comprendre

Piger la démonstration d'un théorème, est-ce examiner successivement chacun des syllogismes dont elle se compose et constater qu'il est correct, conforme aux règles du jeu ?...Oui, pour quelques-uns; quand ils auront fait cette constatation, ils diront: j'ai compris. Non, pour le plus grand nombre. Presque tous sont beaucoup plus exigeants, ils veulent savoir non seulement si tous les syllogismes d'une démonstration sont corrects, mais pourquoi ils s'enchaînent dans tel ordre plutôt que tel autre. Tant qu'ils leur semblent engendrés par le caprice et non par une intelligence constamment consciente des buts à atteindre, ils ne croient pas avoir compris. Sans doute, ils ne se rendent pas bien compte eux-mêmes de ce qu'ils réclament et ils ne sauraient formuler leur désir, mais s'ils n'ont pas satisfaction, ils sentent vaguement que quelque chose leur manque.

Auteur: Poincaré Henri

Info: Science et méthode. Cité par J.Hadamard dans Essai sur la psychologie de l'invention en mathématique

[ rareté ]

prouver

De temps en temps, je reçois une lettre de quelqu'un qui est en "contact" avec des extraterrestres. Je suis alors invité à "leur demander n'importe quoi". Alors, au cours des ans, j'ai préparé une petite liste de questions. Les extraterrestres sont très avancés, souvenez-vous. Alors je demande des choses comme : "S'il vous plaît, fournissez une courte preuve du Dernier Théorème de Fermat." J'écris l'équation simple avec les exposants.... C'est un exercice stimulant que de penser qu'il y a des questions auxquelles aucun être humain aujourd'hui n'a les réponses, et donc là, une bonne réponse sera normalement vue comme preuve. Il est difficile de formuler de telles questions dans des domaines autres que les mathématiques. On devrait peut-être organiser un concours et rassembler les meilleures propositions pour "Dix questions à poser à un extraterrestre".

Auteur: Sagan Carl

Info: The Demon-Haunted World: Science as a Candle in the Dark. Chapter 6 (p. 100, fn). Random House, Inc. New York, New York, USA. 1995

[ démontrer ] [ expliquer ]

théorie-pratique

Quel est l'intérêt de parler de questions philosophiques ? Parce que nous allons triturer pas mal ici - je veux dire, des conneries philosophiques. Il y a une réponse standard : la philosophie est un travail de nettoyage intellectuel - la concierge qui vient après que les scientifiques aient mis le bazar, pour tenter de recoller les morceaux. Vu sous cet angle, les philosophes sont assis dans leur fauteuil et attendent que quelque chose de surprenant se produise en science - comme la mécanique quantique, l'inégalité de Bell, le théorème de Gödel - pour ensuite (pour user d'une autre métaphore) débarquer comme des vautours et dire : "Ah, ben voilà le sens de tout ça". A première vue, cela semble plutôt ennuyeux. Mais lorsqu'on s'habitue à ce genre de travail, je pense qu'on s'aperçoit que... ça reste casse-pieds !

Auteur: Aaronson Scott

Info: Quantum Computing since Democritus

imprévisibilité

Dans les sciences sociales comme dans les sciences naturelles, le corpus de connaissances positives s'enrichit par l'échec d'une hypothèse provisoire à prédire les phénomènes que l'hypothèse prétend expliquer ; par le rafistolage de cette hypothèse jusqu'à ce que quelqu'un suggère une nouvelle hypothèse qui incarne plus élégamment ou plus simplement les phénomènes gênants, et ainsi de suite à l'infini. Dans les deux cas, l'expérience est parfois possible, parfois impossible (comme en témoigne la météorologie). Dans les deux cas, aucune expérience n'est jamais complètement contrôlée, et l'expérience offre souvent des preuves qui sont l'équivalent d'une expérience contrôlée. Dans les deux cas, il n'existe aucun moyen d'avoir un système fermé et autonome ou d'éviter l'interaction entre l'observateur et l'observé. Le théorème de Gödel en mathématiques, le principe d'incertitude d'Heisenberg en physique, la prophétie auto-réalisatrice ou auto-défaite en sciences sociales illustrent ces limites.

Auteur: Friedman Milton

Info: Inflation et chômage (1976), 348.

[ incertitude ]

big bang

Nous n'avons actuellement le choix qu'entre deux types de physique, la physique classique et la physique quantique, et la physique classique, comme le note Alex Vilenkin, "ne parvient pas à décrire le commencement de l'univers". Cette défaillance est clairement signalée par le fait que la relativité générale invoque une singularité au temps zéro, c'est-à-dire que ses équations produisent des infinités et ne peuvent produire aucun résultat significatif. Roger Penrose et un jeune Stephen Hawking l'ont prouvé en 1970, par des théorèmes démontrant que si la gravitation est toujours attractive et si l'univers a une densité de matière semblable à celle que nous observons, alors il doit y avoir eu une singularité au début des temps. Il nous reste donc la cosmologie quantique - la tentative d'appliquer à l'univers tout entier les préceptes quantiques, utilisés auparavant pour étudier les particules et les champs subatomiques.

Auteur: Ferris Timothy

Info: The Whole Shebang: A State-of-the Universe’s Report. The Origin of the Universe (p. 249) Simon & Schuster. New York, New York, USA. 1996

[ cul-de-sac ] [ impasse ]

algèbre

Les résultats mathématiques sont rarement appliqués directement ; ce sont les définitions qui sont vraiment utiles. Une fois que vous avez appris le concept d'équation différentielle, vous voyez des équations différentielles partout, quoi que vous fassiez. Vous ne pouvez pas voir cela si vous ne suivez pas un cours sur les équations différentielles abstraites. Ce qui importe, c'est le bagage culturel que l'on retire d'un cours d'équations différentielles, et non les théorèmes spécifiques. Si vous voulez apprendre le français, vous devez vivre la vie en France, et pas seulement mémoriser des milliers de mots. Si vous voulez appliquer les mathématiques, vous devez vivre la vie des équations différentielles. Une fois que vous aurez vécu cette vie, vous pourrez revenir à la biologie moléculaire avec une nouvelle paire d'yeux qui vous permettra de voir des choses que vous n'auriez pas pu voir autrement.

Auteur: Rota Gian-Carlo

Info: In "A Mathematician's Gossip", Indiscrete Thoughts (2008), 213.

[ outil ] [ symbolisation ] [ distanciation ]

compression

Les espaces que l'on considère généralement sont des espaces homogènes, localement homogènes. Ces espaces sont ce que nous appelons variétés. L'espace euclidien est une variété. Mais les singularités apparaissent lorsque l'on soumet en quelque sorte l'espace à une contrainte. La manche de ma veste, si je la comprime, je fais apparaître des plis. C'est une situation générale. Cela ne relève pas de la mécanique des matériaux. J'énonce en réalité un théorème abstrait : lorsqu'un espace est soumis à une contrainte, c'est-à-dire lorsqu'on le projette sur quelque chose de plus petit que sa propre dimension, il accepte la contrainte, sauf en un certain nombre de points où il concentre, si l'on peut dire, toute son individualité première. Et c'est dans la présence de ces singularités que se fait la résistance. Le concept de singularité, c'est le moyen de subsumer en un point toute une structure globale.

Auteur: Thom René

Info: Prédire n'est pas expliquer

[ mathématiques ] [ fractal ] [ individualité ] [ identité ]

raison

Une croyance populaire sur le "rationalisme" est que celui-ci s'oppose à toute émotion - que toutes nos tristesses et toutes nos joies sont automatiquement anti-logiques en vertu du fait qu'elles sont des sentiments. Pourtant, étrangement, il n'existe aucun théorème de la théorie des probabilités qui prouve que je devrais avoir l'air froid et inexpressif. La rationalité est-elle donc orthogonale aux sentiments ? Non, nos émotions découlent de nos modèles de la réalité. Si je crois que mon frère décédé a été retrouvé vivant, je serai heureux ; si je me réveille et réalise que c'était un rêve, je serai triste. P. C. Hodgell a écrit :  "Ce qui peut être détruit par la vérité doit l'être." Le bonheur de mon moi rêveur se retrouve à l'opposé de la vérité. Ma tristesse au réveil est rationnelle ; il n'y a pas de vérité pour la détruire. 

Auteur: Yudkowsky Eliezer Shlomo

Info: Rationalité : De l'IA aux zombies

[ apriorisme ] [ froideur ] [ insensibilité ] [ émoi ]

diversion

Il y avait des récalcitrants, par exemple l'excellent Lemoine, mathématicien et organisateur des soirées musicales qui portent son nom. C'était un petit vieillard sautillant et instruit, rempli de calembours et de coq-à-l'âne. Ayant apprivoisé une chouette, il répétait volontiers : "rien n'est chouette comme l'idem." Cela n'était rien, mais ne s'était-il pas mis en tête de nous faire connaître son "point de Lemoine" qui se trouve, parait-il, dans le triangle ? A peine avait-il commencé, pour la dixième fois, sa démonstration, que Hecq s'écriait : "Allons bon, il y a un fou grimpé sur le toit de l'hôtel." Tous les yeux se dirigeaient de ce côté et le théorème était interrompu. Ou bien : "Avez-vous senti cette odeur de brûlé ? faisait Hecq, la mine inquiète. Il y a certainement le feu quelque part." Tout le monde cherchait aussitôt l'origine de cette problématique incendie. Jamais le bon Lemoine ne put parvenir à nous expliquer son point.

Auteur: Daudet Léon

Info: Souvenirs, Robert Laffont, Bouquins 1992 <p.252>

[ digressions ]

logique formelle

Il me semble que cet immense ensemble de théorèmes [de toutes les mathématiques], d'une extraordinaire richesse, d'une incomparable profondeur (et difficulté !), d'une étonnante cohérence (chaque théorème est dépendant de tous les autres !), d'une formidable fécondité (a science et la technologie), il me semble que tout cela représente un ensemble gigantesque et majestueux de savoirs, de propositions, de symboles, qui forme la plus solide et peut-être la plus belle de toutes les constructions de l'esprit humain. Il me semble que la mathématique constitue la base la plus ferme de ce que les hommes ont appelé Civilisation, et dont ils sont encore si éloignés. La mathématique, certes, ne nous donne pas de Vérités Absolues, et ne nous permet pas de distinguer le Bien du Mal. Mais elle nous apprend à raisonner, à utiliser cette raison dont certains croient qu'elle est présente chez tous les hommes.
La mathématique est le révélateur de la Raison humaine.
La mathématique est le fondement de la Civilisation.

Auteur: Baudet Jean-C.

Info: Histoire des mathématiques, p. 269

[ nombres ] [ langage ]