communication

Les lieux sont distants, irréductibles eux aussi, innombrables et insommables, et pourtant toujours rassemblés, réunis, sommés, alignés et soumis par des chemins. Si ce n'était pour les chemins, aucun lieu ne serait le chef d'aucun autre.

Auteur: Latour Bruno

Info: in "Les microbes, guerre et paix, suivi de Irréductions", éd. Métailié, p.184

[ géographie ] [ logique ] [ hiérarchie ] [ repères topographiques ]

vieillir

"La nostalgie de l'Insulinde" - chez moi ce mal n'est pas de nature topographique. Ma nostalgie n'a pas pour objet "Les Indes néerlandaises" mais l'époque où je vivais sans penser, j'ai la nostalgie de ce qui en moi s'est perdu et dont je ne sais plus exactement moi-même ce que c'était - clarté qui s'est changée en trouble, eau qui s'est changée en pensées d'asphyxie et de mort.

Auteur: Brouwers Jeroen

Info: L'Eden englouti

[ conscience ]

septième art

Il projette la durée dans les limites planes de l’espace. Que dis-je ? Il fait de la durée une dimension de l’espace, ce qui confère à l’espace une nouvelle et immense signification de collaborateur actif, et non plus passif de l’esprit. L’espace cartésien n’a plus, depuis le cinéma et grâce au cinéma, qu’une valeur, si je puis dire, topographique. Pratiquement au moins deux plans fusionnent, que les savants et les philosophes croyaient impénétrables l’un à l’autre pour toujours.

Auteur: Faure Elie

Info: Introduction à la Mystique du Cinéma, op. cit., ici p. 85-86

[ émergence ] [ intrications ]

géologie

Il est facile de trouver des affleurements dans les régions arides et montagneuses, où la roche nue se prélasse au soleil. Mais dans les régions humides et subtiles du point de vue topographique (pensons à l'Indiana), les affleurements sont insaisissables. Invariablement, les quelques roches qui s'exposent se voilent de lichens avec le temps (l'expert débrouillard apprend à noter que certaines couleurs de lichens signifient des types de roches particuliers - orangé pour le basalte, vert pour le granit).

Auteur: Bjornerud Marcia

Info: The Autobiography of the Earth

[ minéral ] [ végétal ]

formes

La fin du XVIIIe siècle inaugura l'Âge d'Or des collections de coquillages, qui dura cent ans. De nouvelles espèces et de grandes quantités de coquillages connus arrivaient constamment sur le marché. Lorsqu'on disposa d'une plus grande quantité de coquillages, l'intérêt grandit aussi. Les expéditions destinées à faire de nouvelles découvertes scientifiques et à accumuler des données topographiques contribuèrent à enrichir les collections. Aux trois voyages du Capitaine Cook dans les mers du Sud, de 1768 à 1780, participèrent entre autres, deux naturalistes, Joseph Banks et David Carl Solander, et de nombreux artistes, assistants et topographes chargés de ramasser, de noter et de surveiller tout ce qui semblait intéressant.

Auteur: Leonard Erskine Hill

Info: Coquillages. Trésors de la mer

[ minéraux ] [ historique ]

pensée superficielle

[…] l’homme ordinaire ne s’attarde point longtemps à la contemplation pure ; par suite, il n’attache point longtemps ses regards sur un objet ; mais, dès qu’une chose s’offre à lui, il cherche bien vite le concept avec lequel il la pourra ranger (comme le paresseux cherche une chaise), puis il ne s’y intéresse pas davantage. C’est pourquoi il en a si vite fini avec toutes choses, avec les œuvres d’art, avec les beautés de la nature, avec le spectacle vraiment intéressant de la vie universelle, considérée dans les scènes multiples. Il ne s’attarde pas ; il ne cherche que son chemin dans la vie, ou tout au plus encore qui se pourrait par hasard le devenir ; il prend, dans le sens le plus large du mot, des indications topographiques ; mais il ne perd pas son temps à contempler la vie pour elle-même.

Auteur: Schopenhauer Arthur

Info: Le monde comme volonté et comme représentation

[ . ]

monastère

L’ensemble des constructions de la Grande Chartreuse couvre une étendue de cinq hectares et ses bâtiments sont abrités par quarante mille mètres carrés de toiture. Au seul point de vue topographique, ces chiffres justifient suffisamment l’épithète de grande inséparable du nom de Chartreuse, quand on veut désigner ce caput sacrum de toutes les chartreuses de la terre. On dit la Grande Chartreuse comme on dit Charlemagne.



Écrasée une première fois par une avalanche, au lendemain de sa fondation, et reconstruite presque aussitôt sur l’emplacement actuel, moins exposé à la chute des masses neigeuses ; saccagée deux fois de fond en comble par les calvinistes et les révolutionnaires, cette admirable Métropole de la Vie contemplative a été incendiée huit fois en huit siècles. Ces huit épreuves par le feu, symbole de l’Amour, rappellent à leur manière les huit Béatitudes évangéliques, qui commencent par la Pauvreté et finissent par la Persécution.



Enfin, le 14 octobre 1792, la Grande Chartreuse fut fermée par décret de l’Assemblée nationale et rouverte seulement le 8 juillet 1816. Pendant vingt-quatre ans, cette solitude redevint muette, de silencieuse qu’elle avait été si longtemps, muette et désolée comme ces cités impies de l’Orient que dépeuplait la colère du Seigneur.



C’est qu’il lui fallait payer pour tout un peuple insolvable que pressait l’aiguillon du châtiment, en accomplissement de cette loi transcendante de l’équilibre surnaturel, qui condamne les innocents à acquitter la rançon des coupables. Nos courtes notions d’équité répugnent à cette distribution de la Miséricorde par la Justice. Chacun pour soi, dit notre bassesse de cœur, et Dieu pour tous. Si, comme il est écrit, les choses cachées nous doivent être révélées un jour, nous saurons, sans doute à la fin, pourquoi tant de faibles furent écrasés, brûlés et persécutés dans tous les siècles ; nous verrons avec quelle exactitude infiniment calculée furent réparties, en leur temps, les prospérités et les douleurs, et quelle miraculeuse équité nécessitait passagèrement les apparences de l’injustice !



Chose digne de remarque, la Grande Chartreuse continua d’être habitée. Un religieux infirme y resta et n’y fut jamais inquiété, bien qu’il portât toujours l’habit. Le 7 avril 1805, — c’était le dimanche des Rameaux, — on le trouva mort dans sa cellule, à genoux à son oratoire : il avait rendu son âme à Dieu, en priant.



[…] Aujourd’hui, la Grande Chartreuse est aussi prospère que jamais. Les innombrables voyageurs peuvent rendre témoignage de l’étonnante vitalité de cette dernière racine du vieux tronc monastique, que quatre révolutions et quatre républiques n’ont pu arracher du sol de la France.

Auteur: Bloy Léon

Info: Dans "Le Désespéré", Livre de poche, 1962, pages 102-104

[ historique ] [ signes d'élection ] [ communion des saints ]

homme-machine

Quand la plupart des gens pensent aux risques potentiels de l'intelligence artificielle et du machine learning, leur esprit va immédiatement vers "Terminator" - cet avenir où les robots, selon une vision dystopique, marcheraient dans les rues en abattant tous les humains sur leur passage.

Mais en réalité, si l'IA a le potentiel de semer le chaos et la discorde, la manière dont cela peut se produire est moins excitante qu'un "Skynet" réel. Les réseaux d'IA qui peuvent créer de fausses images et de fausses vidéos - connues dans l'industrie sous le nom de "deepfakes" - impossibles à distinguer du réel, qui pourraient engendrer des risques.

Qui pourrait oublier cette vidéo du président Obama ? Inventée et produite par un logiciel d'intelligence artificielle, une vidéo quasi impossible à distinguer de vraies images.

Eh bien, dans une récente présentation des capacités de l'IA dans un avenir pas si lointain, un chroniqueur de TechCrunch a mis en avant une étude présentée à une conférence importante de l'industrie en 2017. Les chercheurs y expliquent comment un réseau d'opposition générationnelle (Generative Adversarial Network) - l'une des deux variétés courantes d'opérateur de machine learning - a résisté aux intentions de ses programmeurs et a commencé à produire des cartes synthétiques après avoir reçu l'ordre de faire correspondre des photographies aériennes aux cartes routières correspondantes.

L'objectif de l'étude était de créer un outil permettant d'adapter plus rapidement les images satellites aux cartes routières de Google. Mais au lieu d'apprendre à transformer les images aériennes en cartes, l'opérateur de machine learning a appris à coder les caractéristiques de la carte sur les données visuelles de la carte topographique.

L'objectif était de permettre à l'opérateur d'interpréter les caractéristiques de l'un ou l'autre type de carte et de les faire correspondre aux caractéristiques de l'autre. Mais ce sur quoi l'opérateur était noté (entre autres choses), c'était la proximité de correspondance d'une carte aérienne par rapport à l'original et la clarté de la carte topographique.

Il n'a donc pas appris à faire l'une à partir de l'autre. Il a appris à coder subtilement les caractéristiques de l'une dans les "modèles de bruit" de l'autre. Les détails de la carte aérienne sont secrètement inscrits dans les données visuelles réelles de la carte des rues : des milliers de petits changements de couleur que l'œil humain ne remarquera pas, mais que l'ordinateur peut facilement détecter.

En fait, l'ordinateur est si bon à glisser ces détails dans les plans qu'il a appris à encoder n'importe quelle carte aérienne dans n'importe quel plan de rues ! Il n'a même pas besoin de faire attention à la "vraie" carte routière - toutes les données nécessaires à la reconstitution de la photo aérienne peuvent être superposées sans danger à une carte routière complètement différente, comme l'ont confirmé les chercheurs :

Cette pratique d'encodage des données en images n'est pas nouvelle ; il s'agit d'une science établie appelée stéganographie, et elle est utilisée tout le temps pour, disons, filigraner des images ou ajouter des métadonnées comme les réglages de caméra. Mais un ordinateur qui crée sa propre méthode stéganographique pour éviter d'avoir à apprendre à exécuter la tâche à accomplir c'est plutôt nouveau.

Au lieu de trouver un moyen d'accomplir une tâche qui dépassait ses capacités, l'opérateur de machine learning a développé sa propre méthode pour tricher.

On pourrait facilement prendre cela comme un pas vers l'idée "les machines deviennent plus intelligentes", mais la vérité est que c'est presque le contraire. La machine, qui n'est pas assez intelligente pour faire le travail difficile de convertir ces types d'images sophistiqués les unes avec les autres, a trouvé un moyen de tricher que les humains ont de la peine à détecter. Cela pourrait être évité avec une évaluation plus rigoureuse des résultats de l'opérateur, et il ne fait aucun doute que les chercheurs vont poursuivre dans cette voie.

Et même si ces chercheurs sophistiqués ont failli ne pas le détecter, qu'en est-il de notre capacité à différencier les images authentiques de celles qui fabriquées par simulation informatique ?

Auteur: Internet

Info: Zero Hedges 4 janvier 2018

[ vrai du faux ]

subatomique

Des scientifiques font exploser des atomes avec un laser de Fibonacci pour créer une dimension temporelle "supplémentaire"

Cette technique pourrait être utilisée pour protéger les données des ordinateurs quantiques contre les erreurs.

(Photo avec ce texte : La nouvelle phase a été obtenue en tirant des lasers à 10 ions ytterbium à l'intérieur d'un ordinateur quantique.)

En envoyant une impulsion laser de Fibonacci à des atomes à l'intérieur d'un ordinateur quantique, des physiciens ont créé une phase de la matière totalement nouvelle et étrange, qui se comporte comme si elle avait deux dimensions temporelles.

Cette nouvelle phase de la matière, créée en utilisant des lasers pour agiter rythmiquement un brin de 10 ions d'ytterbium, permet aux scientifiques de stocker des informations d'une manière beaucoup mieux protégée contre les erreurs, ouvrant ainsi la voie à des ordinateurs quantiques capables de conserver des données pendant une longue période sans les déformer. Les chercheurs ont présenté leurs résultats dans un article publié le 20 juillet dans la revue Nature.

L'inclusion d'une dimension temporelle "supplémentaire" théorique "est une façon complètement différente de penser les phases de la matière", a déclaré dans un communiqué l'auteur principal, Philipp Dumitrescu, chercheur au Center for Computational Quantum Physics de l'Institut Flatiron, à New York. "Je travaille sur ces idées théoriques depuis plus de cinq ans, et les voir se concrétiser dans des expériences est passionnant.

Les physiciens n'ont pas cherché à créer une phase dotée d'une dimension temporelle supplémentaire théorique, ni à trouver une méthode permettant d'améliorer le stockage des données quantiques. Ils souhaitaient plutôt créer une nouvelle phase de la matière, une nouvelle forme sous laquelle la matière peut exister, au-delà des formes standard solide, liquide, gazeuse ou plasmatique.

Ils ont entrepris de construire cette nouvelle phase dans le processeur quantique H1 de la société Quantinuum, qui se compose de 10 ions d'ytterbium dans une chambre à vide, contrôlés avec précision par des lasers dans un dispositif connu sous le nom de piège à ions.

Les ordinateurs ordinaires utilisent des bits, c'est-à-dire des 0 et des 1, pour constituer la base de tous les calculs. Les ordinateurs quantiques sont conçus pour utiliser des qubits, qui peuvent également exister dans un état de 0 ou de 1. Mais les similitudes s'arrêtent là. Grâce aux lois étranges du monde quantique, les qubits peuvent exister dans une combinaison, ou superposition, des états 0 et 1 jusqu'au moment où ils sont mesurés, après quoi ils s'effondrent aléatoirement en 0 ou en 1.

Ce comportement étrange est la clé de la puissance de l'informatique quantique, car il permet aux qubits de se lier entre eux par l'intermédiaire de l'intrication quantique, un processus qu'Albert Einstein a baptisé d'"action magique à distance". L'intrication relie deux ou plusieurs qubits entre eux, connectant leurs propriétés de sorte que tout changement dans une particule entraîne un changement dans l'autre, même si elles sont séparées par de grandes distances. Les ordinateurs quantiques sont ainsi capables d'effectuer plusieurs calculs simultanément, ce qui augmente de manière exponentielle leur puissance de traitement par rapport à celle des appareils classiques.

Mais le développement des ordinateurs quantiques est freiné par un gros défaut : les Qubits ne se contentent pas d'interagir et de s'enchevêtrer les uns avec les autres ; comme ils ne peuvent être parfaitement isolés de l'environnement extérieur à l'ordinateur quantique, ils interagissent également avec l'environnement extérieur, ce qui leur fait perdre leurs propriétés quantiques et l'information qu'ils transportent, dans le cadre d'un processus appelé "décohérence".

"Même si tous les atomes sont étroitement contrôlés, ils peuvent perdre leur caractère quantique en communiquant avec leur environnement, en se réchauffant ou en interagissant avec des objets d'une manière imprévue", a déclaré M. Dumitrescu.

Pour contourner ces effets de décohérence gênants et créer une nouvelle phase stable, les physiciens se sont tournés vers un ensemble spécial de phases appelées phases topologiques. L'intrication quantique ne permet pas seulement aux dispositifs quantiques d'encoder des informations à travers les positions singulières et statiques des qubits, mais aussi de les tisser dans les mouvements dynamiques et les interactions de l'ensemble du matériau - dans la forme même, ou topologie, des états intriqués du matériau. Cela crée un qubit "topologique" qui code l'information dans la forme formée par de multiples parties plutôt que dans une seule partie, ce qui rend la phase beaucoup moins susceptible de perdre son information.

L'une des principales caractéristiques du passage d'une phase à une autre est la rupture des symétries physiques, c'est-à-dire l'idée que les lois de la physique sont les mêmes pour un objet en tout point du temps ou de l'espace. En tant que liquide, les molécules d'eau suivent les mêmes lois physiques en tout point de l'espace et dans toutes les directions. Mais si vous refroidissez suffisamment l'eau pour qu'elle se transforme en glace, ses molécules choisiront des points réguliers le long d'une structure cristalline, ou réseau, pour s'y disposer. Soudain, les molécules d'eau ont des points préférés à occuper dans l'espace et laissent les autres points vides ; la symétrie spatiale de l'eau a été spontanément brisée.

La création d'une nouvelle phase topologique à l'intérieur d'un ordinateur quantique repose également sur la rupture de symétrie, mais dans cette nouvelle phase, la symétrie n'est pas brisée dans l'espace, mais dans le temps.

En donnant à chaque ion de la chaîne une secousse périodique avec les lasers, les physiciens voulaient briser la symétrie temporelle continue des ions au repos et imposer leur propre symétrie temporelle - où les qubits restent les mêmes à travers certains intervalles de temps - qui créerait une phase topologique rythmique à travers le matériau.

Mais l'expérience a échoué. Au lieu d'induire une phase topologique à l'abri des effets de décohérence, les impulsions laser régulières ont amplifié le bruit provenant de l'extérieur du système, le détruisant moins d'une seconde et demie après sa mise en marche.

Après avoir reconsidéré l'expérience, les chercheurs ont réalisé que pour créer une phase topologique plus robuste, ils devaient nouer plus d'une symétrie temporelle dans le brin d'ion afin de réduire les risques de brouillage du système. Pour ce faire, ils ont décidé de trouver un modèle d'impulsion qui ne se répète pas de manière simple et régulière, mais qui présente néanmoins une sorte de symétrie supérieure dans le temps.

Cela les a conduits à la séquence de Fibonacci, dans laquelle le nombre suivant de la séquence est créé en additionnant les deux précédents. Alors qu'une simple impulsion laser périodique pourrait simplement alterner entre deux sources laser (A, B, A, B, A, B, etc.), leur nouveau train d'impulsions s'est déroulé en combinant les deux impulsions précédentes (A, AB, ABA, ABAAB, ABAABAB, ABAABABA, etc.).

Cette pulsation de Fibonacci a créé une symétrie temporelle qui, à l'instar d'un quasi-cristal dans l'espace, est ordonnée sans jamais se répéter. Et tout comme un quasi-cristal, les impulsions de Fibonacci écrasent également un motif de dimension supérieure sur une surface de dimension inférieure. Dans le cas d'un quasi-cristal spatial tel que le carrelage de Penrose, une tranche d'un treillis à cinq dimensions est projetée sur une surface à deux dimensions. Si l'on examine le motif des impulsions de Fibonacci, on constate que deux symétries temporelles théoriques sont aplaties en une seule symétrie physique.

"Le système bénéficie essentiellement d'une symétrie bonus provenant d'une dimension temporelle supplémentaire inexistante", écrivent les chercheurs dans leur déclaration. Le système apparaît comme un matériau qui existe dans une dimension supérieure avec deux dimensions de temps, même si c'est physiquement impossible dans la réalité.

Lorsque l'équipe l'a testé, la nouvelle impulsion quasi-périodique de Fibonacci a créé une phase topographique qui a protégé le système contre la perte de données pendant les 5,5 secondes du test. En effet, ils ont créé une phase immunisée contre la décohérence pendant beaucoup plus longtemps que les autres.

"Avec cette séquence quasi-périodique, il y a une évolution compliquée qui annule toutes les erreurs qui se produisent sur le bord", a déclaré Dumitrescu. "Grâce à cela, le bord reste cohérent d'un point de vue mécanique quantique beaucoup plus longtemps que ce à quoi on s'attendrait.

Bien que les physiciens aient atteint leur objectif, il reste un obstacle à franchir pour que leur phase devienne un outil utile pour les programmeurs quantiques : l'intégrer à l'aspect computationnel de l'informatique quantique afin qu'elle puisse être introduite dans les calculs.

"Nous avons cette application directe et alléchante, mais nous devons trouver un moyen de l'intégrer dans les calculs", a déclaré M. Dumitrescu. "C'est un problème ouvert sur lequel nous travaillons.

 

Auteur: Internet

Info: livesciences.com, Ben Turner, 17 août 2022

[ anions ] [ cations ]

furtifs méta-moteurs

Découvrez les formes modulaires, la " cinquième opération fondamentale " des mathématiques

Les formes modulaires sont l’un des objets les plus beaux et les plus mystérieux des mathématiques. Quels sont-ils ?

" Il existe cinq opérations fondamentales en mathématiques ", aurait déclaré le mathématicien allemand Martin Eichler. " Addition, soustraction, multiplication, division et formes modulaires. "

Une partie du gag bien sûr, c’est que l’un d’entre eux n’est pas comme les autres. Les formes modulaires sont des fonctions beaucoup plus compliquées et énigmatiques, et les étudiants ne les rencontrent généralement pas avant leurs études supérieures. Mais " il y a probablement moins de domaines mathématiques où ils n'ont pas d'applications que là où ils en ont ", a déclaré Don Zagier , mathématicien à l'Institut de mathématiques Max Planck de Bonn, en Allemagne. Chaque semaine, de nouveaux articles étendent leur portée à la théorie des nombres, à la géométrie, à la combinatoire, à la topologie, à la cryptographie et même à la théorie des cordes.

Elles sont souvent décrites comme des fonctions qui satisfont des symétries si frappantes et si élaborées qu’elles ne devraient pas être possibles. Les propriétés associées à ces symétries rendent les formes modulaires extrêmement puissantes. C’est ce qui a fait d’elles des acteurs clés dans la preuve historique du dernier théorème de Fermat en 1994. C'est ce qui les a placés au cœur des travaux plus récents sur l'emballage des sphères . Et c'est ce qui les rend désormais cruciales pour le développement continu d'une " théorie mathématique du tout " Nommée programme de Langlands .

Mais que sont-elles ?

Symétries infinies

Pour comprendre une forme modulaire, il est utile de réfléchir d’abord à des symétries plus familières.

(...)

"Les formes modulaires ressemblent aux fonctions trigonométriques, mais sous stéroïdes", a-t-il ajouté. Ils satisfont une infinité de symétries " cachées ".

L'univers complexe

Les fonctions ne peuvent pas faire grand-chose lorsqu'elles sont définies en termes de nombres réels, c'est-à-dire des valeurs qui peuvent être exprimées sous forme décimale conventionnelle. En conséquence, les mathématiciens se tournent souvent vers les nombres complexes, qui peuvent être considérés comme des paires de nombres réels. Tout nombre complexe est décrit en termes de deux valeurs : une composante " réelle " et une composante " imaginaire ", qui est un nombre réel multiplié par la racine carrée de −1 (que les mathématiciens écrivent comme je).

Tout nombre complexe peut donc être représenté comme un point dans un plan à deux dimensions.

Il est difficile de visualiser les fonctions des nombres complexes, c’est pourquoi les mathématiciens se tournent souvent vers la couleur. Par exemple, vous pouvez colorer le plan complexe pour qu'il ressemble à une roue arc-en-ciel. La couleur de chaque point correspond à son angle en coordonnées polaires. Directement à droite du centre, là où les points ont un angle de 0 degré, vous obtenez du rouge. À 90 degrés, ou vers le haut, les points sont de couleur vert vif. Et ainsi de suite. Enfin, les courbes de niveau marquent les changements de taille ou d'ampleur, comme sur une carte topographique.

(...) (partie supprimée, voir pour plus sur le lien qui précède)

Le domaine fondamental

Pour ce faire, il est utile d’essayer de simplifier la façon dont nous envisageons ces fonctions complexes.

En raison des symétries de la forme modulaire, vous pouvez calculer la fonction entière sur la base d'un seul petit groupe d'entrées, situé dans une région du plan appelée domaine fondamental. Cette région ressemble à une bande montant à partir de l’axe horizontal avec un trou semi-circulaire découpé dans son fond.

Si vous savez comment la fonction se comporte là-bas, vous saurez ce qu'elle fait partout ailleurs. Voici comment:

Des transformations spéciales copient un fragment du plan complexe, appelé domaine fondamental, dans une infinité d’autres régions. Puisqu’une forme modulaire est définie en termes de ces transformations, si vous savez comment elle se comporte dans le domaine fondamental, vous pouvez facilement comprendre comment elle se comporte

(...) (partie supprimée, voir liens précédents pour plus). 

Espaces contrôlés

Dans les années 1920 et 1930, le mathématicien allemand Erich Hecke a développé une théorie plus approfondie autour des formes modulaires. Surtout, il s’est rendu compte qu’elles existaient dans certains espaces – des espaces avec des dimensions spécifiques et d’autres propriétés. Il a compris comment décrire concrètement ces espaces et les utiliser pour relier différentes formes modulaires entre elles.

Cette prise de conscience a inspiré de nombreuses mathématiques des XXe et XXIe siècles.

Pour comprendre comment, considérons d’abord une vieille question : de combien de façons peut-on écrire un entier donné comme la somme de quatre carrés ? Il n’y a qu’une seule façon d’écrire zéro, par exemple, alors qu’il existe huit façons d’exprimer 1, 24 façons d’exprimer 2 et 32 ​​façons d’exprimer 3. Pour étudier cette séquence — 1, 8, 24, 32 et ainsi de suite — les mathématiciens l'ont codé dans une somme infinie appelée fonction génératrice :

1+8q+24q2+32q3+24q4+48q5+…

Il n'existait pas nécessairement de moyen de connaître le coefficient de, disons, q174 devrait être – c’était précisément la question à laquelle ils essayaient de répondre. Mais en convertissant la séquence en fonction génératrice, les mathématiciens pourraient appliquer des outils issus du calcul et d’autres domaines pour en déduire des informations. Ils pourraient, par exemple, trouver un moyen d’approcher la valeur de n’importe quel coefficient.

Mais il s’avère que si la fonction génératrice est une forme modulaire, vous pouvez faire bien mieux : vous pouvez mettre la main sur une formule exacte pour chaque coefficient.

"Si vous savez qu'il s'agit d'une forme modulaire, alors vous savez tout", a déclaré Jan Bruinier de l'Université technique de Darmstadt en Allemagne.

En effet, les symétries infinies de la forme modulaire ne sont pas seulement belles à regarder : " elles sont si contraignantes ", a déclaré Larry Rolen de l'Université Vanderbilt, qu'elles peuvent être transformées en " un outil pour prouver automatiquement les congruences et les identités entre des choses. "

Les mathématiciens et les physiciens codent souvent des questions intéressantes en générant des fonctions. Ils voudront peut-être compter le nombre de points sur des courbes spéciales ou le nombre d’états dans certains systèmes physiques. "Si nous avons de la chance, alors ce sera une forme modulaire", a déclaré Claudia Alfes-Neumann , mathématicienne à l'université de Bielefeld en Allemagne. Cela peut être très difficile à prouver, mais si vous le pouvez, alors " la théorie des formes modulaires est si riche qu’elle vous offre des tonnes de possibilités pour étudier ces coefficients [de séries] ".

Blocs de construction

Toute forme modulaire va paraître très compliquée. Certaines des plus simples – qui sont utilisées comme éléments de base pour d’autres formes modulaires – sont appelées séries Eisenstein.

Vous pouvez considérer une série d’Eisenstein comme une somme infinie de fonctions. Pour déterminer chacune de ces fonctions, utilisez les points sur une grille 2D infinie :

(...) (partie images et schémas supprimée, voir liens pour plus. )

Le jeu continue

L'étude des formes modulaires a conduit à un flot de triomphes mathématiques. Par exemple, des travaux récents sur l'empilement de sphères, pour lesquels la mathématicienne ukrainienne Maryna Viazovska a remporté la médaille Fields l'année dernière , ont utilisé des formes modulaires. " Quand j'ai vu ça, j'ai été assez surprise ", a déclaré Bruinier. " Mais d'une manière ou d'une autre, ça marche. "

Les formes modulaires se sont révélées liées à un objet algébrique important appelé groupe de monstres. Elles ont été utilisées pour construire des types spéciaux de réseaux appelés graphes d'expansion, qui apparaissent en informatique, en théorie des communications et dans d'autres applications. Ils ont permis d'étudier des modèles potentiels d'interactions de particules en théorie des cordes et en physique quantique.

Le plus célèbre peut-être est que la preuve du dernier théorème de Fermat de 1994 reposait sur des formes modulaires. Le théorème, largement considéré comme l'un des problèmes les plus importants de la théorie des nombres, stipule qu'il n'existe pas trois entiers non nuls a , b et c qui satisfont à l'équation an+bn=cn si n est un nombre entier supérieur à 2. Le mathématicien Andrew Wiles l'a prouvé en supposant le contraire – qu'une solution à l'équation existe – puis en utilisant des formes modulaires pour montrer qu'une telle hypothèse doit conduire à une contradiction.

Il a d’abord utilisé sa solution supposée pour construire un objet mathématique appelé courbe elliptique. Il a ensuite montré qu'on peut toujours associer une forme modulaire unique à une telle courbe. Cependant, la théorie des formes modulaires dictait que dans ce cas, cette forme modulaire ne pouvait pas exister. "C'est trop beau pour être vrai", a déclaré Voight. Ce qui signifiait, à son tour, que la solution supposée ne pouvait pas exister – confirmant ainsi le dernier théorème de Fermat.

Non seulement cela a résolu un problème vieux de plusieurs siècles ; cela a également permis de mieux comprendre les courbes elliptiques, qui peuvent être difficiles à étudier directement (et qui jouent un rôle important dans la cryptographie et les codes correcteurs d'erreurs).

Cette démonstration a également mis en lumière un pont entre la géométrie et la théorie des nombres. Ce pont a depuis été élargi dans le programme Langlands,  un plus grand ensemble de connexions entre les deux domaines – et sujet d'un des efforts de recherche centraux des mathématiques contemporaines. Les formes modulaires ont également été généralisées dans d'autres domaines, où leurs applications potentielles commencent tout juste à être reconnues.

Elles continuent d’apparaître partout en mathématiques et en physique, parfois de manière assez mystérieuse. "Je regarde dans un article sur les trous noirs", a déclaré Steve Kudla de l'Université de Toronto, "et j'y trouve des formes modulaires qui sont mes amies. Mais je ne sais pas pourquoi elles  sont là.

"D'une manière ou d'une autre", a-t-il ajouté, "les formes modulaires capturent certaines des symétries les plus fondamentales du monde".



 

Auteur: Internet

Info: https://www.quantamagazine.org, Jordana Cepelewicz, 21 septembre 2023

[ ultracomplexité ]