expérience

C'est quoi un homme expérimenté ? C'est celui qui a perdu la peur, les doutes, les hésitations et les plaisirs des premières fois ? Celui qui a arpenté un chemin au point de le connaître par coeur ? Celui qui est capable de fermer les yeux et de le traverser sans accident, sans erreur de parcours, et de contourner précipices, virages, glissements, égarements ? Non, merci, pas pour moi. Je préfère de loin préserver mon ignorance et ma soif de l'inconnu.

Auteur: Taïa Abdellah

Info: Lettres à un jeune marocain

[ dénigrement ] [ naïveté ] [ candeur ]

automatismes

Tout pianiste de concert sait que le moyen le plus sûr de gâcher une performance est d'être conscient de ce que font les doigts. Chaque danseur et acrobate sait qu'il faut laisser l'esprit aller, laisser le corps s'exécuter tout seul. Tout conducteur d'un véhicule à moteur arrive à destination sans se souvenir des arrêts, des virages et des chemins parcourus pour y arriver. Nous sommes tous des somnambules, qu'il s'agisse de gravir des sommets de créativité ou d'accomplir pour la millième fois une routine banale. Nous sommes tous des somnambules.

Auteur: Watts Peter

Info: Blindsight

[ préprogrammations ] [ éducation ]

nature

Le sentier n’est plus entretenu depuis des années. Au bout de cinquante mètres, les ronces et les fougères y ont repris leurs droits. Mais Laurent continue sa route, griffe le cuir neuf de ses chaussures de cérémonie, nage à pleine brasse dans les vagues végétales, fonce tout droit, tête vide, souffle sonore. Rien d’autre à penser que les feuilles, les branches et les épines. S’enfoncer là-dedans comme en soi-même, loin du cirque pitoyable des hommes.
(...)
Ralentis, Laurent. Au milieu de cette forêt qui n'en finit pas, les virages ont pris des formes de sourire narquois. Regarde-les se courber comme des lames de ressort pour te propulser dans le décor.

Auteur: Salmon François

Info: Rien n'arrête les oiseaux, p. 40, SUR LE CHAMPIGNON

[ refuge ] [ fuite ] [ perdu ]

bagnole

Élan les conduisit à la campagne à bord de Scarabée. Scarabée, c’était une voiture qu’on aurait dite fabriquée à partir des carcasses de dix autres, et qui n’aurait pas détonné dans une casse. Scarabée laissait entrer la pluie et le vent, peinait à accomplir de longs trajets et avait tendance à perdre des pièces dans les virages trop serrés. Scarabée aimait choisir elle- même son itinéraire ; ses passagers s’y soumettaient. Si l’on cherchait à s’opposer à sa volonté, le moteur calait, et Scarabée s’immobilisait dans les endroits les moins opportuns, refusant de redémarrer jusqu’à ce qu’on lui rende sa liberté. Scarabée pouvait bien s’arrêter où bon lui semblait, cela ne les dérangeait pas. Ils se réchauffaient au soleil, partaient explorer les étangs, déjeunaient léger et ne regagnaient jamais la Maison les mains vides.

Auteur: Petrosyan Mariam

Info: La Maison dans laquelle

[ murphique ]

lecture

Une histoire n'est pas comme une route à suivre.... Elle est plus comme une maison. On va à l'intérieur et on y reste un moment, errant d'un côté et de l'autre, on s'installe où on veut, pour découvrir comment les pièces et les couloirs se relient les uns aux autres, comment le monde extérieur est modifié vu des fenêtres. Et toi le visiteur, le lecteur, te voici aussi changé par le fait d'être dans cet espace clos, qu'il soit ample et aisé ou plein de virages tortueux, peu ou opulemment meublé. Tu peux y revenir encore et encore, et la maison, l'histoire, contiennent toujours plus que ce que tu as vu la dernière fois. Il a aussi ce solide sentiment que tout ceci est même construit en fonction de besoins propres, pas seulement pour t'abriter ou te séduire.

Auteur: Munro Alice

Info: Selected Stories

[ analogie ] [ itération ] [ détails ] [ mystère ]

ovnis

Oui, ces vaisseaux changent de dimension en circulant sur la frange vibratoire de l'état epsilon. Ils produisent cela par des champs magnétiques particuliers et très intenses. Dans cet état de la matière, les repères spatio-temporels changent. Exemple : un vaisseau qui, vu du monde physique, fait 20 mètres de diamètre, peut être beaucoup plus grand vu de l'intérieur, quand tout ce qui s'y trouve est à l'état epsilon, y compris les passagers. La temporalité y est différente aussi, même si elle est essentiellement subjective on peut l'étalonner scientifiquement, et dans ce cas on voit que notre univers physique familier est défini par une position spécifique du curseur vibratoire. L'état epsilon et les champs magnétiques permettent de contrôler la gravité et les effets d'inertie, ce qui explique les accélérations prodigieuses et les virages à angle droit. A l'intérieur du vaisseau, personne n'est secoué, exactement comme ce qui se passe pour un Voyageur hors du corps, même un peu chargé de matière epsilon.

Auteur: Auburn Marc

Info: Sur sa page FB

[ univers paralleles ] [ mondes désyntonisés ] [ couches astrales ] [ extraterrestres ] [ ufos ]

prospective affirmée

Jouant avec 10 coups d’avance, la Chine est le véritable maître du jeu, la Russie est d’ores et déjà consciente du risque de se faire vassaliser par son puissant voisin.

Ce qui conditionne la géopolitique du présent comme des prochaines années, c’est la lutte froide-chaude entre les USA et la Chine + l’accès à l’énergie, à l’eau et à certaines matières premières. Tous les autres conflits sont à la périphérie de ce duel.

LE PASSE-FUTUR

Le passé cosmique étant en partie l’avenir de la terre, il est relativement confortable d’anticiper certains paramètres.

PARAMÈTRE 1 : Le programme des Gestionnaires de la planète Terre se poursuit suivant leur Plan

Les administrateurs non humains terrestres interviennent sur le ‘’jardin’’ comme ils le font depuis des éons : physiquement, génétiquement, et bio-énergétiquement. Entre autres choses, ils gèrent les avancées scientifiques de l’humanité terrestre, les accélérant et les freinant selon les cas.

PARAMÈTRE 2 : Les développements scientifiques et technologiques sont les véritables révolutions.

Ils impactent directement la politique, la sociologie, l’économie et la guerre.

Les principales innovations viendront des biotechnologies et des technologies d’assemblage à l’échelle atomique. Ces dernières vont redécouvrir des matériaux ‘’exotiques’’ : hyper-résistance, inaltérabilité, autoassemblage, supra-conductivité électrique, production endogène d’énergie. A base de carbone, de silicium puis par assemblage avec d’autres éléments. Un immense champ de recherches s’ouvrira…

De nouveaux paradigmes scientifiques vont en émerger, avec des développements sur des palettes de plus en plus diversifiées. Ils vont à terme changer la donne sur la production et le stockage d’énergie, le transport terrestre et spatial, et l’armement. La géopolitique en sera bouleversée, avec la fin de certaines raretés et le développement de l’autonomie énergétique à toutes les échelles.

En sus, la mise en évidence de l’état ‘’epsilon’’ de la matière va ouvrir une nouvelle direction scientifique dont on n’a pas idée en 2022. Entre autres choses, à terme, il deviendra très aisé de contrôler l’esprit humain ordinaire, sans utiliser les médias (presse, télévision, internet) inféodés et contrôlés par les leaders Industriels et politiques humains à l’époque où ces lignes sont écrites.

PARAMÈTRE 3 : La démographie du présent (2022) anticipe de manière très sûre le 21ème siècle.

La stabilisation de la population humaine, sa maîtrise, voire sa réduction s’avère une donnée incontournable bien que largement tabou pour le commun au début du siècle. Elle peut s’opérer contrainte, par crises, ou bien gérée paisiblement dans la durée.

Ici, ce sera probablement par crises, espérons qu’elles seront les moins radicales possibles.

PARAMÈTRE 4 : Résistance et atout ‘’caché’’ des USA face à la Chine

Il serait extrêmement étonnant que les services de renseignements russes et chinois ne soient pas informés de l’AVANCE TECHNOLOGIQUE considérable qu’ont pris les USA sur le reste de la planète, par la rétroconception de technologies exotiques, assistés par certains exogènes eux-mêmes.

Cependant, cette avance a créé une sorte d’élite planétaire qui s’est rapidement et largement affranchie du système ‘’démocratique’’ et de l’état américain lui-même. Ses membres sont actuellement issus de toutes origines terrestres, l’hyper compétence dans un domaine de pointe étant le principal critère d’entrée : mathématiques, physique, etc.

La stratégie politique de cette élite est la discrétion maximum, ce qui implique la non-intervention sur le sol de la planète.

A titre d’exemple, si l’on parle vélocité, les missiles hypersoniques de la Russie vont possiblement à mach 20 (environ 7 km seconde - 400 km minute) ou plus, très certainement en utilisant des technologies MHD comme l’explique JP PETIT. Ils accélèrent grosso modo de manière conventionnelle par échange de quantité de mouvement, en s’appuyant sur le milieu ambiant ou / et avec des fusées. Leur limite est celle de la résistance des matériaux aux forces d’accélération.

Les ARV (Alien Reproduction Véhicules) des black programs s’appuient sur des technologies très différentes, beaucoup plus avancées. Ils peuvent circuler dans l’espace, une zone où la matière est très peu dense et où la MHD ne fonctionnerait pas ou très peu, les accélérations seraient très faibles bien que continues.

Les ARV ont franchi le mur de la lumière depuis la fin des années 1970, ils passent de 0 à 20 000 km / heure quasi instantanément et peuvent prendre des virages à angle droit, ils ne sont plus soumis aux lois réputées universelles de la masse et de l’inertie. On ne peut pas les voir car ils vont trop vite. En outre, un second facteur les rend furtifs : ils changent de dimension. Ils peuvent facilement prendre des passagers, ce qui semble plus compliqué avec les technologies russes de missiles hypervéloces.

Ces ARV sont souvent observés comme des OVNIS de forme triangulaire.

Que l’on parle des technologies MHD ou bien des technologies de rétroconception Z .R, il s’agit de produire des champs magnétiques de très haute intensité, mais dans le second cas ils sont beaucoup plus puissants et complexes.

Il est spéculatif de penser que l’élite interviendra dans les conflits traditionnels terrestres, fussent-ils nucléaires. La grande avance technologique ‘’cachée’’ des black programs pourrait modifier la donne dans la compétition Chine – USA, au moins sur le court terme. Idem sur une organisation secrète chinoise, extrêmement puissante financièrement. J’ai eu plusieurs contacts avec certains de leurs membres, ils sont parfaitement conscients de la présence des Gestionnaires non terrestres et de la structure poly dimensionnelle de la Création.

Les Administrateurs non terrestres de la planète font la démonstration constante de leur interventionnisme au niveau du nucléaire civil et militaire, ceci depuis plus de 60 ans. Il nous faut espérer qu’ils gardent la même politique en cas de conflit nucléaire généralisé imminent.

LE FUTUR

J’avais prévenu, je vais faire le contraire de ce que je recommande comme étant raisonnable.

Une seule raison à cela pour le moment, le souvenir d’une vie future en chine, dans 250 ans. Cette réminiscence a commencé spontanément en 2019, lors d’une balade en voiture dans ce que je nomme maintenant ‘’la vallée du souvenir’’. En effet c’est quelque part ici qu’il y a la grotte du souvenir, un lieu secret où certains reviennent chercher la pierre qu’ils y ont déposée lors d’une incarnation passée.

Les Voyages dans le futur et dans le passé m’ont tout de suite étonné. Je dois dire qu’à chaque nouvelle exploration de ce type, je comprends encore moins ce qu’est le temps, à part qu’il est subjectif et dépend à la fois de l’état de conscience et de la position vibratoire où l’on se trouve.

Cette émergence mémorielle a débuté exactement comme celles relatives aux vies passées sur terre. Puis elle apporte son flot de détails de manière continue, comme pour les autres incarnations. Je vais le redire mais oui, moi aussi je n’y comprends rien. Les bidules spiritualeux du genre : ‘’toutes les incarnations se passent en même temps’’ ne me conviennent pas du tout.

Et NON, mon incarnation du 23ème siècle n’est pas un futur possible. Cette théorie me semble plus un jeu de l’esprit qu’autre chose, une simple discussion de salon, mais vous connaissez mon côté tranchant.

A ce moment la Chine est l’état le plus avancé au monde, à presque tous les points de vue. Bien que le monde humain terrestre de 2370 soit plus multipolaire qu’en 2022, il reste rassemblé autour d’un point central économique, scientifique et culturel : la Chine.

Mauvaise nouvelle pour les égocentristes des démocraties à l’occidentale : la Chine n’est pas une démocratie suivant leur modèle. En deux mots, elle a géré la question des populations, des croyances religieuses scélérates et violentes, de la délinquance et de la pauvreté. Depuis environ 250 ans, c’est le centre du monde terrestre. Je suis l’un d’entre eux, chinois par ma mère, occidental par mon père qui est natif d’un pays européen nordique, mais je ressemble parfaitement à un chinois, enfin si l’on en croit mon souci de conformité des jeunes années de ce moi du futur. Lui et moi sommes la même personne avec deux costumes différents.

Avant la seconde moitié de ce 23ème siècle, le crédit social a évolué vers une forme de reconnaissance entièrement basée sur l’utilité de l’individu envers la collectivité. Autour de moi, personne ne conteste ce système qui nous parait à la fois juste et logique.

Il n’y a pas eu de guerre nucléaire généralisée, juste des explosions d’armes nucléaires tactiques de puissance "modérée", dans des conflits dont les enjeux étaient l’énergie, au 21ème et au 22ème siècle. Je ne m’intéresse pas plus à l’histoire du 21ème siècle qu’une personne de 2030 se soucie de ce qui s’est passé au 17ème siècle, ici ou là. C’est juste de la culture générale non impliquante.

Comme les souvenirs reviennent régulièrement, la scène s’étoffe de plus en plus. Ma vie personnelle d’alors, je pense que chacun s’en fiche, alors parlons de mon action principale : je vais participer à la préparation de l’intégration de l’humanité dans le groupe cosmique local.

Non, la "révélation" généralisée ne semble pas être pour demain.

Auteur: Auburn Marc

Info: Post FB du 21 août 2022 - Voyage, mémoire et géopolitique du 21ème siècle

[ voyage astral ] [ futurologie ] [ ufologie ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

[ ratatinement ] [ limite de conservation ] [ apparences ] [ topologie ] [ recherche ] [ densification ]