émotion

On dit que le temps apaise toute douleur, on dit que tout peut s'oublier, mais les sourires et les pleurs, par-delà les années, tordent encore les fibres de mon coeur.

Auteur: Orwell George

Info: 1984

[ mémoire ]

handicap

Grâce à ma surdité précoce j'ai développé un don pour appréhender l'inaudible, le souffle des émotions, les silences qui en disent long, la psychologie des bouches qui se tordent, et les entendants passent à côté de ce trésor, à refuser de faire leur petit bout de chemin vers moi, qui permettrait enfin que nous communiquions.

Auteur: Cespedes Vincent

Info: Kel ortograf pr 2m1 ?

[ finesse ]

mathématiques

Si un livre était écrit tout en chiffres, il serait la vérité. Il serait juste. Rien de ce qui est dit en paroles ne sort jamais tout à fait neutre. Les choses en paroles se tordent et bougent ensemble, au lieu de demeurer pareilles, de rester ajustées. Mais au-dessous des mots, au centre, comme le centre du carré, tout sort de manière équilibrée. Tout pourrait changer, mais rien ne serait perdu. Si tu apercevais les chiffres tu pourrais voir ça, l'équilibre, le modèle. Tu as vu les fondations du monde. Et elles étaient solides.

Auteur: Le Guin Ursula K.

Info: The Dispossessed: An Ambiguous Utopia 1974

[ langage ] [ science-fiction ]

triade

Trois fées façonnent le Destin sur leur quenouille et leur fuseau, de leurs doigts qui tordent les fils de la laine : c’est qu’il y a trois périodes dans le Temps, le passé qui est déjà filé et dévidé dans le fuseau, le présent qui passe dans les doigts de la fileuse ; le futur, c’est la laine enroulée sur la quenouille qui doit passer par les doigts de la fileuse sur le fuseau comme le présent doit devenir le passé […] On a voulu qu’elles fussent trois : l’une pour ourdir la vie de l’homme, la deuxième pour la tisser, la troisième pour la rompre.  

Auteur: Saint Isidore de Séville

Info:

[ durée ] [ analogie ]

trouble mental

C’était une crise d’épilepsie, ce dont il n’avait pas souffert depuis longtemps. On sait que ces crises surviennent à l’improviste : la figure se tord et le regard devient méconnaissable. Les convulsions et les crampes tordent le corps et la figure. Un cri horrible et inimaginable jaillit de la poitrine. Ce cri semble anéantir tout ce qu’il y a d’humain en vous, au point qu’un spectateur a peine à croire que ce soit vous qui le poussiez. On dirait que c’est un autre, qui se cache en vous, qui pousse ce cri. C’est l’impression de beaucoup de témoins ; plusieurs en sont frappés d’une terreur qui renferme quelque chose de mystique.

Auteur: Dostoïevski Fédor Mikhaïlovitch

Info: "L'idiot", traduit par Nicolas Poltavtzev Presses de la renaissance, Paris, 1974, page 195

[ description externe ] [ physiologie ] [ inhumanité ]

roman familial

Vous tombez aussi, en analyse, sur des gens chez qui tout va bien, en apparence, mais justement pas tout à fait bien ; il y a toujours un moment où ça va partir de travers. Ils s’expriment de manière aimable et charmante, mais ils savent bien que c’est un trick. Ce sont des tricksters parmi les êtres humains, ils tordent un peu les mots, juste un peu, mais en fait ils n’ont pas d’âme ; il y a en eux une dimension étrange, un singulier manque d’âme. En vérité, nous ne savons pas d’où cela provient, mais il est bien possible que, dans leur tribu, une aïeule ait osé copuler avec un petit diablotin fripon, et se soit fait engrosser sur-le-champ, et depuis cette époque le diablotin est resté dans la famille, devenue une famille de tricksters.

Auteur: Jung Carl Gustav

Info: Dans "L'analyse des visions" pages 1163-1164

[ border-line ] [ état-limite ] [ tromperie ] [ chafouins ] [ humour ]

déclaration d'amour

Adieu Camille, retourne à ton couvent, et lorsqu'on te fera de ces récits hideux qui t'ont empoisonnée, réponds ce que je vais te dire : Tous les hommes sont menteurs, inconstants, faux, bavards, hypocrites, orgueilleux et lâches, méprisables et sensuels; toutes les femmes sont perfides, artificieuses, vaniteuses, curieuses et dépravées; le monde n'est qu'un égout sans fond où les phoques les plus informes rampent et se tordent sur des montagnes de fange;
Mais il y a au monde une chose simple et sublime, c'est l'union de deux de ces êtres si imparfaits et si affreux. On est souvent trompé en amour, souvent blessé et souvent malheureux; mais on aime, et quand on est sur le bord de sa tombe, on se retourne pour regarder en arrière, et on se dit : j'ai souffert souvent, je me suis trompé quelquefois; mais j'ai aimé. C'est moi qui est vécu, et non pas un être factice créé par mon orgueil et mon ennui.

Auteur: Musset Alfred de

Info: On ne badine pas avec l'amour, Perdican acte II, scèneV

[ théâtre ]

cirque

Être en apesanteur dans la pesanteur, je peux.
Je peux. Je vole.
Je ne peux pas léviter. Je peux.
Je peux léviter peu de temps.
Ce calembour, je ne peux pas l'éviter.
Me pendre à une corde par le cou et rester comme ça, sans y rester, je ne peux pas.
Je veux faire des phrases qui se contorsionnent et qui tordent la logique.
Des phrases de Gugusse, des phrases de clown blanc.
Ceux qui me regardent ne peuvent pas tout cela que je peux, même en amateurs volontaires.
Je ne peux pas pincer mon nez avec mon cul. Je peux.
Bondir comme un pneu, je peux mon n'veu.
Je suis sur la plante de mes pieds qui sont sur la selle qui est sur le cheval au galop sur la piste. Je tiens, je le veux.
Plus vite ! Je peux.
Mon corps est malléable, très.
Je ne peux pas marcher sur le fil tendu de mes boyaux. Je ne peux pas. Je ne suis pas sûr de le vouloir.

Auteur: Jouet Jacques

Info: "Pensées du cirque", in "Sac à dos, une anthologie de poésie contemporaine pour lecteurs en herbe", éd. Le Mot et le Reste, p. 152-153

[ expériences de pensée ] [ imagination ] [ potentialités ]

terreur

Quand le rêve commence, le monde est déjà sans dessus dessous et je sais que je suis folle. Les éléments du monde sont encore là, mais leur agencement est épouvantable, du jamais-vu. Des voitures dégoulinantes de peinture circulent en tous sens, des gens surgissent, masques grimaçants, qui en approchant tombent à la renverse ; ce sont des mannequins de paille, des gerbes de fil de fer, des personnages en carton-pâte, et dans ce monde qui n'en est pas un, je continue d'avancer les poings serrés, les bras tendus pour repousser ces objets, ces machines qui me heurtent avant de partir en fumée ; quand la peur m'empêche d'avancer je ferme les yeux, mais les peintures éclatantes, rutilantes, effrénées tâchent mon visage et mes pieds nus, je rouvre les yeux pour m'orienter, trouver l'issue puis je m'envole, car mes doigts et mes orteils sont devenus de légers ballons bleu ciel qui m'emportent vers des hauteurs jamais atteintes, tout empire, ils éclatent et je tombe, tombe et me relève, mes orteils ont noirci et je ne peux plus avancer.

Sire !

Mon père surgit des lourdes traînées de peinture et persifle : continue, continue donc ! Je tiens ma main devant ma bouche, toutes mes dents sont tombées, elles gisent à mes pieds, infranchissable bloc de marbre arrondis.

Moi qui ne peux rien dire, car je dois m'éloigner de mon père et franchir ce mur de marbre, je lance tout de même dans une autre langue : Ne ! Ne ! Et dans toute sorte de langues : No ! No ! Non ! Non ! Niet ! Niet ! No ! Ném ! Ném ! Nein ! Car même dans l'autre langue, je ne peux plus dire que non, je ne trouve pas d'autres mots dans quelque langue que ce soit. Une carcasse roulante m'arrive dessus, peut-être la grande roue dont les nacelles déversent des excréments, et je dis :Ne ! Ném ! Mais pour que je cesse de crier non, mon père me passe sur les yeux ses doigts courts, durs et solides, même si je suis devenue aveugle, il me faut continuer ma route. C'est insupportable. Je souris donc car mon père tente d'attraper ma langue et de me l'arracher pour que personne ici ne m'entende dire non, or personne ne m'entend, mais avant qu'il ne m'arrache la langue, l'atroce se produit, une immense tache bleue m'entre dans la bouche pour m'empêcher de produire le moindre son. Mon bleu, mon merveilleux bleu où les paons se promènent, et mon bleu des lointains, mon hasard bleu à l'horizon ! Le bleu s'enfonce encore plus en moi, dans ma gorge mon père l'aide à avancer, il m'arrache le cœur et les entrailles mais je peux encore marcher, j'atteins les premières neiges à demi fondues avant d'en venir aux neiges éternelles, et en moi résonnent ces mots : n'y a t-il donc personne, n'y a-t-il plus personne dans le monde entier ? N'y a-t-il plus personne parmi ses frères, l'homme ne veut-il donc plus rien parmi ses frères ? Ce qui reste de moi se fige dans la glace, n'est qu'un amas et je lève les yeux vers le monde chaleureux ou vivent les autres où vivent les autres, et le grand Siegfried m'appelle, d'abord tout bas puis à voix haute, j'entends avec impatience sa voix : que cherches-tu ? Quelle sorte de livres cherches-tu ? Je suis sans voix. Que veut le grand Siegfried ? D'en haut, il crie de plus en plus distinctement : quel genre de livre sera le tien ?

Soudain, à l'extrémité du pôle sans retour, je parviens à crier : un livre sur l'enfer. Un livre sur l'enfer !

La glace se casse, je m'enfonce sous le pôle, à l'intérieur de la terre. Je suis en enfer. Les minces flammes jaunes se tordent, j'ai des boucles de feu jusqu'aux pieds, je crache du feu, j'avale du feu

Délivrez-moi ! Délivrez-moi de cette heure ! J'ai ma voix d'écolière, mais je pense avec une grande lucidité, en toute conscience, à la gravité de la situation, et me laisse tomber sur le sol fumant, toute à mes pensées, couchée sur le sol je me dis que je dois encore appeler à pleine voix les gens qui pourraient me sauver. J'appellerai ma mère, ma sœur Eléonore en respectant bien l'ordre, donc d'abord ma mère en lui donnant le petit nom affectueux de mon enfance, puis ma sœur, puis... (à mon réveil je m'aperçois subitement que je n'ai pas appelé mon père). Je rassemble mes forces, moi qui suis passée de la glace au feu où je péris, le crâne en fusion, sachant que mon appel doit se faire dans l'ordre hiérarchique, car la succession est le contre-charme.

C'est la fin du monde, une chute catastrophique dans le néant, le monde où je suis folle s'est terminé, je porte la main à ma tête, comme bien souvent, et prends peur : sur mon crâne rasé il y a de petites plaques de métal ? Étonnée je regarde autour de moi où sont assis quelques médecins en blouse blanche, l'air aimable. D'un commun accord, ils affirment que je suis sauvée, qu'on peut même m'enlever mes petites plaques et que mes cheveux repousseront. Ils m'ont fait un électrochoc. Je demande, vu que mon père ne paye pas : dois-je payer tout de suite ? Ces messieurs restent aimables, cela peut attendre. L'essentiel est que vous soyez sauvée. Je retombe, me réveille une seconde fois, moi qui n'étais jamais retombée du lit ; il n'y a pas de médecins, mes cheveux ont repoussé, Malina me relève et me remet au lit.

Auteur: Bachmann Ingeborg

Info: Malina (1971, 288 p.)

[ chaos ] [ onirisme ] [ peur panique ] [ irréalité perturbante ] [ cauchemar ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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