marquant est que ces paires constituent des nombres contigus de la célèbre série de Fibonacci : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Ici, chaque terme est la somme des deux termes précédents. Le phénomène est bien connu et appelé phyllotaxie. Les biologistes n'ont pas ménagé leurs efforts pour comprendre pourquoi les pommes de pin, les tournesols et bien d'autres plantes présentent ce schéma remarquable. Les organismes font les choses les plus étranges, mais toutes ces bizarreries ne reflètent pas forcément une sélection ou un accident historique. Certains des travaux les plus intéressants pour comprendre la phyllotaxie font appel à une forme d'auto-organisation. Paul Green, de Stanford, a soutenu de manière convaincante que la série de Fibonacci est exactement ce que l'on attendrait comme modèle d'auto-répétition le plus simple pouvant être généré par les processus de croissance particuliers aux extrémités des tissus que générent les tournesols, les pommes de pin et ainsi de suite. Tout comme un flocon de neige et sa symétrie sextuple, la pomme de pin et sa phyllotaxie sont éligibles au sein d'un ordre naturel.

Auteur: Kauffman Stuart Alan

Info: At Home in the Universe: The Search for the Laws of Self-Organization and Complexity

[ émergence ] [ systèmes ] [ pré-mémétique ] [ divine proportion ] [ mécanisme ]

voyages

C'est ainsi que la voleuse de fruits s'était rapprochée, en spirales de plus en plus larges, de la bordure nord-est du plateau, au flanc et au pied duquel se trouvait Chaumont, la seule ville du Vexin picard. Peu de voitures, mais roulant chacune très vite, sur l'étroite route qui bordait le plateau en haut. Elles fonçaient comme si elles poursuivaient quelqu'un ou étaient au contraire elles-mêmes poursuivies. Elles donnaient l'impression d'être plus pressées que les avions, plus nombreux, au-dessus dans le ciel bleu, décollant en une suite rapide de l'aérodrome de Beauvais situé non loin d'ici. Pendant un certain temps, entre le village de Liancourt-Saint-Pierre et le hameau de Le Vivray, le regard, depuis la lisière du plateau en direction du nord-est, allait comme bien au-delà de Beauvais, de sa cathédrale et de son aéroport. La voleuse s'était arrêtée sur le bord de la route et imaginait voir par-dessus toutes les frontières de l'Europe ; dans son regard était l'Oural et, derrière ses montagnes, toute la Sibérie. Aucun avion ne décollait là-bas maintenant mais un aigle de Sibérie, un aigle pêcheur, ses gigantesques ailes dépassant toutes les envergures. En s'approchant, l'oiseau redevint un avion, minuscule cependant, deux sièges seulement, et, seul dans son appareil, le pilote là-haut avait un oeil sur elle, exclusivement sur elle qui se tenait en bas et gardait les yeux rivés sur son appareil : il battit des ailes, un coup à gauche, un coup à droite, lui fit signe.

Auteur: Handke Peter

Info: "La voleuse de fruits, ou Aller simple à l'intérieur du pays" - éd. Gallimard - trad. par Pierre Deshusses

[ mouvements ] [ horizons dépassés ] [ métamorphose ] [ communication ] [ géographies ]

femmes-hommes

La drogue de l'amour n'est pas une fuite, car elle recèle dans ses spirales des rêves de grandeur qui s'éveillent lorsque l'homme et la femme se fécondent au plus profond d'eux-mêmes. Une sorte de germination naît toujours de l'homme et de la femme qui s'allongent ensemble pour échanger les essences de leurs vies. Une graine est toujours déposée et libérée dans le sol de la passion. Les vapeurs du désir sont le ventre de la naissance de l'homme et souvent l'histoire se fait dans l'ivresse des caresses, tout comme la science et la philosophie. Car une femme, en cousant, cuisinant, dorlottant, protégeant, réchauffant, rêve aussi que l'homme qui la prend sera plus qu'un homme, qu'il sera la figure mythologique de ses rêves, le héros, le découvreur, le bâtisseur.. A moins qu'elle ne soit  une putain anonyme, aucun homme ne pénètre impunément la femme, car là où la semence de l'homme et de la femme se mêlent, de par les gouttes de sang échangées, s'opèrent les mêmes transmutations que dans les eaux mouvantes du grand fleuve de l'hérédité qui véhiculent du père au fils et aux petit-fils, les traits de caractère comme les traits physiques. Le souvenirs d'une expérience se perpétue par les mêmes cellules reproduisent le dessin d'un d'un nez, d'une main, le ton d'une voix ou la couleur d'un œil. Ces grands courant transmettents les caractères et transportent les rêves de port en port jusqu'à  ce que la perfection se réalise et que naissent des êtres, de nouveaux moi qui n'avaient jamais vu le jour... Les hommes et les femmes ne se doutent pas de tout ce qui s'engendre dans les ténèbres de leurs enlacements ; non seulement de enfants mais des multitudes de floraisons invisibles, des mouvement de l'âme et de métamorphoses, d'épanouissement de moi inconnus, de libération de trésors cachés, de fantasmes enfouis...

Auteur: Nin Anaïs

Info: The Four-Chambered Heart: V3 in Nin's Continuous Novel

[ fécondation ] [ fertilité ] [ alchimie ]

taudis

Le malheur est une larve accroupie dans les lieux humides. Les deux bannis de la Joie crurent flotter dans des limbes de viscosité et de crépuscule. Le feu le plus ardent ne parvenait pas à sécher les murs, plus froids à l’intérieur qu’au dehors, comme dans les cachots ou les sépulcres, et sur lesquels pourrissait un papier horrible.

D’une petite cave haineuse que n’avait certainement jamais élue la générosité d’aucun vin, parurent monter, au commencement de la nuit, des choses noires, des fourmis de ténèbres qui se répandaient dans les fentes et le long des joints d’un géographique parquet.

L’évidence d’une saleté monstrueuse éclata. Cette maison, illusoirement lessivée de quelques seaux d’eau, quand elle attendait des visiteurs, était, en réalité, gluante, à peu près partout, d’on ne savait quels sédiments redoutables qu’il aurait fallu racler avec un labeur sans fin. La Gorgone du vomissement était accroupie dans la cuisine, que l’incendie seul eût été capable de purifier. Dès la première heure, il avait fallu installer un fourneau dans une autre pièce. Au fond du jardin, de quel jardin ! persévérait un amas de détritus effrayants que le propriétaire avait promis de faire enlever et qui ne devait jamais disparaître.

Enfin, tout à coup, l’abomination. Une odeur indéfinissable, tenant le milieu entre le remugle d’un souterrain approvisionné de charognes et la touffeur alcaline d’une fosse d’aisances, vint sournoisement attaquer la muqueuse des locataires au désespoir.

Cette odeur ne sortait pas précisément des latrines, à peu près impraticables, d’ailleurs, ni d’aucun autre point déterminé. Elle rampait dans l’étroit espace et s’y déroulait à la manière d’un ruban de fumée, décrivant des cercles, des oves, des spirales, des lacets. Elle ondulait autour des meubles, montait au plafond, redescendait le long des portes, s’évadait dans l’escalier, rôdait d’une chambre à l’autre, laissant partout comme une buée de putréfaction et d’ordure.

Quelquefois elle semblait disparaître. Alors on la retrouvait au jardin, dans ce jardin des bords du Cocyte, clos d’un mur de bagne capable d’inspirer la monomanie de l’évasion à un derviche bancal devenu équarrisseur de chameaux atteints de la peste.

Auteur: Bloy Léon

Info: Dans "La femme Pauvre", Mercure de France, 1972, pages 294-295

[ ambiance odorifique ] [ puanteur ] [ description ]

littérature

En avril 2008, Simone Baulez avait été appelée pour débarrasser l'appartement de l'Odéon. Voyant une cruche sur laquelle était inscrit "Simone et Cioran", un de ses déménageurs lui a fait une plaisanterie. "Je ne connaissais que le nom de Mme Boué. Quand je me suis aperçu qu'il s'agissait de l'écrivain, nous avons redoublé de vigilance et conservé tous les papiers", raconte-t-elle. "L'appartement était encore jonché de livres et de feuilles." Dans la cave, elle a trouvé "des tableaux, un carton de dessins et un buste de l'écrivain". Ainsi que ses journaux, courant jusqu'en 1980, entreposés derrière des tuyaux.
Biffures. Un trésor. Trente-sept cahiers à spirales écrits en rouge et bleu, surchargés de corrections, de biffures et de volutes découragées. Plusieurs états de son oeuvre majeure, De l'Inconvénient d'être né. Qu'il trouve, à la parution, "raté". Un titre, abandonné : "Nostalgie du déluge". Un premier jet, surgi d'une insomnie : "L'obsession de la naissance est le fruit des mauvaises nuits..." Les esquisses d'Ecartèlement et d'Aveux et anathèmes, ponctuées de ses aphorismes : "Dieu est un tortionnaire hors classe. Comment peut-il infliger des heures pareilles." "Ahurissement perpétuel... Je n'ai jamais été à l'aise dans l'être... Ne me séduit que ce qui me précède, les instants sans nombre où je ne fus pas... Le non-né est mon refuge..." (rayés par l'auteur). Il s'étonne de passer sans émotion devant une bouche d'égout où il a jeté un jour un manuscrit.
Des années plus tard, un commissaire-priseur, Me Vincent Wapler, parle à Simone Baulez d'une vente de manuscrits de Céline. "Je lui ai dit que j'avais des cahiers de Cioran, il m'a proposé de les joindre." Pour le tribunal, elle en avait tous les droits, ayant été mandatée pour "débarrasser complètement l'appartement des meubles et objets." Les brocanteurs ont un droit d'aubaine. Ce que l'intéressée résume par : "Ils n'avaient qu'à y descendre, à la cave !"
En outre, la donation faite à Doucet était problématique. Aucun acte n'évoquait les cahiers disparus. Philosophe, son exécuteur testamentaire, Yannick Guillou, de Gallimard, a fait observer que "sans la brocanteuse, ces manuscrits seraient perdus corps et biens". Ses défenseurs, Mes Claire Hocquet et Roland Rappaport, se demandent si Cioran aurait perçu "une lueur démentant son pessimisme dans ce sauvetage de son oeuvre par une chiffonnière". La Roumanie a déjà pris contact pour les acheter.
L'expert Thierry Bodin avait estimé l'ensemble à 150 000 euros il y a trois ans. Avec toute cette ampleur médiatique, le prix ne peut que grimper. Il pense aujourd'hui plutôt à un million d'euros. Ils se trouvent toujours sous bonne garde à Drouot. Quand on dit à la brocanteuse que c'est sans doute sa plus belle découverte, elle se fait évasive : "Ah, cela... Vous savez, si on ne faisait pas de trouvaille, on ne ferait pas ce métier".

Auteur: Noce Vincent

Info: sur Internet

[ héritage ]

végétal

Quand le désordre nous dit comment le vivant se construit
Une majorité de plantes distribuent leurs feuilles et fleurs en spirale le long des tiges mais ces spirales sont souvent imparfaites. Un nouveau modèle stochastique de la genèse de ces spirales chez les plantes a été élaboré par les équipes de Teva Vernoux au Laboratoire de reproduction et développement des plantes et Christophe Godin de l'équipe-projet Inria Virtual Plants. Il montre que les désordres dans les spirales sont comme des filigranes qui donnent des informations sur les principes de construction des plantes. Cette étude est publiée dans la revue eLife.
Les organismes vivants produisent des structures ordonnées qui ont depuis toujours attiré la curiosité des chercheurs comme celle du grand public pour leur beauté et leur variété. Mais ces structures complexes ne sont pas parfaites et présentent des défauts à des degrés plus ou moins importants. C'est le cas sur la tige des plantes. Ces dernières produisent tout au long de leur vie de nouveaux organes (branches, feuilles, fleurs,...) le long des tiges, le plus souvent suivant une organisation en spirale. Les nouveaux organes sont produits dans un tissu spécialisé à l'extrémité de la tige et se positionnent successivement les uns par rapport aux autres en inhibant localement la production de nouveaux organes dans leur voisinage. C'est comme si dans une foule tous les individus produisaient un champ de force répulsif qui les empêchait de s'approcher trop les uns les autres. Dans ce système, il faut que la croissance de la tige éloigne suffisamment les derniers organes produits pour qu'un nouvel organe puisse à nouveau être créé. La croissance induit ainsi des initiations rythmiques d'organes. De façon étonnante, il a été observé récemment qu'il n'est pas rare que ce mécanisme régulier soit perturbé et que plusieurs organes soient initiés en même temps ou même inversés par rapport à l'ordre qu'ils devraient avoir sur une spirale idéale. Comment est-il possible de continuer à construire des spirales quand l'ordre des organes est à ce point perturbé ?
Une équipe composée de biologistes et mathématiciens menée par Teva Vernoux du laboratoire Reproduction et Développement des Plantes à l'ENS Lyon et Christophe Godin de l'équipe-projet Virtual Plants de l'INRIA à Montpellier, a crée un nouveau modèle de la genèse des spirales sur les tiges des plantes en introduisant une part d'aléatoire dans la manière dont les cellules perçoivent l'inhibition produite par les branches/feuilles/fleurs existantes. Ce modèle dans lequel la production des nouveaux organes est en partie déterminée par les lois du hasard permet de recréer avec précision à la fois la régularité des spirales mais également les perturbations de la temporalité des initiations perturbant la spirale. Le modèle suggère qu'une part d'aléatoire gouverne la construction des plantes mais surtout que la quantification des désordres des spirales sur la tige informe sur les paramètres du modèle et donc sur les mécanismes qui contrôlent le mise en place des spirales. Ces désordres sont ainsi comme les filigranes sur les billets de banque: quand on sait comment les mettre en évidence (en les plaçant devant une source lumineuse dans ce cas), il devient possible de lire une information cachée qu'ils portent. Comprendre le désordre nous permet donc de mieux comprendre comment se construisent les systèmes vivants.

Auteur: Internet

Info: A stochastic multicellular model identifies biological watermarks from disorders in self-organized patterns of phyllotaxis. Refahi Y, Brunoud G, Farcot E, Jean-Marie A, Pulkkinen M, Vernoux T, Godin C.Elife. 2016 Jul 6

[ méta-moteur ] [ imperfection ]

univers sons

Le son est-il le système nerveux du cosmos ?
Il existe un moyen de rendre les sons visibles. On appelle "cymatique" cette science énigmatique, qui puise ses racines dans l'histoire de l'univers. Quelle est la nature de l'onde sonore? Que sait-on vraiment de son pouvoir sur nous?
Allemagne, 18ème siècle. Ernst Chladni est un mathématicien doué et discret. L'homme est aussi musicien et sa passion pour le violon va le conduire à une découverte extraordinaire. Saupoudrant de sable un disque de cuivre, il en frotta le bord avec son archet. La plaque se mit à vibrer et le sable à se déplacer, dessinant d'authentiques formes géométriques. "Qu'on juge de mon étonnement voyant ce que personne n'avait encore vu", dira plus tard son ami et philosophe Lichtenberg, auteur de travaux sur l'électricité statique.
Dans les années soixante, le physicien Hans Jenny sera le premier à révéler ce phénomène oublié. Grâce à l'évolution de l'électronique, il prolonge les recherches et fait varier les supports. Il invente le tonoscope, petit appareil tubulaire assorti d'une membrane sur laquelle on aura versé de la poudre, qui permet de créer des formes étonnantes avec le son de sa voix. Plus d'un siècle après les premières expériences, Jenny livre des observations d'une grande précision sur la nature du son, et invente une nouvelle science : la cymatique. Du grec 'vague', la cymatique étudie l'interaction du son et de la matière. Les outils de mesure acoustique modernes ont permis d'étudier ces modulations spontanées : dans l'eau par exemple, un son grave produit un cercle entouré d'anneaux ; un son aïgu accroît le nombre d'anneaux concentriques. Soumise au rythme des oscillations, la variété de formes générées semble sans limite. Hans Jenny parlera de "modèle dynamique mais ordonné" Quel pouvoir autonome renferme l'onde sonore ?
Toute activité produit du bruit. Du plus retentissant au plus subtil, il est trace du mouvement. Christian Hugonnet, ingénieur acousticien et fondateur de la Semaine du Son, décrit un enchaînement simple : "l'action entraîne la vibration de l'air qui va déplacer des molécules, se choquant les unes aux autres comme pour se transmettre un message". Avant d'être une manifestation audible, le son se caractérise par un changement moléculaire, sur une surface donnée et en un temps donné. Dans cette équation, nul besoin d'oreille pour considérer qu'il y a dynamique sonore. C'est la fréquence de l'onde qui va diriger toute l'énergie. "Dans l'expérience avec le sable, les grains s'agglutinent là où la fréquence est haute", détaille le spécialiste. La propriété d'un corps à entrer en résonance avec le flux d'énergie va créer la forme. La matière prend la forme de l'énergie qui lui est adressée.
Le son primordial
Spirales, polygones, stries... ces marques sont souvent analogues à celles déjà présentes dans la nature. "J'ai constaté qu'une plaque elliptique soumise à des vibrations sonores reproduit les figures qu'on trouve sur la carapace d'une tortue", constate le photographe Alexander Lauterwasser. Une morphogenèse fondée sur la transmission de codes génétiques nécessaires à la formation des masses et à leur différenciation, et qui révèle un processus harmonieux dans l'ADN terrestre. Dès lors, est-il possible que les formes animales et végétales qui nous entourent – et la matière vivante dans son ensemble – soient elles-mêmes le résultat de vibrations, comme le rapportent de nombreuses traditions ?
Bien avant ces découvertes scientifiques, les cultures traditionnelles du monde entier ont développé leur récit mythologique de la création de l'univers. La voix et le souffle y sont féconds. "Au commencement était le verbe, dit l'Evangile. Les textes celtes sacrés évoquent Trois Cris qui firent éclater l'Oeuf du Monde", rapporte le Docteur Alain Boudet, enseignant et conférencier. "Chez les hindous et les bouddhistes, le principe structurant du chaos d'origine est le mantra Om et les Mayas parlent du chant des Dieux comme du système nerveux de l'univers". Une cosmogonie universelle, portée par des figures archétypales semblables aux formations cymatiques, telles que les mandalas. Ces mystérieuses corrélations entre figures naturelles et symboliques renverraient à une intuition de la forme, perdue avec le temps : "Cette géométrie originelle est en nous. Nous l'avons oubliée à mesure que le mental s'est imposé", raconte Alain Boudet. Dans son ouvrage Cymatics, le pionnier Hans Jenny conclut à la puissance fondamentale et génératrice de la vibration. Sa périodicité soutient la bipolarité de la vie : le mouvement et la forme. La vibration comme source de toute chose : un constat, mais aussi une opportunité de reconsidérer le monde dans lequel nous évoluons.
Echos d'avenir
Pythagore disait : "L'homme possède toutes les valeurs du cosmos". L'auteur du célèbre théorème de géométrie a développé le principe de microcosme, reliant l'organisme humain à l'organisation de l'univers. L'influence du son invite désormais à une nouvelle écoute du vivant. "La biorésonance nous renseigne sur la fréquence optimale de nos organes", explique Andreas Freund, physicien quantique. Au Tibet, les bols chantants sont reconnus pour leurs vertus. Leurs tonalités spécifiques communiquent avec la matière cristalline de notre corps : les os, les tissus et l'eau qui nous compose à 70%. Plus le son est grave, plus l'on travaillera la zone racine du corps. Comme la cymatique, notre résonance cellulaire trace un chemin pour la vibration, réharmonisant notre énergie interne. Un processus identique aux diapasons thérapeutiques employés depuis des siècles en Europe, dont les fréquences en hertz sont réglées pour des actions cibles. Mais pour masser nos entrailles, quel meilleur instrument que la voix ? Le chant harmonique des traditions chamaniques, aussi appelé chant diphonique dans nos conservatoires de musique, est une technique vocale sur deux notes simultanées, par un positionnement de la langue et des lèvres. Curiosité ou évidence biologique, ce son très apaisant ressemble à celui des vents solaires.
La vague de l'action contient à la fois l'intention et son empreinte. "Le son in-forme. Il est porteur d'information", nous dit Andreas Freund. Une attention portée aux messages de la nature, qui permet aujourd'hui de décrypter jusqu'au langage par ultrasons des dauphins ou la sensibilité des plantes. La dimension vibratoire du son sert de modèle dans une recherche de cohérence et d'alignement. Ses explorations scientifiques, artistiques et spirituelles offrent les clés d'une autre conscience de l'homme et de son environnement, vers une nouvelle signature écologique.

Auteur: De La Reberdiere Lucile

Info: https://www.inrees.com/articles/cymatique-son-systeme-nerveux-cosmos/

[ ondes ] [ proportions ] [ archétypes ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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