stade du miroir

C’est pour autant que le tiers, le grand Autre, intervient dans le rapport du moi au petit autre, que quelque chose peut fonctionner, qui entraîne la fécondité du rapport narcissique lui-même.

Exemplifions-le dans un geste de l’enfant devant le miroir, geste qui est bien connu, et qui n’est pas difficile à observer. L’enfant qui est dans les bras de l’adulte est confronté exprès à son image. L’adulte, qu’il comprenne ou pas, ça l’amuse. Il faut donner alors toute son importance à ce geste de la tête de l’enfant qui, même après avoir été captivé par les premières ébauches de jeu qu’il fait devant sa propre image, se retourne vers l’adulte qui le porte, sans que l’on puisse dire sans doute ce qu’il en attend, si c’est de l’ordre d’un accord ou d’un témoignage, mais la référence à l’Autre vient jouer là une fonction essentielle. Ce n’est pas forcer cette fonction que de l’articuler de cette façon, et de mettre ainsi en place ce qui s’attachera respectivement au moi idéal et à l’idéal du moi dans la suite du développement du sujet.

De cet Autre, pour autant que l’enfant devant le miroir se retourne vers lui, que peut-il venir ? Nous disons qu’il n’en peut venir que le signe image de a, cette image spéculaire, désirable et destructrice à la fois, effectivement désirée ou non. Voilà ce qui vient de celui vers lequel le sujet se retourne, à la place même où il s’identifie à ce moment, en tant qu’il soutient son identification à l’image spéculaire.

Dès ce moment originel, nous est sensible le caractère que j’appellerai antagoniste, du moi idéal. A savoir que, déjà dans cette situation spéculaire, se dédouble, et cette fois au niveau de l’Autre, pour l’Autre et par l’Autre, le moi désiré, j’entends désiré par lui, et le moi authentique […] – à ceci près que dans cette situation originelle, c’est l’idéal qui est là, je parle du moi idéal et non pas de l’idéal du moi, et que l’authentique moi est, lui, à venir.

Auteur: Lacan Jacques

Info: Dans le "Séminaire, livre VIII - Le transfert" pages 411-412

[ déchirement ] [ intériorisation ] [ trait unaire ]

secondéités innovantes

Il y a cependant, on l’a suggéré, une différence importante entre Peirce et Whewell : ce dernier fait jouer un rôle premier aux controverses dans l’éclaircissement des notions scientifiques, et son intérêt se porte avant tout sur les documents qui attestent de ces controverses. Il y a là pour Peirce un danger et peut-être une lacune : le danger serait celui d’encourager l’esprit de "disputaillerie", qui est pour lui responsable en large part de la stérilité des scolastiques. La lacune est que Whewell n’entreprend pas de montrer, du point de vue du chercheur, comment une notion qui était auparavant obscure, devient claire dans l’esprit du chercheur, d’un terme à l’autre de la controverse. Si ce passage n’est pas un pur effet mécanique de l’affrontement d’opinions contraires, il y a ici une tâche descriptive pour la méthodologie, qui n’a pas été menée à bien par Whewell :

Cela attire à nouveau notre attention sur le fait que la théorie de Whewell est tirée de l’histoire publique de la science. Il est, je n’ai aucun doute là-dessus, vrai que les conceptions scientifiques se sont toujours éclaircies à travers des débats. Et cela est une vérité importante. Mais quel fut le processus mental, quels furent le changement et la loi de changement dans l’esprit individuel par lequel une idée obscure s’est éclaircie ? À ce sujet, Whewell ne nous dit rien, et en vérité il ne semble avoir aucune idée de la question. Un esprit de métaphysicien aurait été entièrement captivé (engrossed) par cette question à l’exclusion entière de celle qui concerne le processus public de controverse.*

Est-ce que Peirce annonce ici son intérêt pour ce qui se passe dans les croyances de l’individu, tout membre d’une communauté qu’il soit ? On est tenté de le penser. Précisons ce qui nous fait adopter cette hypothèse : si le progrès scientifique ne résultait finalement que de "petites variations" et d’un équivalent de la "sélection naturelle" au travers de controverses, sans contrepartie du côté de l’esprit individuel de l’enquêteur, on se demande bien pour qui les conceptions seraient finalement rendues plus claires et plus appropriées. Sans tomber dans le travers qui consisterait à psychologiser la logique de la science, il y a là une tâche descriptive qui est imposée à la philosophie fondée sur l’histoire des sciences : or l’indication des usages des nouvelles conceptions permettrait, par leur double aspect, à la fois public et privé, de mener à bien cette mission.



 

Auteur: Girel Mathias

Info: Extrait de https://www.cairn.info/revue-cahiers-philosophiques-2017-3-page-35.htm#no30 - *C:S: Peirce, NEM 2, 852, 1869, cité par Joseph Warren Dauben

[ tropismes idiosyncratiques ] [ clarification sémantique ]

thérapie

Chanter vaut mieux que parler pour calmer les bébés

Dans une nouvelle étude de l'Université de Montréal, des chercheuses ont observé que des bébés demeuraient calmes deux fois plus longtemps lorsqu'ils entendaient des chansons (qu'ils ne connaissaient pas) que lorsqu'ils entendaient quelqu'un leur parler.

"L'effet du chant et des paroles sur l'attention des enfants en bas âge a fait l'objet de nombreuses études, mais nous voulions savoir quelles étaient leurs répercussions sur la maîtrise des émotions, explique la professeure Isabelle Peretz, du Centre de recherche sur le cerveau, le langage et la musique, de l'UdeM. La capacité de maîtriser ses émotions n'est bien sûr pas très développée chez les bébés, et nous croyons que le chant aide les enfants, y compris ceux en bas âge, à renforcer cette faculté."

L'étude, publiée récemment dans Infancy, a porté sur 30 bébés en santé de six à neuf mois. Les humains sont naturellement captivés par la musique. Chez les adultes et les enfants plus âgés, cet effet d'"entraînement" se traduit par des comportements comme taper du pied, hocher la tête ou battre la mesure. "Chez les enfants en bas âge, il n'y a aucune synchronisation entre leurs mouvements et la musique parce qu'ils n'en ont pas les capacités motrices ou mentales, signale la professeure Peretz. Notre étude visait en partie à déterminer s'ils avaient les capacités mentales pour ressentir cet effet. Selon nos conclusions, les bébés se laissaient emporter par la musique, ce qui permet de croire qu'ils possèdent les aptitudes mentales pour se laisser "entraîner"." Les chercheuses ont utilisé divers moyens pour s'assurer que la réaction des bébés à la musique n'était pas influencée par d'autres facteurs, comme la sensibilité à la voix de leur mère.

En premier lieu, elles ont fait entendre aux bébés des enregistrements de paroles (en langage "de bébé" et d'adulte) et de musique en turc pour que les sons ne leur soient pas familiers. "Les chansons ont été choisies dans le répertoire turc, et non occidental. Il s'agit d'un aspect important de cette recherche, car des travaux ont démontré que les chansons que nous chantons aux jeunes enfants se trouvent dans une tonalité précise avec un tempo particulier, souligne Mariève Corbeil, première auteure de l'étude, également de l'Université de Montréal. Tous les parents savent qu'ils n'auront pas beaucoup de succès en chantant des chansons de Rihanna à leur bébé!"

Deuxièmement, les bébés n'ont été soumis à aucun autre stimulus. "Les parents se trouvaient dans la salle, mais ils étaient assis derrière leur bébé. Leurs expressions faciales ne pouvaient donc pas influer sur celles de l'enfant, mentionne Mme Corbeil. Nous avons aussi fait entendre aux bébés des enregistrements plutôt que des chansons ou des paroles en direct afin que tous les enfants soient soumis à des prestations comparables et qu'aucune interaction n'ait lieu entre le bébé et la personne qui chante ou qui parle." Une fois leur enfant calme, les parents prenaient place sur des chaises derrière le bébé, et l'expérience commençait. Les chercheuses faisaient jouer les enregistrements jusqu'à ce que le bébé manifeste les signes avant-coureurs de pleurs : abaissement des sourcils, déplacement latéral des coins de la bouche, ouverture de la bouche et soulèvement des joues. Ces expressions faciales sont les signes de chagrin les plus courants.

"Quand ils entendaient une chanson turque, les bébés restaient calmes pendant environ neuf minutes en moyenne. En entendant quelqu'un parler, ils demeuraient calmes deux fois moins longtemps, qu'il s'agisse ou non de langage de bébé", indique Mme Corbeil. Le langage de bébé les calmait pendant un peu plus de quatre minutes en moyenne comparativement à un peu moins de quatre minutes pour le langage d'adulte.

"Le peu de différence entre ces deux types de paroles nous a surprises", poursuit-elle. Les chercheuses ont ensuite vérifié leurs conclusions en soumettant un autre groupe d'enfants à des enregistrements de mères chantant dans une langue familière (le français). Elles ont constaté les mêmes effets. "Nos conclusions laissent peu de doutes sur l'efficacité des rondes enfantines pour apaiser les bébés pendant une période prolongée, affirme la professeure Peretz.

Même dans l'environnement plutôt stérile de la salle d'expérience - murs noirs, lumière tamisée, absence de jouets et de toute stimulation visuelle ou tactile -, la voix d'une femme qui chante maintenait le bien-être des bébés plus longtemps que la parole." Mme Corbeil ajoute : "Les bébés écoutaient les chansons en turc pendant près de neuf minutes avant de présenter les signes annonçant qu'ils allaient pleurer. Ce délai était de six minutes dans le cas des chansons en français, soit la langue avec laquelle ils étaient familiarisés. Ces résultats montrent l'importance intrinsèque de la musique et des chansons pour enfants en particulier, qui satisfont notre désir de simplicité et notre attirance pour la répétition."

Les conclusions de cette étude sont importantes, car les mères, surtout en Occident, parlent beaucoup plus qu'elles ne chantent à leurs enfants et elles ne mettent donc pas à profit les vertus du chant quant à la maîtrise des émotions. Les chercheuses croient que le chant pourrait être particulièrement utile aux parents qui vivent des difficultés socioéconomiques ou émotionnelles. "Lorsque leurs enfants manifestent des signes d'irritation, les parents cherchent habituellement à les réconforter. Toutefois, ces signes provoquent parfois de la frustration et de la colère chez certains parents à risque, ce qui peut mener à des réactions insensibles et, dans les pires cas, à de la négligence ou de la violence, note la professeure Peretz. Les parents à risque dont s'occupent les organismes de services sociaux pourraient être encouragés à faire jouer des chansons à leurs jeunes enfants et, mieux encore, à leur en chanter."

Auteur: Corbeil Mariève

Info: Ecrit avec Sandra Trehub et Isabelle Peretz. Elle ont publié, Singing Delays the Onset of Infant Distress, dans Infancy le 22 septembre 2015. Elles sont affiliées au Laboratoire international de recherche sur le cerveau, la musique et le son de l'Université de Montréal et au Centre de recherche sur le cerveau, le langage et la musique

[ éducation ] [ nourrisson ] [ musique ] [ hypnose sonore ]

symphonie des équations

Des " murmurations " de courbe elliptique découvertes grâce à l'IA prennent leur envol

Les mathématiciens s’efforcent d’expliquer pleinement les comportements inhabituels découverts grâce à l’intelligence artificielle.

(photo - sous le bon angle les courbes elliptiques peuvent se rassembler comme les grands essaims d'oiseaux.)

Les courbes elliptiques font partie des objets les plus séduisants des mathématiques modernes. Elle ne semblent pas compliqués, mais  forment une voie express entre les mathématiques que beaucoup de gens apprennent au lycée et les mathématiques de recherche dans leur forme la plus abstruse. Elles étaient au cœur de la célèbre preuve du dernier théorème de Fermat réalisée par Andrew Wiles dans les années 1990. Ce sont des outils clés de la cryptographie moderne. Et en 2000, le Clay Mathematics Institute a désigné une conjecture sur les statistiques des courbes elliptiques comme l'un des sept " problèmes du prix du millénaire ", chacun d'entre eux étant récompensé d'un million de dollars pour sa solution. Cette hypothèse, formulée pour la première fois par Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer dans les années 1960, n'a toujours pas été prouvée.

Comprendre les courbes elliptiques est une entreprise aux enjeux élevés qui est au cœur des mathématiques. Ainsi, en 2022, lorsqu’une collaboration transatlantique a utilisé des techniques statistiques et l’intelligence artificielle pour découvrir des modèles complètement inattendus dans les courbes elliptiques, cela a été une contribution bienvenue, bien qu’inattendue. "Ce n'était qu'une question de temps avant que l'apprentissage automatique arrive à notre porte avec quelque chose d'intéressant", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study et à l'Université de Princeton. Au départ, personne ne pouvait expliquer pourquoi les modèles nouvellement découverts existaient. Depuis lors, dans une série d’articles récents, les mathématiciens ont commencé à élucider les raisons derrière ces modèles, surnommés " murmures " en raison de leur ressemblance avec les formes fluides des étourneaux en troupeaux, et ont commencé à prouver qu’ils ne doivent pas se produire uniquement dans des cas particuliers. exemples examinés en 2022, mais dans les courbes elliptiques plus généralement.

L'importance d'être elliptique

Pour comprendre ces modèles, il faut jeter les bases de ce que sont les courbes elliptiques et de la façon dont les mathématiciens les catégorisent.

Une courbe elliptique relie le carré d'une variable, communément écrite comme y , à la troisième puissance d'une autre, communément écrite comme x : y 2  =  x 3  + Ax + B , pour une paire de nombres A et B , tant que A et B remplissent quelques conditions simples. Cette équation définit une courbe qui peut être représentée graphiquement sur le plan, comme indiqué ci-dessous. (Photo : malgré la similitude des noms, une ellipse n'est pas une courbe elliptique.)

Introduction

Bien qu’elles semblent simples, les courbes elliptiques s’avèrent être des outils incroyablement puissants pour les théoriciens des nombres – les mathématiciens qui recherchent des modèles dans les nombres entiers. Au lieu de laisser les variables x et y s'étendre sur tous les nombres, les mathématiciens aiment les limiter à différents systèmes numériques, ce qu'ils appellent définir une courbe " sur " un système numérique donné. Les courbes elliptiques limitées aux nombres rationnels – nombres qui peuvent être écrits sous forme de fractions – sont particulièrement utiles. "Les courbes elliptiques sur les nombres réels ou complexes sont assez ennuyeuses", a déclaré Sarnak. "Seuls les nombres rationnels sont profonds."

Voici une façon qui est vraie. Si vous tracez une ligne droite entre deux points rationnels sur une courbe elliptique, l’endroit où cette ligne coupe à nouveau la courbe sera également rationnel. Vous pouvez utiliser ce fait pour définir " addition " dans une courbe elliptique, comme indiqué ci-dessous. 

(Photo -  Tracez une ligne entre P et Q . Cette ligne coupera la courbe en un troisième point, R . (Les mathématiciens ont une astuce spéciale pour gérer le cas où la ligne ne coupe pas la courbe en ajoutant un " point à l'infini ".) La réflexion de R sur l' axe des x est votre somme P + Q . Avec cette opération d'addition, toutes les solutions de la courbe forment un objet mathématique appelé groupe.)

Les mathématiciens l'utilisent pour définir le " rang " d'une courbe. Le rang d'une courbe est lié au nombre de solutions rationnelles dont elle dispose. Les courbes de rang 0 ont un nombre fini de solutions. Les courbes de rang supérieur ont un nombre infini de solutions dont la relation les unes avec les autres à l'aide de l'opération d'addition est décrite par le rang.

Les classements (rankings) ne sont pas bien compris ; les mathématiciens n'ont pas toujours le moyen de les calculer et ne savent pas quelle taille ils peuvent atteindre. (Le plus grand rang exact connu pour une courbe spécifique est 20.) Des courbes d'apparence similaire peuvent avoir des rangs complètement différents.

Les courbes elliptiques ont aussi beaucoup à voir avec les nombres premiers, qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En particulier, les mathématiciens examinent les courbes sur des corps finis – des systèmes d’arithmétique cyclique définis pour chaque nombre premier. Un corps fini est comme une horloge dont le nombre d'heures est égal au nombre premier : si vous continuez à compter vers le haut, les nombres recommencent. Dans le corps fini de 7, par exemple, 5 plus 2 est égal à zéro et 5 plus 3 est égal à 1.

(Photo : Les motifs formés par des milliers de courbes elliptiques présentent une similitude frappante avec les murmures des étourneaux.)

Une courbe elliptique est associée à une séquence de nombres, appelée a p , qui se rapporte au nombre de solutions qu'il existe à la courbe dans le corps fini défini par le nombre premier p . Un p plus petit signifie plus de solutions ; un p plus grand signifie moins de solutions. Bien que le rang soit difficile à calculer, la séquence a p est beaucoup plus simple.

Sur la base de nombreux calculs effectués sur l'un des tout premiers ordinateurs, Birch et Swinnerton-Dyer ont conjecturé une relation entre le rang d'une courbe elliptique et la séquence a p . Quiconque peut prouver qu’il avait raison gagnera un million de dollars et l’immortalité mathématique.

Un modèle surprise émerge

Après le début de la pandémie, Yang-Hui He , chercheur au London Institute for Mathematical Sciences, a décidé de relever de nouveaux défis. Il avait étudié la physique à l'université et avait obtenu son doctorat en physique mathématique du Massachusetts Institute of Technology. Mais il s'intéressait de plus en plus à la théorie des nombres et, étant donné les capacités croissantes de l'intelligence artificielle, il pensait essayer d'utiliser l'IA comme un outil permettant de trouver des modèles inattendus dans les nombres. (Il avait déjà utilisé l'apprentissage automatique pour classifier les variétés de Calabi-Yau , des structures mathématiques largement utilisées en théorie des cordes.

(Photo ) Lorsque Kyu-Hwan Lee (à gauche) et Thomas Oliver (au centre) ont commencé à travailler avec Yang-Hui He (à droite) pour utiliser l'intelligence artificielle afin de trouver des modèles mathématiques, ils s'attendaient à ce que ce soit une plaisanterie plutôt qu'un effort qui mènerait à de nouveaux découvertes. De gauche à droite : Grace Lee ; Sophie Olivier ; gracieuseté de Yang-Hui He.

En août 2020, alors que la pandémie s'aggravait, l'Université de Nottingham l'a accueilli pour une conférence en ligne . Il était pessimiste quant à ses progrès et quant à la possibilité même d’utiliser l’apprentissage automatique pour découvrir de nouvelles mathématiques. "Son récit était que la théorie des nombres était difficile parce qu'on ne pouvait pas apprendre automatiquement des choses en théorie des nombres", a déclaré Thomas Oliver , un mathématicien de l'Université de Westminster, présent dans le public. Comme il se souvient : " Je n'ai rien trouvé parce que je n'étais pas un expert. Je n’utilisais même pas les bons éléments pour examiner cela."

Oliver et Kyu-Hwan Lee , mathématicien à l'Université du Connecticut, ont commencé à travailler avec He. "Nous avons décidé de faire cela simplement pour apprendre ce qu'était l'apprentissage automatique, plutôt que pour étudier sérieusement les mathématiques", a déclaré Oliver. "Mais nous avons rapidement découvert qu'il était possible d'apprendre beaucoup de choses par machine."

Oliver et Lee lui ont suggéré d'appliquer ses techniques pour examiner les fonctions L , des séries infinies étroitement liées aux courbes elliptiques à travers la séquence a p . Ils pourraient utiliser une base de données en ligne de courbes elliptiques et de leurs fonctions L associées , appelée LMFDB , pour former leurs classificateurs d'apprentissage automatique. À l’époque, la base de données contenait un peu plus de 3 millions de courbes elliptiques sur les rationnels. En octobre 2020, ils avaient publié un article utilisant les informations glanées à partir des fonctions L pour prédire une propriété particulière des courbes elliptiques. En novembre, ils ont partagé un autre article utilisant l’apprentissage automatique pour classer d’autres objets en théorie des nombres. En décembre, ils étaient capables de prédire les rangs des courbes elliptiques avec une grande précision.

Mais ils ne savaient pas vraiment pourquoi leurs algorithmes d’apprentissage automatique fonctionnaient si bien. Lee a demandé à son étudiant de premier cycle Alexey Pozdnyakov de voir s'il pouvait comprendre ce qui se passait. En l’occurrence, la LMFDB trie les courbes elliptiques en fonction d’une quantité appelée conducteur, qui résume les informations sur les nombres premiers pour lesquels une courbe ne se comporte pas correctement. Pozdnyakov a donc essayé d’examiner simultanément un grand nombre de courbes comportant des conducteurs similaires – disons toutes les courbes comportant entre 7 500 et 10 000 conducteurs.

Cela représente environ 10 000 courbes au total. Environ la moitié d'entre eux avaient le rang 0 et l'autre moitié le rang 1. (Les rangs supérieurs sont extrêmement rares.) Il a ensuite fait la moyenne des valeurs de a p pour toutes les courbes de rang 0, a fait la moyenne séparément de a p pour toutes les courbes de rang 1 et a tracé la résultats. Les deux ensembles de points formaient deux vagues distinctes et facilement discernables. C’est pourquoi les classificateurs d’apprentissage automatique ont été capables de déterminer correctement le rang de courbes particulières.

" Au début, j'étais simplement heureux d'avoir terminé ma mission", a déclaré Pozdnyakov. "Mais Kyu-Hwan a immédiatement reconnu que ce schéma était surprenant, et c'est à ce moment-là qu'il est devenu vraiment excitant."

Lee et Oliver étaient captivés. "Alexey nous a montré la photo et j'ai dit qu'elle ressemblait à ce que font les oiseaux", a déclaré Oliver. "Et puis Kyu-Hwan l'a recherché et a dit que cela s'appelait une murmuration, puis Yang a dit que nous devrions appeler le journal ' Murmurations de courbes elliptiques '."

Ils ont mis en ligne leur article en avril 2022 et l’ont transmis à une poignée d’autres mathématiciens, s’attendant nerveusement à se faire dire que leur soi-disant « découverte » était bien connue. Oliver a déclaré que la relation était si visible qu'elle aurait dû être remarquée depuis longtemps.

Presque immédiatement, la prépublication a suscité l'intérêt, en particulier de la part d' Andrew Sutherland , chercheur scientifique au MIT et l'un des rédacteurs en chef de la LMFDB. Sutherland s'est rendu compte que 3 millions de courbes elliptiques n'étaient pas suffisantes pour atteindre ses objectifs. Il voulait examiner des gammes de conducteurs beaucoup plus larges pour voir à quel point les murmures étaient robustes. Il a extrait des données d’un autre immense référentiel d’environ 150 millions de courbes elliptiques. Toujours insatisfait, il a ensuite extrait les données d'un autre référentiel contenant 300 millions de courbes.

"Mais même cela ne suffisait pas, j'ai donc calculé un nouvel ensemble de données de plus d'un milliard de courbes elliptiques, et c'est ce que j'ai utilisé pour calculer les images à très haute résolution", a déclaré Sutherland. Les murmures indiquaient s'il effectuait en moyenne plus de 15 000 courbes elliptiques à la fois ou un million à la fois. La forme est restée la même alors qu’il observait les courbes sur des nombres premiers de plus en plus grands, un phénomène appelé invariance d’échelle. Sutherland s'est également rendu compte que les murmures ne sont pas propres aux courbes elliptiques, mais apparaissent également dans des fonctions L plus générales . Il a écrit une lettre résumant ses découvertes et l'a envoyée à Sarnak et Michael Rubinstein de l'Université de Waterloo.

"S'il existe une explication connue, j'espère que vous la connaîtrez", a écrit Sutherland.

Ils ne l'ont pas fait.

Expliquer le modèle

Lee, He et Oliver ont organisé un atelier sur les murmurations en août 2023 à l'Institut de recherche informatique et expérimentale en mathématiques (ICERM) de l'Université Brown. Sarnak et Rubinstein sont venus, tout comme l'étudiante de Sarnak, Nina Zubrilina .

LA THÉORIE DU NOMBRE

Zubrilina a présenté ses recherches sur les modèles de murmuration dans des formes modulaires , des fonctions complexes spéciales qui, comme les courbes elliptiques, sont associées à des fonctions L. Dans les formes modulaires dotées de grands conducteurs, les murmurations convergent vers une courbe nettement définie, plutôt que de former un motif perceptible mais dispersé. Dans un article publié le 11 octobre 2023, Zubrilina a prouvé que ce type de murmuration suit une formule explicite qu'elle a découverte.

" La grande réussite de Nina est qu'elle lui a donné une formule pour cela ; Je l’appelle la formule de densité de murmuration Zubrilina ", a déclaré Sarnak. "En utilisant des mathématiques très sophistiquées, elle a prouvé une formule exacte qui correspond parfaitement aux données."

Sa formule est compliquée, mais Sarnak la salue comme un nouveau type de fonction important, comparable aux fonctions d'Airy qui définissent des solutions aux équations différentielles utilisées dans divers contextes en physique, allant de l'optique à la mécanique quantique.

Bien que la formule de Zubrilina ait été la première, d'autres ont suivi. "Chaque semaine maintenant, un nouvel article sort", a déclaré Sarnak, "utilisant principalement les outils de Zubrilina, expliquant d'autres aspects des murmurations."

(Photo - Nina Zubrilina, qui est sur le point de terminer son doctorat à Princeton, a prouvé une formule qui explique les schémas de murmuration.)

Jonathan Bober , Andrew Booker et Min Lee de l'Université de Bristol, ainsi que David Lowry-Duda de l'ICERM, ont prouvé l'existence d'un type différent de murmuration sous des formes modulaires dans un autre article d'octobre . Et Kyu-Hwan Lee, Oliver et Pozdnyakov ont prouvé l'existence de murmures dans des objets appelés caractères de Dirichlet qui sont étroitement liés aux fonctions L.

Sutherland a été impressionné par la dose considérable de chance qui a conduit à la découverte des murmurations. Si les données de la courbe elliptique n'avaient pas été classées par conducteur, les murmures auraient disparu. "Ils ont eu la chance de récupérer les données de la LMFDB, qui étaient pré-triées selon le chef d'orchestre", a-t-il déclaré. « C'est ce qui relie une courbe elliptique à la forme modulaire correspondante, mais ce n'est pas du tout évident. … Deux courbes dont les équations semblent très similaires peuvent avoir des conducteurs très différents. Par exemple, Sutherland a noté que y 2 = x 3 – 11 x + 6 a un conducteur 17, mais en retournant le signe moins en signe plus, y 2 = x 3  + 11 x + 6 a un conducteur 100 736.

Même alors, les murmures n'ont été découverts qu'en raison de l'inexpérience de Pozdniakov. "Je ne pense pas que nous l'aurions trouvé sans lui", a déclaré Oliver, "parce que les experts normalisent traditionnellement a p pour avoir une valeur absolue de 1. Mais il ne les a pas normalisés… donc les oscillations étaient très importantes et visibles."

Les modèles statistiques que les algorithmes d’IA utilisent pour trier les courbes elliptiques par rang existent dans un espace de paramètres comportant des centaines de dimensions – trop nombreuses pour que les gens puissent les trier dans leur esprit, et encore moins les visualiser, a noté Oliver. Mais même si l’apprentissage automatique a découvert les oscillations cachées, " ce n’est que plus tard que nous avons compris qu’il s’agissait de murmures ".



 

Auteur: Internet

Info: Paul Chaikin pour Quanta Magazine, 5 mars 2024 - https://www.quantamagazine.org/elliptic-curve-murmurations-found-with-ai-take-flight-20240305/?mc_cid=797b7d1aad&mc_eid=78bedba296

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