Gaule

Ville de province. Dans son discours inaugural d’un festival littéraire, une élue municipale dit à un groupe d’enfants : "Quelle chance vous avez, d’apprendre notre si belle langue !" et mon sang ne fait qu’un tour. Comme je dois prendre la parole ensuite, j’en profite pour dire aux enfants que certes, le français est une belle langue mais qu’on peut en dire autant de toutes les langues ; que disposer d’une belle langue ne suffit pas, encore faut-il s’en servir pour dire des choses intelligentes ; qu’il est tout à fait possible de se servir d’une belle langue pour dire des choses débiles ; et que, plus on connaît de langues, plus on est susceptible de dire des choses intelligentes. Maurice Druon, feu le secrétaire perpétuel de l’Académie française : "Prenez un traité rédigé en français : à condition que le français en soit correct, ce traité est clair, et finalement il est bref, il est compréhensible de tous, et son interprétation ne donne pas lieu à des contestations. Il n’en va pas de même de l’anglais." M. Druon parlait-il ­l’anglais ? Cela m’étonnerait. Il n’y a bien sûr pas une mais d’innombrables langues françaises : vocabulaire, syntaxe, prononciation et débit varient selon le pays (180 millions de locuteurs à l’étranger, contre seulement 60 dans l’Hexagone), le quartier, la région, l’origine, le milieu social des locuteurs. Ici je ne parlerai que de celle qui se diffuse bruyamment dans l’air de la France métropolitaine, le français politico-médiatico-culturel, car il me semble que s’y préservent et s’y perpétuent, de façon subtile mais tenace, les violences et injustices de l’Histoire française. Cette langue-là est une reine : belle, puissante et intarissable. Pas moyen d’en placer une. Elle est fière d’elle-même, de ses prouesses, ses tournures et ses atours, et valorise la brillance au détriment du sens et de l’émotion vraie. Cette tendance, surprenante pour qui n’a jamais vécu en monarchie, est très présente dans les médias français encore aujourd’hui. Cela va avec les ors de la République, les sabres de la Garde républicaine, le luxe des dîners à l’Élysée. "Parfait", soupire versaillamment, dans une pub télé récente, un père à propos d’un camembert quelconque. "Parfaitement parfait", approuve son gamin, avec le même air d’aristo snobinard. Ils sont blancs, blonds, riches, c’est un gag mais ce n’est pas un gag, it makes me gag, ça me reste en travers de la gorge, je n’achèterai pas ce camembert-là. Mme de Staël trouvait nulles les soirées mondaines à Berlin, car en allemand il faut attendre la fin de la phrase pour en connaître le verbe : pas moyen de couper la parole à son interlocuteur, vous imaginez, cher, comme on s’ennuie ! Les Français "parlent comme un livre" et, des années durant, j’ai été portée, transportée par leur passion du verbe. Aujourd’hui leur prolixité m’épuise. Tant d’arrogance, tant d’agressivité ! Comment font-ils pour ne pas entendre leur propre morgue ? Regardez ceux qui, derrière les guichets des mairies, postes et administrations, accueillent les citoyens : c’était bien la peine de faire la Révolution pour se voir encore traité ainsi de haut ! Véritablement elle est guindée, cette langue française, et induit des attitudes guindées. À vingt ans, venue à Paris pour un an, j’écoute le professeur expliquer à la classe l’usage du subjonctif. Ouh, que c’est subtil ! Dès lors que plane sur un verbe le moindre doute, on le frappe d’un subjonctif. Bang ! Faut que tu fasses. Aurait fallu que tu viennes. Mais ensuite on s’empêtre dans des temps du verbe théoriques, indicibles, ridicules, n’existant que pour le plaisir de recaler les gosses aux examens : aurait fallu qu’il visse, n’eût pas fallu qu’il vinsse, Alphonse Allais s’en est moqué dans sa Complainte amoureuse : "Fallait-il que je vous aimasse […] Pour que vous m’assassinassiez ?" Jamais pu supporter la fausseté de ces temps morts, faits pour aider les prétendus Immortels à passer le temps. Jamais même pu supporter, moi, pour ma propre écriture, le passé simple. Je n’y crois pas, c’est tout. Il entra. Elle ferma. La marquise sortit à cinq heures. Non, je n’y arrive pas, ne veux pas y arriver. Quand je traduis vers le français mes propres textes ou ceux des autres, le prétérit anglais (identique dans la langue quotidienne et la littérature la plus splendide) me manque. Pour la plupart des verbes anglais, il suffit d’un mini-claquement de langue contre le palais, petit d par lequel on ­signifie que l’incident est clos. "He entered. She closed". Parfois c’est un peu plus compliqué, The marquess non pas "leaved" mais "left the house at five". À mon goût, il y a trop de marquises dans le passé simple, et dans Proust. J’intègre la langue française post-Seconde Guerre, post-Nouveau Roman, sautant à pieds joints dans Sarraute, Duras, Beckett, Camus (quatre auteurs ayant grandi loin de l’Hexagone, entourés d’une langue autre que la française). "Je vais le leur arranger, leur charabia", promet Beckett dans L’Innommable... et il tient largement sa promesse. Le mieux qui puisse arriver à la langue française aujourd’hui, c’est qu’elle se laisse irriguer, assouplir, "arranger" par des rythmes et syntaxes venus d’ailleurs, qu’elle cesse de se comporter en reine agacée et se mette à l’écoute de ses peuples.

Auteur: Huston Nancy

Info: La morgue de la reine, https://le1hebdo.fr, février 2018

[ idiome ] [ seconde langue ] [ langue française ] [ spécificité ] [ gaulois ]

exobiologie

Les extraterrestres sont-ils là sous nos yeux ?

Difficile de détecter quelque chose sans avoir aucune idée de ce que c'est.

Cette année, plusieurs missions sont en quête de vie sur la planète rouge. Mais reconnaîtrions-nous des extraterrestres si nous les trouvions ? En juillet, trois missions non habitées se sont envolées vers Mars : de Chine (Tianwen-1), depuis les États-Unis (Mars 2020 Perseverance Rover de la Nasa) et des Émirats arabes unis (Hope). Les missions chinoise et américaine sont équipées d'atterrisseurs qui rechercheront des signes de vie actuelle ou passée sur Mars. La Nasa prévoit également d'envoyer sa sonde Europa Clipper sur la lune de Jupiter, Europa, et l'atterrisseur robotisé Dragonfly sur la lune de Saturne, Titan. Ces deux lunes sont considérées comme des terrains de chasse prometteurs pour la vie dans notre système solaire, tout comme les océans souterrains d'Encelade, la lune glacée de Saturne.

En attendant, nous pouvons désormais entrevoir la composition chimique des atmosphères des planètes qui orbitent autour d'autres étoiles (exoplanètes), dont plus de 4 000 sont aujourd'hui connues. Certains espèrent que ces études pourraient révéler d'éventuelles signatures de vie.

Mais ces recherches peuvent-elles être efficaces si nous n'avons pas une idée claire de ce qu'est la "vie" ? La définition officieuse de la Nasa est la suivante : "système chimique autonome capable d'évolution darwinienne". "La Nasa a besoin d'une définition de la vie pour savoir comment construire des détecteurs et quels types d'instruments utiliser lors de ses missions", explique le zoologiste Arik Kershenbaum, de l'université de Cambridge. Mais tout le monde ne pense pas qu'elle utilise la bonne définition.

L'astrobiologiste Lynn Rothschild, du centre de recherche Ames de la Nasa en Californie, voit une mise en garde dans l'histoire de Winnie l'ourson d'AA Milne, dans laquelle Pooh et Piglet chassent un Woozle sans savoir à quoi il ressemble et confondent leurs propres empreintes avec ses traces. "On ne peut chasser quelque chose sans avoir aucune idée de ce que c'est", dit-elle.

Le problème de la définition de la vie hante les planétologues depuis que les deux atterrisseurs Viking de la Nasa se sont posés sur Mars en 1976. Depuis, les rovers ont parcouru des dizaines de kilomètres sur les plaines martiennes mais n'ont trouvé aucun signe de vie. Mais saurions-nous la reconnaître si nous la voyions ?

Certains astrobiologistes - scientifiques qui étudient la possibilité de vie sur d'autres mondes - pensent que notre vision est trop étroite. Nous ne connaissons qu'un seul type de vie : la vie terrestre. Tous les êtres vivants sur Terre sont constitués de cellules adaptées à un environnement aquatique, utilisant une machinerie moléculaire construite à partir de protéines et codée sous forme de gènes dans l'ADN. Peu de scientifiques pensent que la vie extraterrestre - si tant est qu'elle existe - repose sur les mêmes éléments chimiques. "Il serait erroné de supposer que la biochimie qui nous est familière est celle que nous allons trouver sur d'autres planètes", déclare Kershenbaum. La surface de Titan, par exemple, est trop froide (moins 179 °C) pour contenir de l'eau liquide, mais la mission de l'atterrisseur Huygens en 2005 a révélé la présence de lacs d'un autre type, constitués d'hydrocarbures comme ceux de l'essence, principalement du méthane et de l'éthane.

Rothschild pense que les règles universelles de la chimie réduisent certaines des options. "J'ai du mal à imaginer une autre forme de vie qui ne soit pas basée sur le carbone", dit-elle. Il est donc logique de concevoir les missions planétaires de recherche de la vie en gardant cela à l'esprit. L'eau présente également "une tonne d'avantages" en tant que solvant de la vie. Même si des réactions chimiques intéressantes se produisaient dans les lacs de méthane de Titan, elles seraient fortement ralenties par les températures glaciales. La vie pourrait-elle se dérouler à un rythme aussi glacial ? Le planétologue Stuart Bartlett, de l'Institut de technologie de Californie à Pasadena, garde l'esprit ouvert. "Il pourrait y avoir des organismes flottant dans l'atmosphère de Titan qui boivent essentiellement de l'essence pour se maintenir", dit-il.

On a longtemps pensé que toute entité méritant d'être qualifiée de vivante possède des attributs qui ne dépendent pas de sa composition chimique précise. Il est toutefois très difficile de définir ces qualités générales. Les systèmes vivants - même les bactéries - sont extrêmement complexes, maintenus par des informations qui passent (dans notre cas via les gènes) entre les générations et créent une organisation. Mais il ne s'agit pas de l'ordre froid et mort des cristaux, où les atomes sont empilés selon des motifs réguliers. Il s'agit plutôt de l'ordre dynamique d'une ville ou d'une formation nuageuse, que les scientifiques qualifient de "déséquilibré" : il est constamment alimenté en énergie et ne s'installe pas dans un état statique.

Bartlett et Wong proposent une catégorie plus large appelée "lyfe", dont la vie telle que nous la connaissons n'est qu'une variante.

Lorsque James Lovelock, aujourd'hui connu pour l'hypothèse Gaia qui propose que notre planète entière soit assimilée à une entité vivante, participa à la conception des atterrisseurs Viking dans les années 1970, il suggéra de rechercher un tel déséquilibre chimique dans l'environnement - que seule la vie pourrait éventuellement maintenir sur des échelles de temps géologiques. Il s'agit plutôt de l'ordre dynamique d'une ville ou d'une formation nuageuse, que les scientifiques qualifient de "déséquilibré" : Les deux étant constamment alimentés en énergie et ne s'installent pas dans un état statique.  Mais des états de "déséquilibre ordonné" peuvent également être trouvés dans des systèmes non vivants, comme des liquides fluides, de sorte que ce seul critère ne permet pas d'identifier la vie.

Bartlett, en collaboration avec l'astrobiologiste Michael Wong de l'Université de Washington à Seattle, soutient que nous devons échapper au carcan de la pensée terrestre sur la vie. Ils proposent d'introduire une catégorie plus large appelée "lyfe" (prononcé, d'une façon étrangement typique du West Country, comme "loif"), dont la vie telle que nous la connaissons n'est qu'une variation. "Notre proposition tente de se libérer de certains des préjugés potentiels dus au fait que nous faisons partie de cette seule instanciation de lyfe", explique Bartlett. Ils suggèrent quatre critères pour la lyfe :

1. Elle puise dans les sources d'énergie de son environnement qui l'empêchent de devenir uniforme et immuable.

2. Elle connaît une croissance exponentielle (par exemple par réplication).

3. Elle peut se réguler pour rester stable dans un environnement changeant.

4. Elle apprend et se souvient des informations sur cet environnement. L'évolution darwinienne est un exemple de cet apprentissage sur des échelles de temps très longues : les gènes préservent les adaptations utiles à des circonstances particulières.

Les deux chercheurs affirment qu'il existe des systèmes "sublyfe" qui ne répondent qu'à certains de ces critères, et peut-être aussi des "superlyfe" qui en remplissent d'autres : des formes lyfe qui ont des capacités supérieures aux nôtres et qui pourraient nous regarder comme nous regardons des processus complexes mais non vivants tels que la croissance des cristaux.

"Nous espérons cette définition libère suffisamment notre imagination pour que nous ne passions pas à côté de formes de lyfe qui pourraient se cacher à la vue de tous", déclare Bartlett. Lui et Wong suggèrent que certains organismes lytiques pourraient utiliser des sources d'énergie inexploitées ici sur Terre, comme les champs magnétiques ou l'énergie cinétique, l'énergie du mouvement. "Il n'existe aucune forme de vie connue qui exploite directement l'énergie cinétique dans son métabolisme", déclare Bartlett.

Selon eux, il pourrait y avoir d'autres moyens de stocker des informations que dans des brins génétiques comme l'ADN. Les scientifiques ont, par exemple, déjà imaginé des moyens artificiels de stocker et de traiter l'information en utilisant des réseaux bidimensionnels de molécules synthétiques, comme des réseaux en damier ou des abaques. Selon Bartlett, la distinction entre "alyfe" et "non-lyfe" pourrait être floue : être "alyve" pourrait être une question de degré. Après tout, les scientifiques se disputent déjà sur la question de savoir si les virus peuvent être considérés comme tels, même si personne ne doute de leur capacité à détruire la vie.

Il est sceptique quant à la notion de la définition de travail de la Nasa selon laquelle la vie ne peut apparaître et se développer que par l'évolution darwinienne. Il affirme que même les organismes terrestres peuvent façonner leur comportement d'une manière qui ne dépend pas d'un mécanisme Darwinien, à savoir des mutations aléatoires couplées à une compétition pour les ressources qui sélectionne les mutations avantageuses. "L'évolution darwinienne existe bien sûr, mais je pense qu'elle doit être complétée par une vision plus large de l'apprentissage biologique", déclare-t-il.

L'astrobiologiste et physicienne Sara Walker, de l'Arizona State University, partage cet avis. "Il se peut que certains systèmes possèdent de nombreux attributs de la vie mais ne franchissent jamais le seuil de la vie darwinienne", dit-elle. Mais dans son nouveau livre The Zoologist's Guide to the Galaxy, Kershenbaum affirme qu'il est difficile d'imaginer un autre processus susceptible de produire des systèmes chimiques complexes dignes d'être considérés comme vivants (ou alyves). L'évolution par sélection naturelle, dit-il, suit "des principes bien définis dont nous savons qu'ils s'appliqueront non seulement sur Terre mais aussi ailleurs dans l'univers" - et il est "très confiant dans le fait qu'elle sera à l'origine de la diversité de la vie sur les planètes extraterrestres". Si c'est le cas, affirme-t-il, nous pouvons faire des hypothèses raisonnables sur d'autres attributs de ces planètes : par exemple, la vie aura un processus comme la photosynthèse pour récolter l'énergie de l'étoile mère.

Bartlett et Wong se demandent également si les choses vivantes doivent avoir des frontières physiques bien définies.

Après tout, alors que nous pourrions imaginer n'être que tout ce qui se trouve à l'intérieur de notre peau, nous dépendons d'autres organismes en nous : le micro-biote des bactéries dans nos intestins par exemple. Et certains philosophes soutiennent que notre esprit s'étend au-delà de notre cerveau et de notre corps, par exemple dans nos appareils technologiques. "Nous pensons que la vie est un processus qui se déroule probablement à l'échelle de planètes entières", déclare Bartlett. Walker convient que "la seule limite naturelle des processus vivants est la planète", ce qui rappelle l'hypothèse Gaia de Lovelock.

Mais en l'absence d'une limite pour les ingrédients moléculaires, dit Rothschild, tous les composants d'un système vivant se dilueraient dans son environnement, comme des gouttelettes d'encre dans l'eau. Et Kershenbaum affirme que des organismes distincts et délimités sont nécessaires si l'évolution est darwinienne, car ce n'est qu'alors qu'il y a quelque chose d'autre à concurrencer.

Walker pense qu'en fait Bartlett et Wong ne vont pas assez loin dans leur tentative de libérer les idées quant à une vie terracentrique. Leur notion de lyfe, dit-elle, "fait table rase de bon nombre des problèmes omniprésents dans les définitions actuelles de la vie en proposant une définition plus large basée sur les définitions existantes. Les problèmes de base restent les mêmes. Nous n'avons pas besoin de nouvelles définitions de la vie. Ce dont nous avons besoin, c'est de nouvelles théories qui s'attaquent aux principes sous-jacents qui régissent la physique du vivant dans notre univers."

Une autre possibilité d'élargir notre vision de ce que pourrait être la vie est que nous devenions capables de créer de toutes pièces, en laboratoire, des systèmes vivants totalement différents de ceux que nous connaissons. "Nous en sommes beaucoup plus proches que vous ne le pensez", déclare M. Rothschild. En fait, cela s'est peut-être déjà produit et nous ne nous en sommes pas rendu compte, ajoute-t-elle, en plaisantant à moitié. Si nous ne savons pas ce que nous cherchons, un chercheur a peut-être déjà créé une nouvelle forme de vie - et l'a jetée dans l'évier.

En fin de compte, nous ne devrions peut-être pas être trop sûrs que la vie corresponde à une quelconque définition naturelle, estime M. Rothschild. "Je crois que ce que nous avons actuellement, ce sont des définitions non naturelles de la vie, parce que nous n'avons qu'un seul point de données. Je me demande si la vie n'est pas simplement ce que nous définissons."

"Nous pourrions découvrir des systèmes si bizarres et inattendus qu'il serait ompossible de décider s'ils sont vivants ou non", dit Kershenbaum. "Mais si nous découvrons quelque chose de vraiment intéressant et complexe qui ne correspond pas tout à fait à la définition de la vie, cela restera une avancée passionnante. Nous n'allons pas l'ignorer parce que ça ne correspond pas à notre définition !"

Auteur: Ball Philip

Info: The Guardian, 5 Septembre 2020 - Are aliens hiding in plain sight?

[ dépassement conceptuel ] [ spéculations ] [ changement de paradigme ] [ révolution scientifique ] [ monade planétaire ]

rapetissement

Des mathématiciens identifient le seuil à partir duquel les formes cèdent. Une nouvelle preuve établit la limite à laquelle une forme devient si ondulée qu'elle ne peut être écrasée plus avant.

En ajoutant un nombre infini de torsions aux courbes d'une sphère, il est possible de la réduire en une minuscule boule sans en déformer les distances.

Dans les années 1950, quatre décennies avant qu'il ne remporte le prix Nobel pour ses contributions à la théorie des jeux et que son histoire n'inspire le livre et le film "A Beautiful Mind", le mathématicien John Nash a démontré l'un des résultats les plus remarquables de toute la géométrie. Ce résultat impliquait, entre autres, que l'on pouvait froisser une sphère pour en faire une boule de n'importe quelle taille sans jamais la déformer. Il a rendu cela possible en inventant un nouveau type d'objet géométrique appelé " inclusion ", qui situe une forme à l'intérieur d'un espace plus grand, un peu comme lorsqu'on insère un poster bidimensionnel dans un tube tridimensionnel.

Il existe de nombreuses façons d'encastrer une forme. Certaines préservent la forme naturelle - comme l'enroulement de l'affiche dans un cylindre - tandis que d'autres la plissent ou la découpent pour l'adapter de différentes manières.

De manière inattendue, la technique de Nash consiste à ajouter des torsions à toutes les courbes d'une forme, rendant sa structure élastique et sa surface ébouriffée. Il a prouvé que si l'on ajoutait une infinité de ces torsions, on pouvait réduire la sphère en une minuscule boule. Ce résultat avait étonné les mathématiciens qui pensaient auparavant qu'il fallait des plis nets pour froisser la sphère de cette manière.

Depuis, les mathématiciens ont cherché à comprendre précisément les limites des techniques pionnières de Nash. Il avait montré que l'on peut froisser la sphère en utilisant des torsions, mais n'avait pas démontré exactement la quantité de torsions nécessaire, au minimum, pour obtenir ce résultat. En d'autres termes, après Nash, les mathématiciens ont voulu quantifier le seuil exact entre planéité et torsion, ou plus généralement entre douceur et rugosité, à partir duquel une forme comme la sphère commence à se froisser.

Et dans une paire de parutions récentes ils l'ont fait, au moins pour une sphère située dans un espace de dimension supérieure. Dans un article publié en septembre 2018 et en mars 2020, Camillo De Lellis, de l'Institute for Advanced Study de Princeton, dans le New Jersey, et Dominik Inauen, de l'université de Leipzig, ont identifié un seuil exact pour une forme particulière. Des travaux ultérieurs, réalisés en octobre 2020 par Inauen et Wentao Cao, aujourd'hui de l'Université normale de la capitale à Pékin, ont prouvé que le seuil s'appliquait à toutes les formes d'un certain type général.

Ces deux articles améliorent considérablement la compréhension des mathématiciens des inclusions de Nash. Ils établissent également un lien insolite entre les encastrements et les flux de fluides.

"Nous avons découvert des points de contact étonnants entre les deux problèmes", a déclaré M. De Lellis.

Les rivières tumultueuses peuvent sembler n'avoir qu'un vague rapport avec les formes froissées, mais les mathématiciens ont découvert en 2009 qu'elles pouvaient en fait être étudiées à l'aide des mêmes techniques. Il y a trois ans, des mathématiciens, dont M. De Lellis, ont utilisé les idées de Nash pour comprendre le point auquel un écoulement devient turbulent. Ils ont ré-imaginé un fluide comme étant composé d'écoulements tordus et ont prouvé que si l'on ajoutait juste assez de torsions à ces écoulements, le fluide prenait soudainement une caractéristique clé de la turbulence.

Les nouveaux travaux sur les inclusion(embeddings) s'appuient sur une leçon cruciale tirée de ces travaux antérieurs sur la turbulence, suggérant que les mathématiciens disposent désormais d'un cadre général pour identifier des points de transition nets dans toute une série de contextes mathématiques. 

Maintenir la longueur

Les mathématiciens considèrent aujourd'hui que les formes, comme la sphère, ont leurs propres propriétés géométriques intrinsèques : Une sphère est une sphère quel que soit l'endroit où vous la trouvez.

Mais vous pouvez prendre une forme abstraite et l'intégrer dans un espace géométrique plus grand. Lorsque vous l'intégrez, vous pouvez vouloir préserver toutes ses propriétés. Vous pouvez également exiger que seules certaines propriétés restent constantes, par exemple, que les longueurs des courbes sur sa surface restent identiques. De telles intégrations sont dites "isométriques".

Les incorporations isométriques conservent les longueurs mais peuvent néanmoins modifier une forme de manière significative. Commencez, par exemple, par une feuille de papier millimétré avec sa grille de lignes perpendiculaires. Pliez-la autant de fois que vous le souhaitez. Ce processus peut être considéré comme un encastrement isométrique. La forme obtenue ne ressemblera en rien au plan lisse de départ, mais la longueur des lignes de la grille n'aura pas changé.

(En illustration est montré  un gros plan de la forme sinueuse et ondulante d'un encastrement de Nash., avec ce commentaire - Les encastrements tordus de Nash conservent un degré surprenant de régularité, même s'ils permettent de modifier radicalement une surface.)

Pendant longtemps, les mathématiciens ont pensé que les plis nets étaient le seul moyen d'avoir les deux caractéristiques à la fois : une forme froissée avec des longueurs préservées.

"Si vous permettez aux plis de se produire, alors le problème est beaucoup plus facile", a déclaré Tristan Buckmaster de l'université de Princeton.

Mais en 1954, John Nash a identifié un type remarquablement différent d'incorporation isométrique qui réussit le même tour de force. Il utilisait des torsions hélicoïdales plutôt que des plis et des angles vifs.

Pour avoir une idée de l'idée de Nash, recommencez avec la surface lisse d'une sphère. Cette surface est composée de nombreuses courbes. Prenez chacune d'entre elles et tordez-la pour former une hélice en forme de ressort. Après avoir reformulé toutes les courbes de la sorte, il est possible de comprimer la sphère. Cependant, un tel processus semble violer les règles d'un encastrement isométrique - après tout, un chemin sinueux entre deux points est toujours plus long qu'un chemin droit.

Mais, de façon remarquable, Nash a montré qu'il existe un moyen rigoureux de maintenir les longueurs même lorsque l'on refabrique des courbes à partir de torsades. Tout d'abord, rétrécissez la sphère de manière uniforme, comme un ballon qui se dégonfle. Ensuite, ajoutez des spirales de plus en plus serrées à chaque courbe. En ajoutant un nombre infini de ces torsions, vous pouvez finalement redonner à chaque courbe sa longueur initiale, même si la sphère originale a été froissée.

Les travaux de Nash ont nécessité une exploration plus approfondie. Techniquement, ses résultats impliquent que l'on ne peut froisser une sphère que si elle existe en quatre dimensions spatiales. Mais en 1955, Nicolaas Kuiper a étendu les travaux de Nash pour qu'ils s'appliquent à la sphère standard à trois dimensions. À partir de là, les mathématiciens ont voulu comprendre le point exact auquel, en tordant suffisamment les courbes d'une sphère, on pouvait la faire s'effondrer.

Fluidité de la forme

Les formes pliées et tordues diffèrent les unes des autres sur un point essentiel. Pour comprendre comment, vous devez savoir ce que les mathématiciens veulent dire lorsqu'ils affirment que quelque chose est "lisse".

Un exemple classique de régularité est la forme ascendante et descendante d'une onde sinusoïdale, l'une des courbes les plus courantes en mathématiques. Une façon mathématique d'exprimer cette régularité est de dire que vous pouvez calculer la "dérivée" de l'onde en chaque point. La dérivée mesure la pente de la courbe en un point, c'est-à-dire le degré d'inclinaison ou de déclin de la courbe.

En fait, vous pouvez faire plus que calculer la dérivée d'une onde sinusoïdale. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée ou, la dérivée "seconde", qui saisit le taux de changement de la pente. Cette quantité permet de déterminer la courbure de la courbe - si la courbe est convexe ou concave près d'un certain point, et à quel degré.

Et il n'y a aucune raison de s'arrêter là. Vous pouvez également calculer la dérivée de la dérivée de la dérivée (la "troisième" dérivée), et ainsi de suite. Cette tour infinie de dérivées est ce qui rend une onde sinusoïdale parfaitement lisse dans un sens mathématique exact. Mais lorsque vous pliez une onde sinusoïdale, la tour de dérivées s'effondre. Le long d'un pli, la pente de la courbe n'est pas bien définie, ce qui signifie qu'il est impossible de calculer ne serait-ce qu'une dérivée première.

Avant Nash, les mathématiciens pensaient que la perte de la dérivée première était une conséquence nécessaire du froissement de la sphère tout en conservant les longueurs. En d'autres termes, ils pensaient que le froissement et la régularité étaient incompatibles. Mais Nash a démontré le contraire.

En utilisant sa méthode, il est possible de froisser la sphère sans jamais plier aucune courbe. Tout ce dont Nash avait besoin, c'était de torsions lisses. Cependant, l'infinité de petites torsions requises par son encastrement rend la notion de courbure en dérivée seconde insensée, tout comme le pliage détruit la notion de pente en dérivée première. Il n'est jamais clair, où que ce soit sur une des surfaces de Nash, si une courbe est concave ou convexe. Chaque torsion ajoutée rend la forme de plus en plus ondulée et rainurée, et une surface infiniment rainurée devient rugueuse.

"Si vous étiez un skieur sur la surface, alors partout, vous sentiriez des bosses", a déclaré Vincent Borrelli de l'Université de Lyon, qui a travaillé en 2012 avec des collaborateurs pour créer les premières visualisations précises des encastrements de Nash.

Les nouveaux travaux expliquent la mesure exacte dans laquelle une surface peut maintenir des dérivés même si sa structure cède.

Trouver la limite

Les mathématiciens ont une notation précise pour décrire le nombre de dérivées qui peuvent être calculées sur une courbe.

Un encastrement qui plie une forme est appelé C0. Le C représente la continuité et l'exposant zéro signifie que les courbes de la surface encastrée n'ont aucune dérivée, pas même une première. Il existe également des encastrements avec des exposants fractionnaires, comme C0,1/2, qui plissent encore les courbes, mais moins fortement. Puis il y a les incorporations C1 de Nash, qui écrasent les courbes uniquement en appliquant des torsions lisses, conservant ainsi une dérivée première.

(Un graphique à trois panneaux illustre les différents degrés de lissage des lettres O, U et B. DU simple au complexe)

Avant les travaux de Nash, les mathématiciens s'étaient principalement intéressés aux incorporations isométriques d'un certain degré d'uniformité standard, C2 et plus. Ces encastrements C2 pouvaient tordre ou courber des courbes, mais seulement en douceur. En 1916, l'influent mathématicien Hermann Weyl a émis l'hypothèse que l'on ne pouvait pas modifier la forme de la sphère à l'aide de ces courbes douces sans détruire les distances. Dans les années 1940, les mathématiciens ont résolu le problème de Weyl, en prouvant que les encastrements isométriques en C2 ne pouvaient pas froisser la sphère.

Dans les années 1960, Yurii Borisov a découvert qu'un encastrement C1,1/13 pouvait encore froisser la sphère, alors qu'un encastrement C1,2/3 ne le pouvait pas. Ainsi, quelque part entre les enrobages C1 de Nash et les enrobages C2 légèrement courbés, le froissement devient possible. Mais pendant des décennies après les travaux de Borisov, les mathématiciens n'ont pas réussi à trouver une limite exacte, si tant est qu'elle existe.

"Une nouvelle vision fondamentale [était] nécessaire", a déclaré M. Inauen.

Si les mathématiciens n'ont pas pu progresser, ils ont néanmoins trouvé d'autres applications aux idées de Nash. Dans les années 1970, Mikhael Gromov les a reformulées en un outil général appelé "intégration convexe", qui permet aux mathématiciens de construire des solutions à de nombreux problèmes en utilisant des sous-structures sinueuses. Dans un exemple, qui s'est avéré pertinent pour les nouveaux travaux, l'intégration convexe a permis de considérer un fluide en mouvement comme étant composé de nombreux sous-flux tordus.

Des décennies plus tard, en 2016, Gromov a passé en revue les progrès progressifs réalisés sur les encastrements de la sphère et a conjecturé qu'un seuil existait en fait, à C1,1/2. Le problème était qu'à ce seuil, les méthodes existantes s'effondraient.

"Nous étions bloqués", a déclaré Inauen.

Pour progresser, les mathématiciens avaient besoin d'un nouveau moyen de faire la distinction entre des incorporations de douceur différente. De Lellis et Inauen l'ont trouvé en s'inspirant de travaux sur un phénomène totalement différent : la turbulence.

Une énergie qui disparaît

Tous les matériaux qui entrent en contact ont un frottement, et nous pensons que ce frottement est responsable du ralentissement des choses. Mais depuis des années, les physiciens ont observé une propriété remarquable des écoulements turbulents : Ils ralentissent même en l'absence de friction interne, ou viscosité.

En 1949, Lars Onsager a proposé une explication. Il a supposé que la dissipation sans frottement était liée à la rugosité extrême (ou au manque de douceur) d'un écoulement turbulent : Lorsqu'un écoulement devient suffisamment rugueux, il commence à s'épuiser.

En 2018, Philip Isett a prouvé la conjecture d'Onsager, avec la contribution de Buckmaster, De Lellis, László Székelyhidi et Vlad Vicol dans un travail séparé. Ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des écoulements tourbillonnants aussi rugueux que C0, jusqu'à C0,1/3 (donc sensiblement plus rugueux que C1). Ces flux violent une règle formelle appelée conservation de l'énergie cinétique et se ralentissent d'eux-mêmes, du seul fait de leur rugosité.

"L'énergie est envoyée à des échelles infiniment petites, à des échelles de longueur nulle en un temps fini, puis disparaît", a déclaré Buckmaster.

Des travaux antérieurs datant de 1994 avaient établi que les écoulements sans frottement plus lisses que C0,1/3 (avec un exposant plus grand) conservaient effectivement de l'énergie. Ensemble, les deux résultats ont permis de définir un seuil précis entre les écoulements turbulents qui dissipent l'énergie et les écoulements non turbulents qui conservent l'énergie.

Les travaux d'Onsager ont également fourni une sorte de preuve de principe que des seuils nets pouvaient être révélés par l'intégration convexe. La clé semble être de trouver la bonne règle qui tient d'un côté du seuil et échoue de l'autre. De Lellis et Inauen l'ont remarqué.

"Nous avons pensé qu'il existait peut-être une loi supplémentaire, comme la [loi de l'énergie cinétique]", a déclaré Inauen. "Les enchâssements isométriques au-dessus d'un certain seuil la satisfont, et en dessous de ce seuil, ils pourraient la violer".

Après cela, il ne leur restait plus qu'à aller chercher la loi.

Maintenir l'accélération

La règle qu'ils ont fini par étudier a trait à la valeur de l'accélération des courbes sur une surface. Pour la comprendre, imaginez d'abord une personne patinant le long d'une forme sphérique avant qu'elle ne soit encastrée. Elle ressent une accélération (ou une décélération) lorsqu'elle prend des virages et monte ou descend des pentes. Leur trajectoire forme une courbe.

Imaginez maintenant que le patineur court le long de la même forme après avoir été incorporé. Pour des encastrements isométriques suffisamment lisses, qui ne froissent pas la sphère ou ne la déforment pas de quelque manière que ce soit, le patineur devrait ressentir les mêmes forces le long de la courbe encastrée. Après avoir reconnu ce fait, De Lellis et Inauen ont ensuite dû le prouver : les enchâssements plus lisses que C1,1/2 conservent l'accélération.

En 2018, ils ont appliqué cette perspective à une forme particulière appelée la calotte polaire, qui est le sommet coupé de la sphère. Ils ont étudié les enchâssements de la calotte qui maintiennent la base de la calotte fixe en place. Puisque la base de la calotte est fixe, une courbe qui se déplace autour d'elle ne peut changer d'accélération que si la forme de la calotte au-dessus d'elle est modifiée, par exemple en étant déformée vers l'intérieur ou l'extérieur. Ils ont prouvé que les encastrements plus lisses que C1,1/2 - même les encastrements de Nash - ne modifient pas l'accélération et ne déforment donc pas le plafond. 

"Cela donne une très belle image géométrique", a déclaré Inauen.

En revanche, ils ont utilisé l'intégration convexe pour construire des enrobages de la calotte plus rugueux que C1,1/2. Ces encastrements de Nash tordent tellement les courbes qu'ils perdent la notion d'accélération, qui est une quantité dérivée seconde. Mais l'accélération de la courbe autour de la base reste sensible, puisqu'elle est fixée en place. Ils ont montré que les encastrements en dessous du seuil pouvaient modifier l'accélération de cette courbe, ce qui implique qu'ils déforment également le plafond (car si le plafond ne se déforme pas, l'accélération reste constante ; et si l'accélération n'est pas constante, cela signifie que le plafond a dû se déformer).

Deux ans plus tard, Inauen et Cao ont prolongé l'article précédent et prouvé que la valeur de C1,1/2 prédite par Gromov était en fait un seuil qui s'appliquait à toute forme, ou "collecteur", avec une limite fixe. Au-dessus de ce seuil, les formes ne se déforment pas, au-dessous, elles se déforment. "Nous avons généralisé le résultat", a déclaré Cao.

L'une des principales limites de l'article de Cao et Inauen est qu'il nécessite l'intégration d'une forme dans un espace à huit dimensions, au lieu de l'espace à trois dimensions que Gromov avait en tête. Avec des dimensions supplémentaires, les mathématiciens ont gagné plus de place pour ajouter des torsions, ce qui a rendu le problème plus facile.

Bien que les résultats ne répondent pas complètement à la conjecture de Gromov, ils fournissent le meilleur aperçu à ce jour de la relation entre l'aspect lisse et le froissement. "Ils donnent un premier exemple dans lequel nous voyons vraiment cette dichotomie", a déclaré M. De Lellis.

À partir de là, les mathématiciens ont un certain nombre de pistes à suivre. Ils aimeraient notamment résoudre la conjecture en trois dimensions. En même temps, ils aimeraient mieux comprendre les pouvoirs de l'intégration convexe.

Cet automne, l'Institute for Advanced Study accueillera un programme annuel sur le sujet. Il réunira des chercheurs issus d'un large éventail de domaines dans le but de mieux comprendre les idées inventées par Nash. Comme l'a souligné Gromov dans son article de 2016, les formes sinueuses de Nash ne faisaient pas simplement partie de la géométrie. Comme cela est désormais clair, elles ont ouvert la voie à un tout nouveau "pays" des mathématiques, où des seuils aigus apparaissent en de nombreux endroits.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-identify-threshold-at-which-shapes-give-way-20210603/Mordechai Rorvig, rédacteur collaborateur, , 3 juin 2021

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