harmonie sonore

Toi qui es musique, pourquoi la musique te rend-elle triste ?

Douceurs, entre elles, ne se combattent pas ; la joie se plaît à la joie :

Pourquoi aimes-tu ce que tu reçois sans émoi,

Et pourquoi recevoir avec plaisir ce qui t'ennuie ?

Si la concordance des sons justes,

Unis par marriage, offense ton oreille,

Ils te reprochent seulement de confondre

Ensemble les parties que tu dois jouer.

Ecoute une corde épouser sa prochaine :

Elles se répondent, par pression mutuelle ;

Ressemblant au père, à l'enfant, à la mère,

Qui, unis chantent une mélodie :

Un air sans parole, multiple, et non monotone,

Qui chante ceci : toi qui es seul, seras néant.

 

Auteur: Shakespeare William

Info: Sonnet 8 - ma traduction

[ vibration ] [ résonance ] [ agrément ] [ contrariété ] [ avertissement ] [ famille ] [ sonnet ] [ poème ]

mystère

Le cas des mésanges bleues, très documenté, met en évidence la propagation spontanée d'une habitude, celle de l'ouverture des bouteilles de lait par les oiseaux. Le phénomène a été enregistré pour la première fois en 1921 à Southampton (UK) et on a suivi sa propagation de 1930 à 1947. Or on sait que les mésanges ne s'aventurent pas à plus de quelques kilomètres de leur nid. La propagation de ce comportement s'est pourtant nettement étendue et accélérée dans le temps. De plus, en Suède, au Danemark et en Hollande, les bouteilles de lait avaient disparu pendant la guerre. Elles ne revinrent qu'en 1947, 1948. Il est tout à fait improbable que des mésanges ayant appris cette habitude aient survécu à la durée de la guerre... Tout ce que l'on peut dire, c'est que les habitudes acquises par certains animaux viennent faciliter l'acquisition des mêmes habitudes par d'autres animaux de la même espèce et cela même en l'absence de tout moyen de connexion physique connu.

Auteur: Sheldrake Rupert

Info:

[ sciences ] [ biophysique ] [ spéculation ] [ évolution ] [ résonance morphique ]

biologie développementale

Une chréode est le terme utilisé par Waddington pour désigner ce qu'il appelle "canalisation du développement" d'un zygote, dont l'histogenèse est régie par "un nombre restreint d'états finaux parmi lesquels il n'y a que peu ou pas d'intermédiaires". Une chréode est donc une "trajectoire de changement développemental " qui implique les actions d'un "certain nombre de systèmes, ceux-ci étant reliés entre eux par une une relation de rétroaction de telle sorte que le système en développement, s'il est détourné dans une faible mesure de la chréode, peut se retrouver dans une situation où, s'il est légèrement détourné de la chréode, a tendance à y revenir". Pour René Thom, une chréode ne diffère d'un champ morphogénétique que par le "rôle privilégié attribué au temps", c'est-à-dire qu'elle est le terme d'une description développementale du champ.

(...) 

Selon Thom, les "systèmes cohérents de catastrophes" (c'est-à-dire les chréodes) se constellent en structures qui deviennent des "entités algébriques abstraites indépendantes de tout substrat". Il postule en outre que les transformations de notre espace-temps peuvent être dirigées ou "programmées" par une autre "structure algébrique" qui se situe elle-même entièrement en dehors de notre espace-temps.

Auteur: Marvell Leon

Info: The Physics of Transfigured Light: The Imaginal Realm and the Hermetic Foundations of Science

[ résonance morphique ] [ spéculation ] [ transformations spatio-temporelles ] [ transcendance ] [ biophysique ]

santé

J'ai demandé ce matin à mon dentiste, belge francophone sympathique, s'il avait un avis sur les interactions entre les dents et les autres organes, ou si quelque spécialiste de l'odontostomatologie s'était spécialisé là-dedans. Il me dit qu'on avait désornais bien identifié le rapport de la diffusion dans le corps de ces bactéries anaérobies issues des inflammations des dents et de la machoire - particulièrement pour ce qui concerne les affections cardiaques. Il me parla ensuite d'Albert Roths. Et puis il me raconta ceci, ça l'avait marqué :

- Une de mes clientes hésitait depuis un certain temps à se faire enlever une dent (la no 36). Finalement elle m'a demandé de le faire. Le lendemain de cette intervention la dame  devait se faire opérer du dos, une opération assez lourde semble-t'il. Eh bien, tout fut annulé. Son dos ne la faisait plus souffrir et après inspection les médecins concernés décidèrent que l'opération était inutile. Selon sa patiente tout venait de cette dent 36.

C'est ici qu'on se dit que FLP pourrait être le siège d'une chaine - qui pourrait s'intituler énigmes odontalgiques", - chaîne qui rassemblerait les témoignages de ce genre, directement rapportés du terrain par les médecins spécialistes de la dentition et connexes.

Auteur: Mg

Info: 1 avril 2022

[ holistique ] [ somatotopie ] [ résonances dentaires ] [ médecine intégrée ]

sonorités

Il y a quelque ironie dans le fait d'écrire un livre sur ce que nos ancêtres connaissaient intuitivement, qui devait être un élément fondamental de la trame de leur vie et n'exigeait, aucune explication. Les premiers hommes entretenaient sans doute une relation intime avec leurs paysages sonores; ils avaient probablement appris à "lire" la biophonie pour en tirer des informations essentielles. Leur musique devait être une conversion complexe, sur plusieurs niveaux, des sons environnants, ceux de l'ensemble de la vie animale et du monde inanimé.

Notre musique reflète toujours les influences de notre milieu social, de notre éducation, de notre culture et des rapports à notre environnement physique. Pourtant, lorsque les compositeurs des trois derniers siècles ont fait valoir que leurs œuvres étaient inspirées par la nature, elles ne reflétaient en réalité que leur version idéalisée de celle-ci. Elle consistait pour l'essentiel en voix isolées, susceptibles d'être intégrées à leurs compositions de manière prédéterminée, mais ce n'étaient que de faibles échos de la nature. Comment notre musique a-t-elle pu se couper autant du monde naturel? Y a-t-il aujourd'hui quelqu'un capable de faire une musique traduisant nos liens ancestraux avec lui? À quoi notre musique ressemblerait-elle si nous pouvions exploiter toute l'expérience, toutes les techniques en notre possession et savions nous remettre en prise avec le règne animal, ne serait-ce que brièvement?

Auteur: Krause Bernie

Info: Le grand orchestre animal : Célébrer la symphonie de la nature

[ homme-animal ] [ question ] [ résonances ]

végétalo-ésotérisme

Ethnobiologiste et baroudeur en Amazonie, Romuald goûta de l'amer breuvage de l'ayahuasca (aujourd'hui courue par les avant-gardistes de la défonce chic) sous la tutelle du chant Icaros d'un chaman. "Son goût était extrêmement amer, et je sentis le liquide descendre dans mon estomac, occasionnant hauts de coeur et nausées. J'espérais ne pas être aussi malade que les autres fois où j'avais cru me vider littéralement de mes organes". Mais bientôt, la douleur s'atténue, laissant place aux visions. Des serpents se dessinent dans le ciel et la conscience éjacule du corps, vaquant au-dessus d'une forêt aux arbres souples comme des flagelles.

Plusieurs questions animent ce livre : les plantes psychotropes trouvent-elles un quelconque intérêt à offrir le plaisir hallucinatoire aux hommes ? Les visions qu'elles procurent ont-elles un sens, et si oui, lequel ? Ces questions étranges se sont imposées à Romuald lorsqu'il remarqua que les hallucinations suscitées par la consommation de DMT végétale sont constituées surtout par des motifs naturels alors que la consommation de DMT synthétique laisse plutôt voir des motifs abstraits. 

Les molécules psychotropes de ces plantes permettent-elles d'accéder à ce qui serait une "mémoire collective de l'espèce" ? On devinera sans mal que cette question est influencée par une lecture quelque peu distraite des hypothèses de l'inconscient collectif de Jung. Mais ne nous arrêtons pas à cette réticence théorique.

Romuald part de l'hypothèse pas inintéressante que les alcaloïdes des plantes psychotropes pourraient être considérés comme des exophéromones* qui annulent la barrière entre les espèces. Un peu comme l'orchidée qui ressemble à s'y méprendre à une abeille et qui dégage des phéromones sexuelles d'abeille pour se faire polliniser par le mâle (il ne suffit donc pas d'être bourré pour baiser n'importe quoi). 

De la même façon, nous dit Romuald, "les esprits des plantes que l'on nomme mères des végétaux sont, pour moi, la résultante de processus mimétiques biochimiques". Il se pourrait même qu'une plante condense en elle l'esprit de plusieurs autres plantes, comme l'ayahuasca que les indigènes considèrent comme l'esprit encyclopédique de la forêt vierge. Si vous avez lu cet incroyable illuminé qu'est Rupert Sheldrake, on peut avancer la notion de champ morphogénétique pour se faire une idée de ce que ça pourrait être, enfin c'est pas sûr non plus. 

Viennent ensuite les arguments proprement biochimiques. L'intentionnalité exophéromonale des plantes psychotropes à destination de l'esprit humain a pu être favorisée, ce qu'expliquent les bien pratiques lois de l'évolution darwinienne : "sous la forme des alcaloïdes messagers, qui lorsqu'ils se connectent à l'ADN neuronal se synchronisent avec un savoir homogène situé dans l'ADN non codant (ADN camelote). Cette mémoire et ce savoir s'expriment à la conscience par une mise en résonance de la stimulation de l'ADN des milliards de neurones de notre cerveau. Ce qui a pour effet de rendre conscient ce savoir sous forme d'images mentales et d'enseignements linguistiques conjoints avec notre cognition".

On en vient à une vision délirante de la réalité. Délirante, mais ô combien réjouissante, ne vous égarez pas ! Ce livre a connu un beau succès dans son milieu et on comprend aisément pourquoi. Les plantes auraient quelque chose à nous dire. Elles auraient traversé des temps immémoriaux pour nous transmettre leur secret – qui est aussi le secret de la vie, car quel citadin ne s'imagine pas aujourd'hui que la nature est la seule chose qui soit vraie ? Grâce à ces plantes, quelque chose comme le savoir universel et absolu deviendrait accessible. Rendez-vous compte ! Une perspective se dessine, la fin d'un égarement apparaît. Plus besoin de perdre du temps et de se fatiguer des vies entières pour creuser, chercher et comprendre dans des voies bien incertaines. le savoir est là et il ne demande, pour se laisser percer, rien d'autre que des investigations en biochimie et en psychologie jungienne, que l'on aura entre-temps redéfinie comme outil de traduction archétypale pour la communication transspéciste, qui succède bien logiquement aux joies asexuées de la réunion transsexiste. 

Les plantes psychotropes tenteraient-elles de réaliser ce que l'homme n'a jamais eu, ne serait-ce que l'idée, de réaliser : comprendre et s'unir à l'esprit des autres espèces vivantes de ce monde, réalisant ce vaste mensonge qu'est l'Unus Mundus ? Ce n'est pas parce que nous préférons ne pas manger de ce pain-là qu'il ne faut pas se poser sérieusement la question, ne serait-ce que pour rire aux larmes des espoirs touchants que nourrit parfois l'humanité.

Auteur: Arcé Alexandra

Info: Critique de l'ouvrage de R.Leterrier : Les plantes psychotropes et la conscience : L'enseignement de l'Ayahuasca. *langage des plantes, inventé par T. McKenna

[ résonances biophysiques ] [ épigénétique ]

épigénétique

AP : Nous allons à présent entrer dans la réalité elle-même. Si j’ai bien compris votre démarche générale, vous partez d’une interrogation sur la physique quantique et sur les énigmes qu’elle suggère, notamment quant au sens à attribuer à la matière. Puis, vous appliquerez à l’esprit ce que vous avez découvert à l’aide de la physique quantique.

ER : Oui, on peut résumer ainsi. Je m’appuie au départ sur deux mystères. Le premier, c’est celui de la conscience ; le second est celui de la physique quantique. Quand vous grattez un peu, vous voyez rapidement que l’interprétation officielle du "quantique" est bancale, it doesn’t fit. Il y a quelque chose qui ne va pas, et c’est la raison pour laquelle il y a eu de nombreuses interprétations de la théorie. J’aperçois sur votre bureau Le réel voilé de Bernard d’Espagnat, qui propose une interprétation. L’Ecole de Copenhague en propose une autre, et ainsi de suite : il existe de nombreuses interprétations, plus ou moins sérieuses. Je crois en tout cas que toutes souffrent d’une béance quelque part. Aucune n’est pleinement satisfaisante. Aucune, d’ailleurs, n’emporte le consensus franc et massif de la communauté scientifique. On n’a, au mieux, qu’un consensus mou ; qui peut varier au fil du temps. Pendant longtemps ce fut l’interprétation de Bohr (dite l’Ecole de Copenhague) qui régna. Une interprétation due à Hugh Everett, dite "des mondes multiples", a rallié les suffrages des cosmologistes et des astrophysiciens. Il semble qu’aujourd’hui une théorie, dite "de la décohérence", gagne du terrain ; jusqu’à ce qu’elle soit à sont tour supplantée par une autre. Nous avons des phénomènes de mode. C’est l’indice qu’il y a un malaise persistant. Ce dernier est loin d’avoir disparu.

Mon point de départ a été de me dire : si la réalité est psychophysique, s’il y a une strate de la réalité qu’on peut appeler le psychisme, qui serait le ferment qui conduit dans certaines conditions à la conscience, la fonction biologique sensori-motrice me montre alors qu’il y a une interface, un dialogue possible entre ces deux strates (que je suppose – c’est mon hypothèse fondamentale – non réductibles l’une à l’autre). Elle me montre qu’entre la dimension matérielle et la dimension psychique, il y a comme un double-crochet qui permet ce dialogue. Réfléchissons à ce que cela implique : ça veut dire que dans la matière, il y a un petit crochet qui dépasse. Ce crochet lui permet de dialoguer avec une altérité qui, puisqu’elle est psychique, n’est plus matérielle. Alors, de deux choses l’une : soit la physique n’a pas trouvé cette interface, elle nous ne pourrons pas aller plus loin tant que ce sera le cas. Soit elle l’a trouvée. Dans ce cas, cette interface se distingue par ses propriétés singulières. Singulières car… pas tout-à-fait matérielles ! Ces propriétés seront qualitativement différentes des propriétés usuelles de la matière, qui sont purement physico-physiques. A mon humble avis, nous sommes dans ce deuxième cas depuis que la physique est devenue quantique. Et c’est justement cela qui pose problème, parce que les physiciens n’ont pas compris. Ils sont prisonniers de leur paradigme matérialiste. Ils ne reconnaissent que le physico-physique, alors qu’il existe aussi le psycho-physique. S’ils ont trouvé cette interface, ils sont comme la poule qui a trouvé un couteau, ils sont face à de l’ininterprétable. Face à de l’inintelligible. Faute du référentiel conceptuel adéquat. Le référentiel matérialiste, trop étroit, crée des problèmes conceptuels quand on veut l’appliquer au psycho-physique. C’est inévitable.

Ensuite, il me fallait donner un contenu au psychisme et le caractériser dans sa singularité. C’est pourquoi je l’ai décrit comme "endo-causal". Contrairement au déterminisme, qui est objectif (et qui est exo-causal dans ma terminologie), l’endo-causalité est de l’ordre de la subjectivité. C’est un contenu privé, comme la privacy of mind des anglo-saxons. Elle est inaccessible à un observateur extérieur.

AP : Inaccessible à une description à la troisième personne.

ER : Exactement. Le contenu privé s’éprouve, il est exclusif à la première personne, au sujet lui-même. La seule traduction phénoménologique de l’endo-causalité – qui est une capacité de choix – est une rupture du déterminisme ; ça s’appelle aussi l’aléatoire. Je cherchais donc l’interface dans les phénomènes inintelligibles (ininterprétables) pour la physique quantique, prisonnière qu’elle est de son paradigme matérialiste. Et, simultanément, là où il y a de l’aléatoire vrai (non lié à notre ingorance). Cela m’amène à la réduction du paquet d’onde ainsi qu’aux sauts et transitions quantiques.

AP : D’accord ; pour être très clair, je me permets de vous citer à nouveau : il faut, dites-vous, "allouer à toute particule élémentaire un certain degré de psychisme." Cet énoncé est très fort, mais assez étonnant : ce que vous dites, en somme, c’est qu’une particule ne contient pas que de la matière, qu’elle contient une certaine forme de psychisme, de subjectivité, et l’ensemble de la matière et de la subjectivité, vous appelez cela "psychomatière". Cela permettrait d’expliquer le comportement des particules à l’aide d’une causalité de type subjectif, d’une "endo-causalité" immanente à chaque particule.

ER : Oui, et je comprend que cela puisse surprendre, voire choquer. Je prends la comparaison (ou la métaphore) de l’œuf dur sans sa coquille : vous ne voyez de lui que l’albumine coagulée. Mais à l’intérieur, il y a autre chose. Il a le jaune d’œuf ; mais il est indécelable. De même le ’psi’ est indécelable. Pourquoi ? Parce qu’il est latent la plupart du temps (dans l’état matière). Etre indécelable ne signifie pas être inexistant : prenez l’exemple du neutrino. Pas moins de 66 milliards d’entre eux traversent chaque seconde chaque cm² de notre peau. Heureusement pour nous, comme ils n’interagissent pas, ils sont sans effet – ils sont donc indécelables ! De la même manière, le ’psi’ en général n’interfère pas : tout se passe comme s’il n’existait pas.



 

Auteur: Ransford Emmanuel

Info: Sur actu-philosophia, interview de Thibaut Gress, 7.1 2010

[ résonance ] [ determinisme vs indeterminisme ] [ panpsychisme ] [ dualité sur-atomique ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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