interrogation métaphysique

Question corps de lumière (ou quelle que soit l’appellation donnée au véhicule énergétique qui voyage sans tout le reste, et notamment sans matière epsilon…)…

Pourquoi est-il souvent décrit par les voyageurs comme de forme humanoïde ? (Pour que la corde d’argent soit reliée à la nuque encore faut-il qu’il y ait une nuque..). Je suppose que c’est lié justement à une facilité de synchronisation avec le corps biologique. A quel point cette forme peut-elle varier, et dans quelles circonstances ? Est-ce que les voyageurs ayant d’autres formes physiques incarnées voyagent avec d’autres formes de corps de lumière ?

Pour poser le contexte de ma question et l’origine de mon questionnement, je précise :

Je ne suis pas voyageuse lucide et consciente, la seule sortie de corps indubitablement identifiée sans aucune forme de doute que j’ai eu était partielle et spontannée (je n’avais d’ailleurs rien lu encore sur le sujet), je suis sortie par ma boite crânienne comme si celle-ci était coupée en deux horizontalement et qu’en "montant" je me suis retrouvée dans l’espace à admirer les étoiles avec un sentiment indescriptible. Pendant quelques instants (minutes ?) j’ai pu faire des allers-retours comme on passe la tête par une trappe ouvrant sur un planetarium comme il n’en existe aucun sur Terre, essayant de comprendre ce qui m’arrivait et m’imprégnant de cette expérience jusqu’au fond de mes cellules…

En revanche, j’ai vécu de nombreuses expériences spontanées relatées par des voyageurs, et je vous remercie d’ailleurs des échanges ici qui permettent de mettre plus de conscience et de "réalité" (pour le mental tout du moins ) à certains de ces vécus. Les musiques et sons, comme les couleurs qui n’existent pas ici-bas, je les ai entendus et perçus à plusieurs reprises (en étant bien éveillée), au point d’en pleurer parfois tant c’était magnifique et le mot est loin d’approcher le vécu... J’ai aussi assez souvent perçu "mon corps" comme différent de la réalité observable, mains ou autres membres à des places ou des tailles différents que ce qui était physiquement, sensation d’expansion jusqu’à des dimensions non quatifiables (et perte de forme dans certains cas particuliers)… Et pas mal d’autres phénomènes que je regroupe dans la catégorie "énergétique" faute de mieux. Et j’ai déjà été connectée à "tout ce qui a été, est et sera", comme une zone sans localisation et pourtant visible de lumière et d’absolu et que je peux appréhender intérieurement mais qui est si dure à mettre en mots et impossible à partager réellement…

Le truc c’est que du coup, au-delà de mon corps physique/biologique/incarné, je me perçois comme une forme d’énergie à géométrie variable, clairement définie et perceptible (enfin dans une certaine mesure, cela dépend du référentiel utilisé ) mais pas vraiment définissable… Il y aurait tant à dire de plus, mais à ce stade je suis assez sûre que ceux qui savent savent et comprennent intimmement de quoi je parle et que ce n’est de toute façon probablement pas appréhendable par les autres

Je m’interroge donc sur le rapport entre la forme (objective + subjective) des différents corps/véhicules, au moins pour les mondes subtils les plus "accessibles" (car je sais ce qu’il en est dans d’autres dimensions "plus élevées" donc perso je n’ai pas d’interrogations de ce côté)

Et belle journée/soirée/nuit à qui lit, quelle que soit son expérience en la matière

Auteur: Internet

Info: SUr le fil FB de marc auburn, 24 août 2024

[ désincarnation ] [ shc ] [ ectoplasme personnel ] [ astral ]

septénaire

Il faut savoir que la force symbolique vient des Grecs anciens. Pythagore et ses disciples croyaient que le nombre régissait l'Univers. En plus de son célèbre théorème le carré de l'hypoténuse d'un triangle est la somme des carrés des deux autres côtés, le mathématicien et philosophe léguera le fruit de sa réflexion sur les nombres pairs et impairs, les nombres premiers et carrés. D'après ses disciples, Pythagore a élaboré une vision du cosmos qui se reflète sur Terre. S'il y a sept jours dans la semaine, c'est qu'il y a sept planètes dans le système solaire, présidées par sept dieux ( Apollon, Diane, Mars, Mercure, Jupiter, Vénus, Saturne... - on en a découvert deux autres depuis).

Les grecs, pour qui la musique était une science au même titre que l'arithmétique, la géométrie et l'astronomie trouvèrent donc naturel qu'il y ait sept notes dans la gamme. Selon Pythagore, le mouvement des planètes produit des sons à partir des nombres harmoniques inaudibles pour l'être humain. Les mêmes harmonies se retrouvent dans la division d'une corde vibrante; l'ouïe en perçoit des intervalles parfaits: octave, quinte et quarte. En combinant ces intervalles à partir de l'octave, les sept planètes trouvent leur écho sonore dans la gamme de sept sons, le huitième étant la répétition du premier dans un registre plus haut.

Ainsi l'ordre cosmique est transposé dans la réalité humaine, rendant accessible cette vérité à la perception sensorielle. Maintenant si le clavier du piano compte sept touches blanches et cinq noires, c'est qu'on a en réalité dans la gamme cinq tons entiers et deux demi-tons. Lorsqu'on divise les tons en demi-tons correspondant aux touches noires, cela donne 12 notes. Mais ces séparations n'existent pas sur les instruments à cordes. Ce qui démontre encore une fois que notre gamme est au départ une convention transmise depuis la nuit des temps. Aurions-nous pu hériter d'une autre gamme? Il y a la gamme pentatonique à 5 notes; les Arabes ont une gamme de 17 notes et celle des Hindous en comporte 24. Or, si la musique orientale sonne étrangement à nos oreilles, c'est qu'on n'en a pas appris le langage. On peut faire l'analogie avec la langue maternelle : si l'on ne saisit pas la musique des autres cultures, c'est qu'on n'en a pas intégré ses bases dans notre tendre enfance. C'est là un des problèmes de la musique contemporaine, d'ailleurs, qui s'applique à défier les habitudes musicales.

Il y a beaucoup plus de similitudes entre les chansons de Céline Dion et la musique de Mozart qu'entre celle-ci et le répertoire du Nouvel Ensemble moderne. Céline et Wolfgang doivent leur célébrité aux mélodies tonales qui respectent parfaitement les conventions de la gamme. Alors que les compositeurs de musique contemporaine, même lorsqu'ils affectionnent les bons vieux instruments de l'orchestre (cordes, cuivres, vents, percussions), s'appliquent à déconstruire la convention tonale. Après avoir enseigné la musicologie pendant 35 ans, je continue de m'étonner de la richesse de cette gamme vieille de 2,5 millénaires. En avons-nous exploré toutes les possibilités? Je ne le crois pas; il y a encore beaucoup de potentiel dans la gamme à 7 notes et à 12 sons. L'imagination des créateurs est sans limites et la musique a besoin de parcourir de nouveaux territoires. Par jeu, par défi ou encore pour vérifier si les Anciens avaient raison... Car les règles du jeu de Pythagore séduisent toujours les artistes contemporains. Des compositeurs comme Karlheinz Stockhausen, György Ligeti et Yannis Xenakis sont tout à fait pythagoriciens.

Auteur: Smoje Dujka

Info:

[ historique ] [ imprégnation culturelle ]

machine pensante

Cette IA de Deepmind pourrait révolutionner les maths et " repousser les frontières de la connaissance humaine "

DeepMind vient de frapper un grand coup : le laboratoire d'IA de Google a annoncé en janvier avoir développé AlphaGeometry, une intelligence artificielle révolutionnaire capable de rivaliser avec les médaillés d'or des Olympiades internationales dans la résolution de problèmes de géométrie. Si cela ne vous parle pas, sachez que les médailles Fields - Terence Tao, Maryam Mirzakhani et Grigori Perelman - ont tous les trois été médaillés d'or lors de cette compétition annuelle de mathématiques qui fait s'affronter les meilleurs collégiens et lycéens du monde. Or, AlphaGeometry a résolu avec succès 25 des 30 problèmes de géométrie de l'Olympiade, se rapprochant ainsi du score moyen des médaillés d'or humains. C'est 15 de plus que son prédécesseur. Mais comment les scientifiques de DeepMind ont-ils accompli un tel exploit ?

L'approche neuro-symbolique, la petite révolution de l'IA

AlphaGeometry est le fruit d'une approche neuro-symbolique, combinant un modèle de langage neuronal (MLN) et un moteur de déduction symbolique (MDS).

Les MLN sont des réseaux de neurones artificiels entraînés sur de vastes ensembles de données textuelles. Ils sont capables d'apprendre et de reconnaître des schémas et des structures dans les données textuelles, ce qui leur permet de générer du texte cohérent et de comprendre le langage naturel. Les MDS sont, pour leur part, particulièrement efficaces pour traiter des problèmes qui nécessitent une manipulation formelle des symboles et des règles logiques.

L'approche neuro-symbolique permet de faire travailler ces deux composantes en tandem : dans le cadre d'AlphaGeometry, le MLN prédit des constructions géométriques potentiellement utiles, puis le MDS utilise ces prédictions pour guider la résolution du problème. Cette combinaison offre à l'IA les capacités intuitives des réseaux de neurones et la rigueur logique des moteurs de déduction symbolique, ce qui lui permet de résoudre efficacement des problèmes de géométrie complexes.

Pour surmonter le manque de problèmes mathématiques de niveau Olympiades qui auraient dû servir de données d'entraînement à AlphaGeometry, les chercheurs ont développé une méthode innovante de génération de données synthétiques à grande échelle, permettant au génial bébé de DeepMind de s'entraîner sur un ensemble de 100 millions d'exemples uniques.

(Image : Alphageometry résoud un problème simple...) 

Mission : repousser les frontières de la connaissance

Cette réalisation marque une avancée significative dans le développement de systèmes d'IA capables de raisonner et de résoudre des problèmes mathématiques complexes, rapportent les chercheurs de DeepMind dans un article paru dans Nature en février dernier. Bien que présentant des résultats impressionnants, AlphaGeometry se heurte tout de même à quelques défis, notamment celui de s'adapter à des scénarios mathématiques de plus en plus complexes et à mobiliser ses compétences dans des domaines mathématiques autres que la géométrie. 

Malgré tout, cette avancée ouvre la voie à d'extraordinaires possibilités dans les domaines des mathématiques, des sciences et de l'IA. Ses créateurs ne cachent d'ailleurs pas leur ambition : " Notre objectif à long terme reste de construire des IA capables de transférer leurs compétences et leurs connaissances dans tous les domaines mathématiques en développant la résolution de problèmes et le raisonnement sophistiqués dont dépendront les systèmes d'IA généraux ", assènent Trieu Trinh et Thang Luong, les responsables du projet dans un communiqué. 

Le ton est donné : autrement dit, les systèmes d'IA développés par DeepMind doivent acquérir des capacités de résolution de problèmes sophistiquées et de raisonnement, ce qui implique la capacité à identifier des schémas, à formuler des hypothèses, à déduire des conclusions et à prendre des décisions logiques dans des contextes variés. Le tout en " repoussant les frontières de la connaissance humaine ". Très ambitieux, mais peut-être pas impossible.

Auteur: Internet

Info: https://www.futura-sciences.com/ - mars 2024

[ robot intelligent ] [ historique ]

humain miroir

La perception humaine de l'espace s'étend tout comme l'univers réel !

Le cerveau humain a une façon intéressante d'évaluer la proximité ou la distance d'un objet dans l'espace. Si vous regardez la nuit depuis votre voiture, il y a de fortes chances que la Lune vous paraisse se déplacer à vos côtés. Une nouvelle étude neuroscientifique a permis de découvrir pourquoi la zone de la mémoire de notre cerveau perçoit les images proches et lointaines et comment ces exagérations peuvent créer davantage de connexions cérébrales à mesure que nous vieillissons.

L'hippocampe est une zone du cerveau impliquée dans l'apprentissage et la mémoire. Dans l'étude actuelle, les auteurs ont constaté que les neurones associés à la planification, à la mémoire et à la navigation spatiale transforment l'espace en une forme géométrique hyperbolique non linéaire - pensez à un sablier en expansion qui grossit à mesure que vous vous en éloignez. Pour en revenir à l'exemple de la lune, les jeunes enfants ont pu constater que la lune les suivait ou qu'elle était suffisamment proche pour qu'ils l'attrapent.

Bien sûr, la Lune ne se déplace pas et sa taille est déformée par sa distance. Les résultats ont montré que la taille de l'image augmente avec le temps passé dans un lieu. La taille perçue par notre cerveau est également directement liée à la quantité d'informations qu'il peut traiter : les jeunes cerveaux sont peut-être plus enclins à naviguer et à percevoir l'espace de manière linéaire. Avec de nouvelles expériences, l'hippocampe est capable d'affiner ses connexions neuronales et de traiter davantage d'informations sur l'image.

Le cerveau "s'élargit" avec l'expérience

Comprendre comment les réseaux neuronaux du cerveau traitent la navigation spatiale pourrait aider à étudier les troubles neurocognitifs. La maladie d'Alzheimer, par exemple, est une maladie dans laquelle l'hippocampe est l'une des premières zones du cerveau à être détruite, ce qui affecte la mémoire de la personne.

"Notre étude démontre que le cerveau n'agit pas toujours de manière linéaire. Au contraire, les réseaux neuronaux fonctionnent le long d'une courbe en expansion, qui peut être analysée et comprise à l'aide de la géométrie hyperbolique et de la théorie de l'information", explique l'auteur principal, Tatyana Sharpee, professeur à l'Institut Salk et titulaire de la chaire Edwin K. Hunter, dans un communiqué de presse. "Il est passionnant de constater que les réponses neuronales dans cette région du cerveau forment une carte qui s'élargit avec l'expérience, en fonction du temps passé dans un lieu donné. L'effet s'est même maintenu pour des écarts de temps minuscules, lorsque l'animal courait plus lentement ou plus rapidement dans l'environnement."

L'équipe de recherche a utilisé des méthodes informatiques avancées pour comprendre le fonctionnement du cerveau. L'une de ces techniques consiste à utiliser la géométrie hyperbolique pour disséquer les signaux biologiques. Des travaux antérieurs ont utilisé la géométrie hyperbolique pour étudier le fonctionnement des molécules odorantes et de la perception des odeurs.

La géométrie hyperbolique s'est avérée efficace pour comprendre les réponses neuronales et pour cartographier les molécules et les événements sensoriels. Les chercheurs ont recueilli leurs informations auprès de rats qui ont passé du temps à explorer un nouvel environnement. Plus le rat passe de temps dans une zone, plus il acquiert d'informations sur l'espace qui l'entoure. Cela a permis à leur carte neuronale de s'étendre et de se développer.

"Ces résultats offrent une nouvelle perspective sur la manière dont les représentations neuronales peuvent être modifiées par l'expérience", explique Huanqiu Zhang, étudiant diplômé du laboratoire de M. Sharpee. "Les principes géométriques identifiés dans notre étude peuvent également guider les futurs efforts de compréhension de l'activité neuronale dans divers systèmes cérébraux.

Auteur: Internet

Info: Nature Neuroscience, repris par Jocelyn Solis-Moreira ,7 janvier 2023

[ horizon grégaire intégré ] [ vieillir grandir ]

observateur

Une fréquence peut produire n'importe quelle forme ?

Il n'y a aucune forme ou géométrie spécifique intrinsèquement associée à une fréquence spécifique. On peut faire apparaître une fréquence donnée sous n'importe quelle forme, dans certaines limites physiques - tout ce qu'il faut faire est de choisir le bon diamètre pour l'antenne ou le récepteur, et la bonne viscosité ainsi que la tension superficielle du fluide... Alors la fréquence d'entrée produira la géométrie d'onde stationnaire souhaitée.

Nous avons tous fait l'expérience de cette vérité fondamentale en résonance avec nos voix dans une pièce vide. Dans une pièce vide d'ornements muraux, on peut faire résonner différentes tonalités sur une octave. Avec une attention particulière, on peut trouver une ou plusieurs tonalités qui semblent résonner plus longtemps dans la pièce, ou même s'amplifier en volume lorsqu'on chante la note. Ces sons particuliers sont des fréquences qui résonnent avec la géométrie de la pièce et l'air qui la remplit. Si vous changez l'air de la pièce par de l'hélium pur, les sons que vous essayez se comporteront différemment. Si vous modifiez les dimensions de la pièce, vous entendrez différentes tonalités résonner avec l'espace. On a le même concept avec la cymatique liquide. Le fait qu'un certain son résonne bien dans une pièce spécifique ne signifie pas que le son lui-même soit magique - cela signifie simplement qu'il est magique spécifiquement avec cette endroit et l'air qui le remplit. Il se peut pareillement qu'une journée plus humide avec une pression barométrique plus élevée modifie les propriétés de l'air dans cet espace et change ainsi les fréquences de résonance de l'espace.

Ainsi, si on désire une résonance dans la cymatique liquide, il faut choisir le bon espace rempli du bon médium. Base de l'ingénierie de résonance sonique dans l'application de la cymatique liquide.

La conclusion de tout cela est de comprendre que lorsque nous voyons une image cymatique liquide (appelée hydroglyphe), nous visualisons le résultat de la façon dont une certaine fréquence se comportent dans un espace donné ; c'est la relation géométrique spécifique entre la fréquence d'entrée et le fluide dans la cuve utilisée.

Cela amène à parler de l'engouement pour le 432Hz, puisque les gens prétendent que la cymatique du 432Hz est plus "jolie" que celle du 440Hz. Cependant, ce qui manque ici, c'est la reconnaissance du diamètre du conteneur récepteur et du fluide utilisé ; il n'y a pas non plus de prise en considération pour le fait fondamental que si on avait changé le diamètre de ce conteneur ou les propriétés du fluide, on aurait pu rendre le 440Hz "joli" et le 432Hz distordu. En un sens, c'est un mensonge. On peut faire en sorte que *n'importe quelle* fréquence soit jolie alors qu'une autre fréquence proche sera modifiée (440Hz est suffisamment proche de 432Hz pour y ressembler mais être déformée). En ce sens, il n'y a rien de spécial à accorder notre musique sur A432 ou A440. Du moins, jusqu'à ce qu'on examine les dimensions de la forme humaine et les viscosités et tensions superficielles de notre sang.

C'est peut-être à ce moment qu'on trouvera une certaine "magie" dans les fréquences d'un accordage à 432, où les tons résonnent mieux avec les cavités et les fluides spécifiques de la forme humaine. Tant que cette étude n'est pas réalisée, on ne peut pas dire que ce niveau de 432Hz possède une quelconque magie inhérente, même en se basant sur la beauté mathématique des ratios de cet accord.

Ceci apporte un peu lumière sur le phénomène de la cymatique liquide et sur les hydroglyphes qui sont produits ici et là

(Suivent deux photos où on voit 15,6 Hz dans deux espaces distincts remplis du même liquide, une tasse de 2 pouces de diamètre et l'autre de 2,875 pouces de diamètre. Avec des réseaux de couleurs différentes qui éclairent chaque espace, et on peut clairement voir que l'un est une géométrie triple et l'autre une géométrie quadruple. Ainsi, on ne peut pas dire "C'est à ça que ressemble 15,6 Hz", puisqu'on peut faire en sorte que 15,6 Hz ressemble à n'importe quelle forme.)

Ceci étant expliqué, on constatera que seul "l'esprit attentif" apporte une certaine cohérence rationnelle à ce qui précède...

Il semble correct de constater que n'importe quel humain - éventuellement n'importe quel être, puisse être d'accord sur une telle démonstration du rôle de recepteur.

Et donc, même si nous "ressentons" tous les choses différemment, nous sommes ici capable de partager ce concept... Mais pour l'instant uniquement dans le domaine humain... Au même niveau, celui de notre espèce... Pas plus.

Pouvons-nous dire que ceci est possible parce que nous partageons tous un accordage des sens similaire ?... De la même syntonisation avec le réel, qui nous permet de créer et partager un univers consensuel ?

Auteur: Internet

Info: Post FB de Mr. E-Scholar, 13 janv 2023. Adaptation Mg

[ point de singularité ] [ totale relativité ] [ pur esprit désincarné ] [ question ]

sciences

Intellectuellement Pythagore fut un des hommes les plus importants qui aient jamais vécu, autant lorsqu'il fut sage que dans ses  imprudences.

Les mathématiques, au sens de l'argumentation déductive démonstrative, commencent avec lui et, en lui, sont intimement liées à une forme particulière de mysticisme. L'influence des mathématiques sur la philosophie, en partie due à lui, aura été depuis son époque à la fois profonde et malencontreuse. 

A l'origine la plupart des sciences étaient liées à une certaine forme de fausse croyance, ce qui leur donnait une valeur fictive. L'astronomie était liée à l'astrologie, la chimie à l'alchimie alors que les mathématiques étaient associées à un type d'erreur plus raffiné. Les connaissances mathématiques apparaissaient certaines, exactes et applicables au monde réel; de plus, elles étaient obtenues par simple réflexion, sans avoir besoin d'observation. Par conséquent, on pensait qu'elles fournissaient un idéal, en rapport duquel les connaissances empiriques quotidiennes étaient  inférieures. On supposait, sur la base des mathématiques, que la pensée est supérieure au sens, l'intuition à l'observation.

Si le monde des sens ne convient pas aux mathématiques, tant pis pour le monde des sens.  On a alots, via moult méthodes, cherché à se rapprocher de l'idéal du mathématicien, et les suggestions qui en ont résulté furent la source de beaucoup d'erreurs dans la métaphysique et la théorie de la connaissance.

Cette forme de philosophie commence avec Pythagore. Pythagore, comme tout le monde le sait, a dit "tout est nombre". Cette déclaration, interprétée de manière moderne, est logiquement un non-sens, mais ce qu'il voulait dire n'était pas exactement un non-sens. Il avait découvert l'importance des nombres en musique, et le lien qu'il a établi entre la musique et l'arithmétique survit dans les termes mathématiques "moyenne harmonique" et "progression harmonique". Il considérait les nombres comme des formes, telles qu'elles apparaissent sur les dés ou sur les cartes à jouer. On parle encore de nombres au carrés et au cube, termes que nous lui devons. Il évoqua aussi des nombres oblongs, triangulaires, pyramidaux, etc. C'était le nombre de cailloux (ou, comme on devrait dire plus naturellement, de billes) nécessaires pour réaliser les formes en question. Il pensait vraisemblablement que le monde est atomique et que les corps sont constitués de molécules composées d'atomes disposés sous diverses formes.

Il espérait ainsi mettre de l'arithmétique au centre de l'étude fondamentale de la physique comme de l'esthétique.

La religion personnelle dérive de l'extase, la théologie des mathématiques ; et les deux se trouvent chez Pythagore. Les mathématiques sont, je crois, la principale source de la croyance en une vérité éternelle et exacte, ainsi qu'en un monde intelligible suprasensible. La géométrie traite de cercles exacts, mais aucun objet sensible n'est exactement circulaire ; quelle que soit le soin avec lequel nous utilisons nos boussoles, il y aura des imperfections et des irrégularités. Cela suggère l'idée que tout raisonnement exact s'applique aux objets idéaux par opposition aux objets sensibles; il est naturel d'aller plus loin et d'affirmer que la pensée est plus noble que le sens, et les objets de la pensée plus réels que ceux de la perception sensorielle. Les doctrines mystiques sur la relation entre le temps et l'éternité sont également renforcées par les mathématiques pures, car les objets mathématiques, tels que les nombres, s'ils sont réels, sont éternels et ne s'inscrivent pas dans le temps. Ces objets éternels peuvent être conçus comme les pensées de Dieu. 

D'où la doctrine de Platon selon laquelle Dieu est un géomètre et la croyance de Sir James Jeans selon laquelle il est accro à l'arithmétique. La religion rationaliste par opposition à la religion apocalyptique aura été, depuis Pythagore, et notamment depuis Platon, complètement dominée par les mathématiques et la méthode mathématique. La combinaison des mathématiques et de la théologie, qui a commencé avec Pythagore, a caractérisé la philosophie religieuse en Grèce, au Moyen Âge et dans les temps modernes jusqu'à Kant. L'orphisme avant Pythagore était analogue aux mystérieuse religions asiatiques.

Mais chez Platon, Saint Augustin, Thomas d'Aquin, Descartes, Spinoza et Kant, il y a un mélange intime de religion et de raisonnement, d'aspiration morale et d'admiration logique de ce qui est intemporel, qui vient de Pythagore et qui distingue la théologie intellectualisée de l'Europe du mysticisme plus direct de l'Asie. 

Ce n'est que très récemment qu'il a été possible de dire clairement en quoi Pythagore avait tort. Je ne connais personne qui ait eu autant d'influence que lui dans le domaine de la pensée. Je dis cela parce que ce qui apparaît comme du platonisme se révèle, après analyse, être essentiellement du pythagorisme. Toute la conception d'un monde éternel, révélé à l'intellect mais non aux sens, est dérivée de lui. Sans lui, les chrétiens n'auraient pas considéré le Christ comme le monde ; sans lui, les théologiens n'auraient pas cherché des preuves logiques de Dieu et de l'immortalité. Mais en lui, tout cela reste implicite.

Auteur: Russell Bertrand

Info: A History of Western Philosophy (1945), Book One. Ancient Philosophy, Part II. The Pre-Socratics, Ch. III: Pythagoras, p. 29 & pp. 34-37

[ historique ] [ Grèce antique ] [ langage ]

intrications

Les scientifiques qui étudient le cerveau ont découvert que cet organe opère simultanément jusqu'à 11 dimensions différentes, créant des structures multivers qui présentent "un monde que nous n'avions jamais imaginé".

En utilisant un système mathématique avancé, les chercheurs ont pu montrer des structures architecturales qui apparaissent lorsque le cerveau doit traiter l'information, avant de se désintégrer et disparaitre. Leurs résultats, publiés dans la revue Frontiers in Computational Neuroscience, révèlent les processus extrêmement complexes impliqués dans la création de structures neuronales, ce qui pourrait aider à expliquer pourquoi le cerveau est si difficile à comprendre et à associer sa structure à sa fonction.

L'équipe, dirigée par des scientifiques de l'EPFL en Suisse, effectuait des recherches dans le cadre du projet Blue Brain, une initiative visant à créer une reconstruction biologiquement détaillée du cerveau humain. En travaillant d'abord sur les cerveaux des rongeurs, l'équipe a utilisé des simulations de supercalculateurs pour étudier les interactions complexes dans différentes de ses régions. Dans cette dernière étude, les chercheurs ont pu approfondir les structures du réseau neuronal du cerveau en utilisant la topologie algébrique - un système utilisé pour décrire des réseaux avec des espaces et des structures en constante évolution.

C'est la première fois que cette branche des mathématiques est appliquée aux neurosciences. "La topologie algébrique est comme un télescope et un microscope en même temps. Elle peut zoomer dans les réseaux pour trouver des structures cachées - les arbres dans la forêt - et voir les espaces vides - les clairières - tout en même temps", précise Kathryn Hess. Dans l'étude, les chercheurs ont effectué de multiples tests sur le tissu cérébral virtuel pour découvrir des structures cérébrales qui n'apparaitraient jamais par hasard. Ils ont ensuite effectué les mêmes expériences sur des tissus cérébraux réels afin de confirmer leurs résultats virtuels. Ils ont découvert que lorsqu'on présente un stimulus au tissu virtuel, des groupes de neurones forment une clique. Chaque neurone se connecte à tous les autres neurones de manière très spécifique pour produire un objet géométrique précis. Plus il y a de neurones dans une clique, plus les dimensions sont élevées. Dans certains cas, les chercheurs ont découvert des cliques avec jusqu'à 11 dimensions différentes.

Les structures s'assemblent en des enceintes qui forment des trous à haute dimension que l'équipe a nommé cavités. Une fois que le cerveau a traité l'information, la clique et la cavité disparaissent.

Multivers du cerveau. "L'apparition de ces cavités high-dimensionnelles lorsque le cerveau traite des informations signifie que les neurones du réseau réagissent aux stimuli d'une manière extrêmement organisée", a déclaré l'un des chercheurs, Ran Levi. "C'est comme si le cerveau réagit à un stimulus en construisant puis en rasant une tour de blocs multidimensionnels, en commençant par des tiges (1D), des planches (2D), puis des cubes (3D), puis des géométries plus complexes avec 4D, 5D, etc. La progression de l'activité à travers le cerveau ressemble à un château de sable multidimensionnel qui se matérialise hors du sable puis se désintègre ", a-t-il déclaré. Henry Markram, directeur de Blue Brain Project, avance que les résultats pourraient aider à expliquer pourquoi le cerveau est si difficile à comprendre. "Les mathématiques appliquées habituellement aux réseaux d'étude ne peuvent pas détecter les structures et les espaces à grande dimension que nous voyons maintenant clairement", a-t-il déclaré. "Nous avons découvert un monde que nous n'avions jamais imaginé. Il y a des dizaines de millions de ces objets, même dans un petit segment du cerveau, à travers sept dimensions. Dans certains réseaux, nous avons même trouvé des structures allant jusqu'à onze dimensions". Les résultats indiquent que le cerveau traite les stimuli en créant ces cliques et cavités complexes, de sorte que la prochaine étape sera de savoir si notre capacité à effectuer des tâches compliquées nécessite ou non la création de ces structures multidimensionnelles.

Dans une interview par courrier électronique avec Newsweek, Hess dit que la découverte nous rapproche de la compréhension d' "un des mystères fondamentaux de la neuroscience: le lien entre la structure du cerveau et la façon dont elle traite l'information". En utilisant la topologie algébrique l'équipe a pu découvrir "la structure hautement organisée cachée dans les modèles de tir apparemment chaotiques des neurones, une structure qui était invisible jusqu'à ce que nous l'examinions avec ce filtre mathématique particulier". Hess dit que les résultats suggèrent que lorsque nous examinons l'activité du cerveau avec des représentations à faible dimension, nous n'observons que l'activité réelle qui se déroule. Cela signifie que nous pouvons voir des informations, mais pas l'image complète. "Alors, dans un sens, nos découvertes peuvent expliquer pourquoi il a été si difficile de comprendre la relation entre la structure et la fonction du cerveau", explique-t-elle.  

"Le schéma de réponse stéréotypique que nous avons découvert indique que le circuit répond toujours aux stimuli en construisant une séquence de représentations géométriques commençant dans des dimensions faibles et en ajoutant des dimensions progressivement plus élevées, jusqu'à ce que l'accumulation s'arrête soudainement et s'effondre: une signature mathématique pour les réactions à stimuli. "Pour le travail futur, nous avons l'intention d'étudier le rôle de la plasticité - le renforcement et l'affaiblissement des connexions en réponse aux stimuli - avec les outils de topologie algébrique. La plasticité est fondamentale pour le processus mystérieux d'apprentissage, et nous espérons que nous pourrons donner un nouvel aperçu de ce phénomène", a-t-elle ajouté.

Auteur: Internet

Info: https://www.newsweek.com/brain-structure-hidden-architecture-multiverse-dimensions-how-brain-works-6243006/12/17 by Hannah Osborne - Ici FLP regrette sa volonté réitérée de ne pas insérer d'images dans les textes. Elles sont ici très parlantes.

[ simultanéïté ] [ réfléchir ] [ réflexion humaine modélisée ]

portrait

Maryam Mirzakhani était mathématicienne, mais elle oeuvrait  comme une artiste, toujours en train de dessiner. Elle aimait s'accroupir sur le sol avec de grandes feuilles de papier, les remplissant de gribouillages : figures florales répétées et corps bulbeux et caoutchouteux, leurs appendices coupés proprement, comme les habitants d'un dessin animé, égarés,  de Miyazaki. L’un de ses étudiants diplômés de l’Université de Stanford a déclaré que Mirzakhani décrivait les problèmes mathématiques non pas comme des énigmes logiques intimidantes mais comme des tableaux animés. "C'est presque comme si elle avait une fenêtre sur le paysage mathématique et qu'elle essayait de décrire comment les choses qui y vivaient interagissaient les unes avec les autres", explique Jenya Sapir, aujourd'hui professeure adjointe à l'Université de Binghamton. "Pour elle, tout arrive en même temps."

Mirzakhani a grandi à Téhéran avec le rêve de devenir écrivain. En sixième année, elle a commencé à Farzanegan, une école pour les filles les plus douées de la ville, et a obtenu les meilleures notes dans toutes ses classes, à l'exception des mathématiques. Vers la fin de l'année scolaire, l'instructeur lui a rendu un test de mathématiques noté 16 sur 20, et Mirzakhani l'a déchiré et a fourré les morceaux dans son sac. Elle a dit à une amie qu’elle en avait assez en mathématiques : " Je ne vais même pas essayer de faire mieux. " Mirzakhani, cependant, était constitutionnellement incapable de ne pas essayer, et elle tomba bientôt amoureuse de la poésie épurée du sujet. Alors qu'elle était au lycée, elle et sa meilleure amie, Roya Beheshti, sont devenues les premières femmes iraniennes à se qualifier pour l'Olympiade internationale de mathématiques, et l'année suivante, en 1995, Mirzakhani a remporté une médaille d'or avec un score parfait.

Mirzakhani a déménagé aux États-Unis à l'automne 1999 pour poursuivre ses études supérieures à Harvard. Sa passion était la géométrie et elle était particulièrement attirée par les " surfaces hyperboliques ", qui ont la forme de chips Pringles. Elle a exploré un univers extrême dans son abstraction – avec des " espaces de modules ", où chaque point représente une surface – et des dimensions qui dépassent les nôtres. D'une manière ou d'une autre, Mirzakhani était capable d'évoquer des aspects de tels espaces à considérer, en griffonnant sur une feuille de papier blanc pour essayer une idée, s'en souvenir ou en rechercher une nouvelle ; ce n'est que plus tard qu'elle transcrira ses aventures dans les symboles conventionnels des mathématiques. "on ne veut pas écrire tous les détails ", a-t-elle dit un jour à un journaliste. "Mais le processus du dessin de quelque chose vous aide d'une manière ou d'une autre à rester connecté." Son doctorat : thèse commencée en dénombrant des boucles simples sur des surfaces, a conduit à un calcul du volume total des espaces de modules. Cela a permis à la jeune chercheuse de publier trois articles distincts dans des revues mathématiques de premier plan, dont l'un contenait une nouvelle preuve surprenante de la célèbre " conjecture de Witten ", une étape importante dans la physique théorique reliant les mathématiques et la gravité quantique. Les mathématiques de Mirzakhani sont appréciées pour leurs grands sauts créatifs, pour les liens qu'elles ont révélés entre des domaines éloignés, pour leur sens de la grandeur.

Lorsque Jan Vondrak, qui deviendra son mari, la rencontre en 2003, il ne savait pas, dit-il, qu'" elle était une superstar ". Mirzakhani terminait ses études à Harvard et Vondrak, aujourd'hui professeur de mathématiques à Stanford, étudiait au MIT ; ils se sont rencontrés lors d'une fête, chacun reconnaissant une âme sœur qui n'aimait pas particulièrement les fêtes. Vondrak l'a initiée au jazz et les deux ont fait de longues courses le long de la rivière Charles. Mirzakhani était à la fois modeste – Vondrak a appris de ses nombreuses réalisations grâce à des amis communs – et extrêmement ambitieuse. Vondrak se souvient de ses rêves de découvertes futures dans l'espace des modules, mais aussi de sa détermination à explorer des domaines plus lointains, comme la théorie des nombres, la combinatoire et la " théorie ergodique ". Elle avait, selon Vondrak, " 100 ans de projets ".

Il y a trois ans, Mirzakhani, 37 ans, est devenue la première femme à remporter la médaille Fields, le prix Nobel de mathématiques. La nouvelle de cette récompense et le symbolisme évident (première femme, première Iranienne, immigrante d'un pays musulman) la troublaient. Elle fut très perplexe lorsqu’elle a découvert que certaines personnes pensaient que les mathématiques n’étaient pas pour les femmes – ce n’était pas une idée qu’elle ou ses amis avaient rencontrée en grandissant en Iran – mais elle n’était pas encline, de par sa personnalité, à dire aux autres quoi penser. À mesure qu’elle devenait une célébrité parmi les Iraniens, les gens l’approchaient pour lui demander une photo, ce qu’elle détestait. La médaille Fields a également été annoncée alors qu'elle venait de terminer un traitement épuisant contre le cancer du sein.

En 2016, le cancer est réapparu, se propageant au foie et aux os de Mirzakhani. Tous ceux qui ont connu Mirzakhani la décrivent comme étant d’un optimisme inébranlable ; ils quittaient toujours les conversations avec un sentiment d'énergie. Mais finalement, il est devenu impossible pour Mirzakhani de continuer ce que sa jeune fille, Anahita, appelait sa " peinture ". Lors d'un service commémoratif à Stanford, Curtis McMullen, directeur de thèse de Mirzakhani et président du département de mathématiques de Harvard, a déclaré que lorsqu'elle était étudiante, elle venait à son bureau et posait des questions qui étaient " comme des histoires de science-fiction ", des scènes vivantes qu'elle avait entrevues. dans un coin inexploré de l’univers mathématique – des structures étranges et des motifs séduisants, tous en mouvement et interconnectés. Puis elle le regardait de ses yeux bleu-gris. " Est ce bien? " demandait-elle, comme s'il pouvait connaître la réponse.

Auteur: Internet

Info: Nytimes, by Gareth Cook, 2017

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univers sons

Le son est-il le système nerveux du cosmos ?
Il existe un moyen de rendre les sons visibles. On appelle "cymatique" cette science énigmatique, qui puise ses racines dans l'histoire de l'univers. Quelle est la nature de l'onde sonore? Que sait-on vraiment de son pouvoir sur nous?
Allemagne, 18ème siècle. Ernst Chladni est un mathématicien doué et discret. L'homme est aussi musicien et sa passion pour le violon va le conduire à une découverte extraordinaire. Saupoudrant de sable un disque de cuivre, il en frotta le bord avec son archet. La plaque se mit à vibrer et le sable à se déplacer, dessinant d'authentiques formes géométriques. "Qu'on juge de mon étonnement voyant ce que personne n'avait encore vu", dira plus tard son ami et philosophe Lichtenberg, auteur de travaux sur l'électricité statique.
Dans les années soixante, le physicien Hans Jenny sera le premier à révéler ce phénomène oublié. Grâce à l'évolution de l'électronique, il prolonge les recherches et fait varier les supports. Il invente le tonoscope, petit appareil tubulaire assorti d'une membrane sur laquelle on aura versé de la poudre, qui permet de créer des formes étonnantes avec le son de sa voix. Plus d'un siècle après les premières expériences, Jenny livre des observations d'une grande précision sur la nature du son, et invente une nouvelle science : la cymatique. Du grec 'vague', la cymatique étudie l'interaction du son et de la matière. Les outils de mesure acoustique modernes ont permis d'étudier ces modulations spontanées : dans l'eau par exemple, un son grave produit un cercle entouré d'anneaux ; un son aïgu accroît le nombre d'anneaux concentriques. Soumise au rythme des oscillations, la variété de formes générées semble sans limite. Hans Jenny parlera de "modèle dynamique mais ordonné" Quel pouvoir autonome renferme l'onde sonore ?
Toute activité produit du bruit. Du plus retentissant au plus subtil, il est trace du mouvement. Christian Hugonnet, ingénieur acousticien et fondateur de la Semaine du Son, décrit un enchaînement simple : "l'action entraîne la vibration de l'air qui va déplacer des molécules, se choquant les unes aux autres comme pour se transmettre un message". Avant d'être une manifestation audible, le son se caractérise par un changement moléculaire, sur une surface donnée et en un temps donné. Dans cette équation, nul besoin d'oreille pour considérer qu'il y a dynamique sonore. C'est la fréquence de l'onde qui va diriger toute l'énergie. "Dans l'expérience avec le sable, les grains s'agglutinent là où la fréquence est haute", détaille le spécialiste. La propriété d'un corps à entrer en résonance avec le flux d'énergie va créer la forme. La matière prend la forme de l'énergie qui lui est adressée.
Le son primordial
Spirales, polygones, stries... ces marques sont souvent analogues à celles déjà présentes dans la nature. "J'ai constaté qu'une plaque elliptique soumise à des vibrations sonores reproduit les figures qu'on trouve sur la carapace d'une tortue", constate le photographe Alexander Lauterwasser. Une morphogenèse fondée sur la transmission de codes génétiques nécessaires à la formation des masses et à leur différenciation, et qui révèle un processus harmonieux dans l'ADN terrestre. Dès lors, est-il possible que les formes animales et végétales qui nous entourent – et la matière vivante dans son ensemble – soient elles-mêmes le résultat de vibrations, comme le rapportent de nombreuses traditions ?
Bien avant ces découvertes scientifiques, les cultures traditionnelles du monde entier ont développé leur récit mythologique de la création de l'univers. La voix et le souffle y sont féconds. "Au commencement était le verbe, dit l'Evangile. Les textes celtes sacrés évoquent Trois Cris qui firent éclater l'Oeuf du Monde", rapporte le Docteur Alain Boudet, enseignant et conférencier. "Chez les hindous et les bouddhistes, le principe structurant du chaos d'origine est le mantra Om et les Mayas parlent du chant des Dieux comme du système nerveux de l'univers". Une cosmogonie universelle, portée par des figures archétypales semblables aux formations cymatiques, telles que les mandalas. Ces mystérieuses corrélations entre figures naturelles et symboliques renverraient à une intuition de la forme, perdue avec le temps : "Cette géométrie originelle est en nous. Nous l'avons oubliée à mesure que le mental s'est imposé", raconte Alain Boudet. Dans son ouvrage Cymatics, le pionnier Hans Jenny conclut à la puissance fondamentale et génératrice de la vibration. Sa périodicité soutient la bipolarité de la vie : le mouvement et la forme. La vibration comme source de toute chose : un constat, mais aussi une opportunité de reconsidérer le monde dans lequel nous évoluons.
Echos d'avenir
Pythagore disait : "L'homme possède toutes les valeurs du cosmos". L'auteur du célèbre théorème de géométrie a développé le principe de microcosme, reliant l'organisme humain à l'organisation de l'univers. L'influence du son invite désormais à une nouvelle écoute du vivant. "La biorésonance nous renseigne sur la fréquence optimale de nos organes", explique Andreas Freund, physicien quantique. Au Tibet, les bols chantants sont reconnus pour leurs vertus. Leurs tonalités spécifiques communiquent avec la matière cristalline de notre corps : les os, les tissus et l'eau qui nous compose à 70%. Plus le son est grave, plus l'on travaillera la zone racine du corps. Comme la cymatique, notre résonance cellulaire trace un chemin pour la vibration, réharmonisant notre énergie interne. Un processus identique aux diapasons thérapeutiques employés depuis des siècles en Europe, dont les fréquences en hertz sont réglées pour des actions cibles. Mais pour masser nos entrailles, quel meilleur instrument que la voix ? Le chant harmonique des traditions chamaniques, aussi appelé chant diphonique dans nos conservatoires de musique, est une technique vocale sur deux notes simultanées, par un positionnement de la langue et des lèvres. Curiosité ou évidence biologique, ce son très apaisant ressemble à celui des vents solaires.
La vague de l'action contient à la fois l'intention et son empreinte. "Le son in-forme. Il est porteur d'information", nous dit Andreas Freund. Une attention portée aux messages de la nature, qui permet aujourd'hui de décrypter jusqu'au langage par ultrasons des dauphins ou la sensibilité des plantes. La dimension vibratoire du son sert de modèle dans une recherche de cohérence et d'alignement. Ses explorations scientifiques, artistiques et spirituelles offrent les clés d'une autre conscience de l'homme et de son environnement, vers une nouvelle signature écologique.

Auteur: De La Reberdiere Lucile

Info: https://www.inrees.com/articles/cymatique-son-systeme-nerveux-cosmos/

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furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

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