concessions amoureuses

Il avait toujours semblé à Selden que l’existence avait beaucoup à offrir en dehors de l’aventure sentimentale, et pourtant il avait une conception très vive d’un amour qui s’élargirait et s’approfondirait jusqu’à devenir le fait central de la vie. Ce qu’il ne pouvait accepter pour lui-même, c’était le pis-aller d’une alliance inférieure à cet idéal, qui laisserait certaines parties de sa nature non satisfaites, tandis qu’elle imposerait à d’autres un effort excessif. Il ne voulait pas s’abandonner au développement d’une affection qui ferait appel à sa pitié, mais laisserait son intelligence intacte : la sympathie ne le duperait pas plus qu’un jeu de prunelles, la grâce de la faiblesse pas plus que la courbe d’une joue.

Auteur: Wharton Edith

Info: Dans "Chez les heureux du monde" page 211

[ sentiment total ] [ absolu ]

facilité technologique

La propagation de la musique par des moyens mécaniques, comme le disque, et sa diffusion par la radio, ces formidables conquêtes de la science, qui ont toutes les chances de s’élargir encore davantage, méritent quant à leur importance et à leurs effets dans le domaine de la musique un examen des plus attentifs. Evidemment, la possibilité pour les auteurs et les exécutants d’atteindre les grandes masses, et la facilité pour celles-ci de prendre connaissance des oeuvres musicales constituent un avantage indiscutable. Mais il ne faut pas se dissimuler que cet avantage présente en même temps un grand danger. Autrefois un Jean-Sébastien Bach était obligé de faire dix lieues à pied pour aller dans une ville entendre Buxtehude dans ses oeuvres. Aujourd’hui l’habitant de n’importe quel pays n’à qu’à tourner un bouton ou faire marcher un disque pour obtenir l’audition d’une pièce de son choix.

Eh bien ! C’est précisément dans cette facilité inouïe, dans cette absence de tout effort que siège le vice de ce soi-disant progrès. Car dans la musique, plus que dans tout autre branche de l’art, la compréhension n’est donnée qu’à ceux qui y apportent un effort actif. La réception massive ne suffit pas. Ecouter certaines combinaisons de sons et s’y habituer automatiquement n’implique pas nécessairement le fait de les entendre et de les saisir, car on peut écouter sans entendre, comme on peut regarder sans voir. L’absence d’un effort actif de leur part et leur goût qu’ils prennent à cette facilité, rendent les gens paresseux. […]

Ainsi les facultés actives, sans la participation desquelles on ne saurait s’assimiler la musique, s’atrophient peu à peu chez à l’auditeur à force de ne plus être exercées. Cette paralysie progressive entraîne des conséquences extrêmement graves. Sursaturés de sons, blasés sur leurs combinaisons les plus variés, les gens tombent dans une sorte d’abrutissement qui leur enlève toute capacité de discernement et les rend indifférents à la qualité même des morceaux qu’on leur sert. Il plus que probable qu’une pareille suralimentation désordonnée leur fera bientôt perdre l’appétit et le goût de la musique.

Certes, il y aura toujours des exceptions, des personnes qui, dans le tas, sauront choisir ce qui leur plaît. Mais en ce qui concerne les masses, on a toutes les raisons de craindre que, au lieu de développer en elles l’amour et la compréhension de la musique, les moyens modernes de la répandre ne les amènent à des résultats exactement contraires, c’est-à-dire à l’indifférence ainsi qu’à l’impuissance de s’y reconnaître, de s’y orienter et d’éprouver une réaction de quelque valeur.

Auteur: Stravinsky Igor

Info: En 1935

[ streaming ] [ dématérialisation ] [ pessimisme ] [ abrutissement ]

topologie abstraite

Des surfaces au-delà de l'imagination sont découvertes après des décennies de recherche

Grâce à des idées empruntées à la théorie des graphes, deux mathématiciens ont montré que des surfaces extrêmement complexes sont faciles à parcourir.

En juillet dernier, deux mathématiciens de l'Université de Durham, Will Hide et Michael Magee , ont confirmé l'existence d'une séquence de surfaces très recherchée : chacune plus compliquée que la précédente, devenant finalement si étroitement liée à elles-mêmes qu'elles atteignent presque les limites de ce qui est possible. possible.

Au début, il n’était pas évident que ces surfaces existaient. Mais depuis que la question de leur existence s’est posée pour la première fois dans les années 1980, les mathématiciens ont compris que ces surfaces pouvaient en réalité être courantes, même si elles sont extrêmement difficiles à identifier – un exemple parfait de la façon dont les mathématiques peuvent renverser l’intuition humaine. Ce nouveau travail constitue un pas en avant dans une quête visant à aller au-delà de l’intuition pour comprendre les innombrables façons dont les surfaces peuvent se manifester.

"C'est un brillant morceau de mathématiques", a déclaré Peter Sarnak , mathématicien à l'Institute for Advanced Study de Princeton, New Jersey.

Les surfaces comprennent toutes sortes d’objets bidimensionnels : l’enveloppe extérieure d’une sphère, d’un beignet ou d’un cylindre ; une bande de Möbius. Ils sont essentiels aux mathématiques et à la physique. Mais même si la relation des mathématiciens avec les surfaces remonte à plusieurs siècles, ils ne connaissent pas du tout ces objets.

Les surfaces simples ne sont pas le problème. Simple dans ce cas signifie que la surface a un petit nombre de trous, ou un faible " genre ". Une sphère, par exemple, n'a pas de trous et a donc un genre nul ; un beignet en a un.

Mais lorsque le genre est élevé, l’intuition nous fait défaut. Lorsqu'Alex Wright , mathématicien à l'Université du Michigan, tente de visualiser une surface de haut genre, il se retrouve avec des trous disposés en rangée bien rangée. " Si vous vouliez que je sois un peu plus créatif, je pourrais l'enrouler en un cercle avec de nombreux trous. Et j’aurais du mal à imaginer une image mentale fondamentalement différente de celle-là ", a-t-il déclaré. Mais sur les surfaces de grande qualité, les trous se chevauchent de manière complexe, ce qui les rend difficiles à saisir. Une simple approximation est " aussi loin d’être représentative qu’elle pourrait l’être, dans tous les sens du terme ", a déclaré Wright.

Cette lutte était prévisible, a déclaré Laura Monk , mathématicienne à l'Université de Bristol. " On peut souvent faire des choses qui ne sont pas bonnes. Cependant, créer des choses qui sont bonnes, qui ressemblent à ce que nous attendons généralement d’être vrai, est un peu plus difficile ", a-t-elle déclaré.

Cela signifie que les mathématiciens souhaitant vraiment comprendre l’espace des surfaces doivent trouver des moyens de découvrir des objets dont ils ignorent même l’existence.

C’est exactement ce qu’ont fait Hide et Magee dans leur article de juillet, confirmant l’existence de surfaces sur lesquelles les mathématiciens s’interrogeaient depuis des décennies. La conjecture qu’ils ont prouvée et l’histoire qui l’entoure s’inspirent d’un tout autre domaine des mathématiques : la théorie des graphes.

Le maximum possible

Pour les mathématiciens, les graphiques sont des réseaux constitués de points ou de nœuds reliés par des lignes ou des arêtes. Dès 1967, des mathématiciens comme Andrey Kolmogorov étudiaient des réseaux qui imposaient un coût à la connexion de deux nœuds. Cela a conduit à un exemple de ce que l’on appellera plus tard un graphe d’expansion : un graphe qui maintient le nombre d’arêtes à un faible niveau, tout en maintenant une connectivité élevée entre les nœuds.

Les graphiques expanseurs sont depuis devenus des outils cruciaux en mathématiques et en informatique, y compris dans des domaines pratiques comme la cryptographie. À l’instar d’un système routier bien conçu, ces graphiques facilitent le déplacement d’un nœud à un autre sans couvrir l’intégralité du graphique avec des arêtes. Les mathématiciens aiment limiter le nombre d’arêtes en stipulant que chaque nœud ne peut avoir, disons, que trois arêtes en émanant – tout comme vous ne voudriez peut-être pas plus de quelques autoroutes sillonnant votre ville.

Si un ordinateur choisit au hasard où mènent les trois arêtes de chaque nœud, vous constaterez que, surtout lorsque le graphique est très grand, la plupart de ces graphiques aléatoires sont d'excellents expanseurs. Mais bien que l’univers soit rempli de graphiques d’expansion, les êtres humains ont échoué à maintes reprises à les produire à la main.

"Si vous voulez en construire un, vous ne devriez pas les dessiner vous-même", a déclaré Shai Evra , mathématicien à l'Université hébraïque de Jérusalem. "Notre imagination ne comprend pas ce qu'est un expanseur."

L’idée d’expansion, ou de connectivité, peut être mesurée de plusieurs manières. La première consiste à couper un graphique en deux gros morceaux en coupant les bords un par un. Si votre graphique est constitué de deux groupes de nœuds, les groupes étant reliés par une seule arête, il vous suffit de couper une seule arête pour la diviser en deux. Plus le graphique est connecté, plus vous devrez découper d'arêtes.

Une autre façon d’accéder à la connectivité consiste à parcourir le graphique de nœud en nœud, en choisissant à chaque étape une arête sur laquelle marcher au hasard. Combien de temps faudra-t-il pour visiter tous les quartiers du graphique ? Dans l'exemple avec les deux amas, vous serez confiné à l'une des bulles à moins que vous ne traversiez la seule connexion avec l'autre moitié. Mais s’il existe de nombreuses façons de voyager entre les différentes zones du graphique, vous parcourrez l’ensemble en peu de temps.

Ces mesures de connectivité peuvent être quantifiées par un nombre appelé écart spectral. L'écart spectral est nul lorsque le graphe est complètement déconnecté, par exemple s'il est composé de deux groupes de nœuds qui ne sont pas du tout attachés l'un à l'autre. À mesure qu’un graphe devient plus connecté, son écart spectral aura tendance à s’élargir.

Mais l’écart spectral ne peut aller que jusqu’à un certain point. En effet, les deux caractéristiques déterminantes des graphes d’expansion – peu d’arêtes et une connectivité élevée – sont apparemment en contradiction l’une avec l’autre. Mais en 1988, Gregory Margulis et, indépendamment, Sarnak et deux co-auteurs ont décrit des " expanseurs optimaux " – des graphiques dont l’écart spectral est aussi élevé que le maximum théorique. " C'est choquant qu'ils existent ", a déclaré Sarnak.

Plus tard, les mathématiciens prouveront que la plupart des grands graphes sont proches de ce maximum. Mais le travail avec les expanseurs optimaux et les graphiques aléatoires ne consistait pas simplement à trouver les bons endroits pour placer les arêtes. Cela nécessitait le recours à des techniques étranges et sophistiquées empruntées à la théorie des nombres et des probabilités.

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org/ - Leila Sloman, 2 juin 2022

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