Dieu

Nous élevant plus haut, nous disons maintenant que cette Cause n’est ni âme ni intelligence ; qu’elle ne se peut exprimer ni concevoir ; qu’elle n’a ni nombre, ni ordre, ni grandeur, ni petitesse, ni égalité, ni inégalité, ni similitude, ni dissimilitude ; qu’elle ne demeure immobile ni ne se meut ; qu’elle ne se tient ni au calme ni ne possède de puissance ; qu’elle ne vit ni n’est vie ; qu’elle n’est ni essence, ni perpétuité, ni temps ; qu’on ne peut la saisir intelligiblement ; qu’elle n’est ni science, ni vérité, ni royauté, ni un, ni unité, ni déité, ni esprit au sens où nous pouvons l’entendre ; ni paternité, ni filiation, ni rien de ce qui est accessible à notre connaissance ni à la connaissance d’aucun être.

Auteur: Denys le pseudo Aréopagite

Info: Théologie mystique, 1045 D-1048 A

[ théologie apophatique ] [ négative ] [ voie ascendante ] [ non-être ]

non

Je viens de surfer sur Internet avec comme objet les interventions de Frédéric Lordon. Vif, touche-à-tout, avec la distance calculée d'un humour pesé au grès de l'interlocuteur, Lordon démolit avec aisance le libéralisme et ses excès, maintenant bien connus depuis - au moins - les années 2008. Ses arguments ont le mérite de la clarté et tapent souvent au bon endroit. Par exemple lorsqu'il dit qu'il faudrait interdire purement et simplement la spéculation - merci Jorion ? - comme ce fut le cas au 19e siècle. Ce qui me frappe à chaque fois au sortir ce genre d'intervention c'est le paradoxe, rarement soulevé je trouve - de l'arroseur arrosé.

Le système capitalistique mondial est comme disait frère Schütz de Taizé (si j'ai bonne mémoire) à l'image de l'homme : avide, conquérant, égoïste, stupide, etc... Pour dissiper toute ambigüité sachez que je n'intègre pas nécessairement "femme" dans cette "image de l'homme". D'autant que les structures de pouvoir des strates sociétales accumulées de l'histoire du monde ne sont pas, loin s'en faut, marquée par un matriarcat dominant. La force bête et brutale restant, de nos jours encore - voyez les USA avec leur armée et le NSA -, le fond ultime de toute discussion.

Cet égoïsme des mâles, se matérialise sous la forme du pouvoir, ou ses homonymes : l'argent et les armes. Deux outils pas si stupides puisque leur domination s'opère sous des aspects moins triviaux, c'est à dire par le soft power, terme qui condense, de manière dominante dans les médias : influence, maitrise du langage, préjugés non discutables, définitions du bon et du méchant, et tutti quanti.

Bref, pour en arriver à cette position "où on les écoute" dans la sphère médiatique, des gens comme Lordon ou Jorion, portent avec eux, beaucoup plus profondément qu'ils ne le croient, l'ADN d'un système qu'ils prétendent corriger ou améliorer. Issus de ses structures pédagogiques, pilotées par ce même pouvoir-argent-influence, ils en ont accepté le jeu, ont passés des examens, ils ont démontré, sans le vouloir et le savoir, une forme de compromission.

NB : L'adoubement final de ce système "programmeur" éducatif de base est souvent marqué par un doctorat. Je ne nie pas la bonne volonté de ces gens, intellectuels imprégnés au plus profond par la culture dominante séculaire, celle d'un pouvoir qui, se complexifiant, parait de moins en moins identifié (l'argent virtualisé en étant le symptôme actuel). Ils ne font que le renforcer. Ils en sont les lieutenants.

Tenez : en Argentine, on a voulu alphabétiser les gauchos au motif : "Ainsi tu ne te feras plus enfumer". Les gauchos refusèrent, disant : - si tu m'alphabétises tu me domines. Ils avaient compris, avant Michel Foucauld, que si tu acquiers le savoir du maître, sans t'en rendre compte, tu avales sa structure de pouvoir.

L'instinct du refus primal est de loin le meilleur, plus proche d'une conscientisation de l'homme via l'acceptation de son potentiel/défauts propre et transcendant. J'existe donc je refuse... Je sais que le chaînon manquant entre le singe et l'homme, c'est moi (Lorenz). Laissez-moi donc trouver ma voie ascendante personnelle ! Rassurez-vous, au-delà de cette attitude, je ne suis guère différent. Blanc occidental je ne puis que certifier n'avoir aucun papier ou diplôme à agiter. Ce système et ses concepts de réussite n'ont aucun intérêt. Je les ai, d'aussi loin que je me souvienne, toujours refusés.

Auteur: Mg

Info: 24 aout 2013

[ éducation ] [ formation ] [ réflexion déni ] [ réfléchir négation ] [ femmes-hommes ]

proto-biologie

Suzan Mazur : Donc, avec cette donation, vous allez tenter de déterminer les principes généraux de la vie. Comment définissez-vous la vie ?

C W : C'est le problème, nous ne pouvons pas. Nous n'avons pas encore répondu aux questions centrales sur l'origine de la vie. Nous devons encore obtenir des preuves plus directes de ce que j'appelle une condition pré-Darwinienne, une condition progénote de la vie. C'est l'une des choses sur lesquelles nous travaillons, en essayant d'obtenir autant de preuves directes que possible. Évidemment, comme il s'agit d'un stade de l'évolution qui s'est déroulé il y a trois milliards d'années ou plus, nous n'allons pas obtenir beaucoup de preuves directes. Nous pouvons obtenir des archives fossiles, mais elles ne sont pas fiables. Il faut déduire tout ce qu'on peut de l'analyse intelligente et perspicace des données de la séquence du génome.

SM : Que considérez-vous comme l'évolution ?

CW : L'évolution est en fait ce que la biologie devrait être. Qu'est-ce que la biologie ? Est-ce une description de formes sous le microscope ? Cela ne peut pas être cela. L'évolution est un processus. C'est le processus que nous appelons maintenant biologie, et  qui est très statique. L'évolution, en revanche, est dynamique. Et nous devons comprendre quelles sont les règles que suit cette dynamique.

Alfred North Whitehead disait qu'en biologie et dans d'autres domaines, nous n'avons pas affaire à une procession de formes (ce qui résume le point de vue de Lazcano), nous avons affaire à la forme ou aux formes du processus. C'est dans cette distinction que réside l'essence même de l'institut d'astrobiologie de l'Illinois. Nous allons réellement étudier l'origine évolutive de la vie. Toute personne ayant une intuition biologique peut sentir - que la vie est un processus évolutif. Comme je l'ai dit, ce n'est pas seulement une procession de formes.

SM : Avez-vous des inquiétudes concernant la création d'une protocellule ?

CW : Oh oui. Il y en a, comme vous le savez, Craig Venter bat le tambour sur ce sujet tout le temps, juste pour être à l'avant-garde. Le pouvoir.

SM : Il y a aussi les chercheurs de Harry Lonsdale, qui l'abordent de manière ascendante. David Deamer, scientifique à l'origine de la vie à l'Université de Santa Cruz, par exemple, dit qu'il prévoit de fabriquer une protocellule d'ici une dizaine d'années.

CW : Bonne chance.

SM : ça vous préoccupe, la protocellule ?

CW : Je suis préoccupé par les scientifiques qui pensent qu'ils sont Dieu quand il s'agit de biologie. Les scientifiques devraient essayer d'étudier les expériences que la nature a déjà faites sous la forme du processus d'évolution.

SM : Vous avez décrit la "déconnexion entre les darwinistes, qui avaient pris le contrôle de l'évolution, et les microbiologistes, qui ne trouvaient aucune utilité à la sélection naturelle darwinienne." Avez-vous quelque chose à dire sur la récente décision du Huffington Post de bloquer la publication de la réponse du microbiologiste James Shapiro au darwiniste Jerry Coyne suite à la récente attaque de Coyne sur la pensée de Shapiro concernant un rôle réduit de la sélection naturelle dans l'évolution ?

CW : Je pense que c'est immoral. La science doit être libre d'examiner ce qu'elle voit. Si vous dites que tout le monde doit suivre la ligne darwinienne, ce n'est pas de la science libre. Le Huffington Post est passé de droite/gauche à gauche/droite. Je ne sais pas où il est maintenant. Cela n'appartient pas à la science.

Je pense que Shapiro a le doigt sur l'avenir. Il voit que nous devrions étudier la régulation. L'épigénétique est très importante.

SM : Vous avez également remarqué que la pensée de Darwin sur la descendance commune est "principalement fondée sur l'analogie" et que l'évolution qui émerge maintenant ne découle pas de Darwin. Je vous cite "Il me semble qu'une biologie future ne peut être construite dans les superstructures conceptuelles du passé. L'ancienne superstructure doit être remplacée par une nouvelle pour que les problèmes holistiques puissent émerger comme le nouveau courant dominant de la biologie". Vous attendriez-vous à ce que Darwin suive la voie de Freud si la biologie entre dans le monde non linéaire et que l'évolution est redéfinie ?

CW : Cela pourrait bien être le cas. J'ai longtemps soutenu, jusqu'à la fin du XXe siècle, que le problème du processus d'évolution est un problème antérieur à son époque. Darwin a essayé d'obtenir un crédit personnel en faisant irruption avec ça à un certain moment. La pensée conceptuelle sur l'évolution a d'abord été établie par des gens comme Buffon et le propre grand-père de Darwin, Erasmus Darwin - que Darwin ne mentionne jamais dans l'Origine des espèces, sauf dans une note de bas de page lorsqu'il y fut contraint, dans la troisième édition, de l'ajouter au bas de la préface.

Il l'a nommé d'une manière dédaigneuse. Disant en gros, oh oui, beaucoup de gens ont pensé à cela et a nommé des gens comme Buffon et Lamarck. Mais il n'a pas nommé son propre grand-père, Erasmus Darwin, sauf pour dire que son grand-père avait les mêmes idées fausses que Lamarck et Goethe. Et il n'a pas dit quelles étaient ces idées ou ce qu'il leur reprochait. Il voulait se distancer de son grand-père autant qu'il le pouvait.

SM : J'ai été intrigué par l'interview que vous avez donné au magazine Wired il y a quelques années où vous avez parlé de "l'interaction distribuée" agissant au sein de diverses communautés en réseau de la vie précoce avant la cellule moderne. Et puis vous avez dit que cette dynamique pré-darwinienne se retrouve dans la société. Je me demandais si vous vouliez dire que nous continuons en quelque sorte à reconstituer notre ancien passé organisationnel ?

CW : Non, je ne pense pas que nous tournons dans les mêmes cercles. Il s'agit d'une spirale toujours plus grande, parce que c'est ainsi que l'on peut définir un système complexe dynamique.

SM : Nigel Goldenfeld a fait des conférences sur les "trois régimes dynamiques". Fait-il référence à ce que vous avez décrit dans votre article de 2006 - une faible évolution communautaire, une puissante évolution communautaire et une évolution individuelle ?

CW : Oui, je crois qu'il le fait. Je suis presque sûr que c'est le cas. Et dans un article que j'ai écrit sur les archées, je parle de l'évolution de l'individualité. Il y avait un stade communautaire au départ. C'est ce que j'appelle habituellement le progénote. J'utilise le terme "trois domaines". J'ai écrit quelque chose en 2004 pour Microbiology and Molecular Biology Review. Freeman Dyson a été séduit par ce texte et a demandé la permission de l'utiliser dans un article qu'il a écrit pour la New York Review of Books. Nigel essaie de définir pour les physiciens ce que sont ces trois domaines. C'est l'un des rares points sur lesquels je diffère de Nigel Goldenfeld. C'est un amicale différent dans nos dialogues.

SM : C'est merveilleux que vous fassiez ces percées sans rencontrer trop d'hostilité de la part de la communauté de la biologie classique.

CW : Mais je n'ai pas détrôné l'hégémonie de la culture de Darwin.

Auteur: Woese Carl

Info: interviewé par Suzan Mazur, 4 October 2012, https://www.scoop.co.nz/. Trad Mg

[ triade ] [ pré-mémétique ] [ apprentis sorciers ] [ changement de paradigme ] [ éthique ] [ prébiotique ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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