sciences

Un mathématicien est une personne qui peut trouver des analogies entre les théorèmes ; un meilleur mathématicien est celui qui peut voir des analogies entre les démonstrations. Les très bons mathématiciens sont ceux qui peuvent déceler des analogies entre les théories. Mais on peut supposer que le meilleur des mathématiciens, est celui qui peut voir des analogies entre les analogies.

Auteur: Banach Stefan

Info:

[ mathématiques ] [ trouver ] [ génie ]

efficacité inesthétique

... malgré une vraie objectivité quant aux résultats mathématiques, qui n'a pas d'équivalent dans le monde de l'art, la motivation et les normes de mathématiques créatives sont plus proches de celles de l'art que de la science. Les jugements esthétiques transcendent à la fois la logique et l'applicabilité dans le classement des théorèmes mathématiques : beauté et élégance ont plus à voir avec la valeur d'une idée mathématique que ne le fait la stricte vérité ou sa possible utilité.

Auteur: Steen Lynn Arthur

Info: Mathématiques aujourd'hui : Douze essais informels (p. 10), Springer-Verlag. New York, New York, États-Unis. 1978

[ nombres ]

sciences

Chaque structure contient des centaines de théorèmes déduits des axiomes: et si deux d'entre eux étaient contradictoires?
Si cela arrivait, le développement tout entier en deviendrait absurde...
Russel énonça un paradoxe en 1919 : un barbier se vante en ville de raser tous ceux qui ne se rasent pas eux-mêmes, mais évidemment il ne rase pas ceux se rasent eux-mêmes.
Il est clair, s'il le fait, qu'il ne le doit pas et s'il ne le fait pas qu'il le doit.

Auteur: Kline Morris

Info: Les fondements de mathématiques

[ paradoxe ]

impossibilité

Tous les théorèmes limitatifs des métamathématiques et la théorie du calcul suggèrent qu'une fois que la capacité de représenter sa propre structure a atteint un certain point critique, c'est le baiser de la mort : ce qui garantit que l'on ne peut jamais se représenter totalement soi-même. Le théorème de l'incomplétude de Gödel, le théorème de l'indécidabilité de Church, celui de l'Arrêt de Turing, le Théorème de la Vérité de Tarski - tous ont la saveur d'un ancien conte de fées qui vous avertit que "Chercher la connaissance de soi, c'est entreprendre un voyage qui... sera toujours incomplet, qu'on ne peut tracer sur aucune carte, qui ne s'arrêtera jamais et ne peut être décrit".

Auteur: Hofstadter Douglas

Info: Gödel, Escher, Bach : An Eternal Golden Braid. Partie II, Chapitre XX (p. 697) Basic Books, Inc. New York, New York, États-Unis. 1979

[ limitation ]

mathématiques

Mon professeur Frank Ramsey... a montré que lorsqu'un système scientifique est si complètement précis, au point de pouvoir remplacer chaque mot qu'il contient, comme "électrons", par la totalité de toutes les observations sur l'électron, alors on ne pourrait jamais rien découvrir de nouveau. Le théorème de Ramsey est dans son essence équivalent à tous les théorèmes de Tarski-Turing*  au sens où  dit que si vous poussez le symbolisme même dans un mot comme "masse" de manière à dire, comme le font les operationalistes... "La masse est la mesure de la quantité de matière dans un objet." ou "La masse est la propriété fondamentale de la matière"... vous ne découvrirez jamais que la masse et l'énergie sont interchangeables. Vous avez fermé le système à de nouvelles découvertes.

Auteur: Bronowski Jacob

Info: Les origines de la connaissance et de l'imagination (1978)  *qui correspondent, en plus simple, à la notion d'incomplétude de Gödel

[ conclusion impossible ]

prescience

Il ne fait aucun doute que la pierre angulaire de toute théorie mathématique est la démonstration convaincante de toutes ses affirmations. Il ne fait aucun doute que les mathématiques se discréditent elles-mêmes lorsqu'elles renoncent à des preuves tangibles. Mais le mystère d'une brillante réussite sera toujours de poser de nouvelles questions, d'anticiper de nouveaux théorèmes qui rendent accessibles des résultats, des interactions et des correspondances de grande valeur. Sans la création de nouveaux points de vue, sans l'énoncé de nouveaux objectifs, les mathématiques s'épuiseraient bientôt dans la rigueur de leurs preuves logiques et commenceraient à stagner à mesure que leur substance disparaîtrait. Ainsi, dans un certain sens, les mathématiques ont surtout progressé grâce à ceux qui se sont distingués par leur intuition plutôt que par des preuves rigoureuses.

Auteur: Klein Felix

Info: Cité dans Hermann Weyl, Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften (1932), 38, 177-188.

[ créativité ] [ dépassement ]

big bang

Nous n'avons actuellement le choix qu'entre deux types de physique, la physique classique et la physique quantique, et la physique classique, comme le note Alex Vilenkin, "ne parvient pas à décrire le commencement de l'univers". Cette défaillance est clairement signalée par le fait que la relativité générale invoque une singularité au temps zéro, c'est-à-dire que ses équations produisent des infinités et ne peuvent produire aucun résultat significatif. Roger Penrose et un jeune Stephen Hawking l'ont prouvé en 1970, par des théorèmes démontrant que si la gravitation est toujours attractive et si l'univers a une densité de matière semblable à celle que nous observons, alors il doit y avoir eu une singularité au début des temps. Il nous reste donc la cosmologie quantique - la tentative d'appliquer à l'univers tout entier les préceptes quantiques, utilisés auparavant pour étudier les particules et les champs subatomiques.

Auteur: Ferris Timothy

Info: The Whole Shebang: A State-of-the Universe’s Report. The Origin of the Universe (p. 249) Simon & Schuster. New York, New York, USA. 1996

[ cul-de-sac ] [ impasse ]

algèbre

Les résultats mathématiques sont rarement appliqués directement ; ce sont les définitions qui sont vraiment utiles. Une fois que vous avez appris le concept d'équation différentielle, vous voyez des équations différentielles partout, quoi que vous fassiez. Vous ne pouvez pas voir cela si vous ne suivez pas un cours sur les équations différentielles abstraites. Ce qui importe, c'est le bagage culturel que l'on retire d'un cours d'équations différentielles, et non les théorèmes spécifiques. Si vous voulez apprendre le français, vous devez vivre la vie en France, et pas seulement mémoriser des milliers de mots. Si vous voulez appliquer les mathématiques, vous devez vivre la vie des équations différentielles. Une fois que vous aurez vécu cette vie, vous pourrez revenir à la biologie moléculaire avec une nouvelle paire d'yeux qui vous permettra de voir des choses que vous n'auriez pas pu voir autrement.

Auteur: Rota Gian-Carlo

Info: In "A Mathematician's Gossip", Indiscrete Thoughts (2008), 213.

[ outil ] [ symbolisation ] [ distanciation ]

logique formelle

Il me semble que cet immense ensemble de théorèmes [de toutes les mathématiques], d'une extraordinaire richesse, d'une incomparable profondeur (et difficulté !), d'une étonnante cohérence (chaque théorème est dépendant de tous les autres !), d'une formidable fécondité (a science et la technologie), il me semble que tout cela représente un ensemble gigantesque et majestueux de savoirs, de propositions, de symboles, qui forme la plus solide et peut-être la plus belle de toutes les constructions de l'esprit humain. Il me semble que la mathématique constitue la base la plus ferme de ce que les hommes ont appelé Civilisation, et dont ils sont encore si éloignés. La mathématique, certes, ne nous donne pas de Vérités Absolues, et ne nous permet pas de distinguer le Bien du Mal. Mais elle nous apprend à raisonner, à utiliser cette raison dont certains croient qu'elle est présente chez tous les hommes.
La mathématique est le révélateur de la Raison humaine.
La mathématique est le fondement de la Civilisation.

Auteur: Baudet Jean-C.

Info: Histoire des mathématiques, p. 269

[ nombres ] [ langage ]

big bang

Ces dernières années, les cosmologistes ont commencé à discuter de la création spontanée de l'Univers en tant que problématique de la physique. Ceux qui travaillent là-dessus supposent qu'une future synthèse de la théorie quantique et de la relativité révélera comment la gravitation se comporte lorsque la matière est énormément comprimée ce qui évitera les prédictions d'une singularité réelle du type requis par les théorèmes actuels sur la singularité. Bien que les hypothèses de ces théorèmes ne soient pas prévues pour s'approcher vraiment de cette dernière, nous ne savons pas s'il faut s'attendre à une singularité ou pas encore. Mais même en son absence, qui indiquerait le commencement de l'Univers, on a supposé que l'application de la théorie quantique à l'entier du cosmos pourrait permettre de donner un contenu physique au concept de "création de l'Univers à partir de rien." Le but de cette recherche étant de démontrer que la création d'un univers en expansion est inévitable. La raison étant que s'il y a quelque chose plutôt que rien c'est que ce "rien" est instable.

Auteur: Barrow John D.

Info: Le monde dans le monde (p. 230) Clarendon Press. Oxford, Angleterre. 1988

[ physique théorique ]