durée

Lagrange, dès 1788, dans sa "mécanique analytique", avait proposé de considérer le temps t comme une coordonnée analogue à celles x, y, z de l’espace. Mais c’est seulement la découverte de la métrique de l’espace-temps par Poincaré, en 1905, et son exploitation systématique par Minkowski, en 1908, qui ont révélé toute la portée d’une "spatialisation du temps" dans le champ entier de la physique mathématique sous l’égide de la théorie de la relativité.

Auteur: Costa de Beauregard Olivier

Info: Le temps déployé

[ conceptualisation algébrique ] [ historique ] [ géométrie multidimensionnelle ]

homme-machine

Si nous équipons l'ordinateur programmé de transducteurs* afin qu'il puisse interagir librement avec un environnement naturel et un environnement linguistique, ainsi que du pouvoir de faire des inférences, il est loin d'être évident que le théoricien (qui sait comment les transducteurs fonctionnent et donc à quoi ils répondent) dispose encore d'une marge de manœuvre pour attribuer une interprétation cohérente aux états fonctionnels afin de saisir les régularités psychologiques pertinentes du comportement. Si la réponse est que le théoricien ne dispose d'aucune latitude au-delà de l'indéterminisme inductif habituel de toutes les théories face à des données finies, il serait pervers de nier que ces états ont le contenu sémantique qui leur est attribué par la théorie.

Auteur: Pylyshyn Zenon Walter

Info: Computation et cognition, 1984, p. 44. *Le principe de transduction sémantique est avancé pour extraire et formaliser des énoncés du langage naturel. Dans un second temps, les propriétés algébriques de modèles de spécification sont étudiés pour définir une théorie permettant de vérifier la consistance des exigences d'un cahier des charges.

[ machine-homme ] [ instable secondéité ]

sentence

Qu'est-ce que la maxime en effet ? On peut dire en simplifiant que c'est une équation où les signes du premier terme se retrouvent exactement dans le second, mais avec un ordre différent. C'est pour cela que la maxime idéale peut toujours être retournée. Toute sa vérité est en elle-même et pas plus que la formule algébrique, elle n'a de correspondant dans l'expérience. On peut en faire ce que l'on veut jusqu'à épuisement des combinaisons possibles entre les termes donnés dans l'énoncé, que ces termes soient amour, haine, intérêt ou pitié, liberté ou justice. On peut même, et toujours comme en algèbre, tirer de l'une de ces combinaisons un pressentiment à l'égard de l'expérience. Mais rien de cela n'est réel parce que tout y est général.

Auteur: Camus Albert

Info: Essai critiques, Essais, la Pléiade, nrf Gallimard 1965 <Introduction à Chamfort, p.1100>

[ chiasme ]

collectivisme

Après avoir vaincu la Faim (ce qui algébriquement, nous assure la totalité des biens physiques), l'État Unique mena une campagne contre l'autre souverain du monde, contre l'Amour. Cet élément fut enfin vaincu, c'est-à-dire qu'il fut organisé, mathématisé, et, il y a environ neuf cents ans, notre "Lex Sexualis" fut proclamée : "N'importe quel numéro a le droit d'utiliser n'importe quel autre numéro à des fins sexuelles."

Le reste n'est qu'une question de technique. Chacun est soigneusement examiné dans les laboratoires du Bureau Sexuel. On détermine avec précision le nombre des hormones de votre sang et on établit pour vous un tableau de jours sexuels. Vous faites ensuite une demande, dans laquelle vous déclarez vouloir utiliser tel numéro, ou tels numéros. On vous délivre un petit carnet rose à souche et c'est tout.

Note 5.

Auteur: Zamiatine Evgueni

Info: Nous autres

[ futur-ancien ] [ planning familial ] [ rationalisation ] [ contrôle d'Etat ]

consensus

Le discours capitaliste, ce n'est pas le discours tenu par "des capitalistes", c'est une structure, posée en termes de mathèmes* par Lacan, où le sujet peut s’imaginer qu’en tant qu’auto-entrepreneur en puissance, il est le maître du langage ; le discours capitaliste c’est le discours hégémonique que vous entendez partout, tous les jours, dans tous les mass médias, le discours des gouvernements et de leur "opposition" institutionnalisée, le discours des entreprises, des marques, des pipoles qui "font l'actualité"... le Discours Capitaliste est au plan technique, dans son acception stricte lacanienne, le résultat de la copulation perverse du Discours Universitaire avec le Discours du Maître, une structure qui se reconnaît à ceci: le Réel en tant qu'il est l'impossible (l'un-possible) l'impossible à dire, l'impossible à représenter, l'impossible à imaginer est évacué, dénié, refoulé au profit de nouveaux mots (ou de mots arrachés à leur étymon: la novlangue), de formules, d'explications, de résolutions, d'injonctions, d'une idéologie plus ou moins larvée de la promesse, du Progrès à venir, d'un "retour sur investissement"... c'est possible! un jour... vous verrez... yes we can! ...aïe!

Auteur: Dubuis Santini Christian

Info: *formalisation algébrique des concepts de psychanalyse

[ illusion ] [ définition ] [ performatif ] [ profit refuge ]

biologie développementale

Une chréode est le terme utilisé par Waddington pour désigner ce qu'il appelle "canalisation du développement" d'un zygote, dont l'histogenèse est régie par "un nombre restreint d'états finaux parmi lesquels il n'y a que peu ou pas d'intermédiaires". Une chréode est donc une "trajectoire de changement développemental " qui implique les actions d'un "certain nombre de systèmes, ceux-ci étant reliés entre eux par une une relation de rétroaction de telle sorte que le système en développement, s'il est détourné dans une faible mesure de la chréode, peut se retrouver dans une situation où, s'il est légèrement détourné de la chréode, a tendance à y revenir". Pour René Thom, une chréode ne diffère d'un champ morphogénétique que par le "rôle privilégié attribué au temps", c'est-à-dire qu'elle est le terme d'une description développementale du champ.

(...) 

Selon Thom, les "systèmes cohérents de catastrophes" (c'est-à-dire les chréodes) se constellent en structures qui deviennent des "entités algébriques abstraites indépendantes de tout substrat". Il postule en outre que les transformations de notre espace-temps peuvent être dirigées ou "programmées" par une autre "structure algébrique" qui se situe elle-même entièrement en dehors de notre espace-temps.

Auteur: Marvell Leon

Info: The Physics of Transfigured Light: The Imaginal Realm and the Hermetic Foundations of Science

[ résonance morphique ] [ spéculation ] [ transformations spatio-temporelles ] [ transcendance ] [ biophysique ]

réalisme-idéalisme

Kant est amené à redonner au mot symbole le sens d’une représentation "concrète" et imagée, qui donc fait intervenir, quoique indirectement, l’intuition sensible (la perception), et à rejeter la terminologie des nouveaux logiciens, Leibniz en l’occurrence, qui tendent au contraire, à opposer connaissance "intuitive" et connaissance "symbolique", dans la mesure où les "symboles" mathématiques et algébriques ne sont précisément que les signes scripturaux et généralement arbitraires d’objets ou d’opérations dont nous ne pouvons avoir aucune connaissance sensible.

[…] Pour Kant, […] la valeur sensible ou "concrète", la valeur d’image qu’il faut garder au symbole, est en vérité indirecte, comme nous l’avons dit. Le symbole est bien une représentation imagée d’une réalité en elle-même invisible, mais il n’y a aucun rapport ontologique entre les deux, aucune présence du figuré dans le figurant. […] Au reste, la philosophie kantienne, en son entier, récuse toute possibilité d’une présentification (et non d’une simple présentation) de l’intelligible dans le sensible. […]

Pour Goethe, tout au contraire, le symbole se distingue de l’allégorie en ce que, tout en relevant comme elle du genre "signe", il en réalise une espèce particulière, celle où le signifiant s’identifie, d’une certaine manière, à ce qu’il signifie. C’est pourquoi le symbole est : 1°) naturel, alors que l’allégorie est artificielle ; 2°) intransitif (on doit chercher son sens en lui-même, dans sa présence immédiate, et non en dehors de lui) ; 3°) inépuisable et finalement indicible, alors que l’allégorie disparaît dans son explication.

Auteur: Borella Jean

Info: Dans "Histoire et théorie du symbole", éd. L'Harmattan, Paris, 2015, pages 71-72

[ différences ] [ points de vue opposés ]

intrications

Les scientifiques qui étudient le cerveau ont découvert que cet organe opère simultanément jusqu'à 11 dimensions différentes, créant des structures multivers qui présentent "un monde que nous n'avions jamais imaginé".

En utilisant un système mathématique avancé, les chercheurs ont pu montrer des structures architecturales qui apparaissent lorsque le cerveau doit traiter l'information, avant de se désintégrer et disparaitre. Leurs résultats, publiés dans la revue Frontiers in Computational Neuroscience, révèlent les processus extrêmement complexes impliqués dans la création de structures neuronales, ce qui pourrait aider à expliquer pourquoi le cerveau est si difficile à comprendre et à associer sa structure à sa fonction.

L'équipe, dirigée par des scientifiques de l'EPFL en Suisse, effectuait des recherches dans le cadre du projet Blue Brain, une initiative visant à créer une reconstruction biologiquement détaillée du cerveau humain. En travaillant d'abord sur les cerveaux des rongeurs, l'équipe a utilisé des simulations de supercalculateurs pour étudier les interactions complexes dans différentes de ses régions. Dans cette dernière étude, les chercheurs ont pu approfondir les structures du réseau neuronal du cerveau en utilisant la topologie algébrique - un système utilisé pour décrire des réseaux avec des espaces et des structures en constante évolution.

C'est la première fois que cette branche des mathématiques est appliquée aux neurosciences. "La topologie algébrique est comme un télescope et un microscope en même temps. Elle peut zoomer dans les réseaux pour trouver des structures cachées - les arbres dans la forêt - et voir les espaces vides - les clairières - tout en même temps", précise Kathryn Hess. Dans l'étude, les chercheurs ont effectué de multiples tests sur le tissu cérébral virtuel pour découvrir des structures cérébrales qui n'apparaitraient jamais par hasard. Ils ont ensuite effectué les mêmes expériences sur des tissus cérébraux réels afin de confirmer leurs résultats virtuels. Ils ont découvert que lorsqu'on présente un stimulus au tissu virtuel, des groupes de neurones forment une clique. Chaque neurone se connecte à tous les autres neurones de manière très spécifique pour produire un objet géométrique précis. Plus il y a de neurones dans une clique, plus les dimensions sont élevées. Dans certains cas, les chercheurs ont découvert des cliques avec jusqu'à 11 dimensions différentes.

Les structures s'assemblent en des enceintes qui forment des trous à haute dimension que l'équipe a nommé cavités. Une fois que le cerveau a traité l'information, la clique et la cavité disparaissent.

Multivers du cerveau. "L'apparition de ces cavités high-dimensionnelles lorsque le cerveau traite des informations signifie que les neurones du réseau réagissent aux stimuli d'une manière extrêmement organisée", a déclaré l'un des chercheurs, Ran Levi. "C'est comme si le cerveau réagit à un stimulus en construisant puis en rasant une tour de blocs multidimensionnels, en commençant par des tiges (1D), des planches (2D), puis des cubes (3D), puis des géométries plus complexes avec 4D, 5D, etc. La progression de l'activité à travers le cerveau ressemble à un château de sable multidimensionnel qui se matérialise hors du sable puis se désintègre ", a-t-il déclaré. Henry Markram, directeur de Blue Brain Project, avance que les résultats pourraient aider à expliquer pourquoi le cerveau est si difficile à comprendre. "Les mathématiques appliquées habituellement aux réseaux d'étude ne peuvent pas détecter les structures et les espaces à grande dimension que nous voyons maintenant clairement", a-t-il déclaré. "Nous avons découvert un monde que nous n'avions jamais imaginé. Il y a des dizaines de millions de ces objets, même dans un petit segment du cerveau, à travers sept dimensions. Dans certains réseaux, nous avons même trouvé des structures allant jusqu'à onze dimensions". Les résultats indiquent que le cerveau traite les stimuli en créant ces cliques et cavités complexes, de sorte que la prochaine étape sera de savoir si notre capacité à effectuer des tâches compliquées nécessite ou non la création de ces structures multidimensionnelles.

Dans une interview par courrier électronique avec Newsweek, Hess dit que la découverte nous rapproche de la compréhension d' "un des mystères fondamentaux de la neuroscience: le lien entre la structure du cerveau et la façon dont elle traite l'information". En utilisant la topologie algébrique l'équipe a pu découvrir "la structure hautement organisée cachée dans les modèles de tir apparemment chaotiques des neurones, une structure qui était invisible jusqu'à ce que nous l'examinions avec ce filtre mathématique particulier". Hess dit que les résultats suggèrent que lorsque nous examinons l'activité du cerveau avec des représentations à faible dimension, nous n'observons que l'activité réelle qui se déroule. Cela signifie que nous pouvons voir des informations, mais pas l'image complète. "Alors, dans un sens, nos découvertes peuvent expliquer pourquoi il a été si difficile de comprendre la relation entre la structure et la fonction du cerveau", explique-t-elle.  

"Le schéma de réponse stéréotypique que nous avons découvert indique que le circuit répond toujours aux stimuli en construisant une séquence de représentations géométriques commençant dans des dimensions faibles et en ajoutant des dimensions progressivement plus élevées, jusqu'à ce que l'accumulation s'arrête soudainement et s'effondre: une signature mathématique pour les réactions à stimuli. "Pour le travail futur, nous avons l'intention d'étudier le rôle de la plasticité - le renforcement et l'affaiblissement des connexions en réponse aux stimuli - avec les outils de topologie algébrique. La plasticité est fondamentale pour le processus mystérieux d'apprentissage, et nous espérons que nous pourrons donner un nouvel aperçu de ce phénomène", a-t-elle ajouté.

Auteur: Internet

Info: https://www.newsweek.com/brain-structure-hidden-architecture-multiverse-dimensions-how-brain-works-6243006/12/17 by Hannah Osborne - Ici FLP regrette sa volonté réitérée de ne pas insérer d'images dans les textes. Elles sont ici très parlantes.

[ simultanéïté ] [ réfléchir ] [ réflexion humaine modélisée ]

onomasiologie algébrique

Critique réciproque de l’intelligence artificielle et des sciences humaines

Je me souviens d’avoir participé, vers la fin des années 1980, à un Colloque de Cerisy sur les sciences cognitives auquel participaient quelques grands noms américains de la discipline, y compris les tenants des courants neuro-connexionnistes et logicistes. Parmi les invités, le philosophe Hubert Dreyfus (notamment l’auteur de What Computers Can’t Do, MIT Press, 1972) critiquait vertement les chercheurs en intelligence artificielle parce qu’ils ne tenaient pas compte de l’intentionnalité découverte par la phénoménologie. Les raisonnements humains réels, rappelait-il, sont situés, orientés vers une fin et tirent leur pertinence d’un contexte d’interaction. Les sciences de la cognition dominées par le courant logico-statistique étaient incapables de rendre compte des horizons de conscience qui éclairent l’intelligence. Dreyfus avait sans doute raison, mais sa critique ne portait pas assez loin, car ce n’était pas seulement la phénoménologie qui était ignorée. L’intelligence artificielle (IA) n’intégrait pas non plus dans la cognition qu’elle prétendait modéliser la complexité des systèmes symboliques et de la communication humaine, ni les médias qui la soutiennent, ni les tensions pragmatiques ou les relations sociales qui l’animent. A cet égard, nous vivons aujourd’hui dans une situation paradoxale puisque l’IA connaît un succès pratique impressionnant au moment même où son échec théorique devient patent.

Succès pratique, en effet, puisqu’éclate partout l’utilité des algorithmes statistiques, de l’apprentissage automatique, des simulations d’intelligence collective animale, des réseaux neuronaux et d’autres systèmes de reconnaissance de formes. Le traitement automatique du langage naturel n’a jamais été aussi populaire, comme en témoigne par exemple l’usage de Google translate. Le Web des données promu par le WWW consortium (dirigé par Sir Tim Berners-Lee). utilise le même type de règles logiques que les systèmes experts des années 1980. Enfin, les algorithmes de computation sociale mis en oeuvre par les moteurs de recherche et les médias sociaux montrent chaque jour leur efficacité.

Mais il faut bien constater l’échec théorique de l’IA puisque, malgré la multitude des outils algorithmiques disponibles, l’intelligence artificielle ne peut toujours pas exhiber de modèle convaincant de la cognition. La discipline a prudemment renoncé à simuler l’intelligence dans son intégralité. Il est clair pour tout chercheur en sciences humaines ayant quelque peu pratiqué la transdisciplinarité que, du fait de sa complexité foisonnante, l’objet des sciences humaines (l’esprit, la pensée, l’intelligence, la culture, la société) ne peut être pris en compte dans son intégralité par aucune des théories computationnelles de la cognition actuellement disponible. C’est pourquoi l’intelligence artificielle se contente dans les faits de fournir une boîte à outils hétéroclite (règles logiques, syntaxes formelles, méthodes statistiques, simulations neuronales ou socio-biologiques…) qui n’offrent pas de solution générale au problème d’une modélisation mathématique de la cognition humaine.

Cependant, les chercheurs en intelligence artificielle ont beau jeu de répondre à leurs critiques issus des sciences humaines : "Vous prétendez que nos algorithmes échouent à rendre compte de la complexité de la cognition humaine, mais vous ne nous en proposez vous-mêmes aucun pour remédier au problème. Vous vous contentez de pointer du doigt vers une multitude de disciplines, plus complexes les unes que les autres (philosophie, psychologie, linguistique, sociologie, histoire, géographie, littérature, communication…), qui n’ont pas de métalangage commun et n’ont pas formalisé leurs objets ! Comment voulez-vous que nous nous retrouvions dans ce bric-à-brac ?" Et cette interpellation est tout aussi sensée que la critique à laquelle elle répond.

Synthèse de l’intelligence artificielle et des sciences humaines

Ce que j’ai appris de Hubert Dreyfus lors de ce colloque de 1987 où je l’ai rencontré, ce n’était pas tant que la phénoménologie serait la clé de tous les problèmes d’une modélisation scientifique de l’esprit (Husserl, le père de la phénoménologie, pensait d’ailleurs que la phénoménologie – une sorte de méta-science de la conscience – était impossible à mathématiser et qu’elle représentait même le non-mathématisable par exellence, l’autre de la science mathématique de la nature), mais plutôt que l’intelligence artificielle avait tort de chercher cette clé dans la seule zone éclairée par le réverbère de l’arithmétique, de la logique et des neurones formels… et que les philosophes, herméneutes et spécialistes de la complexité du sens devaient participer activement à la recherche plutôt que de se contenter de critiquer. Pour trouver la clé, il fallait élargir le regard, fouiller et creuser dans l’ensemble du champ des sciences humaines, aussi opaque au calcul qu’il semble à première vue. Nous devions disposer d’un outil à traiter le sens, la signification, la sémantique en général, sur un mode computationnel. Une fois éclairé par le calcul le champ immense des relations sémantiques, une science de la cognition digne de ce nom pourrait voir le jour. En effet, pour peu qu’un outil symbolique nous assure du calcul des relations entre signifiés, alors il devient possible de calculer les relations sémantiques entre les concepts, entre les idées et entre les intelligences. Mû par ces considérations, j’ai développé la théorie sémantique de la cognition et le métalangage IEML : de leur union résulte la sémantique computationnelle.

Les spécialistes du sens, de la culture et de la pensée se sentent démunis face à la boîte à outils hétérogène de l’intelligence artificielle : ils n’y reconnaissent nulle part de quoi traiter la complexité contextuelle de la signification. C’est pourquoi la sémantique computationnelle leur propose de manipuler les outils algorithmiques de manière cohérente à partir de la sémantique des langues naturelles. Les ingénieurs s’égarent face à la multitude bigarrée, au flou artistique et à l’absence d’interopérabilité conceptuelle des sciences humaines. Remédiant à ce problème, la sémantique computationnelle leur donne prise sur les outils et les concepts foisonnants des insaisissables sciences humaines. En somme, le grand projet de la sémantique computationnelle consiste à construire un pont entre l’ingénierie logicielle et les sciences humaines de telle sorte que ces dernières puissent utiliser à leur service la puissance computationnelle de l’informatique et que celle-ci parvienne à intégrer la finesse herméneutique et la complexité contextuelle des sciences humaines. Mais une intelligence artificielle grande ouverte aux sciences humaines et capable de calculer la complexité du sens ne serait justement plus l’intelligence artificielle que nous connaissons aujourd’hui. Quant à des sciences humaines qui se doteraient d’un métalangage calculable, qui mobiliseraient l’intelligence collective et qui maîtriseraient enfin le médium algorithmique, elles ne ressembleraient plus aux sciences humaines que nous connaissons depuis le XVIIIe siècle : nous aurions franchi le seuil d’une nouvelle épistémè.

Auteur: Lévy Pierre

Info: https://pierrelevyblog.com/2014/10/08/intelligence-artificielle-et-sciences-humaines/

[ mathématification idiomatique ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]