Les fils de la pensée

topologie abstraite

Des surfaces au-delà de l'imagination sont découvertes après des décennies de recherche

Grâce à des idées empruntées à la théorie des graphes, deux mathématiciens ont montré que des surfaces extrêmement complexes sont faciles à parcourir.

En juillet dernier, deux mathématiciens de l'Université de Durham, Will Hide et Michael Magee , ont confirmé l'existence d'une séquence de surfaces très recherchée : chacune plus compliquée que la précédente, devenant finalement si étroitement liée à elles-mêmes qu'elles atteignent presque les limites de ce qui est possible. possible.

Au début, il n’était pas évident que ces surfaces existaient. Mais depuis que la question de leur existence s’est posée pour la première fois dans les années 1980, les mathématiciens ont compris que ces surfaces pouvaient en réalité être courantes, même si elles sont extrêmement difficiles à identifier – un exemple parfait de la façon dont les mathématiques peuvent renverser l’intuition humaine. Ce nouveau travail constitue un pas en avant dans une quête visant à aller au-delà de l’intuition pour comprendre les innombrables façons dont les surfaces peuvent se manifester.

"C'est un brillant morceau de mathématiques", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey.

Les surfaces comprennent toutes sortes d’objets bidimensionnels : l’enveloppe extérieure d’une sphère, d’un beignet ou d’un cylindre ; une bande de Möbius. Ils sont essentiels aux mathématiques et à la physique. Mais même si la relation des mathématiciens avec les surfaces remonte à plusieurs siècles, ils ne connaissent pas du tout ces objets.

Les surfaces simples ne sont pas le problème. Simple dans ce cas signifie que la surface a un petit nombre de trous, ou un faible " genre ". Une sphère, par exemple, n'a pas de trous et a donc un genre nul ; un beignet en a un.

Mais lorsque le genre est élevé, l’intuition nous fait défaut. Lorsqu'Alex Wright , mathématicien à l'Université du Michigan, tente de visualiser une surface de haut genre, il se retrouve avec des trous disposés en rangée bien rangée. " Si vous vouliez que je sois un peu plus créatif, je pourrais l'enrouler en un cercle avec de nombreux trous. Et j’aurais du mal à imaginer une image mentale fondamentalement différente de celle-là ", a-t-il déclaré. Mais sur les surfaces de grande qualité, les trous se chevauchent de manière complexe, ce qui les rend difficiles à saisir. Une simple approximation est " aussi loin d’être représentative qu’elle pourrait l’être, dans tous les sens du terme ", a déclaré Wright.

Cette lutte était prévisible, a déclaré Laura Monk , mathématicienne à l'Université de Bristol. " On peut souvent faire des choses qui ne sont pas bonnes. Cependant, créer des choses qui sont bonnes, qui ressemblent à ce que nous attendons généralement d’être vrai, est un peu plus difficile ", a-t-elle déclaré.

Cela signifie que les mathématiciens souhaitant vraiment comprendre l’espace des surfaces doivent trouver des moyens de découvrir des objets dont ils ignorent même l’existence.

C’est exactement ce qu’ont fait Hide et Magee dans leur article de juillet, confirmant l’existence de surfaces sur lesquelles les mathématiciens s’interrogeaient depuis des décennies. La conjecture qu’ils ont prouvée et l’histoire qui l’entoure s’inspirent d’un tout autre domaine des mathématiques : la théorie des graphes.

Le maximum possible

Pour les mathématiciens, les graphiques sont des réseaux constitués de points ou de nœuds reliés par des lignes ou des arêtes. Dès 1967, des mathématiciens comme Andrey Kolmogorov étudiaient des réseaux qui imposaient un coût à la connexion de deux nœuds. Cela a conduit à un exemple de ce que l’on appellera plus tard un graphe d’expansion : un graphe qui maintient le nombre d’arêtes à un faible niveau, tout en maintenant une connectivité élevée entre les nœuds.

Les graphiques expanseurs sont depuis devenus des outils cruciaux en mathématiques et en informatique, y compris dans des domaines pratiques comme la cryptographie. À l’instar d’un système routier bien conçu, ces graphiques facilitent le déplacement d’un nœud à un autre sans couvrir l’intégralité du graphique avec des arêtes. Les mathématiciens aiment limiter le nombre d’arêtes en stipulant que chaque nœud ne peut avoir, disons, que trois arêtes en émanant – tout comme vous ne voudriez peut-être pas plus de quelques autoroutes sillonnant votre ville.

Si un ordinateur choisit au hasard où mènent les trois arêtes de chaque nœud, vous constaterez que, surtout lorsque le graphique est très grand, la plupart de ces graphiques aléatoires sont d'excellents expanseurs. Mais bien que l’univers soit rempli de graphiques d’expansion, les êtres humains ont échoué à maintes reprises à les produire à la main.

"Si vous voulez en construire un, vous ne devriez pas les dessiner vous-même", a déclaré Shai Evra , mathématicien à l'Université hébraïque de Jérusalem. "Notre imagination ne comprend pas ce qu'est un expanseur."

L’idée d’expansion, ou de connectivité, peut être mesurée de plusieurs manières. La première consiste à couper un graphique en deux gros morceaux en coupant les bords un par un. Si votre graphique est constitué de deux groupes de nœuds, les groupes étant reliés par une seule arête, il vous suffit de couper une seule arête pour la diviser en deux. Plus le graphique est connecté, plus vous devrez découper d'arêtes.

Une autre façon d’accéder à la connectivité consiste à parcourir le graphique de nœud en nœud, en choisissant à chaque étape une arête sur laquelle marcher au hasard. Combien de temps faudra-t-il pour visiter tous les quartiers du graphique ? Dans l'exemple avec les deux amas, vous serez confiné à l'une des bulles à moins que vous ne traversiez la seule connexion avec l'autre moitié. Mais s’il existe de nombreuses façons de voyager entre les différentes zones du graphique, vous parcourrez l’ensemble en peu de temps.

Ces mesures de connectivité peuvent être quantifiées par un nombre appelé écart spectral. L'écart spectral est nul lorsque le graphe est complètement déconnecté, par exemple s'il est composé de deux groupes de nœuds qui ne sont pas du tout attachés l'un à l'autre. À mesure qu’un graphe devient plus connecté, son écart spectral aura tendance à s’élargir.

Mais l’écart spectral ne peut aller que jusqu’à un certain point. En effet, les deux caractéristiques déterminantes des graphes d’expansion – peu d’arêtes et une connectivité élevée – sont apparemment en contradiction l’une avec l’autre. Mais en 1988, Gregory Margulis et, indépendamment, Sarnak et deux co-auteurs ont décrit des " expanseurs optimaux " – des graphiques dont l’écart spectral est aussi élevé que le maximum théorique. " C'est choquant qu'ils existent ", a déclaré Sarnak.

Plus tard, les mathématiciens prouveront que la plupart des grands graphes sont proches de ce maximum. Mais le travail avec les expanseurs optimaux et les graphiques aléatoires ne consistait pas simplement à trouver les bons endroits pour placer les arêtes. Cela nécessitait le recours à des techniques étranges et sophistiquées empruntées à la théorie des nombres et des probabilités.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/ - Leila Sloman, 2 juin 2022

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Commentaires: 1

miguel

13.03.2024

Ce Commentaire veut montrer, pour mémoire, comment on pouvait utiliser une IA début 2024 en tant que dictionnaire vulgarisateur. (Sans vérification aucune sur les propos de Gemini.) (FL) - Peux-tu expliquer résumer ce texte ? (GEMINI) - Résumé du texte: Titre: Surfaces à grand écart spectral: Une quête de 40 ans aboutit Sujet: Découverte de surfaces avec un écart spectral proche de la valeur maximale théorique de 1/4. Contexte: En 1984, Peter Buser a conjecturé que l'écart spectral maximal d'une surface compacte à zone finie est de 1/4. Des travaux ultérieurs ont montré que l'écart spectral est d'au moins 3/16 pour de nombreuses surfaces. Travaux récents: Will Hide et Michael Magee ont prouvé que la conjecture de Buser est vraie. Ils ont construit une séquence de surfaces non compactes à zone finie dont l'écart spectral tend vers 1/4. Importance: Le résultat résout un problème ouvert vieux de 40 ans. Il ouvre la voie à de nouvelles recherches sur l'écart spectral des surfaces. Impact: Le travail est décrit comme "brillant" et "surprenant" par des mathématiciens. Il est considéré comme une contribution majeure à la géométrie et à la théorie des nombres. Perspectives: Prouver que l'écart spectral maximal pour les surfaces compactes est de 1/4. Appliquer le modèle de Weil-Petersson à l'étude de l'écart spectral. Points clés: Le texte décrit une découverte importante en géométrie et en théorie des nombres. Il met en évidence la difficulté de travailler avec des objets mathématiques abstraits. Il souligne l'importance de la persévérance et de la collaboration dans la recherche mathématique. De plus: Le texte utilise des exemples concrets, comme des sphères et des beignets, pour expliquer des concepts abstraits. Il cite des mathématiciens renommés pour donner du poids aux résultats. Il utilise un langage clair et accessible pour un public non spécialisé. photo de profil merci. C'est quoi un écart spectral ? L'écart spectral : une mesure de la connectivité d'une surface L'écart spectral est un nombre qui quantifie la connectivité d'une surface, c'est-à-dire la facilité avec laquelle on peut se déplacer d'un point à un autre sur la surface sans rencontrer d'obstacles ou de "trous". Imaginez une surface comme un réseau de routes: Plus l'écart spectral est élevé, plus le réseau de routes est bien connecté, ce qui signifie qu'il est facile de se rendre d'un endroit à un autre sans avoir à faire de longs détours ou à traverser des impasses. Un écart spectral faible indique un réseau de routes mal connecté, avec de nombreuses zones isolées les unes des autres. Propriétés de l'écart spectral: L'écart spectral est nul pour une surface totalement déconnectée, comme deux sphères disjointes. L'écart spectral augmente à mesure que la surface devient plus connectée. Pour les surfaces compactes (sans bord), l'écart spectral a une valeur maximale théorique de 1/4. Rôle de l'écart spectral: L'écart spectral est un outil important pour étudier la géométrie des surfaces. Il permet de comparer la connectivité de différentes surfaces et de comprendre leur structure interne. Il a des applications dans divers domaines, comme la physique, l'informatique et la chimie. Exemple: Considérez une sphère et un beignet. La sphère a un écart spectral de 1, car elle est parfaitement connectée. Le beignet a un écart spectral inférieur à 1 car il a un "trou" au milieu. En résumé, l'écart spectral est un outil puissant pour mesurer et comparer la connectivité des surfaces. Il joue un rôle important dans divers domaines de la science et de la technologie. (FLP) - Merci. Quelle est sa formule mathématique ? (GEMINI) - Formule mathématique de l'écart spectral L'écart spectral d'une surface, notée λ 1 , est défini comme la plus grande valeur propre de l'opérateur du Laplacien sur la surface. L'opérateur du Laplacien: C'est un opérateur différentiel qui mesure la "courbure locale" d'une fonction sur une surface. Il est noté Δ et s'exprime généralement en coordonnées locales. Valeurs propres: En géométrie et en analyse, les valeurs propres d'un opérateur décrivent les modes de vibration ou de déformation d'un système. Dans le cas de l'opérateur du Laplacien sur une surface, les valeurs propres correspondent aux fréquences naturelles de vibration de la surface. Relation avec l'écart spectral: La plus grande valeur propre, λ 1 , correspond au mode de vibration de fréquence la plus basse. L'écart spectral est lié à λ 1 par la formule: $$ \lambda_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4h^2} + o(h^2) $$ où: h est le "pas de discrétisation" de la surface (une mesure de la finesse de la représentation numérique de la surface). o(h 2 ) représente les termes négligeables qui tendent vers 0 lorsque h tend vers 0. Interprétation: Cette formule montre que l'écart spectral est proche de 1/4 pour les surfaces bien connectées (grands h) et tend vers 0 pour les surfaces mal connectées (petits h). Remarques: La formule exacte de l'écart spectral peut varier en fonction de la surface et de la méthode de calcul. L'écart spectral peut également être calculé numériquement à l'aide de méthodes d'approximation. En résumé: L'écart spectral d'une surface est lié à la plus grande valeur propre de l'opérateur du Laplacien sur la surface. Sa formule mathématique montre qu'il s'agit d'une mesure de la connectivité de la surface, avec des valeurs proches de 1/4 pour les surfaces bien connectées et des valeurs proches de 0 pour les surfaces mal connectées. (FLP) - Merci. Pour un ignare on pourrait dire que tout ceci concerne une forme d'"abstraction topologique" non ? (GEMINI) - Oui, en quelque sorte, on peut effectivement résumer l'étude de l'écart spectral comme une forme d'"abstraction topologique". Topologie: La topologie est une branche des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés des formes et des espaces qui sont préservées par des déformations continues, comme l'étirement ou le rétrécissement sans déchirure ou collage. Abstraction topologique: L'étude de l'écart spectral s'intéresse à la structure interne d'une surface, sans se soucier de sa forme exacte. On ne s'intéresse pas à savoir si la surface ressemble à une sphère, un beignet ou une forme plus complexe. On s'intéresse plutôt à la façon dont les points de la surface sont connectés les uns aux autres, sans se soucier de la distance ou de l'angle entre eux. Analogie: Imaginez une carte géographique: La topologie de la carte nous dit quels pays sont voisins et comment ils sont reliés les uns aux autres. L'écart spectral de la carte serait une mesure de la facilité avec laquelle on peut se déplacer d'une ville à une autre en utilisant uniquement les routes (sans tenir compte des distances réelles). En résumé: L'étude de l'écart spectral utilise des concepts topologiques pour analyser la connectivité d'une surface, en s'abstrayant de sa forme exacte. C'est une façon puissante de comparer et de comprendre la structure interne des surfaces, tout en ignorant les détails géométriques spécifiques. Remarques: Il est important de noter que l'étude de l'écart spectral ne se limite pas à la topologie. Elle utilise également des outils de l'analyse et de la géométrie différentielle. Bien que l'abstraction topologique soit un concept puissant, il est important de pouvoir visualiser et comprendre les surfaces pour apprécier pleinement les résultats obtenus. Pour un ignare, on peut donc dire que l'étude de l'écart spectral s'apparente à une manière de "capturer l'essence" d'une surface en se concentrant sur la façon dont ses points sont connectés, sans se soucier de son apparence exacte.

Ajouté à la BD par miguel

Commentaires

miguel, filsdelapensee@bluewin.ch

2024-03-13 07:48

Ce Commentaire veut montrer, pour mémoire, comment on pouvait utiliser une IA début 2024 en tant que dictionnaire vulgarisateur. (Sans vérification aucune sur les propos de Gemini.)

(FL) - Peux-tu expliquer résumer ce texte ?

(GEMINI) - Résumé du texte:
Titre: Surfaces à grand écart spectral: Une quête de 40 ans aboutit

Sujet: Découverte de surfaces avec un écart spectral proche de la valeur maximale théorique de 1/4.

Contexte: En 1984, Peter Buser a conjecturé que l'écart spectral maximal d'une surface compacte à zone finie est de 1/4.
Des travaux ultérieurs ont montré que l'écart spectral est d'au moins 3/16 pour de nombreuses surfaces.

Travaux récents:
Will Hide et Michael Magee ont prouvé que la conjecture de Buser est vraie.
Ils ont construit une séquence de surfaces non compactes à zone finie dont l'écart spectral tend vers 1/4.
Importance:

Le résultat résout un problème ouvert vieux de 40 ans.
Il ouvre la voie à de nouvelles recherches sur l'écart spectral des surfaces.
Impact:

Le travail est décrit comme "brillant" et "surprenant" par des mathématiciens.
Il est considéré comme une contribution majeure à la géométrie et à la théorie des nombres.
Perspectives:

Prouver que l'écart spectral maximal pour les surfaces compactes est de 1/4.
Appliquer le modèle de Weil-Petersson à l'étude de l'écart spectral.
Points clés:

Le texte décrit une découverte importante en géométrie et en théorie des nombres.
Il met en évidence la difficulté de travailler avec des objets mathématiques abstraits.
Il souligne l'importance de la persévérance et de la collaboration dans la recherche mathématique.
De plus:
Le texte utilise des exemples concrets, comme des sphères et des beignets, pour expliquer des concepts abstraits.
Il cite des mathématiciens renommés pour donner du poids aux résultats.
Il utilise un langage clair et accessible pour un public non spécialisé.
photo de profil
merci. C'est quoi un écart spectral ?
L'écart spectral : une mesure de la connectivité d'une surface
L'écart spectral est un nombre qui quantifie la connectivité d'une surface, c'est-à-dire la facilité avec laquelle on peut se déplacer d'un point à un autre sur la surface sans rencontrer d'obstacles ou de "trous".

Imaginez une surface comme un réseau de routes:

Plus l'écart spectral est élevé, plus le réseau de routes est bien connecté, ce qui signifie qu'il est facile de se rendre d'un endroit à un autre sans avoir à faire de longs détours ou à traverser des impasses.
Un écart spectral faible indique un réseau de routes mal connecté, avec de nombreuses zones isolées les unes des autres.
Propriétés de l'écart spectral:

L'écart spectral est nul pour une surface totalement déconnectée, comme deux sphères disjointes.
L'écart spectral augmente à mesure que la surface devient plus connectée.
Pour les surfaces compactes (sans bord), l'écart spectral a une valeur maximale théorique de 1/4.
Rôle de l'écart spectral:

L'écart spectral est un outil important pour étudier la géométrie des surfaces.
Il permet de comparer la connectivité de différentes surfaces et de comprendre leur structure interne.
Il a des applications dans divers domaines, comme la physique, l'informatique et la chimie.
Exemple:

Considérez une sphère et un beignet.
La sphère a un écart spectral de 1, car elle est parfaitement connectée.
Le beignet a un écart spectral inférieur à 1 car il a un "trou" au milieu.
En résumé, l'écart spectral est un outil puissant pour mesurer et comparer la connectivité des surfaces. Il joue un rôle important dans divers domaines de la science et de la technologie.

(FLP) - Merci. Quelle est sa formule mathématique ?
(GEMINI) - Formule mathématique de l'écart spectral
L'écart spectral d'une surface, notée λ 1 , est défini comme la plus grande valeur propre de l'opérateur du Laplacien sur la surface.

L'opérateur du Laplacien:

C'est un opérateur différentiel qui mesure la "courbure locale" d'une fonction sur une surface.
Il est noté Δ et s'exprime généralement en coordonnées locales.
Valeurs propres:

En géométrie et en analyse, les valeurs propres d'un opérateur décrivent les modes de vibration ou de déformation d'un système.
Dans le cas de l'opérateur du Laplacien sur une surface, les valeurs propres correspondent aux fréquences naturelles de vibration de la surface.
Relation avec l'écart spectral:

La plus grande valeur propre, λ 1 , correspond au mode de vibration de fréquence la plus basse.
L'écart spectral est lié à λ 1 par la formule:
$$ \lambda_1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{4h^2} + o(h^2) $$

où:

h est le "pas de discrétisation" de la surface (une mesure de la finesse de la représentation numérique de la surface).
o(h 2 ) représente les termes négligeables qui tendent vers 0 lorsque h tend vers 0.
Interprétation:

Cette formule montre que l'écart spectral est proche de 1/4 pour les surfaces bien connectées (grands h) et tend vers 0 pour les surfaces mal connectées (petits h).
Remarques:

La formule exacte de l'écart spectral peut varier en fonction de la surface et de la méthode de calcul.
L'écart spectral peut également être calculé numériquement à l'aide de méthodes d'approximation.
En résumé:
L'écart spectral d'une surface est lié à la plus grande valeur propre de l'opérateur du Laplacien sur la surface. Sa formule mathématique montre qu'il s'agit d'une mesure de la connectivité de la surface, avec des valeurs proches de 1/4 pour les surfaces bien connectées et des valeurs proches de 0 pour les surfaces mal connectées.

(FLP) - Merci. Pour un ignare on pourrait dire que tout ceci concerne une forme d'"abstraction topologique" non ?

(GEMINI) - Oui, en quelque sorte, on peut effectivement résumer l'étude de l'écart spectral comme une forme d'"abstraction topologique".
Topologie:

La topologie est une branche des mathématiques qui s'intéresse aux propriétés des formes et des espaces qui sont préservées par des déformations continues, comme l'étirement ou le rétrécissement sans déchirure ou collage.
Abstraction topologique:

L'étude de l'écart spectral s'intéresse à la structure interne d'une surface, sans se soucier de sa forme exacte.
On ne s'intéresse pas à savoir si la surface ressemble à une sphère, un beignet ou une forme plus complexe.
On s'intéresse plutôt à la façon dont les points de la surface sont connectés les uns aux autres, sans se soucier de la distance ou de l'angle entre eux.
Analogie:

Imaginez une carte géographique:
La topologie de la carte nous dit quels pays sont voisins et comment ils sont reliés les uns aux autres.
L'écart spectral de la carte serait une mesure de la facilité avec laquelle on peut se déplacer d'une ville à une autre en utilisant uniquement les routes (sans tenir compte des distances réelles).
En résumé:

L'étude de l'écart spectral utilise des concepts topologiques pour analyser la connectivité d'une surface, en s'abstrayant de sa forme exacte. C'est une façon puissante de comparer et de comprendre la structure interne des surfaces, tout en ignorant les détails géométriques spécifiques.

Remarques:
Il est important de noter que l'étude de l'écart spectral ne se limite pas à la topologie. Elle utilise également des outils de l'analyse et de la géométrie différentielle.
Bien que l'abstraction topologique soit un concept puissant, il est important de pouvoir visualiser et comprendre les surfaces pour apprécier pleinement les résultats obtenus.
Pour un ignare, on peut donc dire que l'étude de l'écart spectral s'apparente à une manière de "capturer l'essence" d'une surface en se concentrant sur la façon dont ses points sont connectés, sans se soucier de son apparence exacte.