élément irréductible de l'anneau des entiers relatifs
Comment les nombres premiers révèlent la structure cachée des mathématiques
1, 2, 3, 4, 5 — les mathématiques commencent par compter. Viennent ensuite l’addition, puis la multiplication. À première vue, elles semblent assez similaires. Après tout, la multiplication n’est qu’une simple addition répétée : 7 × 5 est une façon plus courte d’écrire 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5.
Mais si vous regardez à l'intérieur des nombres pour voir de quoi ils sont faits, cette similitude initiale s'effondre. Essayez de partitionner n'importe quel nombre entier en parties plus petites en utilisant l'addition, et vous aurez un riche éventail d'options. Par exemple, 11 = 5 + 6 = 4 + 7 = 3 + 3 + 3 + 2. (Il existe 56 façons de diviser 11.) Au fur et à mesure que les nombres deviennent plus grands, le nombre de partitions augmente régulièrement . Mais si vous essayez plutôt de diviser les nombres en utilisant la multiplication, une image très différente émerge. Il existe de nombreuses façons de diviser 30 : il y a 3 × 10, 5 × 6 et 2 × 15. Mais 31 ne peut pas du tout être divisé. Il est premier. Ses seuls facteurs sont lui-même et 1.
Cette distinction entre addition et multiplication est l'un des passages les plus doux vers le désert des mathématiques abstraites. La définition des nombres premiers implique la multiplication. Mais les nombres premiers forment également des motifs additifs à la texture mystérieuse.
Beaucoup de ces modèles ont motivé les plus grands problèmes mathématiques en suspens. Par exemple, les mathématiciens soupçonnent qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux — des nombres premiers (multiplicatifs) qui diffèrent de 2 (additifs), comme 29 et 31 ou 41 et 43. Mais personne n'a pu le démontrer avec certitude. De même, les mathématiciens pensent que tout nombre pair supérieur à 2 peut s'écrire comme la somme de deux nombres premiers, un problème appelé la conjecture de Goldbach. Cela aussi reste à prouver.
Mais de nombreux autres faits sont bien établis. Il existe une infinité de nombres premiers. Les mathématiciens continuent d' apporter de nouvelles preuves de ce fait, même si c'est l'un des résultats les plus anciens des mathématiques. On sait aussi que les nombres premiers se raréfient le long de la droite numérique. En 1896, Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin ont prouvé indépendamment le théorème des nombres premiers, qui établit une très bonne estimation de leur rareté. Ce théorème est l'un des résultats fondamentaux de la théorie analytique des nombres, une branche des mathématiques qui relie l'étude des nombres entiers à celle des fonctions à évolution régulière.
Quoi de neuf et d'intéressant
À première vue, les nombres entiers et les fonctions n’ont pas grand-chose à voir les uns avec les autres. Pourtant, le lien qui les unit est profond. L’un de ses aspects les plus fascinants est l’hypothèse de Riemann, sans doute la question ouverte la plus importante (et la plus difficile à résoudre) des mathématiques modernes.
En apparence, l'hypothèse n'a rien à voir avec les nombres premiers : elle concerne le comportement d'une somme infinie qui n'implique pas directement de nombres premiers. Mais si elle est vraie, les mathématiciens auront un moyen de rendre compte des écarts par rapport aux prédictions du théorème des nombres premiers. Les nombres premiers semblent être dispersés au hasard parmi les entiers, mais l'hypothèse de Riemann fournit une sorte de clé gnomique qui explique pourquoi ils apparaissent à ce moment-là.
En mai, James Maynard et Larry Guth ont prouvé une nouvelle limite sur les exceptions possibles à l'hypothèse. (Les physiciens ont aussi des idées sur la façon de s'y prendre.) L'année dernière, trois étudiants de Maynard ont prouvé un nouveau résultat sur la façon dont les nombres premiers sont distribués dans différents types de compartiments mathématiques. D'autres axes de travail examinent encore la façon dont les nombres premiers sont distribués dans des intervalles plus courts .
On sait depuis longtemps que les nombres premiers forment des amas, parfois ils laissent de grands espaces entre eux, parfois de petits. En 2013, Yitang Zhang, alors mathématicien inconnu, a prouvé qu'il existe un nombre infini de nombres premiers séparés par moins de 70 millions de nombres. Ce fut la première étape importante vers la démonstration qu'il existe un nombre infini de nombres premiers jumeaux : 70 millions, bien que ce soit un nombre important, est fini.
Quelques mois plus tard, une collaboration incluant Maynard a montré qu'il était possible de faire un peu mieux : ils ont réduit l'écart de 70 millions à 600 .
Tout aussi intéressante pour les mathématiciens est la question de savoir à quelle distance peuvent se trouver les nombres premiers. (Même si certains nombres premiers sont très proches les uns des autres, d'autres paires de nombres premiers adjacents sont très éloignées.) L'espacement moyen tend vers l'infini pour les grands nombres, mais les mathématiciens tentent de caractériser la vitesse à laquelle les écarts peuvent se creuser .
Les nombres premiers créent de nombreux modèles au-delà de la simple façon dont ils sont distribués. À l'exception de 2, tous les nombres premiers sont impairs. Cela signifie que certains, comme 5, laissent un reste de 1 lorsqu'ils sont divisés par 4, tandis que d'autres, comme 11, laissent un reste de 3. Il s'avère que ces deux types différents de nombres premiers ont des comportements fondamentalement différents, un fait appelé réciprocité quadratique , qui a été prouvé pour la première fois par Carl Gauss au 19e siècle. La réciprocité est un outil de base pour les mathématiciens d'aujourd'hui. Par exemple, elle a joué un rôle clé dans une preuve l'été dernier sur la façon dont les cercles peuvent être regroupés.
La notion de nombre premier, ou indivisible, ne se limite pas aux nombres. Des expressions appelées polynômes, comme x ⁵ + 3 x ² + 1, peuvent également être premières. En 2018, deux mathématiciens ont montré que presque tous les polynômes d'une classe particulière sont premiers.
Au premier abord, il n'est pas évident de comprendre à quel point les nombres premiers sont spéciaux. En comptant, on a l'impression que 7 et 11 sont indivisibles, alors que les autres nombres ne le sont pas. Mais le simple fait de compter crée des structures subtiles et complexes qui permettent à chacun d'entrevoir la grandeur inexorable de la vérité mathématique.
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Info: https://us1.campaign-archive.com/?u=0d6ddf7dc1a0b7297c8e06618&id=1afb830f9a, Konstantin Kakaes, 19 aout 2024
Commentaires: 1
miguel
19.08.2024
(FLP) - Quels sont les résultats les plus intéressants lorsqu'on compare l'étude des nombres entiers à celle des fonctions à évolution régulière ? (Gemini) - Comparaison entre l'étude des nombres entiers et celle des fonctions à évolution régulière : des résultats fascinants La comparaison entre l'étude des nombres entiers et celle des fonctions à évolution régulière, bien qu'à première vue éloignées, révèle des liens profonds et des résultats passionnants. Ces deux domaines, aux apparences distinctes, partagent en effet des structures sous-jacentes et des problématiques analogues. Analogies et correspondances Structure additive : Nombres entiers : L'addition est une opération fondamentale, donnant naissance aux notions de groupe, d'anneau et de corps. Fonctions : La somme de deux fonctions est une nouvelle fonction, créant un espace vectoriel. Structure multiplicative : Nombres entiers : La multiplication, liée à la notion de divisibilité, est à la base de la théorie des nombres. Fonctions : La composition de fonctions est une opération analogue à la multiplication, avec des propriétés similaires. Équation et inéquations : Nombres entiers : Les équations diophantiennes (équations polynomiales à coefficients entiers) sont des problèmes classiques. Fonctions : Les équations différentielles et aux dérivées partielles sont des analogues continus des équations diophantiennes. Périodicité : Nombres entiers : La périodicité apparaît dans l'étude des congruences et des fonctions arithmétiques. Fonctions : Les fonctions périodiques sont omniprésentes en analyse et en physique. Résultats marquants Théorie des nombres analytique : L'utilisation d'outils de l'analyse complexe (séries de Dirichlet, fonctions zêta) pour étudier la distribution des nombres premiers établit un pont entre l'arithmétique et l'analyse. Théorie ergodique : L'étude du comportement à long terme de systèmes dynamiques révèle des liens avec la théorie des nombres, notamment dans l'étude des fractions continues. Géométrie arithmétique : L'étude des solutions entières d'équations polynomiales à plusieurs variables utilise des outils géométriques (variétés algébriques) et analytiques. Théorie des représentations : Les représentations de groupes finis et de groupes de Lie permettent d'étudier les symétries sous-jacentes aux structures arithmétiques et analytiques. Applications Ces connexions ont de nombreuses applications dans des domaines variés : Cryptographie : La théorie des nombres est à la base de nombreux algorithmes de chiffrement. Physique théorique : Les fonctions spéciales (fonctions gamma, fonctions de Bessel) apparaissent dans de nombreux modèles physiques. Informatique théorique : L'analyse de la complexité des algorithmes utilise des outils de la théorie des nombres. Sciences sociales : Les modèles mathématiques utilisés en économie, en sociologie, etc. font souvent appel à des fonctions à évolution régulière. En conclusion, la comparaison entre l'étude des nombres entiers et celle des fonctions à évolution régulière est un domaine de recherche actif et fructueux. Les résultats obtenus enrichissent notre compréhension des structures mathématiques sous-jacentes à notre monde et ouvrent de nouvelles perspectives pour les applications.